KIẾN THỨC CƠ BẢN TOÁN 12 GV: PHAN MINH TÂM GIẢI TÍCH 12 PHẦN I. HÀM SỐ DẠNG 1. KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 1, Sơ đồ khảo sát hàm số bậc 3, trùng phương: * TXĐ: D = R hoặc x R∀ ∈ * Tính y’ . Cho y’ = 0, tìm các nghiệm của y’. * Lập bảng biến thiên: x - ∞ các nghiệm y’ từ nhỏ đến lớn + ∞ y’ Xét dấu y’ y Vẽ chiều biến thiên, điền CĐ; CT; giới hạn Kết luận: + Khoảng đồng biến, nghịch biến; + x CĐ ; y CĐ ; x CT ;y CT + lim = ±∞→ y x * Chọn các điểm đặc biệt rồi vẽ đồ thị. 2, Sơ đồ khảo sát hàm số nhất biến: DCx BAx y + + = * TXĐ: D = R\ { } CD / − Hoặc C D x − ≠∀ * 2 )( ' DCx BCAD y + − = ; dựa vào tử số của y’ ta biết được y’>0 hay y’<0 trên D. * Lập bảng biến thiên: x - ∞ -D/C + ∞ y’ dấu y’ || dấu y’ y chiều mũi tên giới hạn Kết luận: + Hàm số luôn đồng biến (hoặc nghịch biến) trên TXĐ + lim = ±∞→ y x ; lim = ± −→ y C D x Suy ra TCĐ: x = -D/C; TCN: y = A/C * Chọn các điểm đặc biệt, rồi vẽ đồ thị. DẠNG 2. VIẾT PTTT TUYẾN CỦA HÀM SỐ TẠI 1 ĐIỂM TRÊN (C): oo yxxky +−= )( ; trong đó, k = f’(x o ) 1, Biết x o ta dễ dàng tìm được y o ; k = f’(x o ) 2, Biết y o , giải phương trình y o = f(x o ) ta tìm được x o ; k = f’(x o ) 3, Biết k, giải phương trình f ’(x o ) = k ta tìm được x o ; y o . * Lưu ý: + Tiếp tuyến song song với y = ax + b ta có hệ số góc k = a; + Tiếp tuyến vuông góc với y = ax + b ta có hệ số góc k = a 1 − DẠNG 3. TÌM GTLN, GTNN TRÊN [a;b]: * TXĐ: D = [a;b] /opt/scribd/conversion/tmp/scratch6228/52100740.doc 1 KIẾN THỨC CƠ BẢN TOÁN 12 GV: PHAN MINH TÂM * Tính y’ = 0, tìm các nghiệm của y’ trên (a;b) * Tính y(a); y(b); y(các nghiệm trên (a;b)) => Dựa vào các kết quả ta so sánh để tìm được giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho. DẠNG 4. DÙNG ĐỒ THỊ (C) BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH: Giả sử, đồ thị (C) có hàm số y = f(x) • Đưa phương trình đã cho về dạng: f(x) = g(m) • Số nghiệm của phương trình đã cho chính là số giao điểm của hai đồ thị y = f(x) và y = g(m). Dựa vào đồ thị ta suy ra số nghiệm của phương trình đã cho. PHẦN II. HÀM SỐ MŨ – LÔGARIT 1, Công thức cần nhớ: ( ) ( ) ( ) . . ( 0) . . x y x y x x y y y x x y x y x y x y x x x a a a a a a a a a a a a a b a b + − = = = = = > = ( ) log log log . log log log log .log 1 log log 1 log log b a a a a a a b a a a a a b x y x y x x y y x b x x x b b a + =   − =     = = = 2, Phương trình mũ, lôgarit: • Tổng quát: log log X a b a a b X b X b X a = ⇔ = = ⇔ = • Đặc biệt: log log X Y a a a a X Y X Y X Y = ⇔ = = ⇔ = * Các dạng toán: Đưa về cùng cơ số  Đặt ẩn phụ  Lôgarit hóa (hoặc mũ hóa) 3, Bất phương trình mũ, lôgarit: a > 1: hàm số đồng biến; 0 < a < 1: hàm số nghịch biến. /opt/scribd/conversion/tmp/scratch6228/52100740.doc 2 KIẾN THỨC CƠ BẢN TOÁN 12 GV: PHAN MINH TÂM PHẦN III. NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN 1, BẢNG CÔNG THỨC Theo x Theo u (hàm hợp) c’ = 0 (với c là 1 số); x’ = 1; (a.x)’ = a; ( ) ( ) ( ) ' ' ' 2 3 2 4 3 2 ; 3 ; 4x x xx x x= = =  ( ) ' 1 . a a x a x − = ( ) ' 1 . . ' a a u a u u − = ( ) ' 2 ax d-bc x b a cx d c d +   =   +   + ( ) ' 1 2 x x = ( ) ' ' 2 u u u = (e x )’=e x (e u )’=e u .u’ ( ) ' 1 ln x x = ( ) ' ' ln u u u = (sinx)’=cosx (cosx)’ = - sinx (sinu)’ = cosu. u’ (cosu)’ = - sinu. u’ (tanx)’ = 2 1 cos x (cotx)’ = 2 1 sin x − 1.dx x C= + ∫ ; . .a dx a x C= + ∫ (với a là 1 số) ( ) ∫ −≠+ + = + 1 1 1 α α α α C x dxx ( ) 1 1 1 t t dt C α α α α + = + ≠− + ∫ ∫ +−= C x dx x 11 2 2 1 1 dt C t t =− + ∫ ∫ += Cxdx x ||ln 1 1 ln | |dt t C t = + ∫ ∫ += Cedxe xx t t e dt e C= + ∫ ∫ += Cxdxx sin.cos cos . sint dt t C= + ∫ ∫ +−= Cxdxx cos.sin sin . cost dt t C=− + ∫ ∫ += Cxdx x tan. cos 1 2 2 1 . tan cos dt t C t = + ∫ ∫ +−= Cxdx x cot. sin 1 2 2 1 . cot sin dt t C t = − + ∫ * Chú ý: Nếu trong công thức x thay bởi biểu thức (ax + b) thì ta áp dụng tương tự và nhân thêm kết quả nguyên hàm biểu thức 1 a . Ví dụ: ( ) ( ) 3 2 3 2 1 1 . ; sin 2 . 2 3 2 x x x x x os xe d e C d c C − − = + = − + ∫ ∫ /opt/scribd/conversion/tmp/scratch6228/52100740.doc 3 Đ Ạ O HÀ M N G U Y Ê N H À M KIẾN THỨC CƠ BẢN TOÁN 12 GV: PHAN MINH TÂM 2, TÍCH PHÂN: a, Định nghĩa: ( ) ( )| ( ) ( )x b b a a I f x d F x F b F a = = = − ∫ b, Phương pháp đổi biến số: I = ( ). '. x b a f u u d ∫  Đặt t = u(x)  dt = u’.dx  Đổi cận: x = b  t = b’ o x = a  t = a’  Thay vào đưa bài toán tích phân về theo biến số t. c, Phương pháp tích phân từng phần: I = . | . b b b a a a u dv uv v du= − ∫ ∫ • Nhận dạng: Nếu có ln ta đặt u = ln; dv = còn lại • Đặc biệt: (1): ( ).ln .x x b a P x d ∫ Đặt u = lnx  du = 1 xd x dv = P(x)  v = nguyên hàm của P(x) (2): ( ). x b x a P x e d ∫ Đặt u = P(x)  du = P’.dx dv = e x .dx  v = e x (3): ( ).sin . x b a P x x d ∫ Đặt u = P(x)  du = P’.dx dv = sinx.dx  v = -cosx (4): ( ).cos .x x b a P x d ∫ Đặt u = P(x)  du = P’.dx dv = cosx.dx  v = sinx 3, ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN: • DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG: | ( ) ( ) | x b a S f x g x d= − ∫ • THỂ TÍCH VẬT THỂ: [ ] 2 ( ) x b a V f x d π = ∫ * Chú ý: Nếu đề bài chưa cho cận a, b ta giải phương trình f(x) – g(x) = 0 để tìm nghiệm. * Để giải tích phân có chứa dấu giá trị tuyệt đối ta thực hiện như sau: + Tìm nghiệm f(x) – g(x) = 0. + Nếu tồn tại nghiệm x = c (a < c < b) thì ta tách tích phân thành ( ) ( ) | ( ) ( ) | | ( ) ( )| | ( ) ( ) | ( ) ( ) ( ) ( ) x x x x x b c b a a c c b a c S f x g x d f x g x d f x g x d f x g x d f x g x d = − = − + − = − + − ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ /opt/scribd/conversion/tmp/scratch6228/52100740.doc 4 KIẾN THỨC CƠ BẢN TOÁN 12 GV: PHAN MINH TÂM PHẦN IV. SỐ PHỨC 1, Định nghĩa: • Số phức: z = a + bi, trong đó: a là phần thực, b là phần ảo, i 2 = -1 • Môđun của số phức z là 2 2 z a bi a b= + = + • Số phức liên hợp của z là z a bi= − • Số thực a cũng được coi là số phức z = a + 0i • Số thuần ảo là số có phần thực bằng 0 2, Tính chất: Cho hai số phức: 1 1 1 2 2 2 ;z a b i z a b i= + = + . Khi đó: • 1 2 1 2 1 2 a a z z b b =  = ⇔  =  • ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 z z a a b b i+ = + + + • ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 z z a a b b i− = − + − • ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1 . . . .z z a b i a b i a a b b a b a b i= + + = − + + • ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 . ( 0) . a bi a b i z z z z z z z a b i a b i + − = = ≠ + − 3, Phương trình bậc hai với hệ số thực: Cho phương trình bậc hai Ax 2 + Bx + C = 0 (với a,b,c thuộc R và a khác 0) Xét 2 4AB C∆ = − , khi đó:  Nếu 0∆ > thì phương trình có 2 nghiệm thực 1 2 2 2 A A B x B x  − + ∆ =    − − ∆ =    Nếu 0∆ = thì phương trình có 1 nghiệm thực 2A B x − =  Nếu 0∆< thì phương trình có 2 nghiệm phức: 1 2 2 2 A A B i x B i x  − + ∆  =   − − ∆  =   Chú ý: Trên tập số phức phương trình bậc n có đúng n nghiệm phức. End /opt/scribd/conversion/tmp/scratch6228/52100740.doc 5 KIẾN THỨC CƠ BẢN TOÁN 12 GV: PHAN MINH TÂM HÌNH HỌC 12 PHẦN I. HÌNH HỌC KHÔNG GIAN 1, Công thức thể tích, diện tích xung quanh: /opt/scribd/conversion/tmp/scratch6228/52100740.doc 6 KIẾN THỨC CƠ BẢN TOÁN 12 GV: PHAN MINH TÂM  Thể tích khối chóp: 1 3 V = S đáy .h  Thể tích khối nón: 2 1 3 V R h π =  Thể tích lăng trụ: V = S đáy .h  Thể tích khối trụ: V = 2 R h π  Thể tích khối cầu: 3 4 3 V R π =  Diện tích xung quanh mặt cầu: V = 2 4 R π  Diện tích xung quanh hình nón: V = 2 π Rl  Diện tích xung quanh hình trụ: V = 2 π R.h /opt/scribd/conversion/tmp/scratch6228/52100740.doc 7 KIẾN THỨC CƠ BẢN TOÁN 12 GV: PHAN MINH TÂM 2, Công thức diện tích:  Hình vuông: S = cạnh 2  Tam giác: S = 1 2 a.h  Tam giác đều: S = 2 3 4 a ; tam giác vuông: S = 1 2 tích 2 cạnh góc vuông  Hình chữ nhật: S = ab 3, Hệ thức trong tam giác: a, Tam giác vuông:  Pitago: h 2 = 2 2 1 2 c c+  sin  đối/huyền  cosin  kề /huyền  tan  đối/kề * AH là chiều cao tam giác ABC vuông tại A: 2 2 2 1 1 1 AH AB AC = + b, Định lí cosin: a 2 = b 2 + c 2 – 2bccosA 4, Một số dạng toán:  Xác định góc giữa đthẳng và MP: là góc giữa đt và hình chiếu của nó lên mặt phẳng.  Xác định góc giữa hai MP: là góc giữa hai đthẳng lần lượt vuông góc với giao tuyến.  Xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp đa diên: - Xác định tâm O của đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy. - Dựng đường thẳng d qua O và vuông góc đáy - Trong mp chứa cạnh bên và d, dựng đường trung trực của cạnh bên cắt d tại I, khi đó I là tâm của mặt cầu ngoại tiếp đa diện. (có thể dựng mặt phẳng trung trực của cạnh bên) /opt/scribd/conversion/tmp/scratch6228/52100740.doc 8 KIẾN THỨC CƠ BẢN TOÁN 12 GV: PHAN MINH TÂM PHẦN II. HÌNH HỌC TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN 1, Tọa độ điểm, véctơ trong không gian: a, TỌA ĐỘ VÉCTƠ: Cho véctơ . . .a x i y j z k= + + r r r r , • Tọa độ của véctơ a r là: ( ) ; ;a x y z= r • Độ dài véctơ 2 2 a: |a|= x y z 2 + + r r • Hai véctơ ;a b r r cùng phương khi tồn tại số k sao cho .a k b= r r . b, TỌA ĐỘ ĐIỂM: Cho điểm ( ) ( ) ( ) ; ; ; ; ; ; ; ; A A A B B B C C C A x y z B x y z C x y z . Khi đó: ( ) ; ; B A B A B A AB x x y y z z= − − − uuur AB = ( ) ( ) 2 2 2 ( ) B A B A B A AB x x y y z z= − + − + − uuur Trung điểm đoạn thẳng AB: ; ; 2 2 2 A B A B A B x x y y z z I + + +   =     Trọng tâm tam giác ABC: ; ; 3 3 3 A B C A B C A B C x x x y y y z z z G + + + + + +   =     2, Phương trình mặt cầu: Cho mặt cầu (S) có tâm I(a;b;c); bán kính R. Phương trình (S): ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 x a y