Tóm tắt lý thuyết CHNG I : CHUI HM 1) ĐịNH NGHĩA Chui số chứa biểu thức thuộc nhiều tập hợp bao gồm số thực, số phức hàm Định nghĩa với số thực, tổng quát hóa Cho dãy số thực vô hạn {an}, gọi tổng hữu hạn đến N dãy số {an}, hay tổng hữu hạn chuỗi số Một chuỗi số dãy tổng hữu hạn {SN} [sửa] Nhầm lẫn có Khi nói chuỗi số, người ta dãy tổng hữu hạn {SN}, nói tổng chuỗi số, hay gọi giới hạn dãy tổng hữu hạn (xem định nghĩa phần sau) Để phân biệt hai khái niệm hoàn toàn khác biệt (một bên chuỗi số, bên tổng giá trị), người ta bỏ không viết giới hạn (bên bên ký hiệu tổng), ví dụ như: để chuỗi vơ hạn Chuỗi có khơng tương đương với giá trị hữu hạn [sửa] Chuỗi hội tụ Chuỗi   ∑an  gọi 'hội tụ' dãy tổng hữu hạn {SN} có giới hạn hữu hạn Nếu giới hạn SN vô hạn không tồn tại, chuỗi số gọi phân kỳ Khi giới hạn dãy tổng vô hạn tồn tại, giới hạn gọi tổng chuỗi số Cách dễ để chuỗi vô hạn hội tụ an không với n đủ lớn Dễ thấy chuỗi số viết dạng tổng hữu hạn, chuyện dãy số vơ hạn khơng có ý nghĩa Tìm giá trị chuỗi hội tụ kể tất biểu thức khác không tiêu điểm việc nghiên cứu chuỗi Xem xét ví dụ sau: Hồng anh tài Anhtai121291@gmail.com Có thể "hình dung" hội tụ chuỗi trục số thực: ta hình dung đoạn thẳng có chiều dài 2, bơi đen phần với chiều dài 1, ½, ¼, v.v Ln ln cịn chỗ để bơi đen phần phần đoạn thẳng cịn lại ln ln phần đoạn thẳng vừa đánh dấu Thật vậy, ta bơi đen ½, ta cịn phần có chiều dài ½ chưa bị bơi đen, nên hồn tồn bơi đen tiếp ¼, Điều không chứng minh tổng (mặc dù thế), chứng minh tổng nhỏ Nói cách khác, chuỗi có giới hạn Tốn học gia mở rộng đặc ngữ để thể khái niệm khác, tương đương chuỗi Ví dụ, ta nói số thực lặp phần thập phân, như: thực ta nói chuỗi số mà thể (0.1 + 0.01 + 0.001 + …) Tuy nhiên, chuỗi ln hội tụ số thực (bởi tính tồn diện số thực), nói chuỗi số theo cách giống nói số mà chúng thể Đặc biệt, không nên thấy bất hợp lý coi 0.111… 1/9 Lập luận × 0.111… = 0.999… = khơng hiển nhiên, hồn tồn chứng minh biết định luật giới hạn bảo tồn phép tính số học Xem 0.999 để biết thêm chi tiết >>Một số dạng chuỗi vô hạn • Chuỗi hình học chuỗi mà hạng tử tích hạng tử đứng trước với số Chẳng hạn: Tổng quát, chuỗi hình học • hội tụ |z| < Chuỗi điều hịa chuỗi • Chuỗi đan dấu chuỗi số hạng đan dấu Chẳng hạn: • Chuỗi Hồng anh tài Anhtai121291@gmail.com • hội tụ r > phân kỳ r ≤ 1, mơ tả tốt cho tiêu chuẩn hội tụ tích phân Khi xem hàm r, tổng chuỗi hàm zeta Riemann Chuỗi lồng hội tụ dãy bn hội tụ tới giới hạn L n dần tới vô cực Giá trị chuỗi b1 − L Các tính chất chuỗi Chuỗi phân loại không theo chúng hội tụ hay phân kỳ: chúng cịn phân biệt dựa vào tính chất biểu thức an (hội tụ tuyệt đối hay có hội tụ có điều kiện); kiểu hội tụ chuỗi (theo điểm hay đều); dạng biểu thức an (số thực, cấp số, hàm lượng giác); vân vân Biểu thức không âm Khi an số thực không âm với n, chuỗi tổng phần SN khơng giảm dần Do chuỗi ∑an với tồn biểu thức không âm hội tụ dãy tổng phần SN bị giới hạn Ví dụ, chuỗi hội tụ, có bất đẳng thức theo lập luận chuỗi lồng nhau, tổng phần bị giới hạn [sửa] Hội tụ tuyệt đối Bài chi tiết: Hội tụ tuyệt đối Một chuỗi gọi hội tụ tuyệt đối chuỗi gồm toàn giá trị tuyệt đối biểu thức hội tụ Có thể chứng minh điều kiện đủ để không chuỗi