Đang tải... (xem toàn văn)
Chứng minh bất đẳng thức là một vấn đề có thể nói là rất phức tạp, nó rèn luyện cho người làm toán trí thông minh, sự sáng tạo và sự khéo léo, mỗi kết quả của việc chứng minh bất đẳng thức đều được xem là rất có vai trò trong việc giải quyết hữu hiệu các nội dung khác của Toán học và các khoa học khác. Nhưng để chứng minh bất đẳng thức thì không đơn giản chút nào, nhất là đối với học sinh, các em tỏ ra lúng túng khi phân tích thông tin về bài toán và chọn cho mình một công cụ để chứng minh hiệu quả nhất. Tôi suy nghĩ rằng không có một công thức, một cách làm chung nào có thể giải quyết mọi dạng toán, mọi bài toán, vì như thế toán học sẽ không còn sự sáng tạo không ngừng nữa và hơn hết nó sẽ mất đi giá trị to lớn của mình điều kiện các khoa học khác.
“SKKN: Khai thác số toán chứng minh Bất đẳng thức” I ĐẶT VẤN ĐỀ Chứng minh bất đẳng thức vấn đề nói phức tạp, rèn luyện cho người làm tốn trí thông minh, sáng tạo khéo léo, kết việc chứng minh bất đẳng thức xem có vai trị việc giải hữu hiệu nội dung khác Toán học khoa học khác Nhưng để chứng minh bất đẳng thức khơng đơn giản chút nào, học sinh, em tỏ lúng túng phân tích thơng tin tốn chọn cho cơng cụ để chứng minh hiệu Tơi suy nghĩ khơng có cơng thức, cách làm chung giải dạng tốn, tốn, tốn học khơng cịn sáng tạo khơng ngừng hết giá trị to lớn điều kiện khoa học khác Tuy nhiên, qua q trình dạy tốn làm tốn, tơi có nhiều tốn tách rời không liên quan đến nhau, nhung giải tốn xong tốn tơi phát nguồn gốc chúng giống chúng xuất phát từ toán ban đầu Chính tơi tốn tìm khai thác chúng qua hướng khác nhằm tạo toán thuộc “họ” với toán ban đầu Việc làm toán giáo viên có tác dụng việc sáng tạo toán nhằm kiểm tra sáng tạo học sinh, em học sinh tìm hiểu vấn đề phát triển trí tuệ sáng tạo qua làm tốt toán chứng minh bất đẳng thức Trong sáng kiến không tham lam khai thác nhiều tốn khơng có ý cho hai tốn mà tơi khai thác tạo hai “họ” bài, toán chứng minh bất đẳng thức đủ rộng để bao quát toàn mảng bất đẳng thức chương trình tốn THPT Tơi suy nghĩ tìm nhiều toán gốc khai thác chúng theo cách mà tơi trình bày sau viêc chứng minh bất đẳng thức trở nên linh hoạt chun đề khác khơng chun đề bất đẳng thức khai thác tương tự Giáo viên: Trần Bá Duy – Chun mơn: Tốn học – THPT B Bình Lục Trang “SKKN: Khai thác số toán chứng minh Bất đẳng thức” II GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ (NỘI DUNG) A Bài toán a2 b2 c Đề bài: cho a, b, c > chứng minh rằng: + + ≥ a +b + c b c a Chứng minh: áp dụng bất đẳng thức cô – si cho hai số dương a2 a2 + b ≥ 2a ⇔ ≥ 2a − b (1) b b b2 ≥ 2b − c (2) c Tương tự : c2 ≥ 2c − a (3) a a b2 c + + ≥a+b+c Cộng vế ba bất đẳng thức chiều 1, 2,3 ta b c a (đpcm) Dấu “=” xảy a2 =b b b2 =c ⇔ a =b =c c c2 =a a Khai thác toán nhờ đặc biệt hóa Bài tốn 1.1: Cho a,b,c >0 a+b+c= 2014 Tìm giá trị nhỏ biểu thức a b2 c T= + + b c a Lời giải: Dựa vào phần chứng minh toán ta suy T ≥a+b+c Giáo viên: Trần Bá Duy – Chun mơn: Tốn học – THPT B Bình Lục Trang “SKKN: Khai thác số toán chứng minh Bất đẳng thức” Mà a+b+c = 2014 giá trị nhỏ biểu thức T 2014 đạt a=b=c 2014 ⇔ a=b=c= a + b + c = 2014 Bài toán 1.2 : cho a, b, c độ dài ba cạnh ∆ABC thỏa mãn: a b2 c + + = a + b + c (*) b c a Hỏi tam giác ABC tam giác gì? * Nhận xét: tốn 1.2 toán tạo từ toán xét trường hợp dấu “=” xảy Lời giải: Vì a, b, c độ dài ba cạnh tam giác ABC a,b,c >0 Dựa vào tốn ta có: a b2 c + + ≥ a + b + c (**) b c a Từ giả thuyết (*) suy dấu “=” bất đẳng thức (**) phải xảy ⇔ a = b = c ⇔ tam giác ABC ∆ Bài tốn 1.3 Cho tam giác ABC có h a, hb, hc độ dài đường cao ứng với đỉnh A,B,C Chứng minh : hb hc 1 + + ≥ + + hb2 hc2 hb hc *Nhận xét : toán 1.3 xuất phát từ toán bài1 ta thay a= 2S 2S 2S ;b = ;c = hb hc Lời giải : Gọi a,b,c độ dài ba cạnh ∆ABC ứng với đường cao ha, hb, hc Theo tốn ta có a b2 c + + =a+b+c b c a Giáo viên: Trần Bá Duy – Chun mơn: Tốn học – THPT B Bình Lục Trang “SKKN: Khai thác số toán chứng minh Bất đẳng thức” Mà theo cơng thức tính diện tích tam giác 2S 2S 2S 1 ,b = ,c = S = aha = bhb = chc ⇒ a = hb hc 2 Thay vào ta có đpcm Bài toán 1.4: cho tam giác ABC Chứng minh rằng: Sin A Sin B Sin 2C + + ≥ SinA + Sinb + SinC SinB SinC SinA *Nhận xét: Bài toán 1.4 xuất phát từ toán ta thay a = 2R.Sin A, b = 2R.Sin B, c = 2R.Sin C * Lời giải: Theo toán 1/ với a,b,c độ dài cạnh tam giác ABC a b2 c + + ≥a+b+c Ta có: b c a Theo định lý Sin tam giác a b c = = = R ⇒ a = RSinA, b = RSinB, c = RSinC SinA SinB SinC Thay vào ta có đpcm ∧ ∧ ∧ Dấu “=” xảy ⇔SinA = SinB = SinC ⇔ A = B = C ⇔tam giác ABC Khai thác toán cách xét toán tương tự Bài toán 1.5: Cho a, b, c >0 chứng minh a b3 c3 + + ≥a+b+c b2 c2 a *Nhận xét: toán 1.5 thực bắt nguồn từ tốn 1, có chút thay đổi nhỏ số mũ tử mẫu vế trái tăng lên đơn vị đảm Giáo viên: Trần Bá Duy – Chuyên môn: Tốn học – THPT B Bình Lục Trang “SKKN: Khai thác số toán chứng minh Bất đẳng thức” bảo nguyên tắc “Số mũ tử” –“số mũ mẫu” ≥ “số mũ vế phải” Do cách giải tương tự toán Lời giải: áp dụng BĐT cô si cho ba số dương a3 a3 + b + b ≥ 3a ⇔ ≥ 3a − 2b b2 b Tương tự b3 ≥ 3b − 2c c2 c3 ≥ 3c − 2a a2 a3 b3 c3 Cộng từ vế BĐT chiều ⇒ + + ≥ a + b + c (đpcm) b c a a3 ≥ 3a − 2b b2 b3 ≥ 3b − 2c ⇔ a = b = c Dấu “=” xảy ⇔ c2 c3 ≥ 3c − 2a a2 Bài toán 1.6: cho