SỞ GD&ĐT NGHỆ AN KÌ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN DỰ THI HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2009 - 2010 Môn thi: TOÁN Thời gian làm bài: 180 phút Ngày thi: 03/11/2009 Câu 1. (4,0 điểm) Giải hệ phương trình 2 2 2 4 4 4 . y x x z y y x z z            Câu 2. (4,0 điểm) Cho hai dãy số   n a và   n b được xác định như sau: 1 n + 1 2 n n n a n n                            và 1n n n b a a    với * n ( trong đó   x là phần nguyên của số thực x ). Chứng minh rằng dãy số   n b có vô số số hạng dương và vô số số hạng âm. Câu 3. (4,0 điểm) Cho đa thức với hệ số thực 1 1 1 0 ( ) n n n n P x a x a x a x a        có n nghiệm thực phân biệt. Chứng minh rằng   2 1 1 2 1 . . , 1;2; ; 1 . 2 2 k k k k a a a k n k         Câu 4. (4,0 điểm) Cho tam giác nhọn ( )ABC AB AC có các đường cao ,AD BE và CF . Gọi P giao điểm của hai đường thẳng EF và BC . Kẻ đường thẳng d đi qua điểm D và song song với đường thẳng .EF Đường thẳng d cắt hai đường thẳng AB và AC lần lượt tại hai điểm Q và R . Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác PQR đi qua trung điểm của cạnh .BC Câu 5. (4,0 điểm) Gọi n S là tập hợp tất cả các hoán vị 1 2 ( , , , ) n a a a của tập hợp   1,2, ,n sao cho trong mỗi hoán vị có đúng một phần tử lớn hơn tất cả các phần tử đứng trước nó. Tìm số phần tử của tập hợp n S và tính giá trị trung bình cộng của các số 1 a trong các hoán vị thuộc tập hợp . n S Hết Họ và tên: Số báo danh: §Ò chÝnh thøc . SỞ GD&ĐT NGHỆ AN KÌ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN DỰ THI HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2009 - 2 010 Môn thi: TOÁN Thời gian làm bài: 18 0 phút Ngày thi: 03 /11 /2009 Câu 1. (4,0 điểm) Giải. đó   x là phần nguyên của số thực x ). Chứng minh rằng dãy số   n b có vô số số hạng dương và vô số số hạng âm. Câu 3. (4,0 điểm) Cho đa thức với hệ số thực 1 1 1 0 ( ) n n n n P x a x a. n P x a x a x a x a        có n nghiệm thực phân biệt. Chứng minh rằng   2 1 1 2 1 . . , 1; 2; ; 1 . 2 2 k k k k a a a k n k         Câu 4. (4,0 điểm) Cho tam giác nhọn ( )ABC