www.VNMATH.com Chuyên đề TÍCH PHÂN CÔNG THỨC Bảng nguyên hàm Nguyên hàm của những hàm số sơ cấp thường gặp Nguyên hàm của những hàm số thường gặp Nguyên hàm của những hàm số hợp Cxdx += ∫ ( ) 1 1 1 ≠+ + = + ∫ α α α α C x dxx ( ) 0ln ≠+= ∫ xCx x dx Cedxe xx += ∫ ( ) 10 ln ≠<+= ∫ aC a a dxa x x Cxxdx += ∫ sincos Cxxdx +−= ∫ cossin Cxdx x += ∫ tan cos 1 2 Cxdx x +−= ∫ cot sin 1 2 ( ) ( ) Cbax a baxd ++=+ ∫ 1 ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 ≠+ + + =+ + ∫ α α α α C bax a dxbax ( ) 0ln 1 ≠++= + ∫ xCbax abax dx Ce a dxe baxbax += ++ ∫ 1 ( ) ( ) Cbax a dxbax ++=+ ∫ sin 1 cos ( ) ( ) Cbax a dxbax ++−=+ ∫ cos 1 sin ( ) ( ) Cbax a dx bax ++= + ∫ tan 1 cos 1 2 ( ) ( ) Cbax a dx bax ++−= + ∫ cot 1 sin 1 2 Cudu += ∫ ( ) 1 1 1 ≠+ + = + ∫ α α α α C u duu ( ) 0ln ≠+= ∫ uCu u du Cedue uu += ∫ ( ) 10 ln ≠<+= ∫ aC a a dxa u u Cuudu += ∫ sincos Cuudu +−= ∫ cossin Cudu u += ∫ tan cos 1 2 Cudu u +−= ∫ cot sin 1 2 I. ĐỔI BIẾN SỐ TÓM TẮT GIÁO KHOA VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN 1. Đổi biến số dạng 2 Để tính tích phân b / a f[u(x)]u (x)dx ò ta thực hiện các bước sau: Bước 1. Đặt t = u(x) và tính / dt u (x)dx= . Bước 2. Đổi cận: x a t u(a) , x b t u(b)= = = = = =Þ a Þ b . Bước 3. b / a f[u(x)]u (x)dx f(t)dt b a = ò ò . Ví dụ 7. Tính tích phân 2 e e dx I x ln x = ò . Giải Đặt dx t ln x dt x = =Þ 2 x e t 1, x e t 2= = = =Þ Þ 2 2 1 1 dt I ln t ln 2 t = = =Þ ò . Vậy I ln 2= . www.VNMATH.com 1 www.VNMATH.com Ví dụ 8. Tính tích phân 4 3 0 cos x I dx (sin x cos x) p = + ò . Hướng dẫn: 4 4 3 3 2 0 0 cos x 1 dx I dx . (sin x cos x) (tan x 1) cos x p p = = + + ò ò . Đặt t tan x 1= + ĐS: 3 I 8 = . Ví dụ 9. Tính tích phân 3 1 2 dx I (1 x) 2x 3 = + + ò . Hướng dẫn: Đặt t 2x 3= + ĐS: 3 I ln 2 = . Ví dụ 10. Tính tích phân 1 0 3 x I dx 1 x - = + ò . Hướng dẫn: Đặt 3 2 2 2 1 3 x t dt t 8 1 x (t 1) - = Þ + + ò L ; đặt t tan u= L ĐS: I 3 2 3 p = - + . Chú ý: Phân tích 1 0 3 x I dx 1 x - = + ò , rồi đặt t 1 x= + sẽ tính nhanh hơn. 2. Đổi biến số dạng 1 Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a;b], để tính ( ) b a f x dx ∫ ta thực hiện các bước sau: Bước 1. Đặt x = u(t) và tính / ( )dx u t dt= . Bước 2. Đổi cận: , x a t x b t α β = ⇒ = = ⇒ = . Bước 3. / ( ) [ ( )] ( ) ( ) b a f x dx f u t u t dt g t dt β β α α = = ∫ ∫ ∫ . Ví dụ 1. Tính tích phân 1 2 2 0 1 I dx 1 x = - ò . Giải Đặt x sin t, t ; dx cos t dt 2 2 p p é ù = - =Î Þ ê ú ë û 