Biên soạn: GV HUỲNH ðỨC KHÁNH Xét hàm số ( ) ( ) x x x 2 x 2 f x 3 2 3x 2 f '' x 3 ln 3 2 ln 2 0 = + − − ⇒ = + > ⇒ ðồ thị của hàm số này lõm, suy ra phương trình không có quá hai nghiệm. (ðịnh lí Rôn) Ví dụ 5: Chứng minh hệ phương trình x 2 y 2 y 2007 y 1 x 2007 x 1 e e  = −  −    = −  −  có ñúng hai nghiệm thỏa mãn x 0, y 0. > > HD: Dùng tính chất 2 ñể chỉ ra x y = khi ñó xét hàm số ( ) x 2 x f x 2007 x 1 e= + − − . ● N ế u x 1 < − thì ( ) 1 f x 2007 0 e − < − < suy ra h ệ ph ươ ng trình vô nghi ệ m. ● N ế u x 1 > dùng ñị nh lý Rôn và ch ỉ ra v ớ i 0 x 2 = thì ( ) f 2 0 < ñể suy ra ñ i ề u ph ả i ch ứ ng minh. Ví dụ 6: Cho a b 0 ≥ > . Ch ứ ng minh r ằ ng: b a a b a b 1 1 2 2 2 2     + ≤ +         HD: Bất ñẳng thức a b a b a b a b 1 1 ln 2 ln 2 1 1 2 2 bln 2 a ln 2 2 2 a b     + +             ⇔ + ≤ + ⇔ ≤         . Xét hàm số ( ) x x 1 ln 2 2 f x x   +     = v ớ i x 0 > , Suy ra ( ) f’ x 0 < v ớ i m ọ i x 0 > nên hàm s ố ngh ị ch bi ế n v ậ y v ớ i a b 0 ≥ > ta có ( ) f(a) f b ≤ . Bài 1. Gi ả i các ph ươ ng trình sau: 1) x x x 3 4 5 + = 7) x x 4 3 1 − = 2) ( ) 2 3 log 1 x log x + = 8) ( ) 6 log x 2 6 log x 3 log x + = 3) 2 2 2 log 9 log x log 3 2 x x .3 x= − 9) ( ) x 2 x 2 3.25 3x 10 5 3 x 0 − − + − + − = 4) ( ) 2 x x 3 2 x .3 3 12 7x x 8x 19x 12 + − = − + − + 5) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 4 x 2 log x 3 log x 2 15 x 1 − − + − = +     6) x x x x 3 2 x x x 1 1 1 5 4 3 2 2x 5x 7x 17 2 3 6 + + + = + + − + − + Bài 2. Giải các phương trình sau: Biên soạn: GV HUỲNH ðỨC KHÁNH 1) x x 2 2 1 3 = + 4) ( ) x x 25 2 3 x 5 2x 7 0 − − + − = 2) 3 x 2 2 x 8x 14 − = − + − 5) x 3 x 8 x.2 2 x 0 − − + − = 3) 2 log x 3 x = − 6) ( ) 2 2 2 log x x 1 log x 6 2x + − = − Bài 3. Bài tập rèn luyện. Giải các phương trình sau: 1) x x x 4 9 25 + = 2) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 3 x 2 log x 1 4 x 1 log x 1 16 0 + + + + + − = 3) ( ) x x 9 2 x 2 .3 2x 5 0 + − + − = 4) ( ) ( ) 2 x log x x 6 4 log x 2 + − − = + + 5) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 3 x 3 log x 2 4 x 2 log x 2 16 + + + + + = DẠNG 7. MỘT VÀI BÀI KHÔNG MẪU MỰC Bài 1. Giải phương trình: ( ) ( ) x x x x 4 2.2 2 2 1 sin 2 y 1 2 0 − + − + − + = HD: phương trình ( ) ( ) x x x x 4 2.2 2 2 1 sin 2 y 1 2 0 − + − + − + = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 x x x 2 x 2 x 2 x x 