f ∈R[a, b]  → 0 I =  b a f  f ∈R[a, b] (P n ) n∈N [a, b] |P n |→0 n →∞  b a f = lim n→∞ S(f,P n ,ξ n ) = lim n→∞ U(f,P n ) = lim n→∞ L(f,P n ) ξ n P n f ∈R[a, b] n ∈ N [a, b] n S n = b − a n n  i=1 f  a + i (b − a) n   b a f = lim n→∞ S n • S n S n • S n f(x)=x p p>0  1 0 xdx = lim n→∞ 1 n ( 1 n + 2 n + ···+ n n ) = lim n→∞ n(n +1) 2n 2 = 1 2 . lim n→∞ 1 p +2 p + ···+ n p n p+1 = lim n→∞ 1 n n  i=1  i n  p =  1 0 x p dx (= 1 p +1 )  b a x 2 dx  b a dx x , 0 <a<b [a, b] {x k = aq k ,k =0, ··· ,n} f [a, b] f ∈R[a, b] f [a, b] f ∈R[a, b] f c ∈ (a, b) M =sup{|f(x)| : a ≤ x ≤ b} >0  1 </4M a<c−  1 <c+  1 <b f [a, c− 1 ] [c+ 1 ,b] f  2 = /2(b−a) δ>0 |f(x)−f(y)| < 2 x, y ∈ [a, c− 1 ]∪[c+ 1 ,b], |x−y| <δ P [a, b] |P | <δ a = x 0 <x 1 < ···<x k−1 = c −  1 <x k = c +  1 < ···<x n = b i = k M i − m i < 2 M k − m k < 2M U(f,P) − L(f, P)=  i=k (M i − m i )∆x i +(M k − m k )∆x k < (b − a) 2 +2M 1 < f >0 δ = /(f(b)−f(a)) P = {x 0 , ··· ,x n } [a, b] |P | <δ U(f,P)−L(f,P)= n  i=1 (M i −m i )∆x i = n  i=1 (f(x i )−f(x i−1 ))∆x i <δ(f(b)−f(a) < f  f ∈R[a, b] m ≤ f ≤ M ϕ [m, M] h = ϕ ◦ f ∈R[a, b] >0 ϕ [m, M] δ>0 δ< |ϕ(x) −ϕ(y)| < |x − y| <δ f ∈R[a, b] P = {x 0 , ··· ,x n } U(f,P) − L(f, P) <δ 2 (∗) M i ,m i sup, inf f [x i−1 ,x i ] M ∗ i ,m ∗ i sup, inf h [x i−1 ,x i ] 1, ··· ,n I 1 = {i : M i − m i <δ} I 2 = {i : M i − m i ≥ δ} i ∈ I 1 M ∗ i − m ∗ i ≤  i ∈ I 2 M ∗ i − m ∗ i ≤ 2K K =sup{|ϕ(t)| : m ≤ t ≤ M} (∗) δ  i∈I 2 ∆x i ≤  i∈I 2 (M i − m i )∆x i <δ 2  i∈I 2 ∆x i <δ U(h, P) − L(h, P )=  i∈I 1 (M ∗ i − m ∗ i )∆x i +  i∈I 2 (M ∗ i − m ∗ i )∆x i <(b − a)+2Kδ < (b − a +2K).  f,g ∈R[a, b] f + g, fg,|f|, max(f,g), min(f,g) ∈ R[a, b] f,g ∈R[a, b] α ∈ R f + g ∈R[a, b]  b a (f + g)=  b a f +  b a g αf ∈R[a, b]  b a αf = α  b a f. f ≤ g [a, b]  b a f ≤  b a g. |f| [a, b] |  b a f|≤  b a |f|. a<c<b f ∈R[a, c] f ∈R[c, b]  b a f =  c a f +  b c f. |f| ϕ(t)=|t| f ∈R[a, b] |f|∈R[a, b] −|f|≤f ≤|f| f ∈R[a, b] >0 P U(f,P) − L(f, P) < P c P 1 P [a, c] P 2 P [c, b] U(f,P) − L(f, P)=(U(f,P 1 ) − L(f, P 1 )) + (U(f,P 2 ) − L(f, P 2 )) < U(f,P 1 ) − L(f, P 1 ) < U(f, P 2 ) − L(f, P 2 ) < f ∈R[a, c] f ∈R[c, b] S(f,P,ξ p )=S(f,P 1 ,ξ P 1 )+S(f,P 2 ,ξ P 2 ) |P |→0  f,g ∈R[a, b] g µ m =inff ≤ µ ≤ M =supf  b a fg = µ  b a g g =1  b a f = µ(b − a) f a<c<b  b a f = f(c)(b −a) g ≥ 0 mg ≤ fg ≤ Mg m  b a g ≤  b a fg ≤ M  