TRNG THPT CHUYÊN LÀO CAI Giothoimai2003 1 CHUYÊN : BT NG THC CHUYÊN  1: PHNG PHÁP CÂN BNG H S TRONG BT NG THC CAUCHY Trc ht xin nêu ra và chng minh bt đng thc CauChy dng tng quát: Cho n s không âm: 1 2 , , , n a a a . Khi đó: 1 2 1 2 , n 2,n n n n a a a a a a n        . Du “ = “ xy ra 1 2 n a a a     Ta chng minh BT trên bng phng pháp quy np. Tht vy: Vi n = 2: Hin nhiên BT đúng. Ta nhn thy rng nu BT đúng vi n s thì cng đúng vi 2n s vì: 2 1 2 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 2 1 2 2 ( ) ( ) 2 n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a n a a a n a a a n a a a                   Mt khác, nu BT đúng vi n s thì nó cng đúng vi ( n – 1) s. Tht vy, ta ch cn chn: 1 2 1 , s= 1 n n s a a a a n       . T đó: 1 2 1 1 1 2 1 ( 1) 1 1 n n n n a a a s s s n s n a a a n n           ng thc xy ra khi tt c các bin bng nhau (đpcm). Phng pháp chng minh trên gi là phng pháp quy np CauChy. Cách chng minh trên quá hay và quá ngn gn do nhà Toán hc CauChy đa ra, chính vì th đôi khi ta lm tng rng CauChy là ngi đu tiên phát hin ra nó. Thc ra BT trên có tên là BT:AM – GM (Arithmetic Means – Geometric Means). Trong chng trình toán THPT ta thng s dng BT trên cho 2 s hoc 3 s không âm. *) i vi 2 s không âm a v à b, ta có: 2 a b ab   *) i vi 3 s không âm a, b, c , ta có: 3 3 a b c abc    Xin minh ha phng pháp cân bng h s qua VD di đây: VD m đu: Cho a, b, c dng. CMR: M = 2 3 )( cb a  + 2 3 )( ca b  + 2 3 )( ba c   4 cba   (*) Hng dn Áp dng BT CauChy cho 3 s dng là: 2 3 )( cb a  ; 8 cb  ; 8 cb  , ta có: 2 3 )( cb a  + 8 cb  + 8 cb   3 3 3 64 a = 4 3a  2 3 )( cb a   4 3a - 4 cb  (1) Hoàn toàn tng t: 2 3 )( ca b   4 3b - 4 ac  (2) và 2 3 )( ba c   4 3c - 4 ba  (3) Cng (1), (2) và (3) v theo v, ta có : 2 3 )( cb a  + 2 3 )( ca b  + 2 3 )( ba c   4 cba   (đpcm) Du “ = “ xy ra a b c    . Bình lun: Cách làm trên rt hay, ngn gn. Tuy nhiên có gì đó có v…n may??? C s nào đ áp TRNG THPT CHUYÊN LÀO CAI Giothoimai2003 2 dng BT CayChy cho 3 s dng 2 3 )( cb a  ; 8 cb  ; 8 cb  ? S th nht đã có, còn 2 s sau ly  đâu ra? Cách làm trên là hoàn toàn có c s. Chúng ta đ ý rng, vai trò ca a, b, c trong bài toán là nh nhau nên d đoán rng đng thc xy ra khi mà a = b = c ( Kim tra thy đúng). Nhìn vào v phi thì ch xut hin a + b + c, không có a + b, b + c hay c + a vì th ta cn ngh cách đ kh chúng. Khi a = b = c thì 2 3 )( cb a  = 4 a . Ta cn đi tìm s x sao cho: 2 3 )( cb a  = 4 a = 2 b c a x x   . T đó tìm đc x = 8. Bài 1: Cho a, b, c dng. CMR: 2 2 2 