a,b,c >0 chứng minh a b3 c + + ≥ a + b2 + c b c a *Nhận xét: Cũng giống toán 1.5, toán 1.6 đảm bảo nguyên tắc “Số mũ tử” –“số mũ mẫu” ≥ “số mũ vế phải” Lời giải: Áp dụng BĐT cô si cho số dương a3 a3 a3 + ≥ 3a ⇔ ≥ 3a − b b b b Tương tự Giáo viên: Trần Bá Duy – Chun mơn: Tốn học – THPT B Bình Lục Trang “SKKN: Khai thác số toán chứng minh Bất đẳng thức” b3 ≥ 3b − c c c3 ≥ 3c − a a Cộng từ vế BĐT chiều ta được: a b3 c + + ≥ a + b + c (đpcm) b c a Dấu “=” xảy ⇔ a3 = b2 b b3 = b2 ⇔ a = b = c c c3 = c2 a Khai thác toán theo hướng khái qt hóa Bài tốn 1.7 cho x1, x2,….xn>0, n∈N, n≥3 Chứng minh rằng: x12 x2 xn + + ≥ x1 + x1 + xn x2 x3 x1 *Nhận xét: toán 1.7 thực ta toán ta tăng số biến lên n biến Lời giải: Áp dụng BĐT cô si cho hai số dương x12 x12 + x2 ≥ x1 ⇔ ≥ x1 − x2 x2 x2 Tương tự x2 ≥ x2 − x3 x3 ………… Giáo viên: Trần Bá Duy – Chun mơn: Tốn học – THPT B Bình Lục Trang “SKKN: Khai thác số toán chứng minh Bất đẳng thức” xn ≥ xn − x1 x1 Cộng n vế bất đẳng thức chiều ta có đpcm Dấu “=” xảy ⇔ x1 = x2 = …xn Bài toán 1.8: Cho a,b,c>0 Chứng minh ∀n ∈N: a n+1 b n +1 c n+1 + n + n ≥a+b+c bn c a Hướng dẫn: Áp dụng BĐT cô si cho (n+1) số dương a n+1 a n+1 + b + b+ ≥ (n + 1)a ⇒ n ≥ (n + 1)a − nb bn b Tương tự b n+1 ≥ (n + 1)b − nc cn c n+1 ≥ (n + 1)c − na an Cộng từ vế BĐT chiều ta đpcm Bài toàn 1.9: Cho a,b,c>0 chứng minh rằng: a n+1 b n+1 c n+1 + + ≥ a n + bn + c n b c a Hướng dẫn: Áp dụng BĐT cô si cho (n+1) số dương a n+1 a n +1 a n+1 a n+1 n n + + + + b ≥ ( n + 1)a ⇒ n ≥ (n + 1)a n − b n b b b b Tương tự n b n+1 ≥ (n + 1)b n − c n c c n+1 n ≥ (n + 1)c n − a n a Giáo viên: Trần Bá Duy – Chun mơn: Tốn học – THPT B Bình Lục Trang “SKKN: Khai thác số toán chứng minh Bất đẳng thức” Cộng từ vệ BĐT ta có đpcm Dấu “=” xảy ⇔ a= b = c Bài toán 1.10: cho tam giác ABC có ha, hb, hc độ dài đường cao tương ứng kẻ từ A, B, C r bán kình đường trịn nội tiếp ∆ABC Chứng minh rằng: hb hc + + ≥ ha2 hb2 hc2 r *Nhận xét: toán 1.10 xuất phát từ toán ta thay a= Và a+b+c = 2P = 2S 2S 2S ,b = ,c = hb hc 2S r B Bài toán Cho A,B,C >0 a.b.c = Chứng minh rằng: a3+b3+c3 ≥ a+b+c Lời giải: Áp dụng BĐT cô si cho số dương a3 +1+1 ≥3a ⇒a3≥3a – tương tự b3≥3b – c3≥3c – cộng vế BĐT chiều ta a3+b3+c3 ≥ (3a+3b+3c – 6) ⇔ a3+b3+c3 ≥ (a+b+c) + [2(a+b+c) - 6] Giáo viên: Trần Bá Duy – Chuyên môn: Tốn học – THPT B Bình Lục Trang “SKKN: Khai thác số toán chứng minh Bất đẳng thức” theo BĐT si, ta có a + b + c ≥ 3 abc = 3 = ⇔2(a+b+c) ≥6 ⇔2(a+b+c)-6 ≥0 ⇔a3+b3+c3 ≥ a+b+c (ddpcmđpcm) Dấu “=” xảy ⇔ a = b = c = 1 Khai thác toán nhờ đặc biệt hóa Bài tốn 2.1: Cho a, b, c >0 a.b.c = Tìm giá trị nhỏ biểu thức T= a + b3 + c