Nguyễn Tất Thu 01699257507 Trường THPT Lê Hồng Phong CHƯƠNG 3. GIỚI HẠN NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG A. Tóm tắt lí thuyết I. Giới hạn hàm số 1. Định nghĩa: 1.1. Giới hạn hàm số: Cho khoảng K chứa điểm 0 x . Ta nói rằng hàm số f(x) xác định trên K (có thể trừ điểm 0 x ) có giới hạn là L khi x dần tới 0 x nếu với dãy số n (x ) bất kì, n 0 x K \ {x } Î và n 0 x x ® , ta có: n f(x ) L ® . Ta kí hiệu: 0 x x lim f(x) L ® = hay f(x) L ® khi 0 x x ® . 1.2.Giới hạn một bên: * Cho hàm số ( ) y f x = xác định trên 0 ( ; ) x b .Số L gọi là giới hạn bên phải của hàm số ( ) y f x = khi x dần tới 0 x nếu với mọi dãy 0 ( ) : n n x x x b < < mà 0 n x x ® thì ta có: ( ) n f x L ® . Kí hiệu: 0 lim ( ) x x f x L + ® = . * Cho hàm số ( ) y f x = xác định trên 0 ( ; ) a x .Số L gọi là giới hạn bên trái của hàm số ( ) y f x = khi x dần tới 0 x nếu với mọi dãy 0 ( ) : n n x a x x < < mà 0 n x x ® thì ta có: ( ) n f x L ® . Kí hiệu: 0 lim ( ) x x f x L - ® = . Chú ý: Ta có: 0 0 0 lim ( ) lim ( ) lim ( ) x x x x x x f x L f x f x L + - ® ® ® = Û = = . 1.3. Giới hạn tại vô cực * Ta nói hàm số ( ) y f x = xác định trên ( ; ) a +¥ có giới hạn là L khi x ® +¥ nếu với mọi dãy số ( ) : n n x x a > và n x ® +¥ thì ( ) n f x L ® . Kí hiệu: lim ( ) x f x L ®+¥ = . Nguyễn Tất Thu 01699257507 Trường THPT Lê Hồng Phong * Ta nói hàm số ( ) y f x = xác định trên ( ; ) b -¥ có giới hạn là L khi x ® -¥ nếu với mọi dãy số ( ) : n n x x b < và n x ® -¥ thì ( ) n f x L ® . Kí hiệu: lim ( ) x f x L ®-¥ = . 1.4.Giới hạn vô cực * Ta nói hàm số ( ) y f x = có giới hạn dần tới dương vô cực khi x dần tới 0 x nếu với mọi dãy số 0 ( ) : n n x x x ® thì ( ) n f x ® +¥ . Kí hiệu: 0 lim ( ) x x f x ® = +¥ . * Tương tự ta cũng có định nghĩa giới hạn dần về âm vô cực * Ta cũng có định nghĩa như trên khi ta thay 0 x bởi -¥ hoặc +¥ . 2. Các định lí về giới hạn Định lí 1: Giới hạn của tổng, hiệu, tích, thương (mẫu số dẫn về 0 L ¹ ) khi 0 x x ® (hay ; x x ® +¥ ® -¥ ) bằng tổng, hiệu, tích, thương của các giới hạn đó khi 0 x x ® (hay ; x x ® +¥ ® -¥ ) . Chú ý: Định lí trên ta chỉ áp dụng cho những hàm số có giới hạn là hữu hạn. Ta không áp dụng cho các giới hạn dần về vô cực Định lí 2: (Nguyên lí kẹp) Cho ba hàm số ( ), ( ), ( ) f x g x h x xác định trên K chứa điểm 0 x (có thể các hàm đó không xác định tại 0 x ). Nếu ( ) ( ) ( ) g x f x h x x K £ £ " Î và 0 0 lim ( ) lim ( ) x x x x g x h x L ® ® = = thì 0 lim ( ) x x f x L ® = . 3. Một số gới hạn đặc biệt * 2 ( ) lim k x x x ®+¥ ®-¥ = +¥ ; 2 1 ( ) lim ( ) k x x x + ®+¥ ®-¥ = +¥ -¥ * 0 0 lim ( ) ( ) lim 0 ( 0) ( ) x x x x k f x k f x ® ® = +¥ -¥ Û = ¹ * 0 0 sin lim lim 1 sin x x x x x x ® ® = = , từ đây suy ra 0 0 tan lim lim 1 tan x x x x x x ® ® = = . Nguyễn Tất Thu 01699257507 Trường THPT Lê Hồng Phong * 1 0 1 lim (1 ) lim (1 ) x x x x x e x ® ®±¥ + = + = 0 0 ln(1 ) 1 lim lim 1 x x x x e x x ® ® + - Þ = = Chú ý : Ta thường sử dụng các giới hạn đặc biệt trên để tìm giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực, giới hạn các hàm số lượng giác và giới hạn hàm lũy thừa, mũ và logarít. II. Hàm số liên tục 1. Định nghĩa : *Cho hàm số ( ) y