1 £23 Tích phân lvlovely@gmail.com Luyện thi Đại học Tích phân Đề thi 1999-2009 7 tháng 2 2010 2 £1 Tích phân 1999-2008 I.Bất đẳng thức tích phân 1.Chứng minh các bất đẳng thức sau : 1)   2 1 2 1 2 lnxdxdx(lnx) 2) 3 1 x cotgx 12 3 3 4   π π 3) 4 x-1 dx 2 1 2 1 0 2000 π   4) 26 1 dx x1 x 226 1 1 0 3 10 25 3     5) 3 32 1cosxxcos dx 3 3 0 2 ππ π     6)   108dxx117x254 11 7    3.Giải bất phương trình :     x e lnx2 lnx 4 3 t dt t2 dt Phương pháp đổi biến số Tích phân của các hàm phân thức 1999-2000 1.Tính tích phân : a) dx x1 x1 1 2 1 3 2    b)    3 1 24 2 dx 1xx 1x c)    1 0 6 4 dx 1x 1x d) 2)3x(x dx 1 0 22   e)   1 0 2 23xx dx f) 1)(x xdx 1 0 3   g) dx 1x 1x 1 0 6 2    h)   4 1 2 1)(xx dx i) dx 1xx 26x 2 0 2    £22 3.Tính thể tích của vật thể tròn xoay được tạo ra khi cho hình phẳng giới hạn bởi các đường : y = e x , y = 1/e, y = e và trục tung quay xung quanh trục Oy. Đề thi Tú tài năm 2008 Kỳ I Tính tích phân 1.Không phân ban   1 0 )xdx x e(1 2.Phân ban Ban A   1 1- dx 4 ) 3 x(1 2 x Ban CB   2 π 0 cosxdx1)(2x 3.Bổ túc  2 π 0 sinxdxcosx Đề thi Tú tài năm 2008 Kỳ II Tính tích phân 1.Không phân ban   1 0 dx13x 2.Phân ban Ban A   1 0 dx x e1)(4x Ban CB   2 1 1)dx4x 2 (6x 3.Bổ túc   1 0 1)dx2x 2 (3x 3 £21 Từ đó tìm CĐ Kinh tế – Công nghệ tp.HCM năm 2007 4. Hãy chứng minh 54 dx x 2 cos4 1 57 ππ 4 π 6 π     Diện tích hình phẳng Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường : 1. 3xy,34x 2 xy  . 2. 24 2 x y 4 2 x 4y  , . 3. )x x e(1y1)x,(ey  Đề thi ĐH-CĐ khối A năm 2007 4. x + y = 0, x 2  2x + y = 0 CĐ KTKT Công nghiệp II năm 2007 5. y = 7  2x 2 , y = x 2 + 4. CĐ KT Cao Thắng năm 2007 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bới parabol (P) : y = – x 2 + 4x và đường thẳng d : y = x. Đề thi CĐ khối A, B, D năm 2008 Thể tích của các khối tròn xoay 1.Cho hình phẳng H giới hạn bỏi các đường y = xlnx, y = 0, x = e. Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình H quanh trục Ox. Đề thi ĐH-CĐ khối B năm 2007 2.Cho hình phẳng H giới hạn bỏi các đường y = e x , y = e  x + 2 x = 0, x = 2. Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình H quanh trục Ox. £2 2. Chứng minh rằng :      cotga 1/e 2 tga 1/e 2 0)(tga1 )xx(1 dx x1 xdx 3.Tính tích phân : dxa1)x(ax 2 1 2   trong đó a là một số cho trước . 4 Tính : dx 1)(x x lim 1 0 22n 13n n     Tính các tích phân : a) dx x1 arctgxxx 1 0 2 2    b)  5 4 20 dx4)-x(x 2000-2001 Tính các tích phân : a. dx 92xx 110x2xx 2)dx 92xx 103xx 1) 1 0 2 23 1 0 2 2      b.    2 1 2 2 1 0 2 dx 127xx x 2)dx 65xx 114x 1)   1 0 24 34xx dx 3)   2 0 2 3 dx 12xx 3x 4)   1 0 24 dx 1xx x 5)   1 0 3 dx x1 3 6) 2001-2002 1.Tìm họ nguyên hàm :    dx 1)3x1)(x5x(x 1x 22 2 4 £3 2     2 51 1 dx 1 2 x 4 x 1 2 x 3.    