NHẬP MƠN LÍ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TỐN B HOẠT ĐỘNG HOẠT ĐỘNG 6.1 THỰC HÀNH VẬN DỤNG ĐỊNH LÍ GIỚI HẠN TRUNG TÂM NHIỆM VỤ Dưới hướng dẫn giáo viên, sinh viên đọc, thảo luận cặp đôi nội dung thông tin để thực nhiệm vụ sau: Biết xác suất để người 70 tuổi tiếp tục sống đến 75 tuổi 0,8 Chọn 500 người 70 tuổi cách ngẫu nhiên Xác định xác suất sau: a) Có 390 người sống đến 75 tuổi b) Có khoảng từ 375 đến 425 người sống đến 75 tuổi NHIỆM VỤ 1: Kí hiệu S số người 500 người 70 tuổi sống đến 75 tuổi Biết S có phân phối nhị thức Xác định tham số (n; p) phân phối NHIỆM VỤ 2: Dựa vào công thức xác suất nhị thức: P(S = k) = Ck p k q n − k , q = − p n để viết cơng thức tính P(S = 390) NHIỆM VỤ 3: Sử dụng công thức (2) để tính gần P(S = 390) NHIỆM VỤ 4: Từ công thức: ⎛ k − np S − np l − np ⎞ < < P(k < S < l) = P ⎜ ⎟ ⎜ npq npq npq ⎟ ⎝ ⎠ cơng thức (3) để tính gần P(375 < S < 425) ĐÁNH GIÁ a) Kí hiệu n số lần thành công n phép thử Bécnuli với xác suất thành công p đặt p = Sn / n Chứng tỏ rằng: Sn − np p − p n = npq pq 61 NHẬP MƠN LÍ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TỐN Với n lớn, ta coi p−p npq n có phân phối chuẩn tắc N(0; 1) khơng? Vì sao? THƠNG TIN PHẢN HỒI Đối với hoạt động 6.1, n = 500, p = 0,80 390 + P(S = 390) = C500 0,80390 0, 2110 + P(S = 390) ≈ ⎛ 390 − 400 ⎞ ψ (−1,12) ψ⎜ ≈ 0, 0238 ⎟= 8,94 500.0,80.0, 20 ⎜ 500.0,80.0, 20 ⎟ ⎝ ⎠ + P(375 < S < 425) ≈ Φ (2,8) − Φ (−2,8) ≈ 0,995 62 NHẬP MƠN LÍ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TỐN TIỂU CHỦ ĐỀ 2.7 KÌ VỌNG VÀ PHƯƠNG SAI THƠNG TIN CƠ BẢN Kì vọng biến ngẫu nhiên số đặc trưng cho giá trị trung bình biến ngẫu nhiên Phương sai biến ngẫu nhiên số đặc trưng cho mức độ phân tán giá trị biến ngẫu nhiên so với kì vọng a) Giả sử X biến ngẫu nhiên rời rạc với bảng phân phối: X x1 x2 xk P p1 p2 pk Kì vọng biến ngẫu nhiên X, kí hiệu E(X), số xác định công thức: E(X) = x1 p1 + x2 p2 + + xk pk + = ∑x p k ≥1 k (2) k Đối với biến ngẫu nhiên liên tục với hàm mật độ f(x) thì: ∞ E(X) = ∫ xf (x)dx (3) −∞ Ta dễ dàng chứng minh tính chất sau kì vọng: (i) Nếu X = a E(X) = a; (ii) E(aX + b) = aE(X) + b, X biến ngẫu nhiên, a b số tùy ý b) Phương sai biến ngẫu nhiên X, kí hiệu V(X), số đặc trưng xác định công thức: V(X) = E[(X − E(X))2] = E(X2) – (E(X))2 Nếu X biến ngẫu nhiên rời rạc với bảng phân phối (1) V(X) = ∑ (x k ≥1 k (4) − a) p k (5) Với a = E(X) Theo công thức (3) ta có: ⎛ ⎞ V(X) = ∑ x p k − ⎜ ∑ x k p k ⎟ k ≥1 ⎝ k ≥1 ⎠ k (6) Nếu X có hàm mật độ f(x) thì: ⎛∞ ⎞ V(X)= ∫ (x − a) f (x)dx = ∫ x f (x)dx − ⎜ ∫ xf (x)dx ⎟ −∞ −∞ ⎝ −∞ ⎠ ∞ ∞ 2 B HOẠT ĐỘNG 63 NHẬP MƠN LÍ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TỐN HOẠT ĐỘNG 7.1 THỰC HÀNH TÍNH KÌ VỌNG VÀ PHƯƠNG SAI CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN RỜI RẠC NHIỆM VỤ Sinh viên tự đọc thông tin để thực nhiệm vụ sau: Chọn ngẫu nhiên bạn từ nhóm gồm bạn nam bạn nữ Kí hiệu X số bạn nam chọn từ nhóm ba bạn chọn.Tớnh kỡ vọng, phương sai X NHIỆM VỤ 1: Kiểm tra lại X nhận giá trị 0, 1, 2, P(X = k) = C k C3− k , với k = 0, 1, 2, Từ C3 lập bảng phân phối X NHIỆM VỤ 2: Tính E(X) NHIỆM VỤ 3: Chứng tỏ P(X2 = k2 ) = P( X = k ), k = 0, 1, 2, Từ lập bảng phân phối X2 tính E(X2) NHIỆM VỤ 4: Tính V(X) HOẠT ĐỘNG 7.2 THỰC HÀNH TÍNH KÌ VỌNG VÀ PHƯƠNG SAI CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN LIÊN TỤC NHIỆM VỤ − Dưới hướng dẫn giáo viên, sinh viên thực nhiệm vụ sau Biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ: ⎧ x, f(x) = ⎨ ⎩0, < x ta có ∧ lim P (| θn – θ| < e) = n −>∞ ∧ Yêu cầu đảm bảo cho θn gần với θ với xác suất gần n lớn _ Chẳng hạn a = E(X) σ2 = V(X) X ước lượng điểm không chệch vững a, S2 = n (X k − X) ước lượng không chệch vững σ2 với n lớn, ta ∑ n − k =1 coi X ≈ a S2 ≈ σ2 b) Giả sử θ1 θ2 hai ước lượng điểm tham số θ, γ = – α ∈ (0; 1), khoảng (θ1 , θ2 ) gọi khoảng tin cậy θ với độ tin cậy γ P( θ1 < θ < θ2 ) = γ Ý nghĩa khoảng tin cậy chỗ nói 100g% trường hợp lấy mẫu khoảng (θ1 , θ2 ) chứa tham số chưa biết θ hay khẳng định θ1 < θ < θ2 tin cậy mức γ 80 ... đồng): 12 00 12 00 18 40 12 00 17 00 19 50 12 00 13 50 Khi X = 12 00 13 00 12 00 13 00 13 50 12 00 + 12 00 + + 12 00 + 13 50 = 13 83,85 13 Để xác định trung vị ta xếp dãy số liệu theo thứ tự tăng 12 00 12 00 12 00 12 00... = 10 ; X(a) = a khác TIỂU CHỦ ĐỀ 2.2 2.3 X P C2 C10 C1 C1 C10 C6 C10 2 .4 X ? ?1 –2 P 0,75 0,25 2.5 X P 66 C2 43 C52 C3 C1 48 4 C52 C2 C2 48 4 C52 C1 C3 48 4 C52 NHẬP MƠN LÍ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG... tần suất Tính mode ĐÁNH GIÁ Tuổi 40 sinh viên năm thứ trường đại học là: 19 24 24 24 23 20 22 21 18 20 19 19 21 19 19 23 36 22 20 35 22 23 19 26 22 17 19 20 20 21 19 21 20 20 21 19 24 21 22 21