b a g µ =  f a g  b a g  b a g =0 µ =0  b a g =0 g =1 f c ∈ (a, b) f(c)=µ  f [a, b]  b a f =0 f ≡ 0 f f ∈R[a, b] F (x)=  x a f(t)dt, x ∈ [a, b] F [a, b] |F (x) −F (x 0 )| =      x x 0 f(t)dt     ≤ sup a≤t≤b |f(t)||x −x 0 | f F f d dx   x a f  = f(x),x∈ [a, b] F (x +∆x) − F (x) ∆x = 1 ∆x  x+∆x x f = f(x + θ∆x) , 0 <θ<1 ∆x → 0 f F  (x)=f(x)  • f F [a, b]  b a f(x)dx = F (x)| b a = F (b) −F (a) • f J ϕ I J a, b ∈ I  ϕ(b) ϕ(a) f(x)dx =  b a f(ϕ(t))ϕ  (t)dt • u, v [a, b]  b a u(x)v  (x)dx = u(b)v(b) −u(a)v(a) −  b a v(x)u  (x)dx d dx  F (x) −  x a f  = f(x) − f(x)=0, ∀x ∈ [a, b] F (x) −  x a f = C x = a C = F (a) x = b F (x)=  x ϕ(a) f f(x) G(t)=F (ϕ(t)) G  (t)=F  (ϕ(t))ϕ  (t)=f(ϕ(t))ϕ  (t) G(t) f(ϕ(t))ϕ  (t)  b a f(ϕ(t))ϕ  (t)dt = G(b) − G(b)=F (ϕ(b)) − F (ϕ(a)) =  ϕ(b) ϕ(a) f(x)dx  x π  1 0 dx 1+x 2 =arctanx| 1 0 = π 4 1 − q n+1 1 − q =1+q + q 2 + ···+ q n q = −x 2 1 1+x 2 =1− x 2 + x 4 − x 6 + ···+(−1) n x 2n + R n , R n = (−1) n+1 x 2n+2 1+x 2 π 4 =1− 1 3 + 1 5 − 1 6 + ···+ (−1) n 2n +1 +  n | n | =       1 0 (−1) n+1 x 2n+2 1+x 2 dx      ≤      1 0 x 2n+2 dx     = 1 2n +3  a 0  a 2 − x 2 dx x = a sin t t ∈ [0, π 2 ]  a 0  a 2 − x 2 dx =  π 2 0  a 2 − a 2 sin ta cos tdt = a 2  π 2 0 cos 2 tdt = a 2 2  π 2 0 (cos 2t +1)dt = a 2 2 ( sin 2t 2 + t)     π 2 0 = a 2 π 4 I n =  π 2 0 sin n xdx (n ∈ N) n =0, 1 I 0 =  π 2 0 dx = π 2 I 1 =  π 2 0 sin xdx = −cos x| π 2 0 =1 n ≥ 2 I n =  π 2 0 sin n−1 xd(−cos x)=− sin n−1 x cos x    π 2 0 +(n − 1)  π 2 0 sin n−2 cos 2 xdx =0+(n − 1)  π 2 0 sin n−2 dx − (n − 1)  π 2 0 sin n xdx =(n − 1)I n−2 − (n − 1)I n I n = n − 1 n I n−2 (n ≥ 2) I 2n = 1.3 ···(2n −1) 2.4 ···2n π 2 I 2n+1 = 2.4 ···2n 1.3 ···2n +1 √ π = lim n→∞ 1 √ n 2.4 ···2n 1.3 ···(2n −1) 2 I n ∼  π 2n n →∞ f [−a, a]  a −a f(x)dx =2  a 0 f(x)dx f [−a, a]  a −a f(x)dx =0 f T  a+T a f(x)dx =  T 0 f(x)dx a f :[a, b] → R f ≥ 0 D = {(x, y) ∈ R 2 : a ≤ x ≤ b, 0 ≤ y ≤ f(x)} P [a, b] L(f,P)= D U(f,P)= D D S(D)=  b a f • f 1 ,f 2 [a, b] D f 1 ,f 2 S(D)=  b a |f 1 − f 2 | • D x = x(t),y = y(t) t ∈ [α, β] S(D)=       β α y(t)x  (t)dt      =       β α x(t)y  (t)dt      • D r = r(ϕ),α≤ ϕ ≤ β D = {(r cos ϕ, r sin ϕ) ∈ R 2 : α ≤ ϕ ≤ β,0 ≤ r ≤ r(ϕ} ✲ x ✻ O ∆ϕ r ϕ i−1 ϕ i P α = ϕ 0 <ϕ 1 < ···<ϕ n = β r ∆ϕ 1 2 r 2 ∆ϕ L( 1 2 r 2 ,P)= D U( 1 2 r 2 ,P)= D S(D)= 1 2  β α r 2 (ϕ)dϕ y 2 =2px, x 2 =2py p>0 f 