a+b+c Lời giải: theo toán ta có: a + b3 + c3 ≥ a+b+c mà a+b+c >0 ⇔ a + b3 + c3 ≥ ⇔ T ≥ ⇒GTNN T = a+b+c Đạt a= b = c = Bài toán 2.2 : cho x, y , z ∈ R thỏa mãn x+y +z = chứng minh : 8x +8y +8z ≥2x +2y +2z Lời giải : Dặt Đặt a = 2x, b = 2x , c = 2z a.b.c = 2x+y+z = 20 = Theo toán ⇒ a3+b3+c3 ≥ a+b+c ⇒8x +8y +8z ≥2x +2y (đpcm) Dấu “=” xảy ⇔ x = y = z = Khai thác toán theo hướng tương tự toán 2.3 : Cho a, b, c >0 a.b.c = Chứng minh rằng: a + b3 + c3 ≥ a2+b2+c2 Lời giải: Áp dụng BĐT cô si cho số dương a + b3 + c ≥3a3 ⇒2a3 ≥3a2-1 Giáo viên: Trần Bá Duy – Chuyên môn: Tốn học – THPT B Bình Lục Trang “SKKN: Khai thác số toán chứng minh Bất đẳng thức” Tương tự 2b3 ≥3b2-1 2c3 ≥3c2-1 Cộng vế ⇒2 ( a + b3 + c )≥2( a + b + c ) + ( a + b + c -3) Cũng theo BĐT cô si: a + b + c ≥ 3 a 2b 2c = ⇔ a + b + c -3 ≥ ⇔2( a + b3 + c )≥2( a + b + c ) ⇔ a + b3 + c ≥ a + b + c (đpcm) Dấu “=” xảy ⇔ a = b= c = Bài toán 2.4 Cho a, b , c >0 a.b.c = chứng minh a5 +a5+a5 ≥ a + b3 + c3 Lời giải a5 +a5+a5 +1+1 ≥5.a3 ⇒3.a5 ≥5.a3 – Tương tự: 3.b5 ≥5.b3 – 3.c5 ≥5.c3 – Cộng vế ta 3(a5 +a5+a5 )≥3( a + b3 + c3 ) + [2( a + b3 + c )-6] Lại theo bất đẳng thức cô si a + b + c ≥ 3 a 2b c = ⇔2( a + b + c ) - ≥0 ⇔3(a5 +a5+a5 )≥3( a + b3 + c3 )⇒đpcm Khai thác tốn theo hướng khái qt hóa Bài toán 2.5 Cho a, b, c>0, a.b.c = chứng minh an + bn +cn≥an-1 + bn-1 +cn-1, ∀n∈N, n≥2 Lời giải: Áp dụng BĐT cô si cho n số dương an + an + …an + 1≥n.an-1 Giáo viên: Trần Bá Duy – Chun mơn: Tốn học – THPT B Bình Lục Trang 10 “SKKN: Khai thác số toán chứng minh Bất đẳng thức” ⇔ (n-1)an ≥ n.an-1 - Tương tự (n-1)bn ≥ n.bn-1 – (n-1)cn ≥ n.cn-1 – Cộng vế ta (n-1).(an + bn +cn)≥(n-1).(an-1 + bn-1 +cn-1) + (an-1 + bn-1 +cn-1 -3) Lại theo BĐT cô si Ta có: an-1 + bn-1 +cn-1 ≥ 3 a n−1b n−1c n −1 = ⇔ an-1 + bn-1 +cn-1 -3 ≥0 ⇔ (n-1).(an + bn +cn)≥(n-1).(an-1 + bn-1 +cn-1 ) (đpcm) Dấu “=” xảy ⇔a = b = c =1 Khai thác toán theo hướng làm cho BĐT mạnh lên, giả thiết nhẹ Bài toán 2.6: Cho x,y,z >0 x + y + z = Chứng minh x y z + + ≥ + yz + xz + xy Lời giải : Ta có : x x2 x2 = = + yz + xyz + xyz Mà theo BĐT cô si cho số dương x + y + z ≥ 3 x y.z ⇔ ≥ 3 x y.z ⇔ xyz ≤ ⇒ x ≥ ( x − 1) + + yz x +1 tương tự y ≥ ( y − 1) + + xz y +1 Giáo viên: Trần Bá Duy – Chun mơn: Tốn học – THPT B Bình Lục Trang 11 “SKKN: Khai thác số toán chứng minh Bất đẳng thức” z ≥ ( z − 1) + + xy z +1 Cộng vế ta x y z 1 + + ≥ (x + y + z) − + ( + + ) + yz + xz + xy x +1 y +1 z +1 Mà x+y+z= Và 1 9 + + ≥ = = x +1 y +1 z +1 x + y + z + ⇒ x y z + + ≥ (đpcm) + yz + xz + xy Dấu “=” xảy ⇔ x= y = z = Bài toán 2.7 : Cho x, y , z >0 x+y+z = Tìm giá trị nhỏ biểu thức x3 y3 z3 + + T= y+z