f x = xác định trên khoảng K và 0 x K Î . ( ) y f x = liên tục tại 0 0 0 lim ( ) ( ) x x x f x f x ® Û = . * ( ) y f x = liên tục trên một khoảng nếu nó kiên tục tại mọi điểm của khoảng đó * ( ) y f x = liên tục trên đoạn ; a b é ù ë û nếu nó liên tục trên ( ) ; a b và lim ( ) ( ) x a f x f a + ® = , lim ( ) ( ) x b f x f b - ® = 2. Định lý : Định lý 1 : a) Hàm số đa thức liên tục trên tập R b) Hàm số phân thức hữu tỉ và hàm số lượng giác liên tục trên từng khoảng xác định của chúng Định lý 2 : Các hàm số ( ) y f x = , ( ) y g x = liên tục tại 0 x . Khi đó tổng,hiệu,tích liên tục tai x 0 ,thương ( ) ( ) f x y g x = liên tục nếu 0 ( ) 0 g x ¹ Định lý 3 : Cho hàm số f liên tục trên đoạn ; a b é ù ë û .Nếu ( ) ( ) f a f b ¹ và M là một số nằm giữa ( ) , ( ) f a f b thì tồn tại ít nhất một số ( ) ; c a b Î sao cho ( ) f c M = Hệ quả : Cho hàm số f liên tục trên đoạn ; a b é ù ë û . Nếu ( ) ( ) 0 f a f b < thì tồn tại ít nhất một số ( ) ; c a b Î sao cho ( ) 0 f c = . III. Đạo hàm Nguyễn Tất Thu 01699257507 Trường THPT Lê Hồng Phong 1. Đạo hàm tại một điểm Hàm số ( ) y f x = liên tục trên ( ; ) a b , được gọi là có đạo hàm tại 0 ( ; ) x a b Î nếu giới hạn sau tồn tại (hữu hạn): 0 0 0 ( ) ( ) lim x x f x f x x x ® - - và giá trị của giới hạn đó gọi là giá trị đạo hàm của hàm số tại điểm 0 x .Ta kí hiệu 0 '( ) f x . Vậy 0 0 0 0 ( ) ( ) '( ) lim x x f x f x f x x x ® - = - 2. Đạo hàm bên trái, bên phải 0 0 0 0 ( ) ( ) '( ) lim x x f x f x f x x x + + ® - = - . 0 0 0 0 ( ) ( ) '( ) lim x x f x f x f x x x - - ® - = - . Hệ quả : Hàm ( ) f x có đạo hàm tại 0 0 ( ) x f x + Û $ và 0 '( ) f x - đồng thời 0 0 '( ) '( ) f x f x + - = . 3. Đạo hàm trên khoảng, trên đoạn * Hàm số ( ) f x có đạo hàm (hay hàm khả vi) trên ( ; ) a b nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm thuộc ( ; ) a b . * Hàm số ( ) f x có đạo hàm (hay hàm khả vi) trên [ ; ] a b nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm thuộc ( ; ) a b đồng thời tồn tại đạo hàm trái '( ) f b - và đạo hàm phải '( ) f a + . 4. Mối liên hệ giữa đạo hàm và tính liên tục Định lí: Nếu hàm số ( ) f x có đạo hàm tại 0 x thì ( ) f x liên tục tại 0 x . Chú ý: Định lí trên chỉ là điều kiện cần, tức là một hàm có thể liên tục tại điểm 0 x nhưng hàm đó không có đạo hàm tại 0 x . Chẳng hạn: Xét hàm ( ) | | f x x = liên tục tại 0 x = nhưng không liên tục tại điểm đó. Vì 0 ( ) (0) lim 1 x f x f x + ® - = , còn 0 ( ) (0) lim 1 x f x f x - ® - = - . IV. Nguyên hàm Nguyễn Tất Thu 01699257507 Trường THPT Lê Hồng Phong 1. Định nghĩa: Cho hàm số f xác định trên K . Hàm số F được gọi là nguyên hàm của f trên K nếu '( ) ( ) F x f x x K = " Î . 2. Các tính chất Định lí 1. Nếu F là một nguyên hàm của hàm f trên K thì mọi nguyên hàm của f trên K đều có dạng ( ) , F x C C + Î ¡ . Do vậy ( ) F x C + gọi là họ nguyên hàm của hàm f trên K và được kí hiệu ( ) ( ) f x dx F x C = + ò . Định lí 2. Mọi hàm số liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K Định lí 3. Nếu , f g là hai hàm liên tục trên K thì: a) [ ( ) ( )] ( ) ( ) f x g x dx f x dx g x dx + = + ò ò ò b) . ( ) ( ) k f x dx k f x dx = ò ò với mọi số thực 0 k ¹ . Định lí 4. Nếu ( ) ( ) f x dx F x C = + ò thì ( ( )). '( ) ( ( )). ( ( )) ( ( )) f u x u x dx f u x d u x F u x C = = + ò ò . 3. Bảng nguyên hàm các hàm số thường gặp Các hàm sơ cấp thường gặp Nguyên hàm các hàm hợp ( ( )) u u x = * xdx x C = + ò * 1 ( 1) 1 x x dx C a a a a + = + ¹ - + ò * ln | | dx x C x = + ò * x x e dx e C = + ò * udu u C = + ò * 1 1 u u du C a a a + = + + ò * ln | | du u C u = + ò * u u e du e C = + ò Nguyễn Tất Thu 01699257507 Trường THPT Lê Hồng Phong * ln x x a a dx C a = + ò * sin cos xdx x C = - + ò * cos sin xdx x C = + ò * 2 tan cos dx x C x = + ò * 2 cot sin dx x C x = - + ò * 2 dx x C x = + ò * ln u u a a du C a = + ò * sin . cos u du u C = - + ò * cos sin udu u C = + ò * 2 tan cos du u C u = + ò * 2 cot sin du u C u = - + ò * 2 dx u C u = + ò Nếu u ax b = + thì ta có: * 1 ln | | dx ax b C ax b a = + + + ò * 1 ax b ax b e dx e C a + + = + ò * cos( ) sin( ) ax b ax b dx C a + + = - + ò * sin( ) cos( ) ax b ax b dx C a + + = + ò * 2 1 tan( ) cos ( ) dx ax b C a ax b = + + + ò * 2 1 cot( ) sin ( ) dx ax b C a ax b = - + + + ò * 2 dx ax b C a ax b = + + + ò Nguyễn Tất Thu 01699257507 Trường THPT Lê Hồng Phong 4. Các phương pháp tính nguyên hàm Phương pháp phân tích: Để tìm nguyên hàm ( ) f x dx ò , ta phân tích 1 1 2 2 ( ) . ( ) . ( ) . ( ) n n f x k f x k f x k f x = + + + Trong đó: 1 2 ( ), ( ), , ( ) n f x f x f x có trong bảng nguyên hàm hoặc ta dễ dàng tìm được nguyên hàm Khi đó: 1 1 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) n n f x dx k f x dx k f x dx k f x dx = + + + ò ò ò ò . Phương pháp từng phần Cho hai hàm số u và v liên tục trên ; a b é ù ë û và có đạo hàm liên tục trên ; a b é ù ë û . Khi đó : udv uv vdu = - ò ò (1) Để tính tích phân ( ) b a I f x dx = ò bằng phương pháp từng phần ta làm như sau: B1: Chọn , u v sao cho ( ) f x dx udv = (chú ý: ( ) ’ dv v x dx = ). Tính v dv = ò và '. du u dx = . B2: Thay vào công thức (1) và tính vdu ò . Cần phải lựa chọn u và dv hợp lí sao cho ta dễ dàng tìm được v và tích phân vdu ò dễ tính hơn udv ò . Ta thường gặp các dạng sau Dạng 1 : sin ( ) cos x I P x dx x é ù = ê ú ê ú ë û ò , trong đó ( ) P x là đa thức Với dạng này, ta đặt sin ( ), cos x u P x dv dx x é ù = = ê ú ê ú ë û . Dạng 2 : ( ) ax b vI x e dx + = ò Nguyễn Tất Thu 01699257507 Trường THPT Lê Hồng Phong Với dạng này, ta đặt ( ) ax b u P x dv e dx + ì = ï í = ï î , trong đó ( ) P x là đa thức Dạng 3 : ( )ln( ) I P x mx n dx = + ò Với dạng này, ta đặt ln( ) ( ) u mx n dv P x dx ì = + ï í = ï î . Dạng 4 : sin cos x x I e dx x é ù = ê ú ê ú ë û ò Với dạng này, ta đặt sin cos x x u x dv e dx ì é ù =ï ê ú ï í ê ú ë û ï = ï î để tính vdu ò ta đặt sin cos x x u x dv e dx ì é ù =ï ê ú ï í ê ú ë û ï = ï î . Phương pháp đổi biến số Giả sử ta cần tìm họ nguyên hàm ( ) I f x dx = ò , trong đó ta có thể phân tích ( ) ( ) ( ) '( ) f x g u x u x dx = thì ta thức hiện phép đổi biến số ( ) '( ) t u x dt u x dx = Þ = . Khi đó: ( ) ( ) ( ( )) I g t dt G t C G u x C = = + = + ò Chú ý: Sau khi ta tìm được họ nguyên hàm theo t thì ta phải thay ( ) t u x = III. Tích phân 1.