1 1 12xx dxx 24 4.    1 1 22 )x(1 dx 5.   2 1 1) 4 x(x dx 6.    2 1 dx 1)x(x 1x 2 x 7.    b 0 dx 2 ) 2 x(a 2 xa (a,b là các tham số dương cho trước) 2002-2008 1. 1 0 3 1)(x xdx   2. 0 2 x1 xdx   1 3.   1 0 1 2 x dx 3 x 4. 0 25x 2 2x dx   1 5. 1 3 xx dx   3 6. dx x 2 x 22x 2 3x 3 x 4 x 2 1    CĐ GTVT III năm 2007 7. dx 1 2 x 1x 1 0    CĐ Công Nghiệp Thực phẩm Tp.HCM năm 2007 8. 0 1- 22x 2 x dx   9. dx 1x 2 x 12x 1 0    10. 0 1- 42x 2 x dx   Đề thi ĐH Sài gòn khối A năm 2007 £20    T 0 Ta a f(x)dxf(x)dx Dùng tính chất chẵn lẻ của hàm số 1999 − 2000 Tính tích phân :      1 1 2 4 dx 1x sinxx I 2000 − 2001 1.Chứng minh rằng : 0nx)dx-sin(sinxI 2π 0   với mọi n nguyên 2.Tính tích phân : 1) dx xsin-4 cosxx 2 π 2 π 2    2) )dxxexsin(eI 2x 1 1- x 2   Các tích phân đơn giàn 2002-2008 1.Cho hàm số x bxe 3 1)(x a f(x)    TÌm a và b biết rằng f’(0) =  22 và 5dxf(x) 1 0   . 2.Tính tích phân   2 0 dxx 2 xI 3. Tính tích phân I(x) =   x 1 dt 1)t(t 1 với x > 0. 5 £19 19 19 C 21 1 18 19 C 20 1 2 19 C 4 1 1 19 C 3 1 0 19 C 2 1 S  2.a)Tính tíc h phân : dx)x(1xI 1 0 n32 n   b)Chứng minh rằng 1)3(n 1-2 C 33n 1 C 12 1 C 9 1 C 6 1 C 3 1 1n n n 3 n 2 n 1 n 0 n      Các dạng toán khác Các tích phân đơn giàn 2000 − 2001 1.Tính các tíc h phân : dx e )e(1 2)dx4-2J1) 1 0 3 2x 3 0 x    2.Tính tích phân : (x)]dxgmax[f(x), 2 0  trong đ ó : f(x) = x 2 và g(x) = 3x 2 . 3.Cho f(x) = Asin2x + B . Tính A, B để .3f(x)dx,4(0)f 2π 0 2   2001 − 2002 1.Tính tích phân : dx 4 0 m-xx  tuỳ theo m. 2.Tính tích phân : 2 1 x dx 2 1)(2x   . Dùng tính chất tuần hoàn của hàm số Chứng minh rằng nếu f(x) là ha øm liên tục với mọi giá trò của x và tuần hoàn với c hu kỳ T thì : £4 11. dx 4 2 x 1x 4 x 2 0    Tích phân của các hàm căn thức 1999-2000 Tính tích phân : a.    3 7 0 3 dx 13x 1x b.   4 7 2 9xx dx c. dx 23x 1x 2 0 3    d.    1 0 2 2 1x x)dx(x e. 1x1)(2x dx 3 1 0 22   f. dx 1x 2xx 3 0 2 35    g.   1 0 1x xdx 2000-2001 Tính c ác tích phân : a. dxx2xx1) 4 0 23     3 0 23 dxx2xx2) b. dxxax1) a 0 222   (a là hằng số dương ) dx)x(12) 1 0 32   c. 1xx dx 1) 2     2 1 2 x1x dx 2) 2001-2002 1. dx 3 x1 5 x 1 0   2.   1 0 23 dxx1.x 3.   10 2 15x dx : 6 £5 2002-2008 1.   9 1 dx 3 x1x 2.   1 0 dx 2 x1 3 x . 3.   1 0 .dx1 2 xx 4. dx 3 x2 2 x   5.   1 0 .dxx1x 6.   3 0 dx 5 .x1 2 x 7. dx 1x1 x 2 1   8.   10 5 1x2x dx 9.   32 5 4 2 xx dx 10.    