CHUYEÂN ÑEÀ LUYỆN THI ðẠI HỌC HµM Sè HµM Sè HµM Sè HµM Sè Mò Mò Mò Mò – LOGARIT LOGARITLOGARIT LOGARIT Quy nhơn, năm 2011 Biên soạn : GV HUỲNH ðỨC KHÁNH trang 1 DẠNG 1. PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN A – PHƯƠNG TRÌNH MŨ. Phương trình mũ cơ bản có dạng : x a m = , trong đó 0, 1 a a > ≠ và m là số đ ã cho. ● N ế u 0 m ≤ , thì ph ươ ng trình x a m = vơ nghi ệ m. ● N ế u 0 m > , thì ph ươ ng trình x a m = có nghi ệ m duy nh ấ t log . a x m = Bài 1. Giải các phương trình sau : 1) x 1 x x 1 5 6.5 3.5 52 + − + − = 2) x 1 x 2 x 3 x x 1 x 2 3 3 3 9.5 5 5 + + + + + + + = + + 3) x x 1 3 .2 72 + = 4) x 1 x 2 3 2.3 25 + − − = 5) x 1 x 2 x x 2 3.2 2.5 5 2 + − − + = + 6) x 3x 1 4 7 16 0 7 4 49 −     − =         . B – PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT. Phương trình logarit cơ bản có dạng : log a x m = , m là số đã cho. ● ðiều kiện : 0 0 1 x a    < < ≠ ● Phương trình có nghiệm : m x a = . Bài 2. Giải các phương trình sau : 1) ( ) 3 log x x 2 1 + = 2) ( ) ( ) 2 2 2 log x 3 log 6x 10 1 0 − − − + = 3) ( ) ( ) log x 15 log 2x 5 2 + + − = 4) ( ) x 1 2 log 2 5 x + − = 5) ( )( ) 2 2 x 1 log log x 1 x 4 2 x 4 − + − + = + 6) 2 x x log 16 log 7 2 − = . DẠNG 2. PHƯƠNG PHÁP ĐƯA VỀ CÙNG CƠ SỐ A – PHƯƠNG TRÌNH MŨ. Sử dụng cơng thức : a a β α α β = ⇔ = . Bài 1. Giải các phương trình sau : 1) 2 3x 3 x x x 3 1 9 27 . 81 3 − +   =     2) x 1 2x 1 4.9 3 2 − + = . CHUYÊN ĐỀ 1. PHƯƠNG TRÌNH MŨ – LOGARIT Biờn son : GV HUNH C KHNH trang 2 B PHNG TRèNH LOGARIT. S dng cụng thc : ( ) 0 0 log log b c b c a a b c > > = = . Bi 2. Gii cỏc phng trỡnh sau : 1) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 log x 3x 2 log x 7x 12 3 log 3 + + + + + = + 2) ( ) ( ) ( ) 2 2 x 3 1 log 3x 1 2 log x 1 log 2 + + = + + 3) ( ) 2 2 9 3 3 1 x 1 log x 5x 6 log log x 3 2 2 + = + 4) ( ) ( ) 2 2 4 4 4 log x 1 log x 1 log x 2 = 5) ( ) ( ) 2 3 4 8 2 log x 1 2 log 4 x log 4 x + + = + + 6) ( ) ( ) ( ) 8 4 2 2 1 1 log x 3 log x 1 log 4x 2 4 + + = . DAẽNG 3. PHệễNG PHAP ẹAậT AN PHUẽ A PH NG TRèNH M . Ph ng trỡnh d ng : 2 . . 0 x x a a + + = . t : 0 x t a > = . Khi ủ ú ta ủ c ph ng trỡnh b c hai : 2 0 t t + + = . Bi 1. Gi i cỏc ph ng trỡnh sau : 1) 2 2 x x 2 x 1 x 2 4 5.2 6 0 + + = 2) 3 2cosx 1 cosx 4 7.4 2 0 + + = 3) 3x x 3x x 1 8 1 2 6 2 0 2 2 = . Ph ng trỡnh d ng : . . 0 x x a a + + = . t : 0 x t a > = . Suy ra : 1 0 1 x x a a t = = > . Khi ủ ú ta ủ c ph ng trỡnh b c hai : 2 1 0 0 t t t t + + = + + = . Biên soạn : GV HUỲNH ðỨC KHÁNH trang 3 Bài 2. Giải các phương trình sau : 1) ( ) ( ) ( ) x x x 26 15 3 2 7 4 3 2 2 3 1 + + + − − = 2) 2 2 sin x cos x 9 9 10 + = . Phương trình dạng : . . 