2 a b c a b c b c c a a b         Hng dn Ta có: 2 2 4 4 2 a b c a b c a a a b c b c                       . Du “ = “ xy ra a b c    . Bài 2: Cho a, b, c dng. CMR: 2 2 2 1 1 1 a b c b c a a b c      Hng dn Ta có: 2 2 1 1 1 1 1 2 2 a a b a b b b a a                   . Du “ = “ xy ra a b c    . Bài 3: Cho a, b, c dng. CMR : 3 3 3 a b c a b c bc ca ab      Hng dn Ta có: 3 3 3 3 ( ) a a b c a a b c a bc bc                     . Du “ = “ xy ra a b c    . Bài 4: Cho a, b, c dng. CMR : 3 3 3 ( ) ( ) ( ) 2 a b c a b c b a c c a b a b c         . Hng dn Ta có: 3 3 3 3 ( ) 4 2 2 ( ) 2 4 2 2 a a c b a a a a c b a b a c b a c                               . Du “ = “ xy ra a b c    . Bài 5: Cho a, b, c dng: a + b + c = 3. CMR 3 3 3 3 ( )( ) ( )( ) ( )( ) 4 a b c a b a c b c b a c a c b          . Hng dn Ta thy VP ko còn cha bin, VT có bc 1. Vy phi chng VP cng phi bc 1? Liu VP có th thay bng ( a + b + c )/4 ? TRNG THPT CHUYÊN LÀO CAI Giothoimai2003 3 Ta có: 3 3 ( ) 3 3 ( ) ( )( ) 8 8 4 ( )( ) 4 8 8 1 3 (4 ) 8 4 4 a a b a c a a a a b a c a b a c a b a c a a b c                            Du “ = “ xy ra 1 a b c     . Các bài tp trên ch yu các BT cn CM  dng phân thc nên vic cân bng h s đ “ gin c” ko my khó khn. Tuy nhiên, nu bài toán yêu cu tìm GTLN, GTNN ca mt biu thc ko có dng phân thc nh trên thf làm th nào? Ta hãy xét m t s bài toán sau đây: Bài 6: Cho x, y, z > 0 : xy + yz + xz = 1. Tìm GTNN ca biu thc: M = x 2 + y 2 + z 2 Hng dn Bài toán trên là mt bài rtđn gin và có nhiu cách làm. Chng hn có th nêu mt s cách n.sau: *) Cách 1: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 ( ) ( )( ) ( ) 1 xy yz zx x y z x y z x y z x y z                T đó: minM = 1 1 3 x y z    . *) Cách 2: Ta nhn thy ngay BT c bn: x 2 + y 2 + z 2  xy + yz + xz = 1 *) Cách 3: Nhn thy vai trò ca các bin trong điu kin và trong biu thc M là nh nhau nên biu thc M đt GTNN thì x = y = z. Do đó ta s phân tích nh sau: M = x 2 + y 2 + z 2 = 2 2 2 2 2 2 1 1 1 ( ) ( ) ( ) 1 2 2 2 x y y z z x xy yz zx          . Ta thy rng 2 cách đu tiên s gp khó khn nu nh h s ca x 2 , y 2 , z 2 trong biu thc M khác nhau ( c 3 khác nhau tng đôi mt hoc ch có 2 h s ging nhau). Khi đó cách s 3 s gii quyt tt các kh nng còn li. Hãy xét mt bài tp mà ch có 2 h s ging nhau. Bài 7: Cho x, y, z > 0 : xy + yz + xz = 1. CMR : 15x 2 +15y 2 + z 2 5  Hng dn ¸p dông B§T Cauchy ta cã : 2 2 2 2 2 2 25 1 5 2 2 5 5 5 2 2 25 1 5 2 2                x z xz x y xy y z yz  15y 2 +15y 2 + z 2  5(xy+yz+xz) =5  ®pcm. DÊu “=”           11 5 11 1 z yx TRNG THPT CHUYÊN LÀO CAI Giothoimai2003 4 Li gii trên rt hay, ngn gn. Tuy nhiên khi đc li gii ta thy có gì đó không my t nhiên! Ti sao li ngh đc tách nh trên đ áp dng BT Cauchy??? Ta thy rng, vi x, y, z trong điu kin thì vai trò ca chúng là nh nhau, còn trong BT cn CM thì vai trò ca x và y là nh nhau, tc là nu du “ = “ xy ra thì giá tr ca x, y là nh nhau và khác giá tr ca z. Tuy nhiên, nhm giá trn ca x, y, z đ du bng xy ra  bài này li ko h đn gin chút nào. Vy làm sao li tách đc nh trên ??? Ta chú ý rng BT trên còn có th vit li nh sau: 2 2 2 15 15 5( ) x y z xy yz zx      . Vì th ta cn áp dng BT sao cho có th s dng đc gi thit. Có x 2 , y 2 , z 2 đ to ra xy, yz, Zx chc ko khó đúng ko? Vì vai trò ca x và y là nh nhau nên ta s tin hành nh sau: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ax 2 (15 ) 2 (15 ) 15 15 2 2 (15 ) 2 (15 )(1 ) (*) (15 ) (1 ) 2 (15 )(1 ) ay axy a x cz a c xz x y z axy a cxz a c yz a y c z a c yz                             Gi ta so sánh (*) và 2 2 2 15 15 5( ) x y z xy yz zx      thì d dàng suy ra a = 5/2, c = 1/2 . n đây thì mi vic đã đc sáng t. BI TP VN DNG Bài 8: Cho a, b, c dng: abc = 1. CMR 3 3 3 3 (1 )(1 ) (1 )(1 ) (1 )(1 ) 4 a b c b c c a a b          . Bài 9: Cho a, b, c dng: a + b + c = 3. CMR: 3 3 3 1 (2 ) (2 ) (2 ) a b c b c a c a b a b c       . Bài 10 : Cho a, b, c dng: 2 2 2 1 a b c    . CMR: 3 3 3 1 2 2 2 3 a b c b c c a a b       . Bài 11 : Cho a, b, c dng: 2 2 2 1 a b c    . CMR:       3 3 3 1 2 a b c a b b c c a . Bài 12 :Cho x, y, z dng tho mãn: xy+yz+zx = 5. TÌm GTNN ca biu thc M = 28x 2 + 28y 2 +z 2 Bài 13: Cho x, y , z > 0: xy + yz + zx = 1. Tìm GTNN ca biu thc: 2 2 2 2 5 M x y z    Bài 14: Cho các s dng x,y,z sao cho x + y + z= 1. Tìm các giá tr nh nht: a) 2 2 2 A x y z    b) 2 2 2 3 B x y z    c) 2 2 2 2 3 C x y z    Bài 15: Cho x,y,z là các s dng : xy + yz + zx = 1. Tìm giá tr nh nht: a. 2 2 2 10 10 A x y z    b) 2 2 2 2 3 B x y z    TRNG THPT CHUYÊN LÀO CAI Giothoimai2003 5 CHUYÊN  2: BT NG THC SVACX VÀ NG DNG Bt đng thc Svacx là h qu trc tip ca BT Bunhiacopxki và đc phát biu nh sau: Cho hai dãy s thc 1 2 , , , n a a a và 1 2 , , , n b b b ( 0, 1,2, i b i n    ) thì ta có: 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 ( ) (*) n n n n a a a a a a b b b b b b           .ng thc xy ra khi    , j i i j a a i j b b Vì là h qu trc tip ca BT Bunhiacopxki nên ta s phát biu và chng minh BT Bunhiacopxki. Phát biu: Cho hai dãy