CHUY ÊN ĐỀ : GÓC TRONG KHÔNG GIAN VÀ MỘT SỐ DẠNG TOÁN LIÊN QUAN A.Tóm tắt lí thuyết: I.Góc giữa hai đường thẳng: 1.Góc giữa hai đường thẳng a và b được định nghĩa bằng góc giữa hai đường thẳng a’ và b’ cùng đi qua một điểm O và lần lượt song song với a và b. 2. // ' // ' a a b b    thì góc giữa hai đường thẳng a và b bằng góc giữa hai đường thẳng a’và b’ 3.Góc giữa hai đường thẳng luôn không tù. II.Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng: 1. Cho đường thẳng V và mặt phẳng ( ) α . Nếu V không vuông góc với ( ) α , khi đó góc giữa chúng được định nghĩa bằng góc giữa V và hình chiếu vuông góc V ’ của V lên mặt phẳng ( ) α . 2. Góc giữa một đường thẳng và một mặt phẳng luôn tù. 3. Cho m là một đường thẳng bất kì trong mặt phẳng ( ) α .khi đó góc giữa đường thẳng ∆ và ( ) α không lớn hơn góc giữa hai đường thẳng ∆ và m. Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi hoặc ∆ ⊥ (α) hoặc m // ∆’ ( ở đó ∆’ là hình chiếu vuông góc của ∆ lên (α)). 4. Nếu ∆ // a và (α) // (P) thì góc giữa đường thẳng ∆ và (α) bằng góc giữa đường thẳng a và (P). 5. Cho đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (α). Khi đó với mọi đường thẳng ∆ ta có tổng góc giữa đường thẳng ∆ và mặt phẳng (α) và góc giữa hai đường thẳng ∆ và a bằng 90 o . 1 · ( ) · ( ,( )) , 90 o a α + = V V 6 .Cho hai mặt phẳng (α) và (β) vuông góc với nhau. Khi đó với mọi đường thẳng ∆ ta có: · · ( ,( )) ( ,( )) 90 o α β + = V V . 7. Gọi A’,B’ lần lượt là hình chiếu vuông góc của A, B xuống mặt phẳng (α). Khi đó ¼ ' ' cos( ,( ))A B AB AB α = . Do đó ' 'A B AB ≤ , dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi AB song song với (α) hoặc nằm trên (α). III.Góc giữa hai mặt phẳng: 1.Cho hai mặt phẳng (α) và (β). a) Nếu (α) và (β) trùng nhau hoặc song song với nhau, ta nói góc giữa chúng bằng 0. b) Nếu (α) và (β) cắt nhau theo giao tuyến m. Lấy hai đường thẳng a và b lần lượt thuộc (α) và (β) và vùng vuông góc với đường thẳng m tại O. Khi đó góc giữa (α) và (β) được định nghĩa bằng góc giữa hai đường thẳng a và b. 2.Góc giữa hai đường thẳng luông không tù. 3. Nếu ( )//( ') ( ) //( ') α α β β    Thì · · (( ),( )) (( '),( ')) α β α β = . 4.Nếu ( ) ( )a α β ⊥   ⊥  V thì ¶ · ( , ) (( ),( ))a α β = V . 5.Nếu ( ) ( ) α β ⊥ thì · 0 (( ),( )) 90 α β = . 6.Trong mặt phẳng (β) cho hình H có diện tích S(H). Gọi H’ là hình chiếu vuông góc của H xuống mặt phẳng (α). Khi đó diện tích S(H’) của H’ được tính bằng công thức S(H) = S(H’). · os(( ),( ))C α β . Do đó S(H) ≤ S(H’). 