0 x x a b α β γ + + = . Với . 1 ab = . ● ðặt : 0 x t a > = . Suy ra : 1 x b t = . ● Khi ñ ó ta ñượ c ph ươ ng trình b ậ c hai : 2 1 0 0 t t t t α β γ α γ β + + = ⇔ + + = . Bài 3. Giải các phương trình sau : 1) ( ) ( ) x x 2 3 2 3 4 − + + = 2) ( ) ( ) x x 4 15 4 15 8 − + + = . Ph ươ ng trình d ạ ng : ( ) 2 2 . . 0 x x x a ab b α β γ + + = . ● Chia hai v ế ph ươ ng trình cho : 2 x a ( ho ặ c 2 x b ) ● Khi ñ ó ta ñượ c ph ươ ng trình b ậ c hai : 2 0 x x b b a a α β γ             + + = . ðặ t : 0 x b t a       = > . Bài 4. Gi ả i các ph ươ ng trình sau : 1) 2 2 2 x x x 15.25 34.15 15.9 0 − + = 2) 1 1 1 x x x 6.9 13.6 6.4 0 − + = 3) x x x 27 12 2.8 + = . Phương trình dạng : ( ) ( ) ( ) . . f x g x h x a a a α β αβ + − = . Với ( ) ( ) ( ) h x f x g x = + . ● ðặt : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) . 0 0 f x h x f x g x g x v u a a a u v a +      = > ⇒ = = = > Biên soạn : GV HUỲNH ðỨC KHÁNH trang 4 ● Khi ñó ta ñược phương trình bậc hai : ( ) ( ) . . u v uv v u v α β αβ α β α + − = ⇔ − = − ( )( ) . 0 u v u v β α β α    = − − = ⇔ = Bài 5. Giải các phương trình sau : 1) 2 2 x x x x 2x 2 4.2 2 4 0 + − − − + = 2) 2 2 2 x 3x 2 x 6x 5 2x 3x 7 4 4 4 1 − + + + + + + = + 3) ( ) 2 2 2 x 1 x x 1 x 4 2 2 1 + + − + = + 4) x x x 8.3 3.2 24 6 + = + . B – PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT. Phương trình có chứa : log , log , log k a a x x x a . ● ðặt : log a t x = . Suy ra : , . 1 log log k k x x a t a t = = Bài 1. Giải các phương trình sau : 1) x 3 3 x 1 log 3 log x log 3 log x 2 + = + + 2) ( ) 3 9x 3 4 2 log x log 3 1 1 log x − − = − 3) ( ) 2 x 1 log x 1 log 16 + + = 4) ( ) ( ) x 1 x 2 2 log 4 4 .log 4 1 3 + + + = 5) 2 2 2 x log x.log (4x ) 12 = 6) ( ) 2 x 25 log 125x .log x 1 = . Ph ươ ng trình d ạ ng : ( ) ( ) log log log log a a b b x x = . ● ðặ t : ( ) ( ) log log log log a a b b x x A = = . ● Khi ñ ó : ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 log log log log log log A A a b b a a b x A x a x b x A     ⇔       = = = = . Suy ra : log log A A A b a a b x a x b   = =     1 log log log log log log A A A x x b b b a a a a b b b x a x x a x       ⇔ = ⇔ = ⇔ =             ( ) . log log log A a b b b a a A a b   ⇔ =     ⇔ = ● T ừ (1) suy ra : log log . b a b a A a a x b b       = = Biên soạn : GV HUỲNH ðỨC KHÁNH trang 5 Bài 2. Giải