Bài tập toán cao cấp III

Thông tin tài liệu

NGUYÊÑ THUY’THANHBÀI TÂ.PTOÁN CAO CÂ´PTâ.p3Phép t´ınh t´ıch phân. Lý thuyê´t chuô˜i.Phu.o.ng tr`ınh vi phânNHÀXUÂ´TBA’NDA.IHO.CQUÔĆ GIA HÀNÔ.I Mu.clu.c10 T´ıch phân bâ´tdi.nh 410.1 Các phu.o.ng pháp t´ınh t´ıch phân . . . . . . . . . . . . 410.1.1 Nguyên hàm và t´ıch phân bâ´tdi.nh . 410.1.2 Phu.o.ng pháp dô’ibiêń 1210.1.3 Phu.o.ng pháp t´ıch phân tù.ng phâ`n . 2110.2 Các ló.p hàm kha’t´ıch trong ló.p các hàm so.câ´p 3010.2.1 T´ıch phân các hàm h˜u.uty’ 3010.2.2 T´ıch phân mô.tsô´hàm vô ty’do.n gia’n . 3710.2.3 T´ıch phân các hàm lu.o ng giác . . . . . . . . . . 4811 T´ıch phân xác di.nh Riemann 5711.1 Hàm kha’t´ıch Riemann và t´ıch phân xác di.nh . . . . . 5811.1.1 D-i.nhngh˜ıa 5811.1.2 D-iêùkiê.ndê’hàm kha’t´ıch 5911.1.3 Các t´ınh châ´tco.ba’ncu’a t´ıch phân xác di.nh . . 5911.2 Phu.o.ng pháp t´ınh t´ıch phân xác di.nh . 6111.3 Mô.tsô´ú.ng du.ng cu’a t´ıch phân xác di.nh 7811.3.1 Diê.n t´ıch h`ınh ph˘a’ng và thê’t´ıch vâ.tthê’ 7811.3.2 T´ınh dô.dài cung và diê.n t´ıch m˘a.t tròn xoay . . 8911.4 T´ıch phân suy rô.ng 9811.4.1 T´ıch phân suy rô.ng câ.n vô ha.n . 9811.4.2 T´ıch phân suy rô.ng cu’a hàm không bi.ch˘a.n . . 107 2MU.CLU.C12 T´ıch phân hàm nhiêùbiêń 11712.1 T´ıch phân 2-ló.p 11812.1.1 Tru.ò.ng ho pmiê`nch˜u.nhâ.t .11812.1.2 Tru.ò.ng ho pmiê`ncong 11812.1.3 Mô.t vài ú.ng du.ng trong h`ınh ho.c 12112.2 T´ıch phân 3-ló.p 13312.2.1 Tru.ò.ng ho pmiê`n h`ınh hô.p .13312.2.2 Tru.ò.ng ho pmiê`ncong 13412.2.3 13612.2.4 Nhâ.nxétchung 13612.3 T´ıch phân du.ò.ng . 14412.3.1 Các di.nh ngh˜ıa co.ba’n 14412.3.2 T´ınh t´ıch phân du.ò.ng 14612.4 T´ıch phân m˘a.t 15812.4.1 Các di.nh ngh˜ıa co.ba’n 15812.4.2 Phu.o.ng pháp t´ınh t´ıch phân m˘a.t 16012.4.3 Công thú.c Gauss-Ostrogradski . . . . . . . . . 16212.4.4 Công thú.cStokes .16213 Lý thuyê´t chuô˜i 17713.1 Chuô˜isô´du.o.ng 17813.1.1 Các di.nh ngh˜ıa co.ba’n 17813.1.2 Chuô˜isô´du.o.ng 17913.2 Chuô˜ihô.itu.tuyê.tdôívàhô.itu.không tuyê.tdôí . . . 19113.2.1 Các di.nh ngh˜ıa co.ba’n 19113.2.2 Chuô˜idan dâú và dâúhiê.u Leibnitz . . . . . . 19213.3 Chuô˜il˜uy thù.a 19913.3.1 Các di.nh ngh˜ıa co.ba’n 19913.3.2 D-iêùkiê.n khai triê’nvàphu.o.ng pháp khai triê’n 20113.4 Chuô˜iFourier . 