UBND TỈNH THỪA THIÊN HUẾ KÌ THI TUYỂN SINH THPT CHUYÊN QUỐC HỌC SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Khoá ngày 24.6.2010 - Môn thi: TOÁN (CHUYÊN TIN) ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 150 phút Bài 1: (1,5 điểm) Không sử dụng máy tính cầm tay, rút gọn các biểu thức: a) 2 3 6 8 4 2 3 4 A + + + + = + + . b) ( ) 3 10 6 3. 3 1 6 2 5 5 B + − = + − . Bài 2: (1,5 điểm) Cho phương trình 2 2 9 0x mx− + = (m là tham số) a) Với giá trị nào của m thì phương trình có nghiệm ? b) Trong trường hợp phương trình có nghiệm, tìm giá trị của m để tổng các lũy thừa bậc bốn của hai nghiệm của phương trình bằng 799. Bài 3: (1,5 điểm) Một đám đất hình chữ nhật có chiều rộng bằng 2 3 chiều dài. Nếu bớt mỗi cạnh 5m thì diện tích đám đất giảm đi 16%. Tính chiều dài và chiều rộng ban đầu của đám đất Bµi 4: (3,5 điểm) a) Cho đường tròn (O, R) và điểm I ở trong đường tròn. Qua I vẽ hai dây cung bất kỳ MIN và PIQ. Gọi M’, N’, P’, Q’ lần lượt là trung điểm của IM, IN, IP, IQ . 1) Chứng minh rằng tứ giác M’P’N’Q’ là tứ giác nội tiếp. 2) Giả sử I thay đổi, các dây MIN và PIQ thay đổi. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tứ giác M’P’N’Q’có bán kính không đổi. b) Một người dùng 03 loại gạch như sau (xem hình vẽ) để lát sàn nhà hình vuông có diện tích 36 × 36 (dm 2 ). (Mỗi ô vuông nhỏ có kích thước 1 × 1 (dm 2 )) Biết loại gạch (1) có giá 950 đồng/viên; loại gạch (2) có giá 1350 đồng/viên; loại gạch (3) có giá 1050 đồng/viên. Người đó ghép các loại gạch trên thành hai mẫu sau, rồi chỉ dùng một trong hai mẫu ấy để lát sàn nhà: Mẫu 1: có kích thước 3 3× (dm 2 ); Mẫu 2: có kích thước 3 4× (dm 2 ). Biết rằng trong mỗi mẫu ghép phải có đầy đủ ba loại gạch trên. Hãy vẽ hình mô tả hai mẫu ghép trên và cho biết lát sàn theo mẫu ghép nào tốn tiền ít hơn ? B µi 5: (2,0 điểm) a) Tìm tất cả các dãy số tự nhiên chẵn liên tiếp có tổng bằng 2010. b) Một thùng đựng n lít rượu (n là số nguyên dương). Người ta muốn đong hết để làm rỗng thùng rượu mà chỉ dùng hai bình: một bình có dung tích là 1 lít và bình kia có dung tích là 2 lít; mỗi thao tác đong chỉ dùng một loại bình. Gọi S(n) là số cách đong theo thứ tự các thao tác đong để làm rỗng thùng đựng n lít rượu. Hãy liệt kê các cách đong đó để tính S(1), S(2), S(3), S(4), S(5), S(6). Từ đó rút ra quy luật để tính S(n) (không cần chứng minh). Áp dụng để tính S(10). HÕt SBD thí sinh: Chữ ký GT1: 2 UBND TỈNH THỪA THIÊN HUẾ KÌ THI TUYỂN SINH LỚP 10 CHUYÊN TIN QUÔC HỌC SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Môn thi: TOÁN - Năm học 2010-2011 ĐỀ CHÍNH THỨC §¸p ¸n vµ thang ®iÓm Bµi ý Néi dung §iÓm 1 1,5 1.a (0,75) ( ) 2 3 2 2 3 2 2 2 3 6 8 4 2 3 4 2 3 2 A + + + + + + + + + = = + + + + 1 2= + 0,5 0,25 1.b (0,75) Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 3 10 6 3. 