PHẦN II: TỶ SỐ THỂ TÍCH Bài 1: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy a cạnh bên a Gọi M,N,P trung điểm AB, AD, SC Chứng minh: (MNP) chia hình chóp thành phần tích Giải: Trong (ABCD): MN cắt AC E Trong (SAC): PE cắt SO I Ta lại có MN // BD = > (MNP) Ix SD = Q; Ix (SBD) = Ix // BD SB =T Thiết diện (MNP) với hình chóp ngũ giác MNQPT Tam giác AOD có NE // DO (NM // BD) = > E trung điểm AO => EO = => EO = Xét tam giác có E, I, P thẳng hàng theo định lý Mê-nê-la-uýt ta có: => => => (QT // DB) Đặt V thể tích hình chóp Đặt V1 phần thể tích hình chóp chứa A Ta có V1= VS.APQ + VS.APT + V N.PAQ + VM.APT + VA.PMN mà SADC = Ta lại có => VS.APQ = (1) V (2) Tương tự VS.APT = V mà SDQP = Mặt khác: => VA.NQP = SABCD VS.ADC= V SDSP= SDSC (3) Ta có: mà SPTB = SPBS = SBSC => VA.MPT = mà SAMN = VA.SBC = V (4) SABD = SABCD => VP.AMN = V (5) (1) + (2) +(3) + (4) + (5) => V1= V (đpcm) Bài 2: Cho hình chóp S.ABC, O tâm đường trịn ngoại tiếp a) Qua O dựng mặt phẳng vng góc SC K; mặt phẳng cắt CA, CB tương ứng M N CM: b)Cho OK= a góc tao (SAC) (SBC) CM: Giải: a) Gọi E trung điểm AB AB vng góc CE Ta lại có AB vng góc SO(SO vng góc đáy) => AB vng góc SC Mặt khác: => AB // MN => MN => MN =>MN (1) Ta lại có MN//AB, E trung điểm AB, CE (1) (2) => MN = O => O trung điểm MN (2) b) Ta có (MKN) => góc (SAC) (SCB) => Ta có: MN vng góc OK => ON = OK.tanOKN = a.tan Mặt khác: => BE = => BA = 2BE = 3a.tan SABC = CO = Tam giác SOC vng O có OK vng góc SC => => SO = VS.ABC = Mặt khác: => V.SABC = Bài 3: Cho hình chóp S.ABC có tất góc đỉnh A B tam diện Tính thể tích hình chóp Giải: Xét => CH vng góc với AB (H trung điểm AB) Tương tự SH vuông góc với AB => (SHC) vng góc với AB => AB vng góc với SC Kẻ HK vng với SC => SC vng góc với (AKB) Ta có => Tam giác SBC cân B có K trung điểm SC => => CK = CB.SinKBC mà CB = => SC = 2CK = CH = HB tan = HK = = = VSABC = V A.SHC + V B.SHC = SHCS (AE + BE) = SHSC AB (AB vuông góc (HSC)) (*) mà SHSC = Từ (*) => VSABC = a = Bài 4: Cho tứ diện ABCD có AD vng góc BC Gọi A', D' điểm đối xứng A D qua BC; B', C' điểm đối xứng B, C qua AD Cm: V A'B'C'D' = V ABCD Giải: Kẻ AE vng góc BC ta có AD vng BC => DE vng góc BC Kẻ BF vng góc AD ta có BC vng góc AD => CF vng góc AD Ta có BC vng góc (ADE) => BC vng góc EF AD vng góc (BFC) => AD vng góc EF => EF đoạn vng góc chung AD BC Mặt khác AD'A'D hình bình hành => A'D' // DA Tương tự: B'C' // BC => EF vng góc D'A' C'B' (1) * EF (2) => * EF ( AD// A'D') => EF = EP C'B' = Q (3) Tương tự => EF = FQ Từ (1) (2) (3) => PQ đoạn vng góc chung A'D' B'C' Xét tứ diện A'B'C'D' ta có A'D'// AD C'B' // BC AD vng góc BC => A'D' vng góc B'C' mà PQ vng góc C'B' => (A'QD') vng góc C'B' Ta có: VA'B'C'D' = VC'.QD'A' + VB'.A'QD' = C'Q.SA'QD' + B'Q.SA'QD' = C'B'.A'D'.PQ Tương tự VABCD = BC.AD.EF mà PQ = PE + EF + FQ = 3EF => V A'B'C'D' = V ABCD Bài 5: Cho tứ diện ABCD có cạnh đối đơi a,b,c Tình thể tích tứ diện Xét hình hộp chữ nhật có đường chéo mặt có độ dài a, b, c Gọi x, y, z tương ứng kích thước hinh hộp Ta có: VABCD = VHinhhop − (VM1 ADC +VM BDC + VM ABC +VM ABD ) =xyz – 4/6 xyz = 1/3 xyz  a + b2 − c x = 2 2 x + y = a    a + c2 − b2 2 Lại có:  x + z = b ⇒  y =  y2 + z = c2    b + c2 − a2 z =  Suy ra: VABCD (a + b − c )(a + c − b )(b + c − a ) = Bài 6: Cho hình chóp S.ABC có SA,SB,SC a,b,c   AM ⊥ SB   Dựng  MK PSC  ⇒ ( AMK ) ⊥ SB ⇒ ( AMK ) ⊥ ( SAB )  mà SC ⊥ SB ⇒ MK ⊥ SB   Kẻ HK ⊥ AM ⇒ HK ⊥ ( SAB ) Tacó : AM = a a 2b − a ; SM = ; BM = 2 Tính thể tích hình chóp ∆SBCcó : MK PSC ⇒ MK BM 2b − a (2b − a )c = = ⇒ MK = SC SB 2b 2b u u uu ur u r •MK PSC ⇒ · AMK = ( MA; SC ) u u u u u u u r u u ur u u ur u r ur u u r u u r Mà : MA.SC = ( MS + SA).SC = SA.SC (Vì:SC ⊥ SB) a c.CosAMK = ac.Cos120 −1 ⇒ CosAMK = KM (2b − a )c ⇒ HK = KM Cos(π − AMK ) = = 3b d [ K ; ( SAB )] BK BM 2b − a Tacó : CK ∩ ( SAB ) = { B} ⇒ = = = d [ C ;( SAB) ] BC BS 2b ⇒ ⇒ d [ C ;( SAB ) ] = 2b (2b − a )c c = 2b − a 3b ab a.b.Sin60 = c ab abc ⇒ VS ABC = = 3 12 •S SAB = Bài 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng, cạnh SA vng góc với đáy SC hợp với (SAB) góc qua A vng góc với SC chia hình chóp thành phần tích V1, V2 Tính theo Dựng: AM ⊥ SC Ta có: Mặt phẳng SA ⊥ BD ( SA ⊥ ( ABCD )   ⇒ BD ⊥ ( SAC ) ⇒ BD ⊥ SC BD ⊥ AC  Mà (SBD) không vuông góc với SC ⇒ (P) ∩ (SBD) đường thẳng song song với BD AC ∩ BD = O   ⇒ (P) ∩ (SBD) PN đường thẳng qua I song song BD (P ∈ SD, N ∈ SB) AM ∩ SO = I  Suy thiết diện tứ giác ANMP Đặt V, V1 thể tích S ABCD , S ANMP · Ta có: BC ⊥ AB, SA ⊥ BC ⇒ BC ⊥ (SAB) ⇒ BSC = α ∆SBC vuông B ⇒ SC = BC a = Sinα Sinα a2 − 2a 2 Sin α ∆SAC vuông A SM SA2 a (Cot 2α − 1).Sin 2α • AM ⊥ SC ⇒ = = = Cos2α SC SC a2 ⇒ SA2 = SC − AC = ∆SOC có A,I,M thẳng hàng ⇒ IS AO MC IS 2Cos2α SI 2Cos2α =1⇒ = ⇒ = IO AC MS IO − Cos2α SO + Cos2α VS AMN SA SN SM SI SM 2Cos 2α Cos 2α = = = = VS ABC SA SB SC SO SC + Cos2α Cos 2α (1) VS AMP SA SM SP SM SP Cos 2α = = = VS ACD SA SC SD SC SD Cos 2α Ta có: (2) (1),(2) ⇒ V1 Cos 2α = V Cos 2α => k = Bài 8: Trên cạnh SA, SB tứ diện S.ABC lấy điểm M, N cho: diện thành phần Tính tỉ thể tích phần Mp qua MN // SC chia tứ Giải: Gọi h, S đường cao diện tích đáy hình chóp Ta có: => SCEF = => SABFE = Mặt khác: => d VM.ABFE = Ta lại có: => VM.NBF = V1(phần chứa AB) = VM.ABFE + VN.MBF = => Bài 9: Cho tứ diện ABCD, M tứ diện AM cắt (BCD) A' ; BM cắt (ACD) B' ; CM cắt (ABD) C' ; DM cắt (ABC) D' CM: khơng phụ thuộc vị trí điểm M Giải: Ta có => VA.MDC + VA.MBC + VA.MBD = => V - VM.BCD = ( - => (1) Tương tự: (2) (3) (4) (1) + (2) + (3) + (4) => ... thành phần Tính tỉ thể tích phần Mp qua MN // SC chia tứ Giải: Gọi h, S đường cao diện tích đáy hình chóp Ta có: => SCEF = => SABFE = Mặt khác: => d VM.ABFE = Ta lại có: => VM.NBF = V1 (phần chứa...=> => => (QT // DB) Đặt V thể tích hình chóp Đặt V1 phần thể tích hình chóp chứa A Ta có V1= VS.APQ + VS.APT + V N.PAQ + VM.APT + VA.PMN mà... PE + EF + FQ = 3EF => V A''B''C''D'' = V ABCD Bài 5: Cho tứ diện ABCD có cạnh đối đơi a,b,c Tình thể tích tứ diện Xét hình hộp chữ nhật có đường chéo mặt có độ dài a, b, c Gọi x, y, z tương ứng kích