các phương trình sau : 1) 2 3 log log x x = 2) ( ) ( ) 2 3 3 2 log log log log x x = 3) 7 3 log x log ( x 2) = + 4) ( ) ( ) 4 2 2 4 log log x log log x 2 + = . Phương trình dạng : Lựa chọn ẩn phụ thích hợp rồi đưa về hệ đơn giản. ● ðặt cấc ẩn phụ thích hợp. ● Biểu diễn ẩn phụ theo phương trình. ● Tìm mối liên hệ giữa các ẩn phụ độc lập đối với biến x. Bài 3. Gi ả i các ph ươ ng trình sau : 1) ( ) ( ) 2 2 2 2 log x x 1 3log x x 1 2 − − + + − = 2) 3 2 lgx 1 lgx 1 − = − − 3) ( ) ( ) 2 2 2 2 3 log x 4x 5 2. 5 log x 4x 5 6 + − + + − − + = . DẠNG 4. PHƯƠNG PHÁP LÔGARIT HÓA ● Dạng 1 : ( ) ( ) 0 1, 0 log . f x a a b a b f x b      < ≠ > = ⇔ = ● D ạ ng 2 : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) log log .lo g f x g x f x g x a a a a b a b f x g x b = ⇔ = ⇔ = . Bài 1. Giải các phương trình sau : 1) ( ) 4 4 3 log x 1 log x 2 x 2 − − = 2) 2 3 lg x lgx 3 2 x 1 1 1 1 1 1 x x + + = − + − + + Bài 2. Gi ả i các ph ươ ng trình sau : 1) x log 5 6 5 x .5 5 − − = 2) lgx 2 x 1000x = 3) x x 3 2 2 3 = 3) 2 x 2x x 2 .3 1,5 − = 5) 2 x x 5 .3 1 = 6) x x x 2 3 .8 6 + = . DẠNG 5. PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU HÀM SỐ Ph ươ ng pháp : Nh ẩ m nghi ệ m và s ử d ụ ng tính đơ n đ i ệ u để ch ứ ng minh nghi ệ m duy nh ấ t. Ta th ườ ng s ử d ụ ng các tính ch ấ t sau : Biên soạn : GV HUỲNH ðỨC KHÁNH trang 6 ● Tính chất 1: Nếu hàm số f tăng ( hoặc giảm ) trong khoảng ( ) ; a b thì phươ ng trình : ( ) f x C = có không quá m ộ t nghi ệ m trong kho ả ng ( ) ; a b . Do ñ ó n ế u t ồ n t ạ i ( ) 0 ; x a b ∈ sao cho ( ) 0 f x C = thì ñ ó là nghi ệ m duy nh ấ t c ủ a ph ươ ng trình : ( ) f x C = . ● Tính ch ấ t 2 : N ế u hàm f t ă ng trong kho ả ng ( ) ; a b và hàm g là hàm m ộ t hàm gi ả m trong kho ả ng ( ) ; a b thì ph ươ ng trình ( ) ( ) f x g x = có nhi ề u nh ấ t m ộ t nghi ệ m trong kho ả ng ( ) ; a b . Do ñ ó n ế u t ồ n t ạ i ( ) 0 ; x a b ∈ sao cho ( ) ( ) 0 0 f x g x = thì ñ ó là nghi ệ m duy nh ấ t c ủ a ph ươ ng trình : ( ) ( ) f x g x = . Bài 1. Giải các phương trình sau : 1) x x x 3 4 5 + = 2) x x 4 3 1 − = 3) ( ) ( ) x x x 2 3 2 3 4 − + + = . Bài 2. Giải các phương trình sau : 1) 2 log x 3 x = − 2) x 3 2 2 log x = − 3) x 2 3 x = − 4) 2 log x x 2.3 3 + = . BÀI TẬP RÈN LUYỆN. 1) 82 3log x log x 2x 2x 5 0 − + − = 2) 3 3 2x x 2 x 2 x 2 x 4x 4 4 2 4 2 + + + + + − + = + 3) ( ) ( ) 2 2 3 3 3 log x 5x 6 log x 9x 20 1 log 8 + + + + + = + 4) ( ) 2 4 log x log x 3 2 − − = 5) ( ) ( ) 2 8 8 4 2log 2x log x 2x 1 3 + − + = 6) x 27 3 3 log 3 3log x 2log x 4 − = 7) 2 2 x log 2 log 4x 3 + = 8) ( ) ( ) x x 2 2 1 log 9 6 log 4.3 6 + − = − 9) ( ) ( ) ( ) 2 3 3 1 1 1 4 4 4 3 log x 2 3 log 4 x log x 6 2 + − = − + + 10) 82 4 16 log 4x log x log 2x log 8x = 11) ( ) ( ) x 1 x log cos x sin x log cosx cos2x 0 − + + = 12) 2 5x 5 5 log log x 1 x + = Biên soạn : GV HUỲNH ðỨC KHÁNH trang 7 13) ( ) ( ) ( ) 2 1 2 2 2 1 2 3 log x 1 log x 1 6 2 log x 1 2 log x 1   + − + −     = + + + 14) x x x 16 64 log 2.log 2 log 2 = 15) ( ) ( ) 2 3 4 2 2 1 log x 1 log x 2 2log 4 x 1 3 + = + + − + 16) 2 2 3x 27x 16log x 3log x 0 − = 17) ( ) { } 4 3 2 2 1 log 2log 1 log 1 3log x 2     + + = 18) ( ) 1 1 2 2 4 log x 2log x 1 log 6 0 + − + = 19) ( ) ( ) 3 1 8 2 2 log x 1 log 3 x log x 1 0 + − − − − = 20) x 2x 2x log 2 2log 4 log 8. + = 21) 2 3 1 2 log x 2 log x 5 log 8 0 − + + + = 22) x 3 1 6 3 log 9x log x x   + = −     23) 4 2 2x 1 1 1 log (x 1) log x 2 log 4 2 + − + = + + 24) ( ) 2 x 4 2 log 8 log x log 2x 0 + = 25) ( ) ( ) 2 2 2x 1 x 1 log 2x x 1 log 2x 1 4 − + + − + − = 26) 2 1 2 2log 2x 2 log 9x 1 1 + + − = 27) ( ) x x 2 2 x 1 log 4 15.2 27 2log 0 4.2 3 + + + = − 28) ( ) ( ) 3 log log x log log x 2 0 + − = 29) ( ) 2 2 1 2 2 1 1 log 2x 3x 1 log x 1 2 2 − + + − = 30) ( ) ( ) 2 3 3 log x 1 log 2x 1 2 − + − = 31) ( ) ( ) 2 2 4 1 2 log x 2 log x 5 log 8 0 + + − + = 32) ( ) 2 2 2 lg x lgxlog 4x 2log x 0 − + = 33) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 log x x 1 log xlog x x 2 0 − + − − = 34) 4 3 2 lg x lg x 2lg x 9lgx 9 0 + − − − = 35) 2 2 2 3 2 3 log x log x log x log xlog x 0 − + − = 36) ( ) ( ) 3 1 3 2log 4x 3 log 2x 3 2 − + + = . HẾT Biên soạn : GV HUỲNH ðỨC KHÁNH trang 1 DẠNG 1. PHƯƠNG PHÁP ĐƯA VỀ CÙNG CƠ SỐ A – BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ. ● 0 1 a < < ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f x g x f x g x a a f x g x a a f x g x > ⇔ < ≥ ⇔ ≤ (ngh ị ch bi ế n) ● 1 a > ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) g x f x f x g x a a f x g x a a f x g x > ⇔ > ≥ ⇔ ≥ (đồng biến) Ví dụ 1. Giải bất phương trình : 2 x x 1 x 2x 1 3 3 − − −   ≥     . - ðiều kiện : 2 x 0 x 2x 0 x 2 ≤  − ≥ ⇔  ≥  . - Bất phương trình 2 x x 1 x 2x 2 3 3 x 2x x x 1 − − − ⇔ ≥ ⇔ − ≥ − − (1) + Nếu x 0 ≤ thì x 1 1 x − = − , khi đó ( ) 2 1 x 2x 2x 1 ⇔ − ≥ − (lng đúng vì x 0 ≤ ) + Nếu x 2 ≥ thì x 1 x 1 − = − , khi đó ( ) 2 2 1 x 2x 1 x 2x 1 0 ⇔ − ≥ ⇔ − − ≥ ( ) ( ) x 1 2 loai x 1 2 chon  ≤ − ⇔  ≥ +   - Vậy nghiệm của bất phương trình là : ( ] ) S ;0 1 2;  = −∞ ∪ + +∞  . Ví dụ 2. Gi ả i b ấ t ph ươ ng trình : ( ) 2 3 3 log x log x 3 x 6 + ≤ . - ðiều kiện : x 0 > . - Ta có : ( ) ( ) 2 3 3 3 3 log x log x log x log x 3 3 x= = . - Khi đó bất phương trình ( ) 3 3 3 3 log x log x log x log x 3 3 x x 6 x 3 log x log 3 ⇔ + ≤ ⇔ ≤ ⇔ ≤ ( ) 2 3 3 3 3 1 log x.log x 1 log x 1 1 log x 1 x 3. 