1 x 0 t 0, x t 2 6 p = = = =Þ Þ www.VNMATH.com 2 www.VNMATH.com 6 6 2 0 0 cos t cos t I dt dt cos t 1 sin t p p = =Þ - ò ò 6 6 0 0 dt t 0 6 6 p p p p = = = - = ò . Vậy I 6 p = . Ví dụ 2. Tính tích phân 2 2 0 I 4 x dx= - ò . Hướng dẫn: Đặt x 2 sin t= ĐS: I = p . Ví dụ 3. Tính tích phân 1 2 0 dx I 1 x = + ò . Giải Đặt 2 x t an t, t ; dx (tan x 1)dt 2 2 æ ö p p ÷ ç = - = +Î Þ ÷ ç ÷ ÷ ç è ø x 0 t 0, x 1 t 4 p = = = =Þ Þ 4 4 2 2 0 0 tan t 1 I dt dt 4 1 t an t p p + p = = =Þ + ò ò . Vậy I 4 p = . Ví dụ 4. Tính tích phân 3 1 2 0 dx I x 2x 2 - = + + ò . Hướng dẫn: 3 1 3 1 2 2 0 0 dx dx I x 2x 2 1 (x 1) - - = = + + + + ò ò . Đặt x 1 t an t+ = ĐS: I 12 p = . Ví dụ 5. Tính tích phân 2 2 0 dx I 4 x = - ò . ĐS: I 2 p = . Ví dụ 6. Tính tích phân 3 1 2 0 dx I x 2x 2 - = + + ò . ĐS: I 12 p = . 3. Các dạng đặc biệt 3.1. Dạng lượng giác Ví dụ 11 (bậc sin lẻ). Tính tích phân 2 2 3 0 I cos x sin xdx p = ò . Hướng dẫn: www.VNMATH.com 3 www.VNMATH.com Đặt t cos x= ĐS: 2 I 15 = . Ví dụ 12 (bậc cosin lẻ). Tính tích phân 2 5 0 I cos xdx p = ò . Hướng dẫn: Đặt t sin x= ĐS: 8 I 15 = . Ví dụ 13 (bậc sin và cosin chẵn). Tính tích phân 2 4 2 0 I cos x sin xdx p = ò . Giải 2 2 4 2 2 2 0 0 1 I cos x sin xdx cos x sin 2xdx 4 p p = = ò ò 2 2 2 0 0 1 1 (1 cos 4x)dx cos 2x sin 2xdx 16 4 p p = - + ò ò 2 2 2 0 0 1 1 (1 cos 4x)dx sin 2xd(sin 2x) 16 8 p p = - + ò ò 3 2 0 x 1 sin 2x sin 4x 16 64 24 32 p æ ö p ÷ ç = - + = ÷ ç ÷ ç è ø . Vậy I 32 p = . Ví dụ 14. Tính tích phân 2 0 dx I cos x sin x 1 p = + + ò . Hướng dẫn: Đặt x t tan 2 = . ĐS: I ln 2= . Biểu diễn các hàm số LG theo tan 2 a t = : 2 2 2 2 2 1 2 sin ; cos ; tan . 1 1 1 t t t a a a t t t − = = = + + − 3.2. Dạng liên kết Ví dụ 15. Tính tích phân 0 xdx I sin x 1 p = + ò . Giải Đặt x t dx dt= - = -p Þ x 0 t , x t 0= = = =Þ p pÞ ( ) 0 0 ( t)dt t I dt sin( t) 1 sin t 1 sin t 1 p p -p p = - = -Þ - + + +p ò ò 0 0 dt dt I I sin t 1 2 sin t 1 p p p = - =p Þ + + ò ò ( ) ( ) 2 2 0 0 dt dt t t t 2 4 cos sin cos 2 4 2 2 p p p p = = p - + ò ò 2 0 0 t d 2 4 t tan 2 t 2 2 4 cos 2 4 p p æ ö p ÷ ç - ÷ ç ÷ ÷ ç æ ö è ø p p p ÷ ç = = - = p ÷ ç ÷ ÷ ç æ ö è ø p ÷ ç - ÷ ç ÷ ÷ ç è ø ò . www.VNMATH.com 4 www.VNMATH.com Vậy I = p . Tổng quát: 0 0 xf(sin x)dx f(sin x)dx 2 p p p = ò ò . Ví dụ 16. Tính tích phân 2 2007 2007 2007 0 sin x I dx sin x cos x p = + ò . Giải Đặt x t dx dt 2 p = - = -Þ x 0 t , x t 0 2 2 p p = = = =Þ Þ ( ) ( ) ( ) 2007 0 2007 2007 2 