PHÒNG GD – ĐT HUYỆN LƯƠNG TÀI TRƯỜNG THCS THỊ TRẤN THỨA ĐỀ THI HSG CẤP HUYỆN Môn Toán 8 - Thời gian: 150 phút (Không kể thời gian giao đề) Bài 1: (2 điểm) . Cho đa thức P(x) = (48x 2 + 8x - 1)(3x 2 + 5x + x) - 4 1) Phân tích đa thức P(x) thành nhân tử. 2) Tìm giá trị nhỏ nhất của P(x). Bài 2: (2 điểm). Cho biểu thức A = 2 3 a 6 1 a 2 a 1 : a 4a 6 3a a 2 a 1 a 2   − −   + + −  ÷  ÷ − − + + +     với { } a 1;0; 2≠ − ± 1) Rút gọn A 2) Tìm các giá trị của a để A < 0 3) Tìm các giá trị nguyên của a để A nhận giá trị nguyên. Bài 3: (2 điểm) Cho x , y , z là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng: ( ) 1 1 1 3(x y)(y z)(z x) x y z 9 x y z xyz   − − − + + + + + ≥  ÷   Bài 4: (4 điểm) Cho hình vuông ABCD. Trên tia đối của tia CB lấy điểm E, trên tia đối của tia DC lấy điểm F sao cho BE = DF. Đường thẳng qua E song song với AF cắt đường thẳng qua F song song với AE tại H. Chứng minh rằng: 1) Tứ giác AEHF là hình vuông 2) CH là tia phân giác của góc ECF 3) AC CH⊥ ĐỀ SỐ 1 HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ SỐ 1 Nội dung Số điểm Bài 1: 1) P(x) = ( ) ( ) ( ) ( ) 4x 1 12x 1 3x 2 x 1 4+ − + + − = ( ) ( ) 2 2 12x 11x 2 12x 11x 1 4+ + + − − 0,25 0,25 Đặt 2 12x 11x 2 t+ + = => P(x) = (t + 1)(t - 4) => P(x) = ( ) ( ) 2 2 12x 11x 3 12x 11x 2 + + + − 0,25 0,25 2) P(x) = 2 2 3 25 25 t 3t 4 t 2 4 4   − − = − − ≥ −  ÷   . 1,0 Bài 2: 1) A = 2 a 6 1 (a 2)(a 2) (a 1)(a 1) : a(a 2)(a 2) 3(a 2) a 2 (a 1)(a 2)   − + − − + − +  ÷ − + − + + +   0,5 Rút gọn được A = 2(a 1) a 2 + − 0,5 2) A < 0 <=> 2 trường hợp a + 1 > 0 và a - 2 < 0 ; a + 1 < 0 và a - 2 > 0 0,25 Kết quả: 1 a 0 2− < ≠ < 0,25 3) Để A nguyên khi và chỉ khi a – 2 là ước của 6, a là số nguyên 0,25 Giải được a { } 4;1;3;4;5;8∈ − 0,25 Bài 3: Chứng minh bổ đề: Nếu a + b + c = 0 thì 3 3 3 a b c 3abc+ + = 0,75 ( ) 1 1 1 3(x y)(y z)(z x) x y z 9 x y z xyz   − − − + + + + + ≥  ÷   <=> ( ) ( ) ( ) 3 3 3 x y y z z x x y y z z x 2 2 2 9 y x z y x z xyz − + − + −       + − + + − + + − + ≥  ÷  ÷  ÷       <=> ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 x y z x y y z x y z z x y z x 0 xyz − + − + − + − + − + − ≥ (1) 0,5 0,5 Bất đẳng thức (1) đúng vì x, y, z là ba cạnh của một tam giác. Dấu “=” xảy ra <=> x = y = z <=> tam giác đều 0,25 Bài 4: H D A C B F I E K 1) AEHF là hình bình hành 0,75 ABE ADF ∆ = ∆ 0,25 => AE = AF và · 0 EAF 90= => AEHF là hình vuông 0,5 0,25 2) kẻ HI ⊥ BC ; HK ⊥ CD HKF HIE∆ = ∆ => HK = HI => CH là phân giác của · ECF 0,5 0,5 0,25 3) Chỉ ra AC là phân giác của góc BCD => AC ⊥ CH 0,75 0,25 PHÒNG GD – ĐT HUYỆN LƯƠNG TÀI TRƯỜNG THCS THỊ TRẤN THỨA ĐỀ THI HSG CẤP HUYỆN Môn Toán 8 - Thời gian: 150 phút (Không kể thời gian giao đề) Bài 1: (3 điểm) Cho a + b + c = 1 và 2 2 2 a b c 1+ + = 1) Chứng minh rằng: nếu x y z a b c = = thì xy + yz + zx = 0 2) Hãy tính giá