7 0 dx 3 1x 2x 11. dx 1 5 x 4 x 2 0   12. dx 3x1x3 3x 3 1-    13. dx 1 2 x 3 2x 5 x 3 0    14.    3 7 0 dx 3 13x 1x 15. dx 12x xdx 1 0   CĐ Nguy ễn tất Thành năm 2007 16. dx 5x 1xx 2 1    17.   1 5 3x11 dx 18.   6 2 14x12x dx Tích phân của các hàm mũ 1999-2000 a)   ln2 0 x 1e dx b) 1 1-   dx 21 x x 4 £18 2.Cho tích phân :   2 π 0 n n xdxcosI với n là số nguy ên dương . 1) Tính I 3 và I 4 . 2) Thiết lập hệ thức giữa I n và I n-2 với n > 2 . Từ đ ó tính I 11 và I 12 . 3.Cho     1 0 2x 2nx n dx e1 e I với n = 0,1,2,3,… 1) Tính I o . 2) Tính I n + I n+1 . Công thức Newton 2000 − 2001 1.Tính tích phân : )*Nn(dx)x-x(1I 1 0 n2   Từ đó chứng minh rằng : 1)2((n 1 C 1)2(n 1)( C 8 1 C 6 1 C 4 1 C 2 1 n n n 3 n 2 n 1 n 0 n      2.Tính tích phân : )*Nn(dxx)(1I 1 0 n   Từ đó chứng minh rằng : 1n 1-2 C 1n 1 C 3 1 C 2 1 1 1n n n 2 n 1 n      3.Cho n là một số nguyên dương . a)Tính tích phân : dxx)(1I 1 0 n   b)Tính tổng : n n 2 n 1 n 0 n C 1n 1 C 3 1 C 2 1 CS   1.Tính tích phân : dxx)-x(1I 1 0 19   Rút gọn tổng : 7 £17 4.Chứng minh rằng với mọi n ngyên dương ta c ó : 0dxe1)-(2x 2 x-x 1 0 12n    2000-2001 4.a)Chứng minh rằng : 1)!n(m n!!m dxx)-(1xI 1 0 nm nm,    với mọi m,n = 0,1,2,3,… ( Ky ù hiệu m ! = 1.2.3…m và quy ước 0 ! = 1 ) . b)Giả sử rằng m + n = 10 . Hỏi với m,n nào thì I m,n đạt giá trò lớn nhất , bé nhất ? Tại sao ? 5.Tính tích phân : )Nn(dx)x-(1I 1 0 n2 n   a)Tìm hệ thức giữa I n và I n  1 ( với n  1 ) . b)Tính I n theo n . 6.Tính tích p hân : .)0,1,2,3, n(dx)x-x(1J,dx)x-(1xI 1 0 1 0 n2 n n22 n    1)Tính J n va ø chứng minh bất đẳng thức : 1)2(n 1 I n   với mọi n = 0,1,2, … 2)Tính I n+1 theo I n va ø tìm : n 1n n I I lim   7.Tính tích phân : 1,2,3, )n( x1)x(1 dx 1 0 n nn    2001-2002 1.Cho tích phân :    π 0 m dx 2cos2x3 sin2mx I (m là tham số ) Chứng minh rằng : I m + I m-2 = 3I m-1 với mọi m  2 . £6 2000-2001 1)   ln2 0 dx 1 x e 2x e 2)   1 0 dx 3 2x e 1 2001-2002 1.     4 4 dx 1 x 6 x 6 cosx 6 sin π π 2.   1 0 x 21 dx 2002-2009 1.     ln5 ln3 3 x 2e x e dx 2.   ln2 0 dx 2 x e 2x e 3.   8ln ln3 dx 2x .e1 x e 4.   ln5 ln2 1 x e dx 2x e 5.   ln3 0 3 1) x (e dx x e Tích phân của các hàm logarit 1999-2000 a) dx x x)ln1lnx e 1 3 2   b)   e 1 dx 2x lnx2 c)  e 1 dx x lnx 2000-2001 e 1 dx x x 2 ln1   8 £7 2001-2002 1. dx cosx1 sinx)(1 ln 2 π 0 cosx1     2.   4 0 tgx)dx(1ln π : 2002-2008 1.   e 1 dx x lnx3lnx1 2.    e 1 dx 2lnx1x 2lnx3 3.   3 e 1 dx 1lnxx x 2 ln 4.  3 π 4 π dx sin2x (tgx)ln 5.   e 1 3 lnx1x xd CĐ Xây dựng số 2 na êm 2007 Tích phân của các hàm lượng giác 1999 − 2000 1.Cho 2 số nguyên dương p và q . Tính : xdxcospx.cosqI 2π 0   trong trường hợp p = q và p  q . 