gốc hội tụ giới hạn, mà chuỗi tạo cách xếp lại biểu thức chuỗi gốc hội tụ giới hạn [sửa] Hội tụ có điều kiện Bài chi tiết: Hội tụ có điều kiện Hoàng anh tài Anhtai121291@gmail.com Một chuỗi số thực số phức gọi hội tụ có điều kiện (hoặc hội tụ bán phần) hội tụ khơng hội tụ tuyệt đối Một ví dụ tiếng chuỗi đan dấu Chuỗi hội tụ (có tổng biểu thức ln 2), chuỗi gồm toàn giá trị tuyệt đối biểu thức chuỗi lại chuỗi phân kỳ (xem chuỗi điều hịa) Định lý chuỗi Riemann nói chuỗi hội tụ có điều kiện xếp lại để trở thành chuỗi phân kỳ, nữa, an số thực ta tìm cách xếp cho chuỗi hội tụ có tổng số thực S Abel's test is an important tool for handling semi-convergent series If a series has the form where the partial sums BN = b0 + ··· + bn are bounded, λn has bounded variation, and lim λnBn exists: then the series ∑an is convergent This applies to the pointwise convergence of many trigonometric series, as in with < x < 2π Abel's method consists in writing bn+1 = Bn+1 − Bn, and in performing a transformation similar to integration by parts (called summation by parts), that relates the given series ∑an to the absolutely convergent series Ví dụ Ví dụ, danh sách số có dấu cộng sau + + + + chuỗi vô hạn Nó biểu diễn - Hoàng anh tài Anhtai121291@gmail.com Chuỗi lũy thừa chuỗi hàm có dạng Nếu sử dụng phép tịnh tiến chuỗi lũy thừa đưa dạng Bán kính hội tụ chuỗi lũy thừa Xét chuỗi lũy thừa dạng Dễ thấy, chuỗi hội tụ điểm điểm Chẳng hạn, chuỗi điểm có chuỗi lũy thừa hội tụ hội tụ tồn số thực dương Tuy nhiên, chuỗi (1) hội tụ (cũng ) cho miền hội tụ khoảng đóng, khoảng mở nửa khoảng tâm điểm bán kính $R.$ Số $R gọi bán kính hội tụ chuỗi (1) Định lý 29 (Abel) Nếu chuỗi (1) hội tụ điểm Hồng anh tài Anhtai121291@gmail.com hội tụ tuyệt đối khoảng Hệ 30 Nếu chuỗi (1) phân kỳ điểm phân kỳ điểm ngồi đoạn Ký hiệu miền hội tụ chuỗi (1) Đặt Nếu Nếu R>0 cịn Theo định lý Abel, số thực thỏa mãn 00$ hội tụ tuyệt đối đoạn khoảng hội tụ Các tính chất tổng chuỗi lũy thừa Tương tự định lý: định lý 26, định lý 27, định lý 28, với tổng chuỗi lũy thừa ta có kết sau đây: Hoàng anh tài Anhtai121291@gmail.com Định lý 32 Giả sử chuỗi lũy thừa hàm có bán kính hội tụ R>0; miền hội tụ X ; tổng Khi đó, (i) hàm liên tục ; (ii) hàm khả vi liên tục cấp vô hạn khoảng (iii) hàm khả tích đoạn khoảng hội tụ Nói riêng, với ta có Theo khẳng định tụ định lý 32, hàm khả vi liên tục cấp khoảng hội Lấy đạo hàm số hạng cấp Hoàng anh tài Anhtai121291@gmail.com thay ta có Hệ 33 Các hệ số chuỗi (ở tổng chuỗi miền hội tụ) tính theo cơng thức Nếu tồn lân cận điểm cho Chuỗi Taylor Giả sử hàm số xác định lân cận điểm khả vi cấp Khi chuỗi lũy thừa gọi chuỗi Taylor hàm Hoàng anh tài Anhtai121291@gmail.com Chuỗi Taylor điểm gọi chuỗi Mac Laurin Như vậy, chuỗi Mac Laurin hàm Ta nói hàm số chuỗi lũy thừa khai triển thành chuỗi lũy thừa lân cận điểm tồn chuỗi lũy thừa có bán kính hội tụ R>0 lân cận Khi hàm số điểm cho khai triển thành chuỗi lũy thừa lân cận điểm , theo hệ 33 Như vậy, khai triển thành chuỗi lũy thừa lân cận điểm Hồng anh tài Anhtai121291@gmail.com Theo tính chất khả vi tổng chuỗi lũy thừa khoảng hội tụ, với Hay Từ suy Lấy đạo hàm số hạng chuỗi vế trái, ta 66 Chứng minh Hướng dẫn Nếu thay