2 B.Một số dạng toán liên quan: I.GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG: Bài 1: Cho hình chóp đều S.ABCD, đáy có cạnh bằng a và có tâm O.Gọi M,N lần lượt là trung điểm của SA,BC.Biết góc giữa MN và (ABCD) bằng 60 o . Tính MN,SO và · ( ,( ))MN SAO . Hướng dẫn giải: Gọi P là trung điểm AO. Khi đó MP // SO và SO ⊥ (ABCD) do đó: · · ( ,( D)) 60 .MN ABC MNP= = o Trong V NCP theo định lí hàm số cosin ta có 2 2 2 2 5 2 . .cos45 . 8 a NP CN CP CN CP= + − = o Trong tam giác vuông MNP ta có 5 os60 2 PN MN a c = = o và PM=PN.tan 60 o 15 15 2 8 2 a SO MP a= ⇒ = = . Gọi H là trung điểm của OC.Suy ra NH // BD mà BD ⊥ (SAC). Do đó · · ( ,( )) .MN SAC NMH= Ta có 1 2 5 , . 2 4 2 a NH OB MN a= = = Do đó trong tam giác vuông MHN ta có · 1 sin . 2 5 NH NMH MN = = Vậy góc giữa MN và mặt phẳng (SAC) bằng α thỏa mãn 1 sin ,0 . 2 2 5 π α α = ≤ ≤ 3 Bài 2 : Cho hình lăng trụ đều ABC.A’B’C’, đáy có cạnh bằng a,cạnh bên có độ dài bằng b.Gọi M là trung điểm của AB và α là góc tạo bởi đường thẳng MC’ và mặt phẳng (BCC’B’).Tính tan α . Hướng dẫn giải: Gọi M’,N lần lượt là trung điểm của A’B’ và BC. Gọi P là trung điểm của BM. Ta có AN ⊥ BC và AN ⊥ BB’ nên AN ⊥ (BCC’B’). Do đó α = · 'MC P . Ta có 1 3 . 2 4 a MP AN= = 2 2 2 2 2 2 3a ' ' ' ' 4 9a ' . 16 MC MM M C b PC b = + = + ⇒ = + Trong tam giác vuông C’PM ta có tan α = 2 2 3 . ' 16 9a MP a PC b = + 4 Bài 3: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Điểm M thuộc BC’, N’ thuộc đoạn AB’. Đường thẳng MN tạo với mặt phẳng (ABCD) góc α. Chứng minh rằng : 2 os +sin a MN c α α ≥ H ướng dẫn giải: Gọi M’, N’ lần lượt là hình chiếu của M,N trên (ABCD). Không mất tính tổng quát giả sử ' 'MM NN < . { } ' 'P MN M N= ∩ . Khi đó: MM’=BM’, NN’=AN’=a – BN’, MN=PN – PM ⇒ MNcosα = ( PN – PM )cosα = PNcosα – PMcosα = PN’ – PM’ = M’N’. ⇒ M’N’= MNcosα Do đó : M’N’ = 2 2 ' 'BN BM+ = MNcosα (1) Ta có MNsinα = PNsinα – PMsinα = NN’ – MM’ =a – BN’ – BM’ = a- (BN’ + BM’) (2) Từ (1) và (2) suy ra 2 2 ( 2 os sin ) 2( ' ' ) ( ' ')MN c BN BM a BN BM α α + = + + − + ( ' ') ( ' ')BN BM a BN BM a≥ + + − + = ( do 2 2 2 2( ) ( )a b a b+ ≥ + ) ⇒ 2 os +sin a MN c α α ≥ (đpcm) 5 Bài 4: Cho hình chóp S.ABC có ABC là tam giác cân AB=AC=a. · BAC = α ,biết SA,SB,SC đều hợp với mp(ABC) góc α .Gọi O là tâm vòng (ABC). a)CM: O trùng với hc của S lên mp(ABC) b)Tính d(S,(ABC)). Hướng dẫn giải: a) Gọi I là hinh chiếu của S lên (ABC), theo giả thiết, ta có: · · · = = = αSAI SBI SCI (1) Các tam giác SAI,SBI,SCI có chung cạnh góc vuông SI và thỏa (1) nên bằng nhau . Vậy IA=IB=IC ⇒ I O ≡ . b) Ta có : AC=2R.sinB (Đl hàm sin trong ABCV ) ⇒ a=2R.sin( 90 2 α − o )= 2R. os 2 c α ⇒ R= 2 os 2 a c α ⇒ IB= 2 os 2 a c α ( ,( ))d S ABC SO= ( ( ))SO ABC⊥ = IB tan α ( # SOB vuông) = 2a sin os a sin a tan 2 2 2 os 2 os 2 os os 2 2 c c c c c α α α α α α α α = = 6 Bài 5: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a. AA’ ⊥ (ABC).