sin t 2 I dx sin t cos t 2 2 p p - = -Þ p p - + - ò 2 2007 2007 2007 0 cos t dx J sin t cos t p = = + ò (1). Mặt khác 2 0 I J dx 2 p p + = = ò (2). Từ (1) và (2) suy ra I 4 p = . Tổng quát: 2 2 n n n n n n 0 0 sin x cos x dx dx , n sin x cos x sin x cos x 4 p p + p = = Î + + ò ò Z . Ví dụ 17. Tính tích phân 6 2 0 sin x I dx sin x 3 cos x p = + ò và 6 2 0 cos x J dx sin x 3 cos x p = + ò . Giải I 3J 1 3- = - (1). ( ) 6 6 0 0 dx 1 dx I J dx 2 sin x 3 cos x sin x 3 p p + = = p + + ò ò Đặt t x dt dx 3 p = + =Þ ⇒ 1 I J ln 3 4 + = (2). Từ (1) và (2)⇒ 3 1 3 1 1 3 I ln 3 , J ln 3 16 4 16 4 - - = + = - . Ví dụ 18. Tính tích phân 1 2 0 ln(1 x) I dx 1 x + = + ò . Giải Đặt 2 x t an t dx (1 tan t)dt= = +Þ x 0 t 0, x 1 t 4 p = = = =Þ Þ ( ) 4 4 2 2 0 0 ln(1 tan t) I 1 t an t dt ln(1 tan t)dt 1 t an t p p + = + = +Þ + ò ò . www.VNMATH.com 5 www.VNMATH.com t t u dt du 4 p = - = -ị t 0 u , t u 0 4 4 p p = = = =ị ị 0 4 0 4 I ln(1 t an t)dt ln 1 tan u du 4 p p ộ ổ ửự p ữ ỗ ờ ỳ = + = - + -ị ữ ỗ ữ ữ ỗ ờ ỳ ố ứ ở ỷ ũ ũ 4 4 0 0 1 tan u 2 ln 1 du ln du 1 t an u 1 t an u p p ổ ử ổ ử - ữ ữ ỗ ỗ = + = ữ ữ ỗ ỗ ữ ữ ữ ữ ỗ ỗ ố ứ ố ứ + + ũ ũ ( ) 4 4 0 0 ln 2du ln 1 t an u du ln 2 I 4 p p p = - + = - ũ ũ . Vy I ln 2 8 p = . Vớ d 19. Tớnh tớch phõn 4 x 4 cos x I dx 2007 1 p p - = + ũ . Hng dn: t x t= - S: 2 I 2 = . Tng quỏt: Vi a > 0 , 0>a , hm s f(x) chn v liờn tc trờn on [ ] ; - aa thỡ x 0 f(x) dx f(x)dx a 1 a a - a = + ũ ũ . Vớ d 20. Cho hm s f(x) liờn tc trờn Ă v tha f( x) 2f(x) cos x- + = . Tớnh tớch phõn 2 2 I f(x)dx p p - = ũ . Gii t 2 2 J f( x)dx p p - = - ũ , x t dx dt= - = -ị x t , x t 2 2 2 2 p p p p = - = = = -ị ị [ ] 2 2 2 2 I f( t)dt J 3I J 2I f( x) 2f(x) dx p p p p - - = - = = + = - +ị ị ũ ũ 2 2 0 2 cos xdx 2 cos xdx 2 p p p - = = = ũ ũ . www.VNMATH.com 6 www.VNMATH.com Vy 2 I 3 = . 3.3. Cỏc kt qu cn nh i/ Vi a > 0 , hm s f(x) l v liờn tc trờn on [a; a] thỡ a a f(x)dx 0 - = ũ . ii/ Vi a > 0 , hm s f(x) chn v liờn tc trờn on [a; a] thỡ a a a 0 f(x)dx 2 f(x)dx - = ũ ũ . iii/ Cụng thc Walliss (dựng cho trc nghim) 2 2 n n 0 0 (n 1) !! , n !! cos xdx sin xdx (n 1) !! . , n !! 2 p p ỡ - ù ù ù ù ù = = ớ ù - p ù ù ù ù ợ ũ ũ neỏu n leỷ neỏu n chaỹn . Trong ú n!! c l n walliss v c nh ngha da vo n l hay chn. Chng hn: 0 !! 1; 1!! 1; 2!! 2; 3 !! 1.3; 4 !! 2.4; 5 !! 1.3.5;= = = = = = 6 !! 2.4.6; 7 !! 1.3.5.7; 8 !! 2.4.6.8; 9 !! 1.3.5.7.9; 10 !! 2.4.6.8.10= = = = = . Vớ d 21. 2 11 0 10 !! 