s thc 1 2 , , , n a a a và 1 2 , , , n b b b ta có: 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2 ( ) ( )( ) n n n n a b a b a b a a a b b b           Du “ = “ xy ra , 1,2, i i a kb i n    Chng minh: t 2 2 2 2 1 1 1 1 ( ) ( ) , , , ( ) Ax 2 n n n n i i i i i i i i i i f x a x b A a C b B a b f x Bx C                  +) Trng hp 1: Nu A = 0 hoc C = 0: BT hin nhiên đúng +) Trng hp 2: , 0 A C  . Do           2 2 ( ) Ax 2 0 ' 0 (® ) f x Bx C x B AC pcm Du “ = “ xy ra , 1,2, i i a kb i n    ( Tc là f(x) = 0 ) Ta s chng minh BT (*) bng BT Bunhiacôpxki: Tht vy, áp dng bt đng thc Bunhiacôpxki cho hai b s 1 2 1 2 1 2 , , , µ , , n n n a a a v b b b b b b , ta đc BT (*) .ng thc xy ra khi    , j i i j a a i j b b Sau đây là mt s bài tp minh ho cho s tin li ca BT Svacx trong vic chng minh BT Bài s 1:Chng minh rng vi các s dng a,b,c ta đu có :      1 1 1 ( )( ) 9 (1) a b c a b c Hng dn       1 1 1 9 (1) a b c a b c ( luôn đúng theo BT(*)). Du “ = “ xy ra    a b c Bài s 2: Chng minh rng vi các s dng a,b,c tho mãn    2 2 2 1 a b c , ta có:       2 2 2 1 1 1 9 (2) 2 a bc b ca c ab Hng dn       2 2 2 9 VT a bc b ca c ab . Do               2 2 2 2 2 2 2 2 2 2( ) a b c ab bc ca a b c ab bc ca a b c         2 2 2 2 2 2 9 9 ( 1) 2( ) 2 VT do a b c a b c . Du “ = “ xy ra     1 3 a b c Bài s 3:Chng minh rng vi các s dng a,b,c thì           2 2 2 3( ) (3) 2( ) a b c ab bc ca b c c a a b a b c . Hng dn TRNG THPT CHUYÊN LÀO CAI Giothoimai2003 6            2 2 2 2 ( ) 2( ) a b c a b c VT b c c a a b a b c . Ta có            2 2 2 2 ( ) ( ) 2( ) 3( ) a b c a b c ab bc ca ab bc ca  đpcm . Du “ = “ xy ra    a b c Bài s 4 : Cho các s dng a,b,c tho mãn abc = 1. CMR :       2 2 2 3 (4) 1 1 1 2 a b c b c a Hng dn             2 2 2 2 ( ) 1 1 1 3 ( ) a b c a b c VT b c a a b c . Ta có:                                3 2 ( ) 3 1 3 3 2( ) (® ) 3 2( ) 2 2 a b c a b c a b c abc a b c a b c a b c VT pcm a b c Du “ = “ xy ra     1 a b c Bài s 5: Cho a , b , c > 0 . CMR:            3 3 3 2 2 2 1 (5) 2 2 2 3 a b c A a b c a b b c c a Hng dn                  3 3 3 4 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) 2 2 2 2 2 2 ( ) a b c a b c a b c A a b b c c a a ab b bc c ca a b c Ta cn CM:                    2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) 1 1 ( ) 0( « ®óng) ( ) 3 ( ) 3 a b c a b c a b c a b lu n a b c a b c Du “ = “ xy ra    a b c Bài s 6: Cho a , b , c > 0 . CMR          4 4 4 2 2 2 (6) ( ) ( ) ( ) 2 a b c a b c A b c