2 x x x x 2 1 2 2 1 sin 2 y 1 sin 2 y 1 cos 2 y 1 0 2 1 sin 2 y 1 cos 2 y 1 0 2 1 sin 2 y 1 0 cos 2 y 1 0 ⇔ − + − + − + + − + + − =   ⇔ − + + − + + − =    − + + − =  ⇔  + − =   Bài 2. Gi ả i ph ươ ng trình: ( ) y sinx 1+sinx 4 2 cos xy 2 0 − + = . HD: phương trình ( ) y sinx 1+sinx 4 2 cos xy 2 0 − + = ( ) ( ) 2 y sinx 2 2 cos xy 2 cos xy 0     ⇔ − + − =     Ta có ( ) 2 sinx 2 cos xy 0   − ≥   và ( ) ( ) y y 2 2 2 1 2 cos xy 0 cos xy 1  ≥    ⇒ − ≥    ≤   Do đó ( ) ( ) 2 y sinx 2 2 cos xy 2 cos xy 0     − + − ≥     Vậy phương trình ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) sinx sinx y y 2 2 2 cos xy 0 2 cos xy 1 2 cos xy 0 2 cos xy 0 2   − = =   ⇔ ⇔   − = − =     Biên soạn: GV HUỲNH ðỨC KHÁNH ( ) ( ) ( ) y 2 2 y 0 2 1 2 y 0. cos x.0 1 cos xy 1  =  =   ⇔ ⇔ ⇔ =   = =     Thay vào (1) ta ñược x k π = . Bài 3. Giải phương trình: ( ) 2x 1 3 2x 2 3 8 2 2 log 4x 4x 4 + − + = − + . HD: Ta có ( ) 2 2 4x 4x 4 2x 1 3 3 − + = − + ≥ nên ( ) 2 3 log 4x 4x 4 1 − + ≥ Suy ra ( ) 2 3 8 8 log 4x 4x 4 ≤ − + (1) Mặt khác 2x 1 3 2x 2x 1 3 2x 2x 1 3 2x 2 2 2 2 .2 2 2 8 + − + − + + − + ≥ = = (2) Bài 4. Gi ả i ph ươ ng trình: ( ) 2 2 3 3 log x x 1 log x 2x x + + − = − . HD: ð i ề u ki ệ n x 0. > Ph ươ ng trình ( ) 2 2 3 3 log x x 1 log x 2x x + + − = − ( ) 2 3 1 log x 1 1 x 1 x   ⇔ + + = − − +     Ta có ● 3 1 1 1 x 2 x 1 3 log x 1 1 x x x   + ≥ ⇒ + + ≥ ⇒ + + ≥     ● ( ) 2 1 x 1 1 − − + ≤ Vậy phương trình ( ) 3 2 1 log x 1 1 x x 1 1 x 1 1    + + =      ⇔ ⇔ =   − − + =  . Nhận xét: Bài toán tương ñương là giải phương trình 2 2 2 1 3 x x x x x − + + = . Bài 5. Gi ả i ph ươ ng trình: ( ) 2 3 1 log x 2 4 log 8 x 1   − + = +   −   . HD: ð i ề u ki ệ n x 2 > . ● ( ) 2 x 2 4 4 log x 2 4 2 − + ≥ ⇒ − + ≥ ● V ớ i x 2 > ta có 1 1 x 1 1 1 8 9 x 1 x 1 − ≥ ⇒ ≤ ⇒ + ≤ − − 3 1 log 8 2 x 1   ⇒ + ≤   −   Bài 6. Gi ả i ph ươ ng trình: ( ) 2 2 x x 1 2 4x 8 2 x 4 x x .2 x.2 2 x + + − = + − + − . Biên soạn: GV HUỲNH ðỨC KHÁNH HD: ðiều kiện 2 x 2 − ≤ ≤ . Phương trình ( ) ( ) ( ) x 2 4 x.2 x 1 2 2 x 0 * ⇔ − − + − = Ta có 3 x 2 2 x 2 x.2 2.2 2.2 4 ≤ ⇒ ≤ < = . Do ñ ó ( ) 2 * x 1 2 2 x 0 ⇔ − + − = . Bài 7. Giải phương trình: 2 3 4 2 2 2 2 5x 6x x x log x (x x)log x 5 5 6 x x + − − = − + + + − . HD: ðiều kiện 2 x 0 0 x 3 6 x x 0 >  ⇔ < ≤  + − ≥  . Phương trình ( ) ( ) ( ) 2 2 xlog x 5 6 x 1 x 0 * x⇔ − + − + − = Do ( ) 2 2 