b z c R− + − + − = Hoặc 2 2 2 2 2 2 0ax zx y z by c d+ + − − − + = (*) ; với 2 2 2 2 d a b c R= + + − Chú ý:+ Đường kính mặt cầu d = 2R nên R = 2 d ; + Điểm M thuộc mặt cầu khi tọa độ thỏa (*) + Nếu AB là đường kính thì tâm của mặt cầu chính là trung điểm của đoạn AB. 3, Phương trình mặt phẳng: a, Định nghĩa: Cho mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D = 0; Véc tơ pháp tuyến ( ) ; ;n A B C= r • Nếu (P) có cặp véc tơ có giá song song hoặc nằm trên (P) là 1 2 ;u u r r thì vtpt của mp (P) là 1 2 n u u= ∧ r r r (tích có hướng cặp vt 1 2 ;u u r r ) • Hai mp song song nhận vtpt mp này làm vtpt của mp kia. b, Vị trí tương đối giữa hai mặt phẳng: Cho hai mp (P): Ax + By + Cz + D = 0; (Q): A’x + B’y + C’z + D’ = 0; • (P) // (Q) khi ' ' ' ' A B C D A B C D = = ≠ • (P) ≡ (Q) Khi ' ' ' ' A B C D A B C D = = = • (P) cắt (Q) khi hai véc tơ pháp tuyến không cùng phương ( ) P Q n kn≠ r r c, Khoảng cách từ 1 điểm đến 1 mặt phẳng: Cho điểm A(x o ;y o ;z o ) và (P): Ax+By+Cz+D=0 Khoảng cách từ A đến (P) là ( ) 2 2 2 | Ax z | ,( ) o o o By C d A P A B C + + = + + * Lưu ý: + Khoảng cách giữa hai mp song song là khoảng cách từ một điểm bất kì trên mp này đến mặt phẳng kia. + Mặt phẳng tiếp xúc mặt cầu (tiếp diện của mặt cầu) khi d(I,(P)) = R /opt/scribd/conversion/tmp/scratch6228/52100740.doc 9 KIẾN THỨC CƠ BẢN TOÁN 12 GV: PHAN MINH TÂM 4, Phương trình đường thẳng: a, Dạng phương trình: Đường thẳng d đi qua điểm M(x o ;y o ;z o ) và có véctơ chỉ phương là ( ) ; ;u a b c= r có phương trình: * Phương trình tham số: ( ) 0 0 0 x x at y y bt t R z z ct = +   = + ∈   = +  * Phương trình chính tắc: 0 0 0 x x y y z z a b c − − − = = b, Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng: Cho hai đường thẳng trong không gian d: 1 1 1 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2 : ; : x x a t x x a t d y y bt d y y b t z z c t z z c t = + = +     = + = +     = + = +   * Nếu hai vectơ chỉ phương của d 1 ; d 2 cùng phương và: + điểm M 1 thuộc d 1 không thuộc d 2 thì d 1 ; d 2 song song nhau. + điểm M 1 thuộc d 1 và thuộc luôn d 2 thì d 1 ; d 2 trùng nhau. * Nếu hai vectơ chỉ phương của d 1 ; d 2 không cùng phương và hpt 1 1 1 2 2 2 1 1 1 2 2 2 1 1 1 2 2 2 x a t x a t y b t y b t z c t z c t + = +   + = +   + = +  + có duy nhất 1 nghiệm thì d 1 ; d 2 cắt nhau tại 1 điểm duy nhất. + vô nghiệm thì hai đường thẳng d 1 ; d 2 chéo nhau. c, Hai đường thẳng vuông góc: Tích vô hướng của hai vtcp 1 2 . 0u u = ur uur Hết Chúc các em thành công!!!!!!!!!! /opt/scribd/conversion/tmp/scratch6228/52100740.doc 10 . 5 KIẾN THỨC CƠ BẢN TOÁN 12 GV: PHAN MINH TÂM HÌNH HỌC 12 PHẦN I. HÌNH HỌC KHÔNG GIAN 1, Công thức thể tích, diện tích xung quanh: /opt/scribd/conversion/tmp/scratch6228/52100740.doc 6 KIẾN THỨC. biến. /opt/scribd/conversion/tmp/scratch6228/52100740.doc 2 KIẾN THỨC CƠ BẢN TOÁN 12 GV: PHAN MINH TÂM PHẦN III. NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN 1, BẢNG CÔNG THỨC Theo x Theo u (hàm hợp) c’ = 0 (với c là 1 số); x’. KIẾN THỨC CƠ BẢN TOÁN 12 GV: PHAN MINH TÂM GIẢI TÍCH 12 PHẦN I. HÀM SỐ DẠNG 1. KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 1, Sơ đồ khảo