21113.4.1 Các di.nh ngh˜ıa co.ba’n 211 MU.CLU.C313.4.2 Dâúhiê.udu’vê`su hô.itu.cu’a chuô˜i Fourier . . . 21214 Phu.o.ng tr`ınh vi phân 22414.1 Phu.o.ng tr`ınh vi phân câ´p1 . 22514.1.1 Phu.o.ng tr`ınh tách biêń 22614.1.2 Phu.o.ng tr`ınh d˘a’ng câ´p . 23114.1.3 Phu.o.ng tr`ınh tuyêńt´ınh . 23714.1.4 Phu.o.ng tr`ınh Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . 24414.1.5 Phu.o.ng tr`ınh vi phân toàn phâ`n 24714.1.6 Phu.o.ng tr`ınh Lagrange và phu.o.ng tr`ınh Clairaut25514.2 Phu.o.ng tr`ınh vi phân câ´pcao 25914.2.1 Các phu.o.ng tr`ınh cho phép ha.thâ´pcâ´p 26014.2.2 Phu.o.ng tr`ınh vi phân tuyêń t´ınh câ´p2vó.ihê.sô´h˘a`ng 26414.2.3 Phu.o.ng tr`ınh vi phân tuyêń t´ınh thuâ`n nhâ´tcâ´p nnn (ptvptn câ´p nnn)vó.ihê.sô´h˘a`ng . . . . . . 27314.3 Hê.phu.o.ng tr`ınh vi phân tuyêń t´ınh câ´p1vó.ihê.sô´h˘a`ng29015 Khái niê.mvê`phu.o.ng tr`ınh vi phân da.o hàm riêng 30415.1 Phu.o.ng tr`ınh vi phân câ´p 1 tuyêń t´ınh dôívó.i các da.ohàmriêng . 30615.2 Gia’iphu.o.ng tr`ınh da.o hàm riêng câ´p2do.n gia’n nhâ´t 31015.3 Các phu.o.ng tr`ınh vâ.tlý toán co.ba’n 31315.3.1 Phu.o.ng tr`ınh truyê`n sóng . . . . . . . . . . . . 31415.3.2 Phu.o.ng tr`ınh truyê`n nhiê.t 31715.3.3 Phu.o.ng tr`ınh Laplace . . . . . . . . . . . . . . 320Tài liê.u tham kha’o . 327 Chu.o.ng 10T´ıch phân bâ´tdi.nh10.1 Các phu.o.ng pháp t´ınh t´ıch phân . . . . . . 410.1.1 Nguyên hàm và t´ıch phân bâ´tdi.nh . 410.1.2 Phu.o.ng pháp dô’ibiêń 1210.1.3 Phu.o.ng pháp t´ıch phân tù.ng phâ`n . 2110.2 Các ló.p hàm kha’t´ıch trong ló.p các hàmso.câ´p 3010.2.1 T´ıch phân các hàm h˜u.uty’ . 3010.2.2 T´ıch phân mô.tsô´hàm vô ty’do.n gia’n . 3710.2.3 T´ıch phân các hàm lu.o ng giác . . . . . . . 4810.1 Các phu.o.ng pháp t´ınh t´ıch phân10.1.1 Nguyên hàm và t´ıch phân bâ´tdi.nhD-i.nh ngh˜ıa 10.1.1. Hàm F (x)du.o cgo.i là nguyên hàm cu’a hàmf(x) trên khoa’ng nào dónêú F (x)liên tu.c trên khoa’ng dó và kha’vi 10.1. Các phu.o.ng pháp t´ınh t´ıch phân 5ta.imô˜idiê’m trong cu’a khoa’ng và F(x)=f(x).D-i.nh lý 10.1.1. (vê`su tô`nta.i nguyên hàm) Mo.i hàm liên tu.ctrêndoa.n [a, b] dêù có nguyên