2.Cho ha øm số : sin3xsin2xsinxg(x)  a)Tìm họ nguyên hàm c ủa g(x) . b)Tính tích phân : dx 1e g(x) I 2 π 2 π x     3.Tính tích phân : a) dx sin2x3 sinxcosx π/3 π/4    b)  4 π 0 2 xdxtg c) dx 53cosx4sinx 67cosxsinx π/2 0    d) xcos dx π/4 0 4  £16 2) Từ các kết quả trên , ha õy tính c ác giá trò c ủa I , J và :    3 5π 2 3π sinx3cosx cos2xdx K 2.Tính tích phân : 1)   2 0 π dx cosxsinx cosx 2)   8 π 0 dx cos2xsin2x cos2x 3) π 2 0 5c osx 4sinx dx 3 (cosx sinx)    : 2002-2008 Tính ca ùc tích phân   2 π 0 dx x 2004 cosx 2004 sin x 2004 sin 13.  2 π 0 sin5xdx 3x e Tích phân truy hồi 1999-2000 1.Tính tích phân : 1,2,3, ndxexI 2x- 1 0 n n   1)Chứng minh : I n  I n+1 . Tính I n+1 theo I n . 2)Chứng minh : 1)2(n 1 I0 n   với mọi n  2 . Từ đó tìm n n Ilim  2.Cho : dx e1 e I 1 0 x- -nx n    1) Tính I 1 . 2) Với n > 1 hãy tìm c ông thức biểu diễn I n qua I n-1 . 3.Cho tích phân :   1 0 2 dx(xsinx)I(t) . a) Tính tích phân khi t =  . b) Chứng minh rằng I(t) + I( t) = 0 ( t  R ) . 9 £15 5.  2 π 0 dxxsinx 6.   0 1- dx) 3 1x 2x x(e 7.   2 π 0 sinxdxx) 3 cos(x 8.   e 1 lnxdx x 1 3 x 9.   e 1 lnxdx x 1 2 x 10.  2 π 0 2xdxsin cosx e Tích phân liên hợp 1999-2000 1.Tính tích phân :   π 0 2x cosxdxeI 2.1) Cho hàm số f liên tục trên   1,0 .Chứng minh :   π/2 0 π/2 0 f(cosx)dxf(sinx)dx 2) Sử dụng kết qua û trên để tính :      π/2 0 3 π/2 0 3 dx cosxsinx xdxsin Jdx cosxsinx xdxcos I 2001-2002 1. Đặt :      6 π 0 2 6 π 0 2 cosx3sinx xdxcos J, cosx3sinx xdxsin I 1) Tính I  3J và I + J . £8 e) 2 x sin dx 3 4π π  f)   π/2 0 sin2x1 dx g) dxx)sinsin2x(1 π/2 0 32   h)   π 0 2 dxcosx)sinxcosx(1 i) dx cosx1 x4sin π/2 0 3   j)  3 π 6 π 4 xcosxsin dx k)   2 π 0 cosx1 dx 8.Tính tích phân : dx xsinbxcosa sinxcosx I π/2 0 2222    với a  0 , b  0 và a 2  b 2 . 2000 − 2001 1.Chứng minh rằng với hai số tự nhiên m , n khác nhau 0xdxsinmx.sinnxdxcosmx.cosn π π- π π-   2.Tính các tíc h phân : a. xdxcos2)xdxsinxcos1) /2 /6 3 0 22  π π π  π 0 4 π/4 0 4 xdxcos4)xdxsin3)   /2 0 441010 x)dxx.sincos-xsinx(cos5) π  π 0 3 xcos5xdxcos6) b. dx cosxsinx cosxsinx 1) 3 4          π π   4 0 2 dx xcos sin2x1 2) π 10 £9 3)   3 π 6 π 22 dx2xcotgxtg c. tgx1 dx 1) 4 π 0    3 π 4 π 4 xdxtg2)         3 π 6 π 6 π xsinxsin dx 3) d. xcos-2 dx 1) 4 0 2  π dx xcos xsin 2) 3 4 6 2  π π dxe cosx1 sinx1 3) 2 π 0 x    e.    2 2 dx x 2 sin-4 cosxx π π 2001-2002 1.  2 0 xdx 3 sin π 2.   4 0 2 2cosx)(sinx dx π 3. dx cos2x x 3 tg 6 0  π 4. dx xcosxsin sin4x 4 π 0 66         5.  