a c a b a b c Hng dn                            4 4 4 4 2 2 2 2 4 4 4 2 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ® ) ( ) ( ) ( ) 2( ) 2( ) 2 a b c a b c a b c a b c a b c a b c b c a b c a A pcm b c a c a b a b c c a b a c b a b c a b c Du “ = “ xy ra    a b c BÀI TP VN DNG Bài s 7: Cho a , b , c > 0. CMR:          6 6 6 3 3 3 (7) ( ) ( ) ( ) 2 a b c ab bc ca A b c a c a b a b c Bài s 8: ( IMO - 1995 ) Cho a , b , c > 0: abc = 1. CMR:          3 3 3 1 1 1 3 (8) ( ) ( ) 2 A a b c b c a c a b Bài s 9: CMR: Vi a, b, c dng, ta có:       4 4 4 2 2 2 (9) a b c A a b c bc ca ab TRNG THPT CHUYÊN LÀO CAI Giothoimai2003 7 Bài s 10: CMR: Vi a, b, c dng, ta có: 2 2 2 3 3 3 9a b c A a b c b c a       (10) Các bài tp trên ta đã áp dng BT theo chiu “  ” còn khi “  ” thì sao? Chng hn vi hai s dng x, y ta đu có: 1 1 4 x y x y    (*). Tuy nhiên trong mt s bài toán, chng hn: Tìm GTLN ca mt biu thc thì ta li ko th dùng BT  dng (*) mà s dng BT  dng sau đây: 1 1 1 1 ( ) 4 x y x y    . Tng t, đi vi 3 s dng x, y , z ta cng có: 1 1 1 1 1 ( ) 9 x y z x y z      Bài s 11: Cho x, y, z > 0 sao cho: 1 1 1 4 x y z    . CMR: 1 1 1 1 2 2 2x y z x y z x y z          (11) Hng dn Ta có: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 4 1 2 ( ) ( ) 4 4 4 4 16 VT x y z x y x z x y x z x y x z x                                               Bài s 12: Cho a, b, c > 0. CMR: 2 2 2 4 ab bc ca a b c a b c b c a c a b            (12) TRNG THPT CHUYấN LO CAI Giothoimai2003 8 CHUYấN 3: S DNG O HM CHNG MINH BT NG THC Bi 1: Chứng minh rằng x e > x 1 với 0 x Giải Xét hàm số xf = x e - 1 - x liên tục và khả vi với mọi 0 x xf , = x e - 1 , 00 f nếu 0 x thì 01 , x exf xf đồng biến xf > 0f x e - 1 - x > 0 x e > x 1 (1) Nếu 0 x thì 01 , x exf xf nghịch biến xf > 0f x e -1- x > 0 x e > x 1 (2) Từ (1),(2) x e > x 1 với 0 x đpcm. Bi 2 : ( ĐH Kiến Trúc Hà Nội ) Chứng minh rằng bất đẳng 2 1 2 x xe x đúng với mọi 0 x Giải Yêu cầu bài toán x ex x 1 2 2 < 0 0 x Xét x ex x xf 1 2 2 .Ta có xf , = x ex 1 , 01 ,, x exf 0 x Do đó xf , nghịch biến trong ;0x xf , < 0 , f =0 với ;0x xf nghịch biến trong ;0x xf < 00 f 0 x x ex x 1 2 2 <0 hay 2 1 2 x xe x với 0 x đpcm. Bi 3: Chứng minh rằng 6 3 x x < xx sin với 0 x Giải Ta h- ớng dẫn cho học sinh chứng minh bất đẳng thức chứng minh xx x xx sin 6 sin 3 với 0 x Ta chứng minh xx sin với 0 x Xét xf = xsin - x , 00 f xf , = 1cos x <0 xf nghịch biến xf < 0f với 0 x xsin - x <o xx sin (1) Ta chứng minh 6 3 x x < xsin Xét 6 sin 3 