TRẦN SĨ TÙNG ›š & ›š BÀI TẬP ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT & ĐẠI HỌC Năm 2010 Trần Sĩ Tùng Khảo sát hàm số CHƯƠNG I ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ I TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ Đinh nghĩa: Hàm số f đồng biến K Û ("x1, x2 Ỵ K, x1 < x2 Þ f(x1) < f(x2) Hàm số f nghịch biến K Û ("x1, x2 Ỵ K, x1 < x2 Þ f(x1) > f(x2) Điều kiện cần: Giả sử f có đạo hàm khoảng I a) Nếu f đồng biến khoảng I f¢(x) ³ 0, "x Ỵ I b) Nếu f nghịch biến khoảng I thỡ fÂ(x) Ê 0, "x ẻ I iu kiện đủ: Giả sử f có đạo hàm khoảng I a) Nu f (x) 0, "x ẻ I (f¢(x) = số hữu hạn điểm) f đồng biến I b) Nếu f¢ (x) £ 0, "x ẻ I (fÂ(x) = ti mt s hữu hạn điểm) f nghịch biến I c) Nu fÂ(x) = 0, "x ẻ I thỡ f khụng đổi I Chú ý: Nếu khoảng I thay đoạn nửa khoảng f phải liên tục VẤN ĐỀ 1: Xét chiều biến thiên hàm số Để xét chiều biến thiên hàm số y = f(x), ta thực bước sau: – Tìm tập xác định hàm số – Tính y¢ Tìm điểm mà y¢ = y¢ khơng tồn (gọi điểm tới hạn) – Lập bảng xét dấu y¢ (bảng biến thiên) Từ kết luận khoảng đồng biến, nghịch biến hàm số Baøi Xét chiều biến thiên hàm số sau: x2 +x4 a) y = - x + x + b) y = d) y = x - x + x - e) y = (4 - x )( x - 1)2 f) y = x - x + x - i) y = g) y = x - 2x2 - h) y = - x - x + k) y = 2x -1 x+5 l) y = n) y = x + x + 26 x +2 o) y = - x + - x -1 2- x Trang c) y = x - x + x + x -2 10 10 m) y = 1 1- x p) y = 1- x x - 15 x + 3x Khảo sát hàm số Trần Sĩ Tùng Baøi Xét chiều biến thiên hàm số sau: a) y = -6 x + x - x - d) y = 2x -1 x b) y = e) y = x2 -1 x2 - x x - 3x + h) y = x - x g) y = x - - - x ỉ p pư g(x) có hai nghiệm x1, x2 khoảng hai nghiệm g(x) khác dấu với a, ngồi khoảng hai nghiệm g(x) dấu với a · Nếu D = g(x) ln dấu với a (trừ x = - 4) So sánh nghiệm x1, x2 tam thức bậc hai g( x ) = ax + bx + c với số 0: ìD > ï · x1 < x2 < Û í P > ïS < ỵ ìD > ï · < x1 < x2 Û í P > ïS > ỵ · x1 < < x2 Û P < 5) Để hàm số y = ax + bx + cx + d có độ dài khoảng đồng biến (nghịch biến) (x1; x2) d ta thực bước sau: · Tính y¢ · Tìm điều kiện để hàm số có khoảng đồng biến nghịch biến: ìa ¹ íD > ỵ (1) · Biến đổi x1 - x2 = d thành ( x1 + x2 )2 - x1 x2 = d Trang (2) Trần Sĩ Tùng Khảo sát hàm số · Sử dụng định lí Viet đưa (2) thành phương trình theo m · Giải phương trình, so với điều kiện (1) để chọn nghiệm Baøi Chứng minh hàm số sau đồng biến khoảng xác định (hoặc tập xác định) nó: a) y = x + x + 13 b) y = x3 - 3x + x + c) y = 2x -1 x+2 x2 + x - x - 2mx - e) y = x - sin(3 x + 1) f) y = d) y = x +1 x-m Baøi Chứng minh hàm số sau nghịch biến khoảng xác định (hoặc tập xác định) nó: a) y = -5 x + cot( x - 1) b) y = cos x - x c) y = sin x - cos x - 2 x Baøi Tìm m để hàm số sau ln đồng biến tập xác định (hoặc khoảng xác định) nó: a) y = x - 3mx + (m + 2) x - m b) y = mx + d) y = x+m Bài Tìm m để hàm số: x mx - 2x +1 x - 2mx - e) y = x-m c) y = x+m x -m x - 2mx + 3m f) y = x - 2m a) y = x + x + mx + m nghịch biến khoảng có độ dài b) y = x - mx + mx - 3m + nghịch biến khoảng có độ dài 3 c) y = - x + (m - 1) x + (m + 3) x - đồng biến khoảng có độ dài Bài Tìm m để hàm số: a) y = x3 + (m + 1) x - (m + 1) x + đồng biến khoảng (1; +¥) b) y = x - 3(2m + 1) x + (12 m + 5) x + đồng biến khoảng (2; +¥) c) y = mx + x + m2 (m ¹ ±2) đồng biến khoảng (1; +¥) d) y = x+m đồng biến khoảng (–1; +¥) x -m e) y = x - 2mx + 3m đồng biến khoảng (1; +¥) x - 2m f) y = -2 x - x + m nghch bin trờn khong 2x +1 ổ ỗ - ; +Ơ ữ ố ứ Trang Khảo sát hàm số Trần Sĩ Tùng VẤN ĐỀ 3: Ứng dụng tính đơn điệu để chứng minh bất đẳng thức Để chứng minh bất đẳng thức ta thực bước sau: · Chuyển bất đẳng thức dạng f(x) > (hoặc b) p sin x + tan x > x , với < x < 3 p p d) sin x + tan x > x , với < x < 2 Baøi Chứng minh bất đẳng thức sau: c) x < tan x, với < x < a) tan a a p < , với < a < b < tan b b b) a - sin a < b - sin b, với < a < b < p p Baøi Chứng minh bất đẳng thức sau: c) a - tan a < b - tan b, với < a < b < a) sin x > 2x p , với < x < p b) x - x3 x3 x5 < sin x < x - + , với x > 6 120 p Baøi Chứng minh bất đẳng thức sau: c) x sin x + cos x > 1, với < x < a) e x > + x , với x > b) ln(1 + x ) < x , với x > ( ) d) + x ln x + + x ³ + x , với x > 1+ x Bài Chứng minh bất đẳng thức sau: c) ln(1 + x ) - ln x > a) tan 550 > 1, b) < sin 20 < 20 HD: a) tan 550 = tan(450 + 10 ) Xét hàm số f ( x ) = c) log > log3 1+ x 1- x b) Xét hàm số f ( x ) = x - x æ 1ử f(x) ng bin khong ỗ - ; ữ v ,sin 200 , ẻ ố 2ø 20 c) Xét hàm số f ( x ) = log x ( x + 1) với x > Trang ổ 1ử ỗ- ; ữ è 2ø Trần Sĩ Tùng Khảo sát hàm số VẤN ĐỀ 4: Chứng minh phương trình có nghiệm Để chứng minh phương trình f(x) = g(x) (*) có nghiệm nhất, ta thực bước sau: · Chọn nghiệm x0 phương trình · Xét hàm số y = f(x) (C1) y = g(x) (C2) Ta cần chứng minh hàm số đồng biến hàm số nghịch biến Khi (C1) (C2) giao điểm có hồnh độ x0 Đó nghiệm phương trình (*) Chú ý: Nếu hai hàm số hàm y = C kết luận Bài Giải phương trình sau: a) x + x-5 = b) x + x - - x + = c) x + x - + x + + x + 16 = 14 d) x + 15 = x - + x + Bài Giải phương trình sau: a) x +1 + x + + x + = b) ln( x - 4) = - x c) x + x = x Bài Giải bất phương trình sau: a) d) x + x + x = 38 x + + x - + x - + 13 x - < b) x + x + x + + x + x < 35 Baøi Giải hệ phương trình sau: ì2 x + = y + y + y ï a) í2 y + = z3 + z2 + z ï2 z + = x + x + x ỵ ì x = y3 + y2 + y - ï b) í y = z3 + z2 + z - ïz = x + x + x - ỵ ì y = x - 12 x + ï c) íz = y - 12 y + ï x = z2 - 12 z + ỵ ìtan x - tan y = y - x ï 5p d) ï2 x + 3y = í ï p p ï- < x , y < ỵ 2 ìsin x - sin y = x - 3y ï ï p e) í x + y = ï ï x, y > ỵ ìsin x - y = sin y - x ï f) ï2 x + 3y = p í ï0 < x, y < p ï ỵ ìcot x - cot y = x - y ï g) í5 x + y = 2p ï0 < x, y < p ỵ h) HD: a, b) Xét hàm số f (t ) = t + t + t c) Xét hàm số f (t ) = 6t - 12t + d) Xét hàm số f(t) = tant + t Trang Khảo sát hàm số Trần Sĩ Tùng II CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ I Khái niệm cực trị hàm số Giả sử hàm số f xác định tập D (D Ì R) x0 Ỵ D a) x0 – điểm cực đại f tồn khoảng (a; b) Ì D x0 Ỵ (a; b) cho f(x) < f(x0), với "x Ỵ (a; b) \ {x0} Khi f(x0) đgl giá trị cực đại (cực đại) f b) x0 – điểm cực tiểu f tồn khoảng (a; b) Ì D x0 Ỵ (a; b) cho f(x) > f(x0), với "x Ỵ (a; b) \ {x0} Khi f(x0) đgl giá trị cực tiểu (cực tiểu) f c) Nếu x0 điểm cực trị f điểm (x0; f(x0)) đgl điểm cực trị đồ thị hàm số f II Điều kiện cần để hàm số có cực trị Nếu hàm số f có đạo hàm x0 đạt cực trị điểm f¢ (x0) = Chú ý: Hàm số f đạt cực trị điểm mà đạo hàm khơng có đạo hàm III Điểu kiện đủ để hàm số có cực trị Định lí 1: Giả sử hàm số f liên tục khoảng (a; b) chứa điểm x0 có đạo hàm (a; b)\{x0} a) Nếu f¢ (x) đổi dấu từ âm sang dương x qua x0 f đạt cực tiểu x0 b) Nếu f¢ (x) đổi dấu từ dương sang âm x qua x0 f đạt cực đại x0 Định lí 2: Giả sử hàm số f có đạo hàm khoảng (a; b) chứa điểm x0, f¢ (x0) = có đạo hàm cấp hai khác điểm x0 a) Nếu f¢¢ (x0) < f đạt cực đại x0 b) Nếu f¢¢ (x0) > f đạt cực tiểu x0 VẤN ĐỀ 1: Tìm cực trị hàm số Qui tắc 1: Dùng định lí · Tìm f¢ (x) · Tìm điểm xi (i = 1, 2, …) mà đạo hàm khơng có đạo hàm · Xét dấu f¢ (x) Nếu f¢ (x) đổi dấu x qua xi hàm số đạt cực trị xi Qui tắc 2: Dùng định lí · Tính f¢ (x) · Giải phương trình f¢ (x) = tìm nghiệm xi (i = 1, 2, …) · Tính f¢¢ (x) f¢¢ (xi) (i = 1, 2, …) Nếu f¢¢ (xi) < hàm số đạt cực đại xi Nếu f¢¢ (xi) > hàm số đạt cực tiểu xi Trang Trần Sĩ Tùng Khảo sát hàm số Bài Tìm cực trị hàm số sau: a) y = x - x b) y = x - x + x - x4 - x2 + e) y = x - x + - x2 + 3x + 3x + x + g) y = h) y = x+2 x +1 Bài Tìm cực trị hàm số sau: d) y = 4x2 + 2x -1 a) y = ( x - 2)3 ( x + 1)4 b) y = d) y = x x - e) y = x - x + 2x2 + x - c) y = - x + x - 15 x x4 f) y = + x2 + 2 x - x - 15 i) y = x -3 c) y = 3x + x + x2 + x + f) y = x + x - x Bài Tìm cực