Đường chéo BC’ của mặt bên BCC’B’ hợp với (ABB’A’) góc 30 o . Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AC và BB’. a)Tính AA’ b) góc[MN,(BA’C’)]. Hướng dẫn giải: Tính AA’: Gọi I là trung điểm A’B’, ta có: C’I ⊥ A’B’ ( ' ' 'A B CV đều) Mà C’I ⊥ AA’ (AA’ ⊥ (A’B’C’)) Vậy C’I ⊥ (ABB’A’) (1) ⇒ /( ' ) ' ABB C BI hcBC= ⇒ · ' 30IBC ° = Mặt khác (1) ⇒ C’I ⊥ IB ⇒ 'IC BV vuông tại I ⇒ ' ' 3 sin 30 C I BC a ° = = ' 'BB CV vuông: ⇒ BB’= 2 2 2 2 ' ' ' 3a 2.BC B C a a− = − = b)Tính góc[MN,(BA’C’)]. Gọi J là trung điểm của A’C’ H là hình chiếu của M lên BJ. Trong hình thang BNJM,MN cắt BJ tại K.K cũng là giao diểm của MN và(B’A’C’). Mặt khác , /( ' ')BA C hcM H BJ= ∈ 7 ⇒ góc [MN,(BA’C’)]= · · ,MKH MN BJ= uuuur uuur Ta có . ( ).( . ')MN BJ MB BN BM BB= + uuuur uuur uuur uuur uuuur uuur 2 2 2 . . ' . . ' 3a 0 0 4 4 MB BM MB BB BN BM BN BB a a = + + + − = + + + = uuur uuuur uuur uuur uuur uuuur uuur uuur ⇒ MN.BJ.cos( ,MN BJ uuuur uuur )= 2 4 a (2) Mà : 2 2 2 2 2 2 2 2 3a a 5 4 2 2 3a 11 2a 4 2 a MN BM BN a BJ BM MJ = + = + = = + = + = Vậy (3) ⇒ 2 55 4 a .cos( ,MN BJ uuuur uuur )= 2 4 a ⇒ cos( ,MN BJ uuuur uuur )= 1 55 >0. Vậy góc[MN,(BA’C’)] = góc( ,MN BJ uuuur uuur ) = arccos 1 55 . 8 Bài 6: Cho hình lăng trụ ABC,A’B’C’ đáy ABC vuông cân tại A. AA’ ⊥ (ABC).Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AB và B’C’.Biết rằng MN=a và góc[MN,(ABC)]= α , góc[MN,(BCC’B’)]= β . a)Tính các cạnh đáy và cạnh bên của lăng trụ theo a, α . b)CMR: cos α = 2 sin β . Hướng dẫn giải: a/ Gọi I là trung điểm BC, Ta có MN ⊥ (ABC) ⇒ /( )ABC MI hcMN= ⇒ · IMN α = · IMN α = MINV MINV vuông tại I. ⇒ MI=MN.cos α =a.cos α (1) IN=MN.sin α =a.sin α (2) Từ (1) ⇒ AB=2a.cos α ( MI là đường trung bình ABCV ) BC=2a 2 .cos α (3) ( ABCV vuông cân) Từ (2) ⇒ AA’=BB’=CC’=a.sin α .( IN = AA’) b)Ta có: MI // AC, MI=AC/2 ⇒ MI ⊥ AB,MI=MB ⇒ MIBV vuông cân (4) Gọi J là trung điểm BI thì MJ ⊥ BI Mà MJ ⊥ BB’ (BB’ ⊥ (ABC)) Do đó MJ ⊥ (BCC’B’) ⇒ /( ' ')BCC B JN hcMN= ⇒ · MNJ β = . Ta có MJNV vuông ⇒ MJ=MN.sin β =a.sin β ⇒ BI=2MJ=2asin β (do (4)) ⇒ BC=2BI=4asin β (5) Từ (3) và (5) ⇒ 2a 2 .cos α = 4asin β ⇒ cos α = 2 sin β . 9 Bài 7: Cho tứ diện ABCD có ba mặt ABC,ACD,ADB vuông tại A.M là một điểm ở trong tam giác BCD.Gọi α , β , γ lần lượt là góc giữa AM và các mặt phẳng (ABC),(ACD), (ADB). CMR: 2 2 2 sin sin sin 1 α β λ + + = . Hướng dẫn giải: Từ M dựng các đoạn vuông góc MH,MK,ML từ M đến các mặt phẳng (ABC),(ACD), (ADB) theo thứ tự. Ta có: /( ) /( D) /( ) ABC AC ABD AH hcAM AK hcAM AL hcAM = = = ⇒ · · · α = β = λ =MAH, MAK, MAL Các tam giác vuông MAH,MAK,MAL cho: sin ,sin ,sin MA MK ML AM AM AM α β λ = = = ⇒ 2 2 2 2 2 2 2 sin sin sin MH MK ML AM α β λ + + + + = Lần lượt dựng các đoạng vuông góc HJ,HI từ H đến AB,AC thì AJHI là hình chữ nhật. Mặt khác, ta có HI ⊥ AC Mà HI ⊥ AD (AD ⊥ (ABC)) Do đó HI ⊥ (ACD) ⇒ HI là khoảng cách Từ I đến (ACD) ⇒ HI = MK (MK//AD ⇒ MH // (ACD) ) Tương tự : HJ = ML Từ đó 2 2 2 2 2 2 2 sin sin sin MH MK ML AM α β λ + + + + = 2 2 2 2 MH HI HJ AM + + = 2 2 2 1 MH AH AM + = = ( AMH∆ vuông). 10 [...]... SHC = ⇒ α = 60o SSBC 2 Ta có : SSBC = Câu 1 7: Cho tam giác đều ABC cạnh a Dựng hai đoạn AA’,CC cùng vng góc với (ABC) và nằm cùng phía đối với (ABC), AA = CC ’= a Tính góc giữa hai mp (A’BC) và (C’BA) Hướng dẫn giải: Gọi O là giao điểm của AC’ và CA’; H là trung điểm của AC Ta c : AC ⊥ OB.Hạ HI ⊥ OB, suy ra OB ⊥ (ACI) và góc giữa (A’BC) và (C’BA) là góc giữa IA và IC Ta c : OH//AA’ ⇒ OH ⊥ (ABC) ⇒ OH... = Bài 1 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là nữa lục giác đều nội tiếp đường tròn đường kính AB = 2a, SA vng góc với mặt phẳng (ABCD) và SA = a 3 a) Tính góc giữa (SAD) và (SBC) b) Tính góc giữa (SBC) và (SCD) Hướng dẫn giải: a) Gọi I = AD ∩ BC =>SI là giao tuyến của (SAD) và (SBC) 14  BD ⊥ AD => BD ⊥ ( SAD) => BD ⊥ SI Ta có :   BD ⊥ SA Dựng DE ⊥ SI tại E => ( BDE ) ⊥ SI · Suy ra BED là góc giữa... (ABCD) nên: CD ⊥ (SAC) ⇒ CD ⊥ AI Ta c : AI ⊥ SC và CD ⇒ AI ⊥ (SCD) b) Ta có giao tuyến của (ABCD) và (SCD) là CD Theo câu a), CD ⊥ (SAC) nên CD ⊥ AC và CD ⊥ SC · Do đó góc giữa (ABCD) và (SCD) là α = SCA Mà tam giác SAC vng cân tại A nên α = 45o Ta có AD ⊥ AB và SA,nên AD ⊥ (SAB) Theo cmt, AI ⊥ (SCD).Vậy góc giữa (SAB) và (SCD) là β =góc (AI,AD) · Vì AI ⊥ (SDC) nên AI ⊥ ID.Tam giác AID vng tại I và cos...II.GĨC GIỮA HAI MẶT PHẲNG: Bài 8: Cho hình vng ABCD cạnh a, trong mp(P).Hai điểm M,N di động trên CB và CD, Đặt CM=x,CN=y.Trên đường thẳng At vng góc với (P) lấy điểm S.Tìm liên hệ giữa x,y để a) (SAM) và (SAN) tạo nhau góc 45o b) (SAM) ⊥ (SMN) Hướng dẫn giải: a) Do SA ⊥ (ABCD) nên SA ⊥ AM và SA ⊥ AN · Suy ra MAN là góc giữa hai mặt phẳng (SAM) và (SAN) · ⇒ MAN = 45o Ta có · MN 2 = MA2... arctan ⇒ AIC = π − 2arctan 3 3 · tan AIH = Bài 1 8: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vng ABCD cạnh a, Sa vng góc với mp đáy và SA=x Tính x để hai mp (SBC) và (SDC) tạo với nhau góc 60o Hướng dẫn giải: Hạ AM ⊥ SB,ta chứng minh được AM ⊥ (SBC) Tương tự hạ AN ⊥ SD, ta có AN ⊥ (SCD) và AM=AN Suy ra: góc[ (SBC),(SCD)]= 60o ⇔ góc (AM,AN)= 60o ⇔ tam giác AMN đều ⇔ MN=AM ax Ta tính được AM= 2 , a + x2 MN SM... Ox,Oy,Oz khơng cùng nằm trên một mặt phẳng thỏa điều