hàm trên khoa’ng (a, b).D-i.nh lý 10.1.2. Các nguyên hàm bâ´tk`ycu’a cùng mô.t hàm là chı’khác nhau bo.’imô.th˘a`ng sôćô.ng.Khác vó.ida.o hàm, nguyên hàm cu’a hàm so.câ´p không pha’i baogiò.c˜ung là hàm so.câ´p. Ch˘a’ng ha.n, nguyên hàm cu’a các hàm e−x2,cos(x2), sin(x2),1lnx,cos xx,sin xx, . là nh˜u.ng hàm không so.câ´p.D-i.nh ngh˜ıa 10.1.2. Tâ.pho pmo.i nguyên hàm cu’a hàm f(x) trênkhoa’ng (a, b)du.o cgo.i là t´ıch phân bâ´tdi.nh cu’a hàm f(x) trên khoa’ng(a, b)vàdu.o ckýhiê.ulàf(x)dx.Nêú F (x) là mô.t trong các nguyên hàm cu’a hàm f(x) trên khoa’ng(a, b) th`ı theo di.nh lý 10.1.2f(x)dx = F (x)+C, C ∈ Rtrong dó C là h˘a`ng sô´tùy ý và d˘a’ng thú.ccâ`nhiê’ulàd˘a’ng thú.cgi˜u.ahai tâ.pho p.Các t´ınh châ´tco.ba’ncu’a t´ıch phân bâ´tdi.nh:1) df(x)dx= f(x)dx.2)f(x)dx= f(x).3)df (x)=f(x)dx = f(x)+C.Tù.di.nh ngh˜ıa t´ıch phân bâ´tdi.nh rút ra ba’ng các t´ıch phân co.ba’n (thu.ò.ng du.o cgo.i là t´ıch phân ba’ng) sau dây: 6Chu.o.ng 10. T´ıch phân bâ´tdi.nhI.0.dx = C.II.1dx = x + C.III.xαdx =xα+1α +1+ C, α = −1IV.dxx=ln|x| + C, x =0.V.axdx =axlna+ C (0 <a= 1);exdx = ex+ C.VI.sin xdx = − cos x + C.VII.cos xdx = sin x + C.VIII.dxcos2x=tgx + C, x =π2+ nπ, n ∈ Z.IX.dxsin2x= −cotgx + C, x = nπ, n ∈ Z.X.dx√1 − x2=arc sin x + C,−arc cos x + C−1 <x<1.XI.dx1+x2=arctgx + C,−arccotgx + C.XII.dx√x2± 1=ln|x +√x2± 1| + C(trong tru.ò.ng ho pdâútrù.th`ı x<−1 ho˘a.c x>1).XIII.dx1 − x2=12ln1+x1 − x+ C, |x|=1.Các quy t˘ać t´ınh t´ıch phân bâ´tdi.nh: 10.1. Các phu.o.ng pháp t´ınh t´ıch phân 71)kf(x)dx = kf(x)dx, k =0.2)[f(x) ± g(x)]dx =f(x)dx ±g(x)dx.3) Nêúf(x)dx = F (x)+C và u = ϕ(x) kha’vi liên tu.cth`ıf(u)du = F (u)+C.CÁC VÍDU.V´ı d u.1. Chú.ng minh r˘a`ng hàm y = signx có nguyên hàm trênkhoa’ng bâ´tk`y không chú.adiê’m x = 0 và không có nguyên hàm trênmo.i khoa’ng chú.adiê’m x =0.Gia’i. 1) Trên khoa’ng bâ´t k`y không chú.adiê’m x = 0 hàm y = signxlà h˘a`ng sô´. Ch˘a’ng ha.nvó.imo.i khoa’ng (a, b), 0 <a<bta có signx =1và do dómo.i nguyên hàm cu’a nó trên (a, b) có da.ngF (x)=x + C, C ∈ R.2) Ta xét khoa’ng (a, b)màa<0 <b. Trên khoa’ng (a, 0) mo.inguyên hàm cu’a signx có da.ng F (x)=−x+C1còn trên khoa’ng (0,b)nguyên hàm