x xxxf xf , = 2 1cos 2 x x = xg 0sin , xxxg với mọi x >0 xg đồng biến xg > 0g =0 với 0 x hay xf , >0 với 0 x xf đồng biến xf > 0f =0 với 0 x 0 6 sin 3 x xx 6 3 x x < xsin với 0 x (2) TRNG THPT CHUYấN LO CAI Giothoimai2003 9 Từ (1),(2) 6 3 x x < xx sin với 0 x đpcm. Bi 4: Chứng minh rằng xx tansin 2 2 1 2 x với 2 0 x Giải áp dụng bất đẳng thức côsi: xx tansin 2 2 xx tansin 2.2.2 = 1 2 tansin 2 tansin 22.2 xxxx xx tansin 2 2 1 2 tansin 2 xx Yêu cầu bài toán Việc chứng minh 1 1 2 tansin 2 2 x xx 11 2 tansin x xx xxx 2tansin với 2 0 x xét hàm số xf = xxx 2tansin với 2 0 x , 00 f xf , = 2 cos 1 cos2 cos 1 cos 2 2 2 x x x x icos 2. cos 1 .cos.2 2 2 x x 0 (vì xx 2 coscos với 2 0 x ) 0 , xf xf đồng biến xf 0f với 2 0 x xf = 02tansin xxx xxx 2tansin hay xx tansin 2 2 1 2 x với 2 0 x đpcm. Bi 5: (ĐH D- ợc ) Với 2 0 x , chứng minh rằng 1 2 3 tansin.2 2 2 2 x xx Giải Xét hàm số 2 3 tan 2 1 sin x xxxf với 2 xo Ta có i x xx x xxf cos 22 , 2 3 cos . 2 1 2 cos 2 cos 2 3 cos . 2 1 cos 0 2 3 . cos 1 2 cos 2 cos .3 3 2 x xx 0 , xf 2 ;0 x xf đồng biến trong khoảng 2 ;0 xf 0f 0 2 3 tan 2 1 sin x xx 2 ;0 x 2 .3 tan 2 1 sin x xx 2 ;0 x . Đẳng thức xảy ra 0 x Mà 2 3 tan 2 1 sin tansin2tansin.2 2.22.222.222 x xx xxxx 2 3 1 tansin2 2 2 2 x xx 2 ;0 x Đẳng thức chỉ xảy ra 0 tansin.2 x xx 0 x .Do đó 1 2 3 tansin.2 2 2 2 x xx với 2 ;0 x đpcm. TRNG THPT CHUYÊN LÀO CAI Giothoimai2003 10 BÀI TP VN DNG Bài 6 Cho 4 3 0   , Chøng minh r»ng 3 1 .2 2    Bài 7: Chøng minh r»ng víi 10 3  aba th×           ba baa b ba baa      3 3 3 3 3 1.2 .211 .2 .2. . Bài 8 Cho 2 0   ba Chøng minh r»ng bbaa sin.sin.  >   ab coscos.2  Bài 9: Chøng minh r»ng 0000 10tan.6tan.39tan.5tan.4  Bài 10: Cho   y x z>0 chøng minh y xz x zy z yx 222  222 zyx  Bài 11: Chøng minh   xx x x  1ln 2 2 víi mäi 0  x Bài 12: Chøng minh r»ng x x xx x    1 2 2 víi 0  x Bài 13: Chøng minh r»ng :   2 2 2 4 1sin     xx víi 2 0   x Bài 14: Cho a,b,c>0 vµ 1 222  cba chøng minh r»ng 2 3.3 222222       b a c a c b c b a . với 0 x Giải Ta h- ớng dẫn cho học sinh chứng minh bất đẳng thức chứng minh xx x xx sin 6 sin 3 với 0 x Ta chứng minh xx sin với 0 x Xét xf = xsin - x , 00 f xf , =. -1 - x > 0 x e > x 1 (2) Từ (1),(2) x e > x 1 với 0 x đpcm. Bi 2 : ( ĐH Kiến Trúc Hà Nội ) Chứng minh rằng bất đẳng 2 1 2 x xe x đúng với mọi 0 x Giải Yêu cầu bài toán. 0 x Giải Xét hàm số xf = x e - 1 - x liên tục và khả vi với mọi 0 x xf , = x e - 1 , 00 f nếu 0 x thì 01 , x exf xf đồng biến xf > 0f x e - 1 - x > 0 x e