2.4.6.8.10 256 cos xdx 11!! 1.3.5.7.9.11 693 p = = = ũ . Vớ d 22. 2 10 0 9 !! 1.3.5.7.9 63 sin xdx . . 10 !! 2 2.4.6.8.10 2 512 p p p p = = = ũ . II. TCH PHN TNG PHN 1. Cụng thc Cho hai hm s u(x), v(x) liờn tc v cú o hm trờn on [a; b]. Ta cú ( ) ( ) / / / / / / uv u v uv uv dx u vdx uv dx= + = +ị ( ) b b b a a a d uv vdu udv d(uv) vdu udv= + = +ị ị ũ ũ ũ b b b b b b a a a a a a uv vdu udv udv uv vdu= + = -ị ị ũ ũ ũ ũ . Cụng thc: b b b a a a udv uv vdu= - ũ ũ (1). Cụng thc (1) cũn c vit di dng: b b b / / a a a f(x)g (x)dx f(x)g(x) f (x)g(x)dx= - ũ ũ (2). 2. Phng phỏp gii toỏn Gi s cn tớnh tớch phõn b a f(x)g(x)dx ũ ta thc hin Cỏch 1. www.VNMATH.com 7 www.VNMATH.com Bước 1. Đặt u f(x), dv g(x)dx= = (hoặc ngược lại) sao cho dễ tìm nguyên hàm v(x) và vi phân / du u (x)dx= không quá phức tạp. Hơn nữa, tích phân b a vdu ò phải tính được. Bước 2. Thay vào công thức (1) để tính kết quả. Đặc biệt: i/ Nếu gặp b b b ax a a a P(x) sin axdx, P(x) cos axdx, e .P(x)dx ò ò ò với P(x) là đa thức thì đặt u P(x)= . ii/ Nếu gặp b a P(x) ln xdx ò thì đặt u ln x= . Cách 2. Viết lại tích phân b b / a a f(x)g(x)dx f(x)G (x)dx= ò ò và sử dụng trực tiếp công thức (2). Ví dụ 1. Tính tích phân 1 x 0 I xe dx= ò . Giải Đặt x x u x du dx dv e dx v e = = ì ì ï ï ï ï Þ í í = ï ï = ï ïî î (chọn C 0= ) 1 1 1 1 x x x x 0 0 0 0 xe dx xe e dx (x 1)e 1= - = - =Þ ò ò . Ví dụ 2. Tính tích phân e 1 I x ln xdx= ò . Giải Đặt 2 dx du u ln x x dv xdx x v 2 ì ï = ï = ì ï ï ï ï Þ í í ï ï = ï ï î = ï ï î e e e 2 2 1 1 1 x 1 e 1 x ln xdx ln x xdx 2 2 4 + = - =Þ ò ò . Ví dụ 3. Tính tích phân 2 x 0 I e sin xdx p = ò . Giải Đặt x x u sin x du cos xdx dv e dx v e = = ì ì ïï ï ï Þ í í ï ï = = ï ï î î 2 2 x x x 2 2 0 0 0 I e sin xdx e sin x e cos xdx e J p p p p = = - = -Þ ò ò . Đặt x x u cos x du sin xdx dv e dx v e = = - ì ì ï ï ï ï Þ í í = ï ï = ï ïî î www.VNMATH.com 8 www.VNMATH.com 2 2 x x x 2 0 0 0 J e cos xdx e cos x e sin xdx 1 I p p p = = + = - +Þ ò ò 2 2 e 1 I e ( 1 I) I 2 p p + = - - + =Þ Þ . Chú ý: Đôi khi ta phải đổi biến số trước khi lấy tích phân từng phần. Ví dụ 7. Tính tích phân 2 4 0 I cos xdx p = ò . Hướng dẫn: Đặt t x= 2 0 I 2 t cos t dt 2 p = = = -Þ p ò L L . Ví dụ 8. Tính tích phân e 1 I sin(ln x)dx= ò . ĐS: (sin 1 cos1)e 1 I 2 - + = . III. TÍCH PHÂN CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI Phương pháp giải toán 1. Dạng 1 Giả sử cần tính tích phân b a I f(x) dx= ò , ta thực hiện các bước sau Bước 1. Lập bảng xét dấu (BXD) của hàm số f(x) trên đoạn [a; b], giả sử f(x) có BXD: x a 1 x 2 x b f(x) + 0 - 0 + Bước 2. Tính 1 2 1 2 b x x b a a x x I f(x) dx f(x)dx f(x)dx f(x)dx= = - + ò ò ò ò . Ví dụ 9. Tính tích phân 2 2 3 I x 3x 2 dx - = - + ò . Giải Bảng xét dấu x 3- 1 2 2 x 3x 2- + + 0 - 0 ( ) ( ) 1 2 2 2 3 1 59 I x 3x 2 dx x 3x 2 dx 2 - = - + - - + = ò ò . Vậy 59 I 2 = . Ví dụ 10. Tính tích phân 2 2 0 I 5 4 cos x 4 sin xdx p = - - ò . www.VNMATH.com 9 www.VNMATH.com ĐS: I 2 3 2 6 p = - - . 2. Dạng 2 Giả sử cần tính tích phân [ ] b a I f(x) g(x) dx= ± ò , ta thực hiện Cách 1. Tách [ ] b b b a a a I f(x) g(x) dx f(x) dx g(x) dx= ± = ± ò ò ò rồi sử dụng dạng 1 ở trên. Cách 2. Bước 1. Lập bảng xét dấu chung của hàm số f(x) và g(x) trên đoạn [a; b]. Bước 2. Dựa vào bảng xét dấu ta bỏ giá trị tuyệt đối của f(x) và g(x). Ví dụ 11. Tính tích phân ( ) 2 1 I x x 1 dx - = - - ò . Giải Cách 1. ( ) 2 2 2 1 1 1 I x x 1 dx x dx x 1 dx - - - = - - = - - ò ò ò 0 2 1 2 1 0 1 1 xdx xdx (x 1)dx (x 1)dx - - = - + + - - - ò ò ò ò 0 2 1 2 2 2 2 2 1 0 1 1 x x x x x x 0 2 2 2 2 - - æ ö æ ö ÷ ÷ ç ç = - + + - - - = ÷ ÷ ç ç ÷ ÷ ç ç è ø è ø . Cách 2. Bảng xét dấu x –1 0 1 2 x – 0 +  + x – 1 – – 0 + ( ) ( ) ( ) 0 1 2 1 0 1 I x x 1 dx x x 1 dx x x 1 dx - = - + - + + - + - + ò ò ò ( ) 1 2 0 2 1 1 0 x x x x 0 - = - + - + = . Vậy I 0= . 3. Dạng 3 Để tính các tích phân { } b a I max f(x), g(x) dx= ò và { } b a J min f(x), g(x) dx= ò , ta thực hiện các bước sau: Bước 1. Lập bảng xét dấu hàm số h(x) f(x) g(x)= - trên đoạn [a; b]. Bước 2. + Nếu h(x) 0> thì { } max f(x), g(x) f(x)= và { } min f(x), g(x) g(x)= . + Nếu h(x) 0< thì { } max f(x), g(x) g(x)= và { } min f(x), g(x) f(x)= . Ví dụ 12. Tính tích phân { } 4 2 0 I max x 1, 4x 2 dx= + - ò . Giải www.VNMATH.com 10 . biến số trước khi lấy tích phân từng phần. Ví dụ 7. Tính tích phân 2 4 0 I cos xdx p = ò . Hướng dẫn: Đặt t x= 2 0 I 2 t cos t dt 2 p = = = -Þ p ò L L . Ví dụ 8. Tính tích phân e 1 I sin(ln x)dx= ò . ĐS:. cosin lẻ). Tính tích phân 2 5 0 I cos xdx p = ò . Hướng dẫn: Đặt t sin x= ĐS: 8 I 15 = . Ví dụ 13 (bậc sin và cosin chẵn). Tính tích phân 2 4 2 0 I cos x sin xdx p = ò . Giải 2 2 4 2 2 2 0. đặt u ln x= . Cách 2. Viết lại tích phân b b / a a f(x)g(x)dx f(x)G (x)dx= ò ò và sử dụng trực tiếp công thức (2). Ví dụ 1. Tính tích phân 1 x 0 I xe dx= ò . Giải Đặt x x u x du dx dv e dx v