có da.ng F (x)=x + C2.Vó.imo.i cách cho.nh˘a`ng sôĆ1và C2ta thu du.o c hàm [trên (a, b)] không có da.o hàm ta.idiê’m x =0.Nêú ta cho.n C = C1= C2th`ı thu du.o c hàm liên tu.c y = |x| + Cnhu.ng không kha’vi ta.idiê’m x =0. Tù.dó, theo di.nh ngh˜ıa 1 hàmsignx không có nguyên hàm trên (a, b), a<0 <b. V´ı d u.2. T`ım nguyên hàm cu’a hàm f(x)=e|x|trên toàn tru.csô´.Gia’i. Vó.i x  0 ta có e|x|= exvà do dó trong miê`n x>0mô.ttrong các nguyên hàm là ex. Khi x<0 ta có e|x|= e−xvà do vâ.ytrong miê`n x<0mô.t trong các nguyên hàm là −e−x+ C vó.ih˘a`ngsôĆ bâ´tk`y.Theo di.nh ngh˜ıa, nguyên hàm cu’a hàm e|x|pha’i liên tu.cnênnó 8Chu.o.ng 10. T´ıch phân bâ´tdi.nhpha’i tho’amãndiêùkiê.nlimx→0+0ex= limx→0−0(−e−x+ C)tú.clà1=−1+C ⇒ C =2.Nhu.vâ.yF (x)=exnêú x>0,1nêú x =0,−e−x+2 nêú x<0là hàm liên tu.c trên toàn tru.csô´.Tachú.ng minh r˘a`ng F (x) là nguyênhàm cu’a hàm e|x|trên toàn tru.csô´. Thâ.tvâ.y, vó.i x>0 ta cóF(x)=ex= e|x|,vó.i x<0th`ıF(x)=e−x= e|x|. Ta còn câ`n pha’ichú.ng minh r˘a`ng F(0) = e0= 1. Ta cóF+(0) = limx→0+0F (x)− F (0)x= limx→0+0ex− 1x=1,F−(0) = limx→0−0F (x)− F (0)x= limx→0−0−e−x+2− 1x=1.Nhu.vâ.y F+(0) = F−(0) = F(0) = 1 = e|x|.Tù.dó c ó t h ê’viê´t:e|x|dx = F (x)+C =ex+ C, x < 0−e−x+2+C, x < 0. V´ı d u.3. T`ım nguyên hàm có dô`thi.qua diê’m(−2, 2) dôívó.i hàmf(x)=1x, x ∈ (−∞, 0).Gia’i. V`ı (ln|x|)=1xnên ln|x| là mô.t trong các nguyên hàm cu’ahàm f(x)=1x. Do vâ.y, nguyên hàm cu’a f là hàm F (x)=ln|x| + C,C ∈ R.H˘a`ng sôĆ du.o cxácdi.nh tù.diêùkiê.n F (−2) = 2, tú.clàln2 + C =2⇒ C =2− ln2. Nhu.vâ.yF (x)=ln|x| +2− ln2 = lnx2+2.  10.1. Các phu.o.ng pháp t´ınh t´ıch phân 9V´ı d u.4. T´ınh các t´ıch phân sau dây:1)2x+1− 5x−110xdx, 2)2x +33x +2dx.Gia’i. 1) Ta cóI =22x10x−5x5 · 10xdx =215x−1512xdx=215xdx −1512xdx=215xln15−1512xln12+ C= −25xln5+15 · 2xln2+ C.2)I =2x +323x +23dx =23x +23+56x +23dx=23x +59lnx +23+ C. V´ı d u.5. T´ınh các t´ıch phân sau dây:1)tg2xdx, 2)1 + cos2x1 + cos 2xdx, 3)√1 − sin 2xdx.Gia’i. 1)tg2xdx =sin2xcos2xdx =1 − cos2xcos2xdx=dxcos2x−dx =tgx − x + C. [...]... thành ba nhóm sau d â y . 