3 ⇔ ≤ ⇔ ≤ ⇔ − ≤ ≤ ⇔ ≤ ≤ - Vậy nghiệm của bất phương trình là : 1 S ;3 3   =     . CHUYÊN ĐỀ 2. BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ – LOGARIT Biên soạn : GV HUỲNH ðỨC KHÁNH trang 2 BÀI TẬP. 1) 3 x 2 log x 5 1 − < 2) ( ) 2 log x 1 2 3 1 2 3 x log log 2 3 2 1 1 3 −       + +             ≥     3) 1 1 2 2 2 2 log x log x log x 5 x .2 6.x+ > 4) 2 2 1 3 log x log x 2 2 2.x 2≥ . B – BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT. ● 0 1 a < < ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) log log 0 log log 0 a a a a f x g x f x g x f x g x f x g x > ⇔ < < ≥ ⇔ < ≤ (ngh ị ch bi ế n) ● 1 a > ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) log log 0 log log 0 a a a a f x g x f x g x f x g x f x g x > ⇔ < > ≥ ⇔ < ≥ ( ñồ ng bi ế n) Ví dụ . Giải bất phương trình : 1 2 3 1 2x log log 0 1 x +   >   +   - Bpt 2 2 1 2x 1 2x 0 0 1 2x x 1 x 1 x 1 0 1 2x 1 2x 1 x 1 x log 0 1 1 2x 1 1 x 1 x 2 0 1 2x 1 2x 1 x 1 x log 1 2 1 x 1 x + +   > >   + + +   > >        + + + + ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ > >     + − + +     > <     + + + +  < <   + +   x 1 x 0 x 0 x 1 < − ∨ >  ⇔ ⇔ >  > −  . - Vậy nghiệm của bất phương trình là : ( ) S 0; = +∞ . BÀI TẬP. 1) 2 0,7 6 x x log log 0 x 4   + <   +   2) ( ) 2 π 2 4 log log x 2x x 0   + − <     3) ( ) 2 3 1 1 3 3 1 log x 5x 6 log x 2 log x 3 2 − + + − > − 4) 3 2x 3 log 1 1 x −   <   −   5) ( ) ( ) x x 2 5 5 5 log 4 144 4log 2 1 log 2 1 − + − < + + 6) ( ) x x 2 log 7.10 5.25 2x 1 − > + 7) ( ) ( ) 25 5 1 5 1 2log x 1 log .log x 1 2x 1 1   − ≥ −   − −   8) 2 2x x log 64 log 16 3. + ≥ . ÑEÀ LUYỆN THI ðẠI HỌC HµM Sè HµM Sè HµM Sè HµM Sè Mò Mò Mò Mò – LOGARIT LOGARITLOGARIT LOGARIT Quy nhơn, năm 2011 Biên soạn : GV HUỲNH ðỨC KHÁNH. của bất phương trình là : 1 S ;3 3   =     . CHUYÊN ĐỀ 2. BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ – LOGARIT Biên soạn : GV HUỲNH ðỨC KHÁNH trang 2 BÀI TẬP. 1) 3 x 2 log x 5 1 − < . ĐIỆU HÀM SỐ Ph ươ ng pháp : Nh ẩ m nghi ệ m và s ử d ụ ng tính đơ n đ i ệ u để ch ứ ng minh nghi ệ m duy nh ấ t. Ta th ườ ng s ử d ụ ng các tính ch ấ t sau : Biên soạn : GV HUỲNH ðỨC KHÁNH