Định nghĩa: Cho hàm số ( ) y f x = liên tục trên K ; , a b là hai phần tử bất kì thuộc K , ( ) F x là một nguyên hàm của ( ) f x trên K . Hiệu số ( ) ( ) F b F a - gọi là tích phân của của ( ) f x từ a đến b và được kí hiệu: ( ) ( ) ( ) ( ) b b a a f x dx F x F b F a = = - ò . 2. Các tính chất của tích phân: Nguyễn Tất Thu 01699257507 Trường THPT Lê Hồng Phong 1) ( ) 0 a a f x dx = ò 2) ( ) ( ) a b b a f x dx f x dx = - ò ò 3) . ( ) . ( ) b b a a k f x dx k f x dx = ò ò 4) [ ( ) ( )] ( ) ( ) b b b a a a f x g x dx f x dx g x dx ± = ± ò ò ò 5) ( ) ( ) ( ) b c b a a c f x dx f x dx f x dx = + ò ò ò . 6) Nếu ( ) ( ) ; f x g x x a b é ù ³ " Î ë û thì ( ) ( ) b b a a f x dx g x dx ³ ò ò . 3. Các phương pháp tính tích phân Phương pháp phân tích : Để tính tích phân ( ) b a I f x dx = ò ta phân tích 1 1 ( ) ( ) ( ) m m f x k f x k f x = + + . Trong đó các hàm ( ) ( 1,2,3, , ) i f x i n = có trong bảng nguyên hàm. Phương pháp đổi biến số loại 1 Giả sử cần tính ( ) b a I f x dx = ò ta thực hiện các bước sau B1: Đặt ( ) x u t = (với ( ) u t là hàm có đạo hàm liên tục trên [ ; ] a b , ( ( )) f u t xác định trên [ ; ] a b và ( ) , ( ) u a u b a b = = ) và xác định , a b . B2: Thay vào ta có: ( ) ( ( )). '( ) ( ) ( ) ( )I f u t u t dt g t dt G t G G b b b a a a b a = = = = - ò ò . Một số dạng thường dùng phương pháp đổi biến số dạng 1 * Hàm số dưới dấu tích phân chứa 2 2 2 a b x - ta thường đặt sin a x t b = Nguyễn Tất Thu 01699257507 Trường THPT Lê Hồng Phong * Hàm số dưới dấu tích phân chứa 2 2 2 b x a - ta thường đặt sin a x b t = * Hàm số dưới dấu tích phân chứa 2 2 2 a b x + ta thường đặt a x tgt b = * Hàm số dưới dấu tích phân chứa ( ) x a bx - ta thường đặt 2 sin a x t b = Phương pháp đổi biến số loại 2 Tương tự như nguyên hàm, ta có thể tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số (ta gọi là loại 2) như sau. Để tính tích phân ( ) b a I f x dx = ò , nếu ( ) [ ( )]. '( ) f x g u x u x = , ta có thể thực hiện phép đổi biến như sau B1: Đặt ( ) '( ) t u x dt u x dx = Þ = . Đổi cận ( ), ( ) x a t u a x b t u b = Þ = = Þ = B2: Thay vào ta có ( ) ( ) ( ) ( ) u b b a u a I g t dt G t = = ò . Phương pháp từng phần : Cho hai hàm số u và v liên tục trên [a;b] và có đạo hàm liên tục trên [a;b]. Khi đó : b b b a a a udv uv vdu = - ò ò (1) III. Ứng dụng tích phân 1. Tính diện tích hình phẳng Định lí 1. Cho hàm số ( ) y f x = liên tục, không âm trên ; a b é ù ë û . Khi đó diện tích S của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số ( ) y f x = , trục hoành và hai đường thẳng , x a x b = = là: ( ) b a S f x dx = ò . O y x b a ( ) y f x = . CHƯƠNG 3. GIỚI HẠN NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG A. Tóm tắt lí thuyết I. Giới hạn hàm số 1. Định nghĩa: 1.1. Giới hạn hàm số: Cho khoảng K chứa điểm 0 x . Ta nói rằng hàm số f(x) . ý : Ta thường sử dụng các giới hạn đặc biệt trên để tìm giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực, giới hạn các hàm số lượng giác và giới hạn hàm lũy thừa, mũ và logarít. II. Hàm số liên tục 1 hiệu, tích, thương của các giới hạn đó khi 0 x x ® (hay ; x x ® +¥ ® -¥ ) . Chú ý: Định lí trên ta chỉ áp dụng cho những hàm số có giới hạn là hữu hạn. Ta không áp dụng cho các giới hạn dần