khai triển Hoàng anh tài Anhtai121291@gmail.com ta có ta Vởy Theo tính chất khả tích tổng chuỗi lũy thừa, Từ suy Hay 67 Tính tổng chuỗi Hồng anh tài Anhtai121291@gmail.com Hướng dẫn Xét chuỗi lũy thừa Dễ dàng nhận thấy miền hội tụ chuỗi Do tính chất liên tục tổng chuỗi lũy thừa miền hội tụ, ta chuyển dấu giới hạn bên phải điểm tổng Tức là, Hay Suy 68 Tìm miền hội tụ tính tổng Từ chứng minh Hồng anh tài Anhtai121291@gmail.com qua dấu Hướng dẫn Ta có Theo dấu hiệu D'Alembert, chuỗi hội tụ Như vậy, bán kính hội tụ chuỗi lũy thừa cho ta có chuỗi đan dấu Vì dãy số đơn điệu giảm 0, theo tiêu chuẩn Leibnitz, chuỗi đan dấu chuỗi hội tụ Vậy miền hội tụ chuỗi cho Để tính tổng, ta sử dụng khai triển Hoàng anh tài Anhtai121291@gmail.com Thay ta Do tính liên tục tổng chuỗi lũy thừa miền hội tụ, ta có 69 Cho chuỗi lũy thừa (a) Tìm bán kính hội tụ tìm miền hội tụ chuỗi cho Chứng minh chuỗi liên tục miền hội tụ (b) Tìm tổng với (c) Tính tổng chuỗi số Hướng dẫn Hồng anh tài Anhtai121291@gmail.com (a) Ta có Do Bán kính hội tụ Khi ta có chuỗi Vì nên chuỗi lũy thừa cho hội tụ tuyệt đối Hoàng anh tài Anhtai121291@gmail.com Vậy miền hội tụ chuỗi cho Với ta có Chuỗi cho so sánh với chuỗi số dương hội tụ Theo dấu hiệu Weiersstras, chuỗi cho hội tụ đoạn (b) Bằng cách lấy đạo hàm số hạng chuỗi, ta Vì Vậy Hồng anh tài Anhtai121291@gmail.com (c) Hàm liên tục miền hội tụ Tức là, 70 Tìm miền hội tụ tính tổng Hướng dẫn Ta có Vậy chuỗi cho hội tụ thay Trong khai triển 2x, ta Hoàng anh tài Anhtai121291@gmail.com Do Lấy đạo hàm số hạng chuỗi, Vậy 71 Tìm miền hội tụ chuỗi lũy thừa Hướng dẫn Ta có Bán kính hội tụ Hoàng anh tài Anhtai121291@gmail.com Khoảng hội tụ Lấy loga số Khi đặt hai vế Vậy nên Vì số hạng tổng quát không dần tới $0,$ theo điều kiện cần, hai trường hợp chuỗi cho phân kỳ Miền hội tụ chuỗi 72 Khai triển hàm sau thành chuỗi Mac Laurin rõ bán kính hội tụ chúng (a) (b) Hồng anh tài Anhtai121291@gmail.com (c) (d) (e) (f) Hướng dẫn (a) Khai triển Mac Laurin hàm Vậy Bán kính hội tụ (b) Khai triển Mac Laurin hàm Sử dụng khai triển Hoàng anh tài Anhtai121291@gmail.com ta Hay Bán kính hội tụ (c) Khai triển Mac Laurin hàm Trong khai triển Hoàng anh tài Anhtai121291@gmail.com thay ta Do Bán kính hội tụ (d) Khai triển Mac Laurin hàm Thay ta Vậy Hồng anh tài Anhtai121291@gmail.com Bán kính hội tụ (e) Khai triển Mac Laurin hàm Vậy Bán kính hội tụ (f) Khai triển Mac Laurin hàm Lấy đạo hàm số hạng ta Hoàng anh tài Anhtai121291@gmail.com Vởy Bán kính hội tụ 73 Viết khai triển Taylor hàm số sau lân cận điểm Hướng dẫn Tại điểm Tại điểm Vậy Hoàng anh tài Anhtai121291@gmail.com ... thừa Tương tự định lý: định lý 26, định lý 27, định lý 28, với tổng chuỗi lũy thừa ta có kết sau đây: Hoàng anh tài Anhtai121291@gmail.com Định lý 32 Giả sử chuỗi lũy thừa hàm có bán kính hội... chuỗi Taylor Có hàm số khả vi cấp không khai triển thành chuỗi lũy thừa có chuỗi Taylor hàm khả vi vô hạn không hội tụ hàm số Thật vậy, xét hàm số Dễ thấy, hàm khả vi cấp Do đó, hàm số khai triển... X ; tổng Khi đó, (i) hàm liên tục ; (ii) hàm khả vi liên tục cấp vô hạn khoảng (iii) hàm khả tích đoạn khoảng hội tụ Nói riêng, với ta có Theo khẳng định tụ định lý 32, hàm khả vi liên tục cấp