J.L. Alperin with Rowen B.Bell NHÓM VÀ BI ỂU DIỄN Người dịch: ThS. Khuất Văn Thanh, ThS. Ngô Mạnh Tường Hiệu đính: TS. Lê Minh Hà Springger Mục lục Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1. Các kiến thức cơ bản về lý thuyết nhóm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1. Nhắc lại. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2. Tự đẳng cấu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 3. Tác động nhóm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2. Nhóm tuyến tính tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 4. Cấu trúc cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 5. Nhóm con parabol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 6. Nhóm tuyến tính đặc biệt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 3. Cấu trúc địa phương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 1. Định lí Sylow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 2. p-nhóm hữu hạn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 3. Định lí Schur-Zhassenhaus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 4. Cấu trúc chuẩn tắc. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 10. Chuỗi hợp thành . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 11. Nhóm giải được . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 5. Đại số nửa đơn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 12. Môđun và biể u diễn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 13. Lý thuyết Wedderburn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 6. Biểu diễn nhóm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 14. Đặc trưng. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 15. Bảng đặc trưng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 16. Cảm sinh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 Phụ lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 Danh mục từ khóa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 4 MỤC LỤC Chỉ số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 Chỉ mục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 Dịch: ThS. Khuất Văn Thanh, ThS. Ngô Mạnh Tường. HĐ: TS. Lê Minh Hà 1 Các kiến thức cơ bản về l ý thuyết nhóm Trong chương này, chúng ta xem lại các khái niệm cơ bản của lí thuyết nhóm và giới thiệu các công cụ mà chúng ta sẽ sử dụng trong các chương còn lại. Phần 1 chủ yếu bao gồm các lập luận mà chúng ta giả s ử rằng người đọc đã quen thuộc từ một nghiên cứu trước đó về lí thuyết nhóm, do vậy hầu hết các chứng minh trong chương này được lược bỏ. Trong Phần 2, chúng tôi giới thiệu một số khái niệm quan trọng, ví dụ như tự đẳng cấu nhóm và tích nửa trực tiếp, những khái niệm mà có thể chưa được nhắc đến trong khóa học đầu tiên về lí thuyết nhóm. Phần 3 đề cập đến lí thuyết tác động nhóm, ở đây chúng tôi trình bày cả những ứng dụng cơ bản và kết quả mang tính chất kỹ thuật cần thiết cho các chương sau. 1. Nhắc lại Ta nhớ lại rằng, một nhóm bao gồm một tập không rỗng G và một phép toán hai ngôi trên G, thường kí hiệu theo lối nhân, thỏa mãn những tính chất sau: • Phép toán hai ngôi có tính kết hợp: (xy)z = x(yz) với mọi x, y, z ∈ G. • Tồn tại duy nhất phần tử 1 ∈ G, gọi là phần tử đơn vị của G, sao cho x1 = x và 1x = x với mọi x ∈ G. • Với mọi x ∈ G có duy