2 2 x 3 x log x 3log 3 log 32 5 xlog x 5 0 ≤ ⇒ ≤ < = ⇒ − < Khi ñó ( ) ( ) 2 * 6 x 1 x 0 x ⇔ + − + − = . Bài 8. Giải phương trình: 2 2 sin x cos x x x 3 3 2 2 2 − + = + + . HD: Phương trình 2 2 x -x 2 2 sin x 1 sin x 2 2 3 3 2 2 2 − ⇔ + = + + ( )( ) 2 2 2 2 2 x -x 2sin x 2 2 2 2 sin x sin x sin x 2 x -x 2 2 sin x 3 3 4 2 2 2 3 3 1 3 3 2 2 3 + ⇔ − = + − − −   ⇔ = −     Ta có 2 2 sin x 0 sin x 1 1 3 3 ≤ ≤ ⇒ ≤ ≤ . Do ñó VT 0 VP ≤ ≤ . Bài 9. Giải phương trình: 3 2 2log cot x log cos x = . HD: ðặt 3 2 2log cot x log cos x t = = , ta có 2 t t 2 t t 2 t 2 t 2 t cos x 4 cosx 2 cos x 4 4 cot x 3 cot x 3 sin x 3 cosx 0,cot x 0 cosx 0,cot x 0 cosx 0,cot x 0  =   = =     = ⇔ = ⇔ =       > > > >   > >   2 t 2 t t t t cos x 4 cos x 4 1 cosx 4 4 1 t 1 2 3 cosx 0,cot x 0 cosx 0,cot x 0 cosx 0,cot x 0  =  =   =    ⇔ + = ⇔ = − ⇔       > > > >   > >   π x k2 π 3 ⇔ = + . Tổng quát: Dạng ( ) ( ) .log .log a b f x g x α β = ta ñặt ( ) ( ) .log .log a b t f x g x α β = = Biên soạn: GV HUỲNH ðỨC KHÁNH Bài 10. Giải phương trình: ( ) 2 3 2 2 2 3x 2x log x 1 log x. − = + − HD: ðiều kiện x 0 > . ðặt ( ) ( ) ( ) 2 3 2 2 2 f x 3x 2x , g x log x 1 log x = − = + − ● Ta có ( ) ( ) ( ) 2 3 2 f x 3x 2x f ' x 6x 6x ; f ' x 0 x 0, x 1 = − ⇒ = − = ⇔ = = . Lập bảng biến thiên ta thấy f(x) ñồng biến trên (0,1) và nghịch biến trên ( ) 1, +∞ . Suy ra trên ( ) 0, +∞ , ( ) ( ) maxf x f 1 1 = = hay ( ) f x 1, x 0. ≤ ∀ > ● Ta có ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 x 1 1 g x log x 1 log x log log x x x   +   = + − = = +         . Với x 0 > , ta có ( ) 2 2 1 1 x 2 côsi log x log 2 1. x x   + ≥ => + ≥ =     Suy ra ( ) g x 1, x 0. ≥ ∀ > Vậ y ph ươ ng trình ( ) 2 3 2 2 2 3x 2x 1 log x 1 log x 1  − =  ⇔  + − =   Bài 11. Gi ả i ph ươ ng trình: ( ) 2 2 x 1 x x 2 2 x 1 . − − − = − HD: phương trình ( ) ( ) 2 x 1 x x 2 2 x 1 2 x x − − ⇔ + − = + − . ðặt 2 u x 1; v x x. = − = − Khi ñó phương trình có dạng u v 2 u 2 v + = + . Xét hàm số ( ) t f t 2 t = + , hàm này ñồng biến và liên tục trên ℝ . Vậy phương trình ( ) ( ) 2 f u f v u v x 1 x x x 1 ⇔ = ⇔ = ⇔ − = − ⇔ = . Bài 12. Giải phương trình: x x x 2009 2011 2.2010 + = . HD: G ọ i 0 x là m ộ t nghi ệ m c ủ a ph ươ ng trình ñ ã cho. Ta ñượ c ( ) 0 0 0 0 0 0 0 x x x x x x x 2009 2011 2.2010 2009 2010 2010 2011 * + = ⇔ − = − Xét hàm s ố ( ) ( ) 0 0 x x F t t t 1 = − + . Khi ñ ó (*) ( ) ( ) F 2009 F 2010 ⇔ = . Vì F(t) liên t ụ c trên [ ] 2009,2010 và có ñạ o hàm trong kho ả ng ( ) 2009,2010 , do ñ ó theo ñị nh lí Lagrange t ồ n t ạ i ( ) c 2009,2010 ∈ sao cho ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 x 1 0 x 1 0 0 x 0 F 2010 F 2009 F' c x . c c 1 0 x 1 2010 2009 − − = −    = ⇔ − + = ⇔    = −  Th ử l ạ i 0 0 x 0, x 1 = = th ấ y ñ úng. V ậ y nghi ệ m c ủ a ph ươ ng trình là 0 0 x 0, x 1 = = . Nhận xét: Bài toán tương tự 1) cosx cosx cosx cosx 3 2 cosx 3 2 3cosx 2cosx − = ⇔ − = − . Biên soạn: GV HUỲNH ðỨC KHÁNH 2) 3 3 log x log x 4 2 2x + = . ðặt u 3 u log x x 3 = ⇒ = . Phương trình u u u 4 2 2.3 ⇔ + = . Lưu ý: Bài toán trên ta sử dụng ñịnh lí Lagrange: Nếu hàm số ( ) y f x = liên t ụ c trên ñ o ạ n [ ] ; a b và có ñạ o hàm trên kho ả ng ( ) ; a b thì t ồ n t ạ i m ộ t ñ i ể m ( ) ; c a b ∈ sao cho ( ) ( ) ( ) ' f b f a f c b a − = − . Bài 13. Gi ả i ph ươ ng trình: 2 2 3 2 x x 1 log x 3x 2 2x 2x 3 + + = − + − + . HD: ðặt ( ) 2 2 u x x 1; v 2x 2x 3 u 0, v 0 = + + = − + > > . Suy ra 2 v u x 3x 2. − = − + Phương trình ñã cho trở thành 3 3 3 u log v u log u log v v u v = − ⇔ − = − 3 3 log u u log v v ⇔ + = + . Xét hàm số ( ) 3 f t log t t = + . Ta có ' 1 f (t) 1 0, t 0 t.ln3 = + > ∀ > nên hàm số ñồng biến khi t 0 > . Do ñó phương trình ( ) ( ) f u f v ⇔ = suy ra u v = hay v u 0 − = tức là 2 x 3x 2 0 x 1, x 2 − + = ⇔ = = . Vậy phương trình có nghiệm x 1, x 2 = = . Lưu ý: Với phương trình dạng ( ) log , 0, 0, 1 a u v u u v a v = − > > > ta thường biến ñổi log log log log a a a a u v v u u u v v − = − ⇔ + = + . Vì hàm số ( ) log a f t t t = + ñồng biến khi 0 t > . Suy ra u v = . Bài 14. Giải phương trình: cosx sinx 2 2 3 + = . HD: Áp dụng BðT Becnuli mở rộng: ( ) 1 1 t t α α + − ≤ với [ ] 0, 0,1 t α > ∈ Từ phương trình suy ra: [ ] sinx, cos x 0,1 ∈ . Suy ra π x k2 π; k2π 2   ∈ +     Theo Becnuli: ( ) cosx 2 1 2 cosx 1 + − ≤ ( ) sinx 2 1 2 sinx 1 + − ≤ Suy ra ( ) cosx sinx 2 2 sinx cosx 2 + ≤ + + Suy ra ( ) ( ) cosx sinx 2 2 min sinx cosx 2 min sinx cosx 2   + ≤ + + = + +   Mà: ( ) min sinx cosx 1 + = với π x k2 π; k2π 2   ∈ +     . Do ñó cosx sinx 2 2 3 + ≤ . Dấu '' '' = xảy ra khi và chi khi sinx 1 cosx 0 =   =  hoặc sinx 0 cosx 1 =   =  Biên soạn: GV HUỲNH ðỨC KHÁNH x k2π π x k2 π 2 =   ⇔  = +  . HẾT Biên soạn: GV HUỲNH ðỨC KHÁNH Ta có thể dùng các