trị a , b , c nếu cho thêm điều kiện 3 3 3 a b c 1+ + = Bài 2: (2 điểm) 1) Giải phương trình 2 (x 2)(x 2)(x 10) 72+ − − = 2) Tìm GTLN của biểu thức: 2 x A (x 2007) = + (với x > 0) Bài 3: (1 điểm) Cho x , y , z là ba cạnh của một tam giác thỏa mãn: y z x 1 1 1 8 x y z       + + + =  ÷  ÷  ÷       Chứng minh rằng tam giác đó là tam giác đều. Bài 4: (2 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH, trung tuyến BM và phân giác CD cắt nhau tại một điểm. Chứng minh rằng: 1) BH CM AD . . 1 HC MA DB = 2) BH = AC Bài 5: (2 điểm) Cho O là một điểm nằm ở miền trong của tam giác ABC. Các tia AO , BO , CO theo thứ tự cắt các cạnh BC , CA , AB lần lượt tại các điểm P , Q , R. Chứng minh rằng: OA OB OC 2 AP BQ CR + + = ĐỀ SỐ 2 HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ SỐ 2 Nội dung Số điểm Bài 1: 1) Chỉ ra x y z x y z a b c = = = + + 0,5 Suy ra ( ) 2 2 2 2 x y z x y z+ + = + + 0,5 => xy + yz + zx = 0 0,5 2) ( ) ( ) 2 2 2 2 a b c a b c 0 ab bc ca 0+ + − + + = <=> + + = (1) 0,5 ( ) ( ) 2 2 2 a b c a b c 1+ + + + = <=> ab + bc + ca - 3abc = 0 (2) 0,5 Từ (1) và (2) kết hợp với các điều kiện của bài suy ra trong ba số a, b, c có hai số bằng 0 và một số bằng 1. 0,5 Bài 2: 1) PT <=> ( ) ( ) 2 2 x 4 x 10 72 − − = 0,25 Đặt x 2 = t dẫn tới PT : 2 t 6t 72 0 t 6 ; t 12− − = <=> = − = 0,5 Giải ra được x = 4 ; x = - 4 0,25 2) Có : ( ) 2 x 2007 4x.2007+ ≥ 0,25 Vì x > 0 nên ( ) 2 x x 1 4x.2007 8028 x 2007 ≤ = + 0,25 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = 2007 0,25 Vậy Max 1 A x 2007 8028 = ⇔ = 0,25 Bài 3: ĐK đầu bài <=> x y y z z x 2 2 2 0 y x z y x z       + − + + − + + − =  ÷  ÷  ÷       0,5 <=> ( ) ( ) ( ) 2 2 2 x y y z z x 0 xy yz xz − − − + + = 0,5 <=> x = y = z <=> tam giác đã cho là tam giác đều 0,5 Bài 4: 1) Qua A kẻ đường thẳng EF song song với BC Chỉ ra được BH AE MC BC DA AE ; ; HC AF MA AE DB BC = = = 0,75 Nhân vế với vế các đẳng thức suy ra điều phải chứng minh 0,25 B C A H M D E F 2) CD là phân giác của góc C nên ta có: DA CA DB CB = 0,25 Vì MA = MC nên: HB MC DA HB DA . . . 1 HC MA DB HC DB = = 0,25 => HB.CA = HC.CB = AC 2 => BH = AC 0.5 Bài 5: Đặt 1 OBC S S= ; 2 OAC S S= ; 3 OAB S S= ; ABC S S= O B C A P Q R K H Kẻ AH ⊥ BC ; OK ⊥ BC => AH // OK 0,25 Có 1 1 2 3 OP OK S AP OP S S OA S S AP AH S AP S AP S − − + = = => = => = (1) 0,75 Tương tự: 1 3 OB S S BQ S + = (2) ; 1 2 OC S S BR S + = (3) 0,5 Cộng vế với vế của (1) ; (2) và (3) ta được điều phải chứng minh 0,5 . PHÒNG GD – ĐT HUYỆN LƯƠNG TÀI TRƯỜNG THCS THỊ TRẤN THỨA ĐỀ THI HSG CẤP HUYỆN Môn Toán 8 - Thời gian: 150 phút (Không kể thời gian giao đề) Bài 1: (2 điểm) . Cho đa thức. => AC ⊥ CH 0,75 0,25 PHÒNG GD – ĐT HUYỆN LƯƠNG TÀI TRƯỜNG THCS THỊ TRẤN THỨA ĐỀ THI HSG CẤP HUYỆN Môn Toán 8 - Thời gian: 150 phút (Không kể thời gian giao đề) Bài 1: (3 điểm) Cho a + b