nhất một phần tử x −1 ∈ G, gọi là phần tử nghịch đảo của x, với tính chất xx −1 = 1 và x −1 x = 1. Tính chất kết hợp cho phép chúng ta dễ dàng định nghĩa tích của một số hữu hạn bất kỳ các phần tử của một nhóm. Tr ật tự các phần tử trong một tích là rất quan trọng, chẳng hạn nếu x, y là hai phần tử của nhóm G thì không nhất thiết phải có xy = yx. Trong trường hợp đẳng thức này xảy ra thì ta nói rằng x và y gi ao hoán. Thông thường, ta định nghĩa giao hoán tử của x và y là phần tử [x, y] = xyx −1 y −1 , khi đó x và y giao hoán nếu và chỉ nếu [x, y] = 1. (Nhiều tác giả định nghĩa [x, y] = x −1 y −1 xy.) Chúng ta nói rằng G là một nhóm abel nếu tất cả các cặp phần tử của G đều giao hoán, trong trường hợp này thứ tự các phần tử trong một tích là không qua trọng; tr ái lại, chúng ta nói rằng G là không abel. Phép toán trên một nhóm abel thường được viết theo lối cộng, có nghĩa là tích của các phần tử x và y được viết thành x + y thay vì xy, nghịch đảo của x được kí hiệu bởi −x, và phần tử đơn vị kí hiệu là 0. Nếu x là một phân tử của một nhóm G thì với n ∈ N chúng ta sử dụng x n (tương 6 CHƯƠNG 1. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ LÝ THUYẾT NHÓM ứng, x −n ) để chỉ tích x · · · x (tương ứng, x −1 · · · x −1 ) gồm n số hạng. Chúng ta cũng định nghĩa x 0 = 1. (Trong một nhóm abel mà được viết theo lối cộng, chúng ta viết nx thay vì x n với n ∈ Z.) Dễ dàng thấy rằng các công thức thông thường cho các lũy thừa cũng được thỏa mãn. C húng ta nói rằng x có cấp hữu hạn nếu tồn tại n ∈ N sao cho x n = 1. Nếu x có cấp hữu hạn thì chúng ta định nghĩa cấp của x là số nguyên dương nhỏ nhất n mà x n = 1. Rõ ràng là, x có cấp n nếu và chỉ nếu 1, x, x 2 , , x n−1 là các phần tử phân biệt của G và x n = 1. Một nhóm G được gọi là hữu hạn nếu nó có một số hữu hạn các phân tử, trái lại nó là vô hạn. Chúng ta định nghĩa cấp của một nhóm hữu hạn, kí hiệu là |G|, là số các phần tử của G; chúng ta cũng có thể sử dụng |S| cho bản số của một tập hữu hạn S bất kỳ. Mọi phần tử của một nhóm hữu hạn đều có cấp hữu hạn và tồn tại các nhóm vô hạn cũng có tính chất này; các nhóm như vậy được gọi là tuần hoàn. Tuy nhiên, có các nhóm vô hạn mà ở đó phần tử đơn vị là phần tử duy nhất có cấp hữu hạn; các nhóm như vậy được gọi là không xoắn. Một tập con H của G được gọi là một nhóm con của G nếu nó tạo thành một nhóm với phép tính hai ngôi trên G được hạn chế trên H. Tương tự vậy, H ⊆ G là một nhóm con nếu và chỉ nếu thỏa mãn các điều kiện sau: • Phần tử đơn vị 1 của G nằm trong H. • Nếu x, y ∈ G thì tích xy trong G cũng ∈ H. • Nếu x ∈ H thì nghịch đảo của nó x −1 ∈ H. Rõ ràng, G là một nhóm con của chính nó. Tập {1} cũng là một nhóm con của G; nó được gọi là nhóm con tầm thường, và để đơn giản hóa chúng ta kí hiệu nó bởi 1. Mọi nhóm con của một nhóm hữu hạn là hữu hạn; tuy nhiên, một nhóm vô hạn luôn luôn có cả các nhóm con hữu hạn và vô hạn, đó lần lượt là nhóm con tầm thường của nó và chính nó. Tương tự vậy mọi nhóm con của một nhóm abel là abel, nhưng một nhóm không abel luôn luôn có cả các nhóm con abel và không abel. Nếu H là một nhóm con của G thì chúng ta viết H  G; nếu H được chứa thực sự trong G thì chúng ta gọi H là nhóm con thực sự của G, và chúng ta có thể viết H < G. (Sự khác biệt về kí hiệu này là