1 (x)= √ 2px, f 2 (x)= x 2 2p f 1 (x)=f 2 (x) ⇔ x =0, 2p S =  2p 0   2px − x 2 2p  dx =  2 3  2px 3 2 − x 3 6p       2p 0 = 4 3 p 2 x 2 a 2 + y 2 b 2 ≤ 1 x = a cos t, y = b sin t S = ab  2π 0 sin 2 tdt = ab 2  2π 0 (1 − cos 2t)dt = πab r = aϕ, 0 ≤ ϕ ≤ 2π S = 1 2  2π 0 a 2 ϕ 2 dϕ = a 2 6 ϕ 3    2π 0 = 4 3 a 2 π 3 y = f(x) [0, +∞) f(0) = 0 lim x→∞ f(x)=∞ x = g(y) x, y > 0 x, y f xy ≤  x 0 f +  y 0 g (x, y ≥ 0) f(x)=x p−1 ,g(y)=y 1 p − 1 (p>0) xy ≤ x p p + y q q ( 1 p + 1 q =1) H x ∈ [a, b] Ox H S(x) H x = a x = b ✲s a s b s x S(x) ❅ ❅❘ P [a, b] L(S, P )= H U(S, P )= H H V (H)=  b a S(x)dx • H B h S(x)=B( x h ) 2 0 ≤ x ≤ h V (H)=  h 0 B( x h ) 2 dx = 1 3 Bh • H H R 3 Ox D = {(x, y):a ≤ x ≤ b, 0 ≤ y ≤|f(x)|} f [a, b] S(x)=πf 2 (x) H V (H)=  b a πf 2 (x)dx x 2 + y 2 + z 2 ≤ Ra2 Ox y = f(x)= √ R 2 − x 2 , −R ≤ x ≤ R V =  R −R π(R 2 − x 2 )dx = 4 3 πR 3 C = {(x, y) ∈ R 2 : a ≤ x ≤ b, y = f(x)} P = {x 0 ,x 1 , ··· ,x n } [a, b] M i (x i ,f(x i )) C ✲ x ✻ y a b s s x i−1 M i−1 x i M i s s M i−1 M i  ∆x 2 i +∆y 2 i =  1+f  (c i ) 2 ∆x i , x i−1 ≤ c i ≤ x i S(  1 − f 2 ,P,{c i })= M 0 M 1 ···M n f C l(C)=  b a  1+f  2 (x)dx • C x = x(t),y = y(t) t ∈ [α, β] l(C)=  β α  x  2 (t)+y  2 (t)dt • C r = r(ϕ),α≤ ϕ ≤ β x = r cos ϕ, y = r sin ϕ l(C)=  β α  r 2 (ϕ)+r  2 (ϕ)dϕ x = a cos 3 t, y = a sin 3 t l =4  π 2 0  (−3a sin t cos 2 t) 2 +(3a cos t sin 2 t) 2 dt =6a  π 2 0 sin 2tdt = −3a cos 2t| π 2 0 =6a r = aϕ l =  2π 0  a 2 ϕ 2 + a 2 dϕ = a  2π 0  ϕ 2 +1dϕ = a( ϕ 2  ϕ 2 +1+ 1 2 ln |ϕ +  ϕ 2 +1|)     2π 0 = a 2 (2π  4π 2 +1+ln(2π +  4π 2 +1)) f :[a, b] → R Ox S =2π  b a |f(x)|  1+f  2 (x)dx R f(x)= √ R 2 − x 2 , −R ≤ x ≤ R S =2π  R −R  R 2 − x 2  1+  −x √ R 2 − x 2  2 dx =2πR  R −R dx =4πR 2 [a, b]  b 0 dx 1+x 2 =arctanb → π 2 b → +∞  1 a dx √ x =2− 2 √ a → 2 a → 0 +  b 1 dx x =lnb → +∞ b → +∞  b 0 cos xdx =sinb b → +∞ [...]... nghóa tích phân suy rộng b a f (x)dx = c1 a1 f (x)dx + a2 c1 f (x)dx + · · · + cn 1 an 1 −∞ ≤ a = a 1 < a2 < f (x)dx + an cn 1 f (x)dx trong đó ai < ci < ai +1 , với gỉa thiết các tích phân vế phải hội tụ 1 1 khi Ví dụ Do nguyên hàm của p là x (p − 1) xp 1 nên +∞ dx hội tụ khi và chỉ khi p > 1 p 1 0 1 x dx xp hội tụ khi và chỉ khi p = 1, và là ln |x| khi p = 1, p < 1 Nhận xét • Do đònh nghóa tích phân...80 4 .1 Tích phân suy rộng loại 1 Gỉa sử xác đònh trên [a, +∞) và khả