4 π 0 4 dx xcos 1 6.   2 0 dx sinx1 x 3 4cos π 7.   π2 0 dxsinx1 8.   4 0 3x 2 4sin dx π 9.   2π 0 dxcos2x1 10.   2 0 )dxsinxcosx( π 11.a ) Tính tíc h phân :  2 π 0 2 sin2xdxxcos b) Chứng minh rằng :   2 π 0 5 2 π 0 6 sin6xdxsinxxcoscos6xdxxcos £14 2.   2 π 0 2xdxsin1)(x 3.   4 π 0 cosxdx1)(x 4.  4 π 0 dx x 2 cos x 5.   4 π 0 dx cos2x1 x 6.   2 π 0 dxx 2 cos1)(2x 7.   1 0 dx 2x e2)(x 8.   2 π 0 xcosx)cosxd sinx (e 9.   4 π 0 dxcosx) sinx e(tgx Pp đổi biến số và pp tích phân từng phần 1999-2000   3 0 1 1- x.arctgxdx 4x-5 x 2002-2008 1.    4 0 dx 3 1)(2x 12xln 2.  1 0 dx 2 x e 3 x 3.  5 0 dx 2 x e 5 x 4.  9 2 π 0 dxxsin CĐ GTVT III năm học 2007 [...]... cosx dx 1 sin 2x e 1 1 e 3 2 xlnxdx 10 dx cos2x £12 1 2 xlg xdx π 3 π 3 4 Đề ĐH- C Đ khốA na ê 2008 thi i m π 4 20 0 sin x sin 2x 2(1 π 4 sinx sin xdx 5 6 π 3 0 2 π 3 0 f(x)sinxdx 2)lnxdx 2 x)dx lnx b (1 x) 2 1 e π 2 1 π 2 d dx 1 x dx 6, (2x 7)ln(x 1) dx 2 5) dx 0 e cosxln( x x 2 1 ) dx 3 2 x ln xdx 8 1 Đề ĐH- C Đ khốD na ê 2007 thi i m e 1 2 2 x ) dx 0 xln (x 7 π 2 ln(x 1) xln (1 4 3 9 2 1)lnxdx 1 e 0... lnxdx 2 1 3 cosxln(1 cosx) dx 3 e 1 (x c dx 7.C ho ha ø số f(x) = a x+b vớ a 2 + b 2 > 0 C hứ g m inh ra è g : m i n n cosx) 2 xlnxdx cos 2 x 0 0 Đề ĐH- C Đ khốB na ê 2008 thi i m a xsinx π 2 π2 dx 2 x lnxdx 1 ln x x3 dx Đề ĐH Sa øg ò khốD, M na ê 2007 thi i n i m ... cotg x dx 3 6 Đề ĐH- C Đ khốD na ê 2008 thi i m π 4 π 4 2 1 sin xtgxdx 8 2 ( 1 tg x)dx 0 0 π 2 π 4 2 3 3 sin 2x(1 sin x) dx 1 4 4 (cos x (2x 2 b 0 x 1)e x dx 0 π2 π sin xdx c x 2 sinxdx d 0 π sin 2xcosx 1 cosx 0 π 4 7 0 0 cos2x 1 sin 2x π/4 xcosxdx 2 2) 0 xtg xdx 9 0 0 (e x x 2 sinx e x )dx 6 π 2 dx 2cos3x 8 0 0 1 (2 sin x)2 10 0 1 sin 2x 4sin3x dx dx 1 cosx cosx 5 2sinx π 2 dx 12 π 3 -1 dx sinx cos2x . 1 £23 Tích phân lvlovely@gmail.com Luyện thi Đại học Tích phân Đề thi 199 9-2 009 7 tháng 2 2010 2 £1 Tích phân 199 9-2 008 I.Bất đẳng thức tích phân 1.Chứng minh các bất đẳng. x(sin cos2x 15.   2 π 0 xdx 5 sinxcos 6 x 3 cos1 16.   2 π 0 dx x 2 4sinx 2 cos 2xsin 12 £11 17.    2 π 0 dx 3cosx1 sinx2xsin 18.    2 π 4 π dx 2xsin1 cosxsinx 19.  6 π 0 dx cos2x x 4 tg Đề thi ĐH- CĐ khối A năm 2008 20. 4 cosx)sinx2(12xsin dx 4 xsin          π 0 π Đề thi ĐH- CĐ khối B năm 2008 Phương pháp tích phân từng phần Khử hàm logarit 1999 − 2000 a.  2 1 xlnxdx . 2) )dxxexsin(eI 2x 1 1- x 2   Các tích phân đơn giàn 200 2-2 008 1.Cho hàm số x bxe 3 1)(x a f(x)    TÌm a và b biết rằng f’(0) =  22 và 5dxf(x) 1 0   . 2.Tính tích phân   2 0 dxx 2 xI 3. Tính tích phân I(x)