chung nhưng không phổ biến.) Nếu K  H và H  G thì hiển nhiên K  H. Mệnh đề 1. Nếu H và K là các nhóm con của một nhóm G thì giao của chúng H ∩ K cũng vậy. Tổng quát hơn, giao của một tập bất kì các nhóm con của một nhóm cũng là một nhóm con của nhóm đó. Định lí dưới đây đưa ra thông tin quan trọng về bản chất của các nhóm con của một nhóm hữu hạn. Dịch: ThS. Khuất Văn Thanh, ThS. Ngô Mạnh Tường. HĐ: TS. Lê Minh Hà 1. NHẮC LẠI 7 Định lý Lagrange. Cho G là một nhóm hữu hạn và H  G. Khi đó |H| chia hết |G|. Nếu X là một tập con của m ột nhóm G thì chúng ta định nghĩa < X > là giao của tất cả các nhóm con của G chứa X. Theo Mệnh đề 1, X là một nhóm con của G, mà chúng ta gọi là nhóm con của G sinh bởi X. Chúng ta thấy rằng < X > là nhóm con nhỏ nhất của G mà chứa X, theo nghĩa nó được chứa trong một nhóm con như thế bất kì; do vậy nếu X  G thì < X >= X. Nếu X = {x} thì chúng ta viết < x > thay vì < X >; tương tự thế, nếu X = {x 1 , , x n } thì chúng ta viết < x 1 , , x n > thay cho < X >. Mệnh đề 2. Cho X là một tập con của một nhóm G. Khi đó < X > chứa đơn vị và tất cả các tí ch dạng x ε 1 1 · · ·x ε r r , ở đó r ∈ N, x i ∈ X và ε i = ±1 với mọi i. Một nhóm G được gọi là xyclic nếu G =< g > với g ∈ G; phần tử g được gọi là một phần tử sinh của G. Ví dụ, nếu G là một nhóm cấp n có một phần tử g cấp n thì G =< g > và g, , g n−1 , g n = 1 là các phần tử phân biệt của G. T heo Mệnh đề 2, < g >= {g n |n ∈ Z} và do đó từ tính chất của lũy thừa suy ra các nhóm xyclic là abel; tuy nhiên chúng ta thường viết các nhóm xyclic theo lối nhân thay vì lối cộng. Nếu g có cấp n thì < g >= {1, g, , g n−1 }, và do đó | < g > | = n. Nếu g không có cấp hữu hạn thì < g > là một nhóm abel vô hạn không xoắn. Hai nhóm xyclic hữu hạn bất kì có cùng một cấp là "tương đương" theo nghĩa sẽ được chính xác hóa trong phần này, và hai nhóm xyclic vô hạn bất kì cũng tương đương với cùng nghĩa như vậy. Nhóm xyclic vô hạn chính tắc là Z, tập các số nguyên với phép cộng, trong khi nhóm xyclic chính tắc cấp n là Z/nZ, tập các lớp còn lại của các số nguyên với phép cộng modulo n. Giả sử rằng G là một nhóm hữu hạn và g ∈ G có cấp n. Ta có < g > là một nhóm con của G có cấp n, vì thế theo định lý Sylow ta có n chia hết |G|. Do vậy, cấp của một phần tử của một nhóm hữu hạn chia hết cấp của nhóm đó. Vì thế, nếu |G| bằng một số nguyên tố p nào đó thì cấp của mọi phần tử của G phải là một ước không tầm thường của p, từ đó G là xyclic với mọi phần tử khác đơn vị đều là một phần tử sinh. Nếu X và Y là các tập con của một nhóm G thì chúng ta định nghĩa tích của X và Y trong G là XY = {xy|x ∈ X, y ∈ Y } ⊆ G. Chúng ta có thể mở rộng khái niệm này cho số hữu hạn bất kì các tập con của G. Chúng ta cũng có thể định nghĩa nghịch đảo của X ⊆ G bởi X −1 = {x −1 |x ∈ X} ⊆ G. Nếu H là một tập con của G thì H  G nếu và chỉ nếu HH = H và H −1 = H. Mệnh đề 3. Cho H và K là các nhóm con của một nhóm G. Khi đó HK là một nhóm con của G nếu và chỉ nếu HK = KH. 8 CHƯƠNG 1. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ LÝ THUYẾT NHÓM Nhận thấy r ằng, nếu H và K là các nhóm con của G thì tích của chúng HK chứa cả H và K; hơn nữa, nếu K  H thì HK = H. (Các tính chất này không thỏa mãn nếu H và K là các tập con bất kì của G.) Nếu G là abel thì HK = KH với các nhóm con H và K bất kì của G, và do đó tích của hai nhóm con bất kì của một nhóm abel là một nhóm con. Bây giờ chúng ta có thể mô tả cấu trúc nhóm con của các nhóm xyclic vô hạn. Định lí 4. Cho G =< g > là một nhóm xyclic cấp n. Khi đó: (i) Với mọi ước d của n, tồn tại đúng một nhóm con của G cấp d, đó là < g n d >. (ii) Nếu d và e là cac ước của n thì giao của các nhóm con cấp d và e là nhóm con cấp gcd(d, e). (iii) Nếu d và e là các ước của n thì tích của các nhóm con cấp d và e là nhóm con cấp lcm(d, e). Nếu H  G thì chúng ta viết xH thay vì {x}H, tập xH được gọi là một lớp kề trái của H trong G. Tương tự, chúng ta viết Hx thay vì H{x}, và chúng ta gọi Hx là một lớp kề trái của H trong G. Trong cuốn sách này chúng ta sẽ dùng các lớp kề trái, và do vậy từ bây giờ trở đi từ "lớp kề" sẽ được hiểu như là "lớp kề trái". Cách sử dụng lớp kề trái thay cho lớp kề phải của chúng ta không phải là bản chất, vì bất kỳ m ột phát biểu nào đúng cho lớp kề trái đều đúng cho lớp kề phải. Nhiều giáo trình về lý thuyết nhóm sử dụng lớp kề phải thay cho lớp kề trái. Tồn tại một tương ứng song ánh giữa các lớp kề trái và phải của H trong G, biến một lớp kề trái xH thành nghịch đảo của nó (xH −1 ) = Hx −1 . Cho H là một nhóm con của G. Hai lớp kề bất kỳ của H trong G hoặc là bằng hoặc là rời nhau, với các lớp kề xH và yH là bằng nhau nếu và chỉ nếu y −1 x ∈ H. Do đó, một phần tử x ∈ G nằm chính xác trong một lớp kề của H, đó là xH. Với mọi x ∈ G, tồn tại một tương ứng song ánh giữa H và xH; một sự tương ứng như vậy biến h ∈ H thành xh. Chúng ta định nghĩa chỉ số của H trong G, được ký hiệu bởi |G : H|, là số các lớp kề của H trong G. (Nếu tồn tại một số vô hạn các lớp kề của H trong G thì chúng ta có thể định nghĩa |G : H| là bản số của nó mà không làm thay đổi giá trị của bất kỳ định đề nào được đưa ra dưới đây, bởi chúng ta có thể định nghĩa lại G như là bản số |G : 1|.) Các lớp kề của H trong G chia G thành |G : H| tập rời nhau với bản số |H| và do đó |G| = |G : H||H|. (Điều này chứng minh cho định lý Lagrange; tuy nhiên, ta có thể chứng minh định lý Lagrange mà không cần sử dụng đến các lớp kề mà bằng cách sử dụng một lập luận tính toán đơn giản.) Thực tế, tất cả các nhóm con của một nhóm hữu hạn có chỉ số hữu hạn, trong khi các nhóm con của một nhóm vô hạn có thể có chỉ số vô hạn hoặc hữu hạn. Dịch: ThS. Khuất Văn Thanh, ThS. Ngô Mạnh Tường. HĐ: TS. Lê Minh Hà 1. NHẮC LẠI 9 Chúng ta ký hiệu tập các lớp kề (hoặc không gian lớp kề) của H trong G bởi G/H. Bây giờ, chúng ta có thể đưa ra một mô tả hoàn chỉnh về các nhóm con của các nhóm xyclic vô hạn. Chúng tôi mời độc giả phát biểu lại Định lí 4 theo cách sao cho sự tương ứng giữa Định lí 4 và 5 được rõ ràng hơn. Định lí 5. Cho G =< g > là một nhóm xyclic vô hạn. Khi đó: 1. Với mỗi d ∈ N, có chính xác một nhóm con củ a G chỉ số d, < g d >. Hơn nữa, mọi nhóm con không tầm thường của G đều có chỉ số hữu hạn. 2. Cho d, e ∈ N. Khi đó giao của các nhóm con chỉ số d và e là nhóm con chỉ số lcm(d, e). 