6Chu . o . ng 10. T´ıch phân bâ ´ td i . nh I.  0.dx = C. II.  1dx = x + C. III.  x α dx = x α+1 α +1 + C, α = −1 IV.  dx x =ln|x| + C, x =0. V.  a x dx = a x lna + C (0 <a= 1);  e x dx = e x + C. VI.  sin xdx = − cos x + C. VII.  cos xdx = sin x + C. VIII.  dx cos 2 x =tgx + C, x = π 2 + nπ, n ∈ Z. IX.  dx sin 2 x = −cotgx + C, x = nπ, n ∈ Z. X.  dx √ 1... t ∈  − π 2 , π 2  . ii) Nê ´ ubiê ’ uthú . cdu . ó . idâ ´ u t´ıch phân có chú . a c˘an √ x 2 − a 2 , a>0 th`ı dùng phép d ô ’ ibiê ´ n x = a cos t ,0<t< π 2 ho˘a . c x = acht. iii) Nê ´ u hàm du . ó . idâ ´ u t´ıch phân chú . a c˘an thú . c √ a 2 + x 2 , a>0 th`ı có thê ’ d ˘a . t x = atgt, t ∈  − π 2 , π 2  ho˘a . c x = asht. iv) Nê ´ u hàm du . ó . idâ ´ u... − 1) I n−1 hay là I n = x 2a 2 (n − 1)(x 2 + a 2 ) n−1 + 2n − 3 2a 2 (n − 1) I n−1 . (*) 10.2. Các ló . p hàm kha ’ t´ıch trong ló . p các hàm so . câ ´ p 49 và lúc dó dx = − dt √ 1 − t 2 III. Nê ´ u R(sin x,− cos x)=−R(sin x, cos x) th`ı su . ’ du . ng phép d ô ’ i biê ´ n t = sin x, dx = dt √ 1 − t 2 ,x∈  − π 2 , π 2  . IV. Nê ´ u R(− sin x,− cos x)=R(sin x, cos x) th`ı phép h˜u . uty ’ hóa s˜e... t. (ii) Nê ´ u m và n là nh˜u . ng sô ´ ch˘a ˜ n không âm th`ı tô ´ tho . nhê ´ t là thay sin 2 x và cos 2 x theo các công thú . c sin 2 x = 1 2 (1 − cos 2x), cos 2 x = 1 2 (1 + cos 2x). (iii) Nê ´ u m và n ch˘a ˜ n, trong d ó có mô . tsô ´ âm th`ı phép dô ’ ibiê ´ ns˜e là tgx = t hay cotgx = t. (iv) Nê ´ u m + n = −2k, k ∈ N th`ı viê ´ tbiê ’ uthú . cdu . ó . idâ ´ ut´ıch phân... . . . . . . . . . . . . . . 244 14.1.5 Phu . o . ng tr`ınh vi phân toàn phâ ` n 247 14.1.6 Phu . o . ng tr`ınh Lagrange và phu . o . ng tr`ınh Clairaut255 14.2 Phu . o . ng tr`ınh vi phân câ ´ pcao 259 14.2.1 Các phu . o . ng tr`ınh cho phép ha . thâ ´ pcâ ´ p 260 14.2.2 Phu . o . ng tr`ınh vi phân tuyê ´ n t´ınh câ ´ p2vó . ihê . sô ´ h˘a ` ng 264 14.2.3 Phu . o . ng tr`ınh vi phân... lâ ` n t´ıch phân tù . ng phâ ` nthú . nhâ ´ t không d u . ad ê ´ n t´ıch phân do . n gia ’ nho . n. V´ı d u . 