phương pháp biến đổi như đối với giải phương trình và sử dụng các cơng thức sau HÀM SỐ MŨ ● 0 a 1 < < ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f x g x f x g x a a f x g x a a f x g x > ⇔ < ≥ ⇔ ≤ (ngh ị ch bi ế n) ● a 1 > ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f x g x f x g x a a f x g x a a f x g x > ⇔ > ≥ ⇔ ≥ ( đồ ng bi ế n) HÀM SỐ LOGARIT ● ( ) a log f x có ngh ĩ a ( ) 0 a 1 f x 0 < ≠   ⇔  >   ● ( ) ( ) b a log f x b f x a = ⇔ = ● ( ) ( ) ( ) ( ) a a f x g x log f x log g x 0 a 1  =  = ⇔  < ≠   ● 0 a 1 < < ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) a a a a log f x log g x 0 f x g x log f x log g x 0 f x g x > ⇔ < < ≥ ⇔ < ≤ (ngh ị ch bi ế n) ● a 1 > ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) a a a a log f x log g x 0 f x g x log f x log g x 0 f x g x > ⇔ < > ≥ ⇔ < ≥ ( đồ ng bi ế n) Tổng qt ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) a a a 0 log f x log g x f x 0; g x 0 a 1 f x g x 0  >   > ⇔ > >     − − >     ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) a a a 0 log f x log g x f x 0; g x 0 a 1 f x g x 0  >   ≥ ⇔ > >     − − ≥     CHUYÊN ĐỀ 2. BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ – LOGARIT Biờn son: GV HUNH C KHNH 1. PHệễNG PHAP ẹệA VE CUỉNG Cễ SO Vớ d 1. Gii bt phng trỡnh: 2 x x 1 x 2x 1 3 3 Li gii: - iu kin: x 0 hoặc x 2 . - Khi đó bất phơng trình tơng đơng với 2 x x 1 x 2x 2 3 3 x 2x x x 1 (1) + Nếu x 0 thì x 1 1 x = , khi đó bpt ( ) 2 1 x 2x 2x 1 (đúng vì x 0) + Nếu x 2 thì x 1 x 1 = , khi đó bpt ( ) 2 1 x 2x 1 2 x 1 2 x 2x 1 0 x 1 2 + - Kết hợp với điều kiện ta đợc x 1 2 + . Vớ d 2. Gii bt phng trỡnh: ( ) 2 x log 5x 8x 3 2 + > Li gii: - Bất phơng trình trên tơng đơng với 2 2 2 2 2 2 2 0 x 1 0 x 1 0 x 1 1 3 x 1 5x 8x 3 x 4x 8x 3 0 2 2 x 2 3 5x 8x 3 0 3 x x 1 x x 1 5 5 x 1 x 1 x 1 5x 8x 3 x 1 3 4x 8x 3 0 x x 2 2 < < < < < < < < + < + < < + > < > < > > > > + > + > < > 3 5 3 x 2 < > Lu ý: Với bất phng trỡnh dạng ( ) ( ) log f x g x a > , ta xét hai trờng hợp của cơ số ( ) 0 1 f x < < v ( ) 1 . f x < Vớ d 3. Gii bt phng trỡnh: ( ) 2 3 3 log x log x 3 x 6 + Li gii: - iu kin: x 0 > - Ta sử dụng phép biến đổi ( ) ( ) 2 3 3 3 3 log x log x log x log x 3 3 x= = . Khi đó bất phơng trình tơng đơng với 3 3 3 log x log x log x x x 6 x 3 + . - Lấy lôgarit cơ số 3 hai vế, ta đợc: ( ) 3 log x 3 3 3 3 log x log 3 log x.log x 1 ( ) 2 3 3 1 log x 1 1 log x 1 x 3. 