3. Cho d, e ∈ N. Khi đó tíc h của các nhóm con chỉ số d và e là nhóm con chỉ số gcd(d, e). Kết quả dưới đây khái quát hóa định lí Lagrange và được xem như là "phép phân tích thành nhân tử của các chỉ số". Định lí 6. Nếu K  H  G thì |G : K| = |G : H||H : K|. Cho H là một nhóm con của một nhóm G và cho I là một tập chỉ số tương ứng song ánh với tập các lớp kề của H tr ong G. Một tập con T = {t i |i ∈ I} được gọi là lớp ngang (trái) của H (hoặc một tập các biể u diễn lớp kề (trái) của H trong G) nếu các tập t i H là các lớp kề của H trong G sao cho không có một lớp nào bị lược bỏ hoặc bị lặp lại. Cho N là một nhóm con của một nhóm G. Ta nói rằng N là nhóm con chuẩn tắc của G (hay N là chuẩn tắc trong G) nếu xN = Nx với mọi x ∈ G, hay tương đương với xN x −1 ⊆ N với mọi x ∈ G. Nếu G là abel thì mọi nhóm con của G đều là chuẩn tắc. Các nhóm con 1 và G luôn là chuẩn tắc trong G; nếu G chỉ có hai nhóm con chuẩn tắc này thì ta nói G là đơn. Chẳng hạn, một nhóm xyclic cấp nguyên tố là đơn. (Một nhóm chỉ có duy nhất một phần tử thông thường không được coi là đơn.) Nếu N là chuẩn tắc trong G thì chúng ta viết N  G; nếu N là nhóm con thức sự của vừa là chuẩn tắc trong G thì ta viết N  G. (Lưu ý rằng, nhiều tác giả không phân biệt điều này và chỉ viết N  G để kí hiệu N là chuẩn tắc trong G.) Nếu N  G và K  H thì chưa chắc K  G, chúng ta không đưa ra một phản ví dụ lúc này. Tuy nhiên, rõ ràng nếu K  G và K  H  G thì K  G. Mệnh đề 7. Cho H và K là các nhóm con của một nhóm G. Nếu K  G thì HK  G và H ∩K  H; hơn nữa, nếu H  G thì HK  G và H ∩K  G. 10 CHƯƠNG 1. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ LÝ THUYẾT NHÓM Mệnh đề 8. Mọi nhóm con chỉ chỉ số 2 đều là chuẩn tắc. Chứng minh. Cho H  G và giả sử rằng |G : H| = 2. Khi đó có hai lớp kề trái của H trong G; một lớp là H và do vậy lớp kia phải là G − H. Tương tự, H và G − H là hai lớp kề phải của của H trong G. Từ đó, x ∈ H khi và chỉ khi xH = H = Hx và x /∈ H khi và chỉ khi xH = G −H = Hx. Vậy H  G. Các nhóm con chuẩn tắc quan trọng vì chúng giúp ta tạo ra nhóm mới từ nhóm cũ theo cách sau: Định lí 9. Nếu N  G thì tập các lớp kề G/N tạo nên một nhóm với phép toán xác định bởi (xN)(yN) = (xy)N. Nếu N  G thì chúng ta gọi G/N với phép toán trên là nhóm thương của G bởi N. Khi đó phân tử đơn vị của G/N là N và phần tử nghịch đảo của xN ∈ G/N là x −1 N. Nếu G là abel thì G/N cũng là abel. Cho x và g là các phần tử của một nhóm G. Khi đó liên hợp của x bởi g được định nghĩa là phần tử gxg −1 của G. (Một vài tác giả định nghĩa liên hợp của x bởi g là g −1 xg. Các kí hiệu g x và x g đôi khi được sử dụng thay cho gxg −1 và g −1 xg.) Hai phần tử phần x và y của G được gọi là liên hợp nếu tồn tại một phần tử g ∈ G sao cho y = gxg −1 . Hai phần tử phân biệt của một nhóm abel đều liên hợp. Một nhóm con N của G là chuẩn tắc nếu và chỉ nếu mọi liên hợp của một phần tử của N bởi một phần tử của G đều nằm trong N. Cho X là một tập. Một hoán vị của X là một song ánh từ X đến X. Tập các hoán vị của X, kí hiệu  X , tạo thành một nhóm với phép hợp thành của các ánh xạ. Nếu X = {1, , n} với n ∈ N thì nhóm này đợc gọi là nhóm đối xứng bậc n và được kí hiệu là  n . (Nhiều tác giả kí hiệu nhóm này là S n hoặc S n .) Nhóm  X là hữu hạn và có cấp n! = n(n − 1) ···2 · 1. Một phần tử ρ của  n được gọi là một xích có độ dài r (hay r-xích) nếu có các số nguyên phân biệt 1 ≤ a 1 , , a r ≤ n sao cho ρ(a i ) = (a i+1 ) với mọi 1 ≤ i < r, ρ(a r ) = a 1 và ρ(b) = b với mọi 1 ≤ b ≤ n mà b khác các a i . Xích ρ xác định như trên còn được