kiện: xOy = · · 90o , xOz = yOz = 60o Tìm số đo của góc giữa hai mặt phẳng (xOz) và (yOz) Hướng dẫn giải: Trên Ox, Oy lấy A,B sao cho OA=OB=a Vẽ AC ⊥Oz, ta có hai tam giác OAC và OBC bằng nhau (vì OA=OB,OC chung, · · AOC = BOC = 60o ) ⇒ BC ⊥ Oz Do đó α =(CA,CB) là góc tạo bởi hai mặt phẳng (xOz) và (yOz) Trong tam giác ABC: AB 2 = AB 2 + BC 2 − 2AC.BC.cos... 2, AC = BC = cos · AOB = 3 2 Vậy góc giữa hai mp (xOz) và (yOz) có số đo là α xác định bởi cosα = 1 hay α =acrcos 3 Bài 2 3: Cho 3 tia Ox, Oy, Oz khơng cùng nằm trong 1 mặt phẳng thỏa · · xOy = 90o , xOz = ·yOz = 60o Tính góc tạo bởi (xOz) và (yOz) 23 1 3 Hướng dẫn giải: Gọi α là góc tạo bởi (xOz) và (yOz) Lấy A∈ Ox,B ∈ Oy sao cho OA = OB = a Dựng AC ⊥ Oz Ta có : # OAC =# OBC ( OA = OB, OC cạnh chung,... 2 2 2 4 2 1 1 a a 3 SABC = AH.BC = a 3 = 2 2 2 4 Ta c : Gọi α là góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (AB/I), theo công thức chiếu, ta c : cos α = SABC a2 3 a2 10 30 = : = SAB/ I 4 4 10 Cách 2: Gọi H là trung điểm BC ⇒ AH ⊥ BC ∆ ABH là nửa tam giác đều cạnh AB = a ⇒ AH = a a 3 và BH = ⇒ BC = a 3 2 2 Dựng hệ trục Axyz, với Ax, Ay, Az đôi một vuông góc, A(0; 0; 0), a A/ B/ I C A z 12 C/ z 60o H B y a 3... Khi đó : 1 m +1 = 3 ⇔ m +1= 3 2 2 D ⇔ m = 2 · NÕu DBC ' = 1200 ¸p dơng ®Þnh lý cosin cho ∆BDC ' suy ra m = 0 (lo¹i) VËy m = 2 27 A’ m B’ 1 120 0 3 C’ Bài 2 7: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a, AA’ vng góc với AB và AC, cạnh AA’ = a 5 Tính góc giữa AB’ và BC’ Hướng dẫn giải: r uuu r uuu r uuuu r r r Đặt a = AB, b = AC,c = AA ' Ta có : uuur r r u uuuu r r r r AB ' = a + c và BC... HK ⊥ PM (trong mp(ABCD)) => SK ⊥ PM ( định lí 3 đường vng góc) Do MP // DN nên : · · · ( SM , DN ) = ( SM , MP) = SMK = α MK · Ta có : Cos( SM , DN ) = Cosα = SM AB =a Ta có : SM = 2 · Mặt khác : MK = HMCosHMK a AM = 2 PM a a a = 5 = 2 a2 a2 + 4 a 5 => · Cos( SM , DN ) = 5 = a 5 5 · => ( SM , DN ) = arccos 5 Vậy góc giữa hai đường thằng SM và DN là arccos 29 5 5 IV.SỐ ĐO NHỊ DIỆN Bài 2 9: Cho hình . CHUY ÊN ĐỀ : GÓC TRONG KHÔNG GIAN VÀ MỘT SỐ DẠNG TOÁN LIÊN QUAN A.Tóm tắt lí thuyết: I .Góc giữa hai đường thẳng: 1 .Góc giữa hai đường thẳng a và b được định nghĩa bằng góc giữa hai đường. S(H’). 2 B .Một số dạng toán liên quan: I.GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG: Bài 1: Cho hình chóp đều S.ABCD, đáy có cạnh bằng a và có tâm O.Gọi M,N lần lượt là trung điểm của SA,BC.Biết góc giữa MN và. luôn không tù. II .Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng: 1. Cho đường thẳng V và mặt phẳng ( ) α . Nếu V không vuông góc với ( ) α , khi đó góc giữa chúng được định nghĩa bằng góc giữa V và