x+z x+ y Lời giải : Áp dụng bất đẳng thức cô si cho số dương x3 y+z x3 3x x3 3x y + z + + ≥3 = ⇒ ≥ − − y+z y+z Tương tự y3 3y x + z ≥ − − x+z z3 3z x + y ≥ − − x+ y Cộng vế x3 y3 z3 + + ≥ ( x + y + z) − ⇒ y+z x+z x+ y x3 y3 z3 + + ≥ Mà x+y+z = ⇒ y+z x+z x+ y Giáo viên: Trần Bá Duy – Chun mơn: Tốn học – THPT B Bình Lục Trang 12 “SKKN: Khai thác số toán chứng minh Bất đẳng thức” ⇒GTNN T đạt x = y =z= III KẾT LUẬN Trải qua thực tế công tác giảng dạy tốn phổ thơng tơi nhận thất học sinh có tâm lý “sợ” phải chứng minh bất đẳng thức cịn lúng túng phân tích giả thuyết tìm hướng giải số chứng minh bất đẳng thức Tuy nhiên sau tơi trình bày sáng kiến số lớp 10 ban A, tơi nhận thất em học sinh có dấu hiệu tiếp thu tích cực : em cso hứng thú làm chứng minh bất đẳng thức hơn, đối diện chứng minh bất đẳng thức em chủ động phân tích để tìm “nguồn gốc” tốn ; em cố gắng sử dụng phương pháp “ quy lạ thành quen”… Và hết em khơng cịn tâm lý e dè, “ngại” chứng minh bất đẳng thức trước Giáo viên: Trần Bá Duy – Chun mơn: Tốn học – THPT B Bình Lục Trang 13 “SKKN: Khai thác số toán chứng minh Bất đẳng thức” Điều làm cho tơi có niềm tin vào việc cần phải khai thác tốn theo hướng khác để sáng tạo ra, hồn thiện chun mơn Trên ý kiến vấn đề “khai thác số tốn chứng minh bất đẳng thức” khơng mong muốn mang đến cho người dạy toán học toán phương pháp tư chứng minh bất đẳng thức Do kinh nghiệm chưa có nhiều nên viết không tránh khỏi khiếm khuyết, cố gắng xếp, trình bày cấu trúc viết nhằm làm bật ý đồi Tơi mong nhận ý kiến đóng góp thầy giáo tổ môn hội đồng sư phạm nhà trường để ý tưởng tơi hồn thiện Cuối tơi xin chân thành cảm ơn./ Bình Lục, Ngày 10 tháng 04 năm 2014 Người viết Trần Bá Duy TÀI LIỆU THAM KHẢO Bất đẳng thức Phan Đức Chính Sáng tạo bất đẳng thức Phạm Kim Hùng SGK Đại số 10 Nâng cao Đoàn Quỳnh – Nguyễn Huy Đoan Bất đẳng thức chuyền đề luyện thi vào đại học Trần Văn Hạo Giáo viên: Trần Bá Duy – Chun mơn: Tốn học – THPT B Bình Lục Trang 14 ...“SKKN: Khai thác số toán chứng minh Bất đẳng thức? ?? II GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ (NỘI DUNG) A Bài toán a2 b2 c Đề bài: cho a, b, c > chứng minh rằng: + + ≥ a +b + c b c a Chứng minh: áp dụng bất đẳng thức. .. cịn tâm lý e dè, “ngại” chứng minh bất đẳng thức trước Giáo viên: Trần Bá Duy – Chun mơn: Tốn học – THPT B Bình Lục Trang 13 “SKKN: Khai thác số toán chứng minh Bất đẳng thức? ?? Điều làm cho tơi... phải khai thác toán theo hướng khác để sáng tạo ra, hồn thiện chun mơn Trên ý kiến vấn đề ? ?khai thác số toán chứng minh bất đẳng thức? ?? khơng ngồi mong muốn mang đến cho người dạy toán học toán