viết là ρ = (a 1 ···a r ). Dĩ nhiên, việc kí hiệu này có thể được viết theo r cách khác nhau; chẳng hạn, (1 2 4), (2 4 1) và (4 2 1) đều là kí hiệu của cùng một 3-xích trong  4 . Xích ρ xác định như trên cũng được gọi là di chuyển mỗi a i và cố định mọi số khác. Hai xích được gọi là rời nhau nếu không có số nào bị di chuyển bởi cả hai xích đó. Tích của hai xích (a 1 ···a r ) và (b 1 ···b s ) được viết là (a 1 ···a r )(b 1 ···b s ); nếu a i = b j thì tích này biến b j−1 thành a i+1 . (Chúng ta tính từ "phải sang trái" trong cách viết này vì chúng ta luôn coi các xích như các hàm Dịch: ThS. Khuất Văn Thanh, ThS. Ngô Mạnh Tường. HĐ: TS. Lê Minh Hà [...]... và π -phần của g.) 5 Cho r, s và t là các số nguyên dương lớn hơn 1 Chứng minh rằng có một nhóm G có các phần tử x và y sao cho x có cấp r, y có cấp s và xy có cấp t 6 Cho X và Y là các tập con của một nhóm G Các nhóm < X > ∩ < Y > và < X ∩ Y > có nhất thiết bằng nhau không? Các nhóm ∪ < Y >> và < X ∪ Y > có nhất thiết bằng nhau không? 7 Cho G là một nhóm hữu hạn và H G Chứng minh rằng có một... tập các nhóm con của G chứa N và tập các nhóm con của H Nếu K là một nhóm con của G chứa N thì phép tương ứng này biến K thành ϕ(K); nếu L là một nhóm con của H thì nhóm con của G là tạo ảnh của L đối với phép tương ứng này là ϕ−1 (L) = {x ∈ G|ϕ(x) ∈ L} Hơn nữa, nếu K1 và K2 là các nhóm con của G chứa N thì: • K2 K1 nếu và chỉ nếu ϕ(K2 ) ϕ(K1 ), khi đó |K1 : K2 | = |ϕ(K1 ) : ϕ(K2 )| • K2 K1 nếu và chỉ... H suy = = ra H ∼ G) và bắc cầu (G ∼ H và H ∼ K suy ra G ∼ K.) Do đó, chúng ta có thể = = = = nói "lớp đẳng cấu" mà một nhóm cho trước thuộc vào lớp này Các nhóm đẳng cấu được coi là hoàn toàn đồng nhất theo nghĩa bất kì phát biểu nào về một nhóm là đúng (sau khi đưa ra các phép đồng nhất thích hợp) nó cũng đúng cho bất kì nhóm nào đẳng cấu với nhóm đó Nếu chúng ta nói rằng một nhóm có các tính chất... có được một vài kết quả theo hướng này và rất hữu ích trong phần sau Mệnh đề 11 Cho H là một nhóm xyclic và N là một nhóm bất kì Nếu ϕ và ψ là các đơn cấu từ H vào Aut(N ) sao cho ϕ(H) = ψ(H) thì ta có N ϕ H ∼ N ψ H = Chứng minh Giả sử H =< x > Khi đó, từ giả thiết ϕ(H) = ψ(H) ta có ϕ(x) và ψ(x) sinh ra cùng một một nhóm con xyclic của Aut(N ) Do đó, tồn tại a, b ∈ Z sao cho ϕ(x)a = ψ(x) và ψ(x)b =... chúng ta có kết quả sau: Nếu G là một nhóm và N G thì mọi nhóm con của G/N đều có dạng K/N với K là một nhóm con của G chứa N (Ở đây chúng ta coi ϕ là ánh xạ tự nhiên từ G vào G/N ) Định lý đẳng cấu thứ hai Cho H và K là các nhóm con chuẩn tắc của một nhóm G Nếu H chứa K thì G/H ∼ (G/K)/(H/K) = Chứng minh Áp dụng định lí tương ứng cho ϕ là ánh xạ tự nhiên từ G vào G/K BÀI TẬP 1 Hãy chứng minh, hoặc... tử của một nhóm G và giả sử rằng |G| = mn với m và n nguyên tố cùng nhau Chứng minh rằng có duy nhất các phần tử x và y thuộc G sao cho xy = g = yx và xm = 1 = y n (Trong trường hợp m là lũy thừa của một số nguyên tố p, chúng ta gọi x là p-phần của g và y là p -phần của g; tổng quát hơn, nếu π là tập các số nguyên tố chia hết m và không chia hết n thì x và y tương ứng được gọi là π-phần và π -phần... G|ϕ(g) = 1} của G và ảnh của ϕ và tập con Im ϕ = {ϕ(g)|g ∈ G} của H Chúng ta cũng thường sử dụng kí hiệu ϕ(G) để chỉ tập ảnh của ϕ và ϕ(K) để chỉ tập {ϕ(g) = g ∈ K