3 - Vậy phơng trình có nghiệm 1 x 3 3 . Biên soạn: GV HUỲNH ðỨC KHÁNH Ví dụ 4. Giải bất phương trình: 1 2 3 1 2x log log 0 1 x +   >   +   Lời giải: - BÊt ph−¬ng tr×nh trªn t−¬ng ®−¬ng víi 2 2 1 2x 1 2x x log 0 1 0 x 1 x 0 1 x 1 x 1 x x 0 1 2x 1 2x 1 x 1 log 1 2 0 1 x 1 x 1 x  + +   > > >    < − ∨ >     + + + ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ >     + + − > −     < < <    + + +   - VËy x 0 > lµ nghiƯm cđa bÊt ph−¬ng tr×nh. BÀI TẬP Gi ả i các b ấ t ph ươ ng trình sau: 1) 2 0,7 6 x x log log 0 x 4   + <   +   2) ( ) 2 3x x log 3 x 1 − − > 3) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 1 25 5 5 5 25 log x 5 3log x 5 6log x 5 4log x 50 2 0 − + − + − − − + ≤ 2. PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ Ví dụ 1. Giải bất phương trình: x x 2 x x 2.3 2 1 3 2 + − ≤ − Lời giải: - ðiều kiện x 0 ≠ . - Chia cả tử và mẫu cho x 2 , ta được: x x x 2 x x x 3 2. 4 2.3 2 2 1 1 3 2 3 1 2 +   −   −   ≤ ⇔ ≤ −   −     - §Ỉt ( ) x 3 t , 0 t 1 2   = < ≠     . Khi ®ã bÊt ph−¬ng tr×nh t−¬ng ®−¬ng víi 2t 4 1 0 t 1 − − ≤ − x 3 2 t 3 3 0 1 t 3 1 3 0 x log 3 t 1 2 −   ⇔ ≤ ⇔ < ≤ ⇔ < ≤ ⇔ < ≤   −   - VËy bÊt ph−¬ng tr×nh cã nghiƯm 3 2 0 x log 3 < ≤ . Ví dụ 2. Giải bất phương trình: ( ) ( ) 3 4 2 2 2 1 2 1 2 2 2 x 32 log x log 9log 4log x 8 x     − + <         Lời giải: - ðiều kiện x 0 > . - BÊt ph−¬ng tr×nh trªn t−¬ng ®−¬ng víi ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] [ ] ( ) 1 1 3 4 2 2 2 2 2 2 2 2 4 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 2 2 2 x 32 log x log 9log 4log x 8 x log x log x log 8 9 log 32 log x 4log x log x 3log x 3 9 5 2log x 4log x − −     ⇔ − + <             ⇔ − − + − <     ⇔ − − + − < . ) ( ) [ ] [ ] ( ) 1 1 3 4 2 2 2 2 2 2 2 2 4 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 2 2 2 x 32 log x log 9log 4log x 8 x log x log x log 8 9 log 32 log x 4log x log x 3log x 3 9 5 2log x 4log x − −   . ) ( ) 2 * 6 x 1 x 0 x ⇔ + − + − = . Bài 8. Giải phương trình: 2 2 sin x cos x x x 3 3 2 2 2 − + = + + . HD: Phương trình 2 2 x -x 2 2 sin x 1 sin x 2 2 3 3 2 2 2 − ⇔ + = + + ( )( ) 2 2 2. Phương trình ( ) ( ) ( ) x 2 4 x .2 x 1 2 2 x 0 * ⇔ − − + − = Ta có 3 x 2 2 x 2 x .2 2 .2 2 .2 4 ≤ ⇒ ≤ < = . Do ñ ó ( ) 2 * x 1 2 2 x 0 ⇔ − + − = . Bài 7. Giải phương trình: 2 3 4 2 2 2 2 5x