3 1 (1 3) . 3 1 3 1 . 3 1 2+ − = + − = + − = Suy ra: ( ) 2 6 2 5 5 5 1 5 5 1 5 1+ − = + − = + − = Vậy: ( ) + − = = + − 3 10 6 3. 3 1 2 6 2 5 5 B 0,25 0,25 0,25 2 1,50 2.a (0,5) Phương trình 2 2 9 0x mx− + = (2) có: 2 ' 9m∆ = − Để phương trình có nghiệm cần và đủ là: 2 ' 9 0 3 3 3m m m hay m∆ = − ≥ ⇔ ≥ ⇔ ≤ − ≥ (*) 0,25 0,25 2.b (1,0) + Với điều kiện (*), phương trình (2) có hai nghiệm 1 x và 2 x . Theo định lý Vi-ét: 1 2 2x x m+ = vµ 1 2 9x x = Theo giả thiết: ( ) ( ) 2 2 4 4 2 2 1 2 1 2 1 2 799 2 799x x x x x x+ = ⇔ + − = ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 2 799 4 18 162 799x x x x x x m   ⇔ + − − = ⇔ − − =   4 2 16 144 637 0m m⇔ − − = (**) Đặt: 2 0t m= ≥ , phương trình (**) trở thành: 2 16 144 637 0t t⇔ − − = . Giải phương trình ta được: 1 2 12,25 ; 3,25 0t t= = − < (loại) Với 2 12,25 3,5t m m= = ⇔ = ± ( 3m ≥ thỏa điều kiện (*) Vậy: §Ó 4 4 1 2 799x x+ = thì 3,5m = ± 0,25 0,25 0,25 0,25 3 1,5 Gọi chiều dài đám đất là x (m). Điều kiện: 2 5 7,5 ( ) 3 x x cm> ⇔ > . Khi đó chiều rộng đám đất là 2 3 x (m) và diện tích đám đất là 2 2 3 x (m 2 ) 0,25 0,25 Diện tích đám đất sau khi bớt mỗi cạnh 5m: ( ) 2 5 5 3 x x   − −  ÷   (m 2 ) 0,25 Ta có phương trình ( ) 2 2 2 2 2 5 5 16% 3 3 3 x x x x   − − − = ×  ÷   2 32 2500 7500 0x x⇔ − + = . Giải phương trình ta có 1 2 75; 3,125 7,5x x= = < (loại) 0,25 0,25 1 Vậy chiều dài đám đất là 75 (m) và chiều rộng là 2 .75 50( ) 3 m= 0,25 4 3,5 4.a.1 (1,0) Hình vẽ đúng Ta có góc · · · · ' ' ' ; ' ' 'P M N PMN N Q P NQP= = (góc so le trong) Mà · · PMN NQP= (Góc nội tiếp cùng chắn cung » NP ). Nên · · ' ' ' ' ' 'P M N N Q P= Vậy tứ giác M’P’N’Q’ là tứ giác nội tiếp. 0,25 0,50 0,25 4.a.2 (0,75) Đường tròn ngoại tiếp tứ giác M ’ P ’ N’Q’ là đường tròn ngoại tiếp tam giác M’N’Q’ giả sử nó có bán kính R’. Do 'M N Q ′ ′ ∆ đồng dạng với MNQ∆ (g-g) suy ra: 1 1 2 2 R M N R R R MN ′ ′ ′ ′ = = ⇒ = (Không đổi, đpcm) 0,25 0,25 0,25 4.b (1,75) Cách ghép 1 Cách ghép 2 0,50 Với mẫu ghép 1: Kinh phí cho mỗi mẫu 3 × 3 (dm 2 ) là: 950 1350 1050 3350+ + = (đ) Để lát hết sàn nhà kích thước 36 × 36 (dm 2 ) cần 12 12 144× = mẫu gạch 3 × 3 (dm 2 ) nên số tiền cần dùng là: 144 3350 482400 × = (đ) 0,25 0,25 Với mẫu ghép 2: Kinh phí cho mỗi mẫu 3 × 4 (dm 2 ) là: 950 1350 2 1050 4400+ + × = (đ) Để lát hết sàn nhà kích thước 36 × 36 (dm 2 ) cần 12 9 108 × = mẫu gạch 3 × 4 (dm 2 ) nên số tiền cần dùng là: 108 4400 475200 × = (đ) 0,25 0,25 Như vậy, lát sàn theo cách thứ 2 tốn ít tiền hơn. 0,25 2 5 2,0 5.a (1,0) Gọi 2x là số tự nhiên chẵn đầu tiên của dãy. Theo giả thiết ta có: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 4 2 2 2010 ( 1)x x x x y y+ + + + + + + = ≥ ( ) ( ) ( ) 1 2 1005x x x x y⇔ + + + + + + + = ( ) 1 1 2 1005y x y⇔ + + + + + = ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1005 1 2 2010 2 y y y x y x y + ⇔ + + = ⇔ + + = Suy ra ( ) 1y + là ước số của 2010 1 2 3 5 67= × × × × . Nên: ( ) { } 1 2,3,5,6,10,15,30,67,134,201,335,402,670,1005,2010y + ∈ (vì 1y ≥ ) { } 1,2,4,5,9,14,29,66,133,200,334,401,669,1004,2009y⇔ ∈ + Với 1y = : 2 1 1005 2 1004x x+ = ⇔ = , dãy số cần tìm là: 1004; 1006. + Với 2y = : 2 2 670 2 668x x+ = ⇔ = , dãy số cần tìm là: 668, 670, 672. + Với 4y = : ( ) 5 2 4 2010 2 398x x+ = ⇔ = , dãy số cần tìm là: 398; 400; 402; 404; 406. + Với 5y = : ( ) 6 2 5 2010 2 330x x+ = ⇔ = , dãy số cần tìm là: 330; 332; 334; 336; 338; 340. + Với 9y = : ( ) 10 2 9 2010 2 192x x+ = ⇔ = , dãy số cần tìm là: 192;194;196; 198; 200; 202; 204; 206; 208; 210. + Với 14y = : ( ) 15 2 14 2010 2 120x x+ = ⇔ = , dãy số cần tìm là: 120; 122; 124; 126; ; 148. + Với 29y = : ( ) 30 2 29 2010 2 38x x+ = ⇔ = , dãy số cần tìm là: 38; 40; 42; 44; 46; ; 96. + Với 67y ≥ : ( ) 2 30 2 0x y x+ ≤ ⇔ < . Vậy: Chỉ có 7 dãy số tự nhiên chẵn liên tiếp thoả điều kiện bài toán là: 1) 1004; 1006 2) 668; 670; 672 3) 398; 400; 402; 404; 406 4) 330; 332; 334; 336; 338; 340 5) 192;194; 196; 198; 200; 202; 204; 206; 208; 210. 6) 120; 122; 124; 126; ; 148 7) 38; 40; 42; 44; 46; ; 96 0.25 0.25 0,50 3 5.b (1,0) n Các cách đong để làm rỗng thùng rượu Số cách đong S(n) 1 {1} (chỉ dùng bình 1 lít) S(1) = 1 2 {1+1; 2} S(2) = 2 3 {1+1+1; 2+1; 1+2} S(3) = 3 4 {1+1+1+1; 2+1+1; 1+2+1; 1+1+2; 2+2} S(4) = 5 5 {1+1+1+1+1; 2+1+1+1; 1+2+1+1; 1+1+2+1; 1+1+1+2; 2+2+1 2+1+2; 1+2+2} S(5) = 8 6 {1+1+1+1+1+1; 2+1+1+1+1; 1+2+1+1+1; 1+1+2+1+1; 1+1+1+2+1; 1+1+1+1+2; 2+2+1+1; 1+2+2+1; 1+2+1+2; 2+1+2+1; 2+1+1+2; 1+1+2+2; 2+2+2} S(6) = 13 Từ kết quả trên ta suy ra: với 3: ( ) ( 2) ( 1)n S n S n S n≥ = − + − . Dãy số S(1), S(2), S(3), , S(n) chính là dãy số Fibonacci. Suy ra: S(7) = 21; S(8) = 34; S(9) = 55; S(10) = 89. 0,25 0,25 0,25 0,25 Ghi chú: - Học sinh làm cách khác đáp án nhưng đúng vẫn cho điểm tối đa. - Điểm toàn bài không làm tròn. 4 . UBND TỈNH THỪA THI N HUẾ KÌ THI TUYỂN SINH THPT CHUYÊN QUỐC HỌC SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Khoá ngày 24.6.2010 - Môn thi: TOÁN (CHUYÊN TIN) ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 150 phút Bài. S(10). HÕt SBD thí sinh: Chữ ký GT1: 2 UBND TỈNH THỪA THI N HUẾ KÌ THI TUYỂN SINH LỚP 10 CHUYÊN TIN QUÔC HỌC SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Môn thi: TOÁN - Năm học 201 0-2 011 ĐỀ CHÍNH THỨC §¸p ¸n vµ thang. S(8) = 34; S(9) = 55; S(10) = 89. 0,25 0,25 0,25 0,25 Ghi chú: - Học sinh làm cách khác đáp án nhưng đúng vẫn cho điểm tối đa. - Điểm toàn bài không làm tròn. 4