4. T´ınh I =  e ax cos bx; a, b =0. Gia ’ i. D ây là t´ıch phân thuô . c nhóm III. Ta d˘a . t u = e ax , dv = cos bxdx. Khi d ó du = ae ax dx, v = 1 b sin bx và I = 1 b e ax sin bx − a b  e ax sin bxdx = 1 b e ax sin bx − a b I 1 . D ê ’ t´ınh I 1 ta d˘a . t u = e ax , dv =... C, −arc cos x + C −1 <x<1. XI.  dx 1+x 2 =    arctgx + C, −arccotgx + C. XII.  dx √ x 2 ± 1 =ln|x + √ x 2 ± 1| + C (trong tru . ò . ng ho . . pdâ ´ utrù . th`ı x<−1 ho˘a . c x>1). XIII.  dx 1 − x 2 = 1 2 ln    1+x 1 − x    + C, |x|=1. Các quy t˘a ´ c t´ınh t´ıch phân bâ ´ td i . nh: 10.1. Các phu . o . ng pháp t´ınh t´ıch phân 11 7.  2 2x − 1 √ 2 x dx.(DS. 2 ln2  2 3x 2 3 +2 − x 2  ) 8.  dx x(2 . NGUYÊÑ THUY’THANHBÀI TÂ.PTOÁN CAO CÂ´PTâ.p3Phép t´ınh t´ıch phân. Lý thuyê´t chuô˜i.Phu.o.ng tr`ınh. Lagrange và phu.o.ng tr`ınh Clairaut25514.2 Phu.o.ng tr`ınh vi phân câ´pcao.............. 25914.2.1 Các phu.o.ng tr`ınh cho phép ha.thâ´pcâ´p ....

Ngày đăng: 12/09/2012, 14:16

Xem thêm: Bài tập toán cao cấp III, Phu.o.ng ph´, m vê ` phu.o.ng tr`ınh vi phˆ C´ ac phu.o.ng ph´ C´ ac l´ p h` am kha ng phˆ a, T´ıch phˆ p c´ ac, T´ıch phˆ p c´ ac, T´ıch phˆ p c´ ac, C´ H` am kha Phu.o.ng ph´ ap t´ Mˆ o T´ ıch phˆ Phu.o.ng ph´, Mˆ dài cung và diê.n t´ıch m˘a.t tr` on, n hô.i tu., x = 3, x = 5, 3x − 2y + 4 = 0, 3x − 2y + 1 = 0. x = 0, y = 0, x + y = 2 x x + y 6 1, x − y 6 1, x 0. y x y = x y = x, y = 2x, x + y = 6., C´ T´ıch phˆ, T´ınh t´ıch phˆ, T´ ıch phˆ T´ ıch phˆ T´ ıch phˆ T´ ıch phˆ ng ho . qua’. Diˆn t´ıch miê, C´ T´ıch phˆ, Phu.o.ng ph´, Σ l` a phˆ Σ l` a phˆ Σ l` a phˆ Σ l` a phˆ Σ l` a phˆ Σ l` a phˆ, Chuˆ o Chuˆ o t dôí và hô.i tu. không tuyˆ t dˆ o Chuˆ o a . . . . . . . . . . . . . . . . . 199 Chuˆ o Chuˆ, C´ Chuˆ i tu. tuyê.t dôí và hî tu. khˆ, f x = sina + x, x = 0. f x = sin x cos 3x, x = 0. f x = f x = cos x, x = f x = sin f x = lnx f x = ln4 + 3x − x f x = f x = f x = f x = arcctgx. DS. f x = f x = arc sin x. DS. x + f x = f x = f x = f x =, u du’ vê ` su.. hô.i tu. cu’a chuô˜i Fourier, Phu.o.ng tr`ınh vi phˆ an cˆ Phu.o.ng tr` ınh vi phˆ Hˆ e. phu i hˆ e. sˆ i hˆ i hˆ e. sô´ h˘a`ng, Hˆ phu .o.ng tr`ınh vi phân tuyêń t´ınh sô´ h˘a`ng, m vê ` phu.o.ng tr`ınh Phu.o.ng tr`ınh vi phˆ an cˆ Gia ’ i phu.o.ng tr`ınh d a.o hàm riêng câ´p 2 t l´ y to´ u tham kha’o . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327, Phu.o.ng tr`ınh vi phˆ