tích trên mỗi đoạn hữu hạn [a, b] với b > a Khi đó tích phân suy rộng loại 1 của f trên [a, +∞) được ký hiệu và đònh nghóa +∞ f b f (x)dx = lim f (x)dx b→+∞ a a nếu giới hạn vế phải tồn tại Nếu giới hạn trên hữu hạn thì tích phân trên gọi là hội tụ, trường hợp ngược lại thì gọi... suy rộng là việc qua giới hạn của tích phân trên đoạn nên 81 Chương IV Phép tính tích phân các tính chất: tuyến tính, bất đẳng thức, phân đoạn, · · · , vẫn đúng đối với tích phân suy rộng • Ta cũng có thể tính tích phân suy rộng bằng các công thức Newton-Leibniz, đổi biến hay tích phân từng phần Cũng từ lý thuyết giới hạn ta có tiêu chuẩn sau: 4.3 Tiêu chuẩn Cauchy (1) Cho f xác đònh trên +∞ [a, +∞)... a f (x)dx hội tụ khi và chỉ khi với mọi > 0, tồn tại ∆ > 0, sao cho với mọi b1 , b2 > ∆, ta có b2 f (x)dx < b1 b (2) Cho f xác đònh trên [a, b) Khi đó f (x)dx hội tụ khi và chỉ khi với mọi a b1 , b2 tồn tại δ > 0, sao cho với mọi b − δ < b2 > 0, < b, ta có f (x)dx < b1 4.4 Các dấu hiệu hội tụ (1) Trường hợp tích phân loại 1: Cho có các dấu hiệu sau: Hội tụ tuyệt đối: Nếu +∞ a f, g là các hàm xác đònh... kỳ tương ứng 4.2 Tích phân suy rộng loại 2 Gỉa sử đoạn [a, b − ] với hiệu và đònh nghóa > 0 f xác đònh trên [a, b) và khả tích trên mỗi Khi đó tích phân suy rộng loại 2 của f trên [a, b) được ký b f (x)dx = lim b− →0+ a a f (x)dx nếu giới hạn vế phải tồn tại Nếu giới hạn trên hữu hạn thì tích phân trên gọi là hội tụ, trường hợp ngược lại thì gọi là phân kỳ Tương tự, ta đònh nghóa tích phân suy rộng... a +∞ +∞ a |f (x)|dx hội tụ f (x)dx < ∞, còn ϕ là hàm khả vi liên tục, đơn điệu và a hội tụ f (x)ϕ(x)dx Chứng minh: Ta kiểm tra tiêu chuẩn Cauchy Dùng lại ký hiệu ở 4.3 Dấu hiệu đầu suy từ b2 b1 f (x)dx ≤ b2 b1 |f (x)|dx . =  ϕ(b) ϕ(a) f(x)dx  x π  1 0 dx 1+ x 2 =arctanx| 1 0 = π 4 1 − q n +1 1 − q =1+ q + q 2 + ···+ q n q = −x 2 1 1+x 2 =1 x 2 + x 4 − x 6 + ···+( 1) n x 2n + R n , R n = ( 1) n +1 x 2n+2 1+ x 2 π 4 =1 1 3 + 1 5 − 1 6 +. = a 1 <a 2 < ···<a n = b ≤ +∞  b a f(x)dx =  c 1 a 1 f(x)dx +  a 2 c 1 f(x)dx + ···+  c n 1 a n 1 f(x)dx +  a n c n 1 f(x)dx a i <c i <a i +1 1 x p 1 (p − 1) x p 1 p  =1 ln|x|. sin n 1 x cos x    π 2 0 +(n − 1)  π 2 0 sin n−2 cos 2 xdx =0+(n − 1)  π 2 0 sin n−2 dx − (n − 1)  π 2 0 sin n xdx =(n − 1) I n−2 − (n − 1) I n I n = n − 1 n I n−2 (n ≥ 2) I 2n = 1. 3 ···(2n 1) 2.4