trị hàm số sau: 3 x2 2x +1 a) y = x + b) y = d) y = x - x + + ln x e) y = x - 4sin x c) y = e x + 4e - x f) y = x - ln(1 + x ) VẤN ĐỀ 2: Tìm điều kiện để hàm số có cực trị Nếu hàm số y = f(x) đạt cực trị điểm x0 f¢ (x0) = x0 khơng có đạo hàm Để hàm số y = f(x) đạt cực trị điểm x0 f¢ (x) đổi dấu x qua x0 Chú ý: · Hàm số bậc ba y = ax + bx + cx + d có cực trị Û Phương trình y¢ = có hai nghiệm phân biệt Khi x0 điểm cực trị ta tính giá trị cực trị y(x0) hai cách: + y( x0 ) = ax03 + bx0 + cx0 + d + y ( x0 ) = Ax0 + B , Ax + B phần dư phép chia y cho y¢ ax + bx + c P( x ) · Hàm s y = = (aaÂạ 0) cú cc tr Phương trình y¢ = có hai a' x + b' Q( x ) b' nghiệm phân biệt khác - a' Khi x0 điểm cực trị ta tính giá trị cực trị y(x0) hai cách: P ( x0 ) P '( x ) y ( x0 ) = y ( x0 ) = Q ( x0 ) Q '( x ) · Khi sử dụng điều kiện cần để xét hàm số có cực trị cần phải kiểm tra lại để loại bỏ nghiệm ngoại lai · Khi giải tập loại thường ta sử dụng kiến thức khác nữa, định lí Vi–et Bài Chứng minh hàm số sau ln có cực đại, cực tiểu: a) y = x - 3mx + 3(m2 - 1) x - m b) y = x - 3(2m + 1) x + 6m(m + 1) x + x + m(m - 1) x - m + c) y = x-m x + mx - m + d) y = x - m +1 Trang Khảo sát hàm số Trần Sĩ Tùng Bài Tìm m để hàm số: a) y = (m + 2) x + x + mx - có cực đại, cực tiểu b) y = x - 3(m - 1) x + (2 m2 - 3m + 2) x - m(m - 1) có cực đại, cực tiểu c) y = x - 3mx + (m - 1) x + đạt cực đại x = d) y = - mx + 2(m - 2) x + m - có cực đại x = 2 x - 2mx + e) y = đạt cực tiểu x = x-m x - (m + 1) x - m + 4m - f) y = có cực đại, cực tiểu x -1 x2 - x + m g) y = có giá trị cực đại x -1 Bài Tìm m để hàm số sau khơng có cực trị: a) y = x - x + 3mx + 3m + - x + mx + c) y = x -3 Bài Tìm a, b, c, d để hàm số: b) y = mx + 3mx - (m - 1) x - x - (m + 1) x - m + 4m - d) y = x -1 a) y = ax + bx + cx + d đạt cực tiểu x = đạt cực đại x = 27 b) y = ax + bx + c có đồ thị qua gốc toạ độ O đạt cực trị –9 x = x + bx + c đạt cực trị –6 x = –1 x -1 ax + bx + ab d) y = đạt cực trị x = x = bx + a ax + x + b đạt cực đại x = e) y = x2 + Bài Tìm m để hàm số : c) y = a) y = x + 2(m - 1) x + (m - m + 1) x - 2(m2 + 1) đạt cực trị hai điểm x1, x2 cho: 1 + = (x + x ) x1 x2 2 x - mx + mx - đạt cực trị hai điểm x1, x2 cho: x1 - x2 ³ 1 c) y = mx - (m - 1) x + 3(m - 2) x + đạt cực trị hai điểm x1, x2 cho: 3 x1 + x2 = b) y = Bài Tìm m để hàm số : x + mx - m + có cực đại, cực tiểu giá trị cực đại, cực tiểu dấu x - m +1 x - (m + 1) x - m + 4m - b) y = có cực đại, cực tiểu tích giá trị cực đại, cực x -1 a) y = Trang Trần Sĩ Tùng Khảo sát hàm số tiểu đạt giá trị nhỏ -x2 + 3x + m có giá trị cực đại M giá trị cực tiểu m thoả M - m = x-4 x2 + 3x + m - d) y = có yCĐ - yCT < 12 x+2 Bài Tìm m để đồ thị hàm số : c) y = 900m a) y = - x + mx - có hai điểm cực trị A, B AB = 729 2 b) y = x - mx + x + m có điểm cực trị A, B, C tam giác ABC nhận gốc toạ độ O làm trọng tâm x + mx + m - có hai điểm cực trị nằm hai phía trục tung Chứng minh x-m hai điểm cực trị ln ln nằm phía trục hồnh c) y = x + mx có khoảng cách hai điểm cực trị 10 1- x - x + mx + e) y = có hai điểm cực đại cực tiểu nằm hai phía đường x -1 thẳng y = 2x d) y = x2 + 2x + m + có hai điểm cực trị khoảng cách chúng nhỏ x-m Bài Tìm m để đồ thị hàm số : f) y = a) y = x + mx - 12 x - 13 có hai điểm cực trị cách trục tung b) y = x - 3mx + 4m có điểm cực đại, cực tiểu đối xứng qua đường phân giác thứ c) y = x - 3mx + 4m có điểm cực đại, cực tiểu phía đường thẳng (d): x - y + = x + (2m + 1) x + m + có hai điểm cực trị nằm hai phía đường thẳng x +1 (d): x - 3y - = d) y = Bài Tìm m để đồ thị hàm số : x - (m + 1) x + m - a) y = có hai điểm cực trị góc phần tư thứ mặt x-m phẳng toạ độ mx + (4m + 1) x + 32 m2 + 2m b) y = có điểm cực trị nằm góc phần tư thứ x + 2m hai điểm nằm góc phần tư thứ tư mặt phẳng toạ độ mx - (m + 1) x + 4m + m có điểm cực trị nằm góc phần tư thứ x-m điểm nằm góc phần tư thứ ba mặt phẳng toạ độ c) y = d) y = x + (2m + 1) x + m + có hai điểm cực trị nằm hai phía trục hồnh (tung) x +1 Trang Khảo sát hàm số Trần Sĩ Tùng VẤN ĐỀ 3: Đường thẳng qua hai điểm cực trị 1) Hàm số bậc ba y = f ( x ) = ax + bx + cx + d · Chia f(x) cho f¢ (x) ta được: f(x) = Q(x).f¢ (x) + Ax + B · Khi đó, giả sử (x1; y1), (x2; y2) điểm cực trị thì: ì y1 = f ( x1 ) = Ax1 + B í y = f x = Ax + B ( 2) ợ 2 ị Cỏc im (x1; y1), (x2; y2) nằm đường thẳng y = Ax + B P( x ) ax + bx + c 2) Hàm số phân thức y = f ( x ) = = Q( x ) dx + e P '( x0 ) · Giả sử (x0; y0) điểm cực trị y0 = Q '( x0 ) · Giả sử hàm số có cực đại cực tiểu phương trình đường thẳng qua hai điểm cực P '( x ) 2ax + b trị là: y = = Q '( x ) d Bài Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số : a) y = x - x - x + b) y = x - x c) y = x - x - x + 2x2 - x +1 x2 - x - e) y = x+3 x-2 Bài Khi hàm số có cực đại, cực tiểu, viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số: d) y = a) y = x - 3mx + 3(m2 - 1) x - m x + mx - x-m x + mx - m + d) y = x - m +1 b) y = c) y = x - 3(m - 1) x + (2m - 3m + 2) x - m(m - 1) Bài Tìm m để hàm số: a) y = x + 3(m - 1) x + 6(m - 2) x - có đường thẳng qua hai điểm cực trị song song với đường thẳng y = –4x + b) y = x + 3(m - 1) x + m(1 - 2m ) x có điểm cực đại, cực tiểu đồ thị nằm đường thẳng y = –4x c) y = x + mx + x + có đường thẳng qua điểm cực đại, cực tiểu vng góc với đường thẳng y = 3x – d) y = x - x + m x + m có điểm cực đại cực tiểu đối xứng qua đường thẳng (D): y = x- 2 Trang 10 Trần Sĩ Tùng Khảo sát hàm số III GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ Định nghĩa: Giả sử hàm số f xác định miền D (D Ì R) ì f ( x ) £ M , "x Ỵ D a) M = max f ( x ) Û í D ỵ$ x Ỵ D : f ( x ) = M ì f ( x ) ³ m, "x Ỵ D b) m = f ( x ) Û D ợ$x0 ẻ D : f ( x0 ) = m Tính chất: a) Nếu hàm số f đồng biến [a; b] max f ( x ) = f (b), f ( x ) = f (a) [ a;b ] [ a;b ] b) Nếu hàm số f nghịch biến [a; b] max f ( x ) = f (a), f ( x ) = f (b) [ a;b ] [ a;b ] VẤN ĐỀ 1: Tìm GTLN, GTNN hàm số cách lập bảng biến thiên Cách 1: Thường dùng tìm GTLN, GTNN hàm số khoảng · Tính f¢ (x) · Xét dấu f¢ (x) lập bảng biến thiên · Dựa vào bảng biến thiên để kết luận Cách 2: Thường dùng tìm GTLN, GTNN hàm số liên tục đoạn [a; b] · Tính f¢ (x) · Giải phương trình f¢ (x) = tìm nghiệm x1, x2, …, xn [a; b] (nếu có) · Tính f(a), f(b), f(x1), f(x2), …, f(xn) · So sánh giá trị vừa tính kết luận M = max f ( x ) = max { f (a), f (b), f ( x1 ), f ( x2 ), , f ( xn )} [a;b] m = f ( x) = { f (a), f (b), f ( x1 ), f ( x2 ), , f ( xn )} [ a;b] Bài Tìm GTLN, GTNN hàm số sau: a) y = x + x + b) y = x - x d) y = x + x - e) y = x -1 x2 - x + x2 - x + 1 ( x > 0) h) y = x x2 + x + Bài Tìm GTLN, GTNN hàm số sau: g) y = x + c) y = x + x - f) y = i) y = x2 + x + x2 + x4 + x2 +1 x3 + x a) y = x + x - 12 x + [–1; 5] b) y = x - x [–2; 3] c) y = x - x + [–3; 2] d) y = x - x + [–2; 2] 3x - [0; 2] x -3 x2 + 7x + g) y = [0; 2] x+2 x -1 [0; 4] x +1 - x + x2 h) y = [0; 1] + x - x2 e) y = f) y = Trang 11 ( x > 0) Khảo sát hàm số Trần Sĩ Tùng i) y = 100 - x [–6; 8] k) y = + x + - x Bài Tìm GTLN, GTNN hàm số sau: sin x - 1 a) y = b) y = c) y = 2sin x - cos x + sin x + cos x + cos x + e) y = sin x + cos3 x d) y = cos x - 2sin x - g) y = x - x + + x - x + f) y = x2 -1 x4 - x2 +1 h) y = - x + x + x - x + VẤN ĐỀ 2: Tìm GTLN, GTNN hàm số cách dùng bất đẳng thức Cách dựa trực tiếp vào định nghĩa GTLN, GTNN hàm số · Chứng minh bất đẳng thức · Tìm điểm thuộc D cho ứng với giá trị ấy, bất đẳng thức vừa tìm trở thành đẳng thức Baøi Giả sử D = {( x; y; z) / x > 0, y > 0, z > 0, x + y + z = 1} Tìm giá trị lớn biểu x y z + + x +1 y +1 z +1 æ 1 HD: P = - ỗ + + ÷ è x +1 y +1 z +1ø thức: P= æ 1 ö Sử dụng bất đẳng thức Cô–si: [( x + 1) + ( y + 1) + ( z = 1)] ỗ + + ữ9 ố x +1 y +1 z +1ø 3 Þ P £ Dấu “=” xảy Û x = y = z = Vậy P = D 4 ì 5ü Bài Cho D = í( x; y ) / x > 0, y > 0, x + y = ý Tìm giá tr nh nht ca biu thc: ợ 4ỵ S= + x 4y æ1 1 1 ö æ4 ö HD: ( x + x + x + x + y ) ỗ + + + + ÷ ³ 25 Û 4( x + y ) ỗ + ữ 25 ố x x x x 4y ø è x 4y ø Vậy minS = Baøi Cho D = {( x; y ) / x > 0, y > 0, x + y < 1} Tìm giá trị nhỏ biểu thức: Þ S ³ Dấu “=” xảy Û x = 1, y = P= x2 y2 + +x+y+ 1- x 1- y x+y x2 y2 1 1 + (1 + y ) + + -2 = + + -2 1- x 1- y x + y 1- x 1- y x + y ỉ 1 Sử dụng bất đẳng thức Cô–si: [(1 - x ) + (1 - y ) + ( x + y )] ỗ + + ÷³9 è 1- x 1- y x + y ø HD: P = (1 + x ) + Û 1 + + ³ 1- x 1- y x + y Trang 12 Trần Sĩ Tùng Khảo sát hàm số 5 Dấu “=” xảy Û x = y = Vậy minP = Baøi Cho D = {( x; y ) / x > 0, y > 0, x + y ³ 4} Tìm giá trị nhỏ biểu thức: ÞP³ x + + y2 P= + 4x y2 HD: P = ỉ y x+y x + + 2ỗ + + ữ + x 8ø èy Theo bất đẳng thức Cô–si: y ÞP³ + (1) x x + ³ =1 x x (2) y y y y + ³ 33 = 8 y2 8 (3) 9 Dấu “=” xảy Û x = y = Vậy minP = 2 VẤN ĐỀ 3: Tìm GTLN, GTNN hàm số cách dùng miền giá trị Xét tốn tìm GTLN, GTNN hàm số f(x) miền D cho trước Gọi y0 giá trị tuỳ ý f(x) D, hệ phương trình (ẩn x) sau có nghiệm: ì f ( x ) = y0 (1) í (2) ỵx Î D Tuỳ theo dạng hệ mà ta có điều kiện tương ứng Thơng thường điều kiện (sau biến đổi) có dạng: m £ y0 £ M (3) Vì y0 giá trị f(x) nên từ (3) ta suy được: f ( x ) = m; max f ( x ) = M D D Bài Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số sau: a) y = x2 + x + x2 - x + 2sin x + cos x + d) y = cos x - sin x + b) y = x + x + 23 c) y = x + x + 10 2sin x + cos x + sin x - cos x + VẤN ĐỀ 4: Sử dụng GTLN, GTNN hàm số PT, HPT, BPT Giả sử f(x) hàm số liên tục miền D có f ( x ) = m; max f ( x ) = M Khi đó: D ì f ( x) = a 1) Hệ phương trình í có nghiệm Û m Ê a Ê M ợx ẻ D ỡ f ( x) ³ a 2) Hệ bất phương trình í có nghim M a ợx ẻ D ỡ f ( x) £ b 3) Hệ bất phương trình í cú nghim m Ê b ợx ẻ D 4) Bất phương trình f(x) ³ a với x Û m ³ a 5) Bất phương trình f(x) £ b với x Û M £ b Trang 13 D ... = 1, y = P= x2 y2 + +x+y+ 1- x 1- y x+y x2 y2 1 1 + (1 + y ) + + -2 = + + -2 1- x 1- y x + y 1- x 1- y x + y æ 1 Sử dụng bất đẳng thức Cơ–si: [ (1 - x ) + (1 - y ) + ( x + y )] ỗ + + ữ9 ố 1- . .. y = x - 3mx + 3(m2 - 1) x - m x + mx - x-m x + mx - m + d) y = x - m +1 b) y = c) y = x - 3(m - 1) x + (2m - 3m + 2) x - m(m - 1) Bài Tìm m để hàm số: a) y = x + 3(m - 1) x + 6(m - 2) x - có đường... = - x + x + b) y = d) y = x - x + x - e) y = (4 - x )( x - 1) 2 f) y = x - x + x - i) y = g) y = x - 2x2 - h) y = - x - x + k) y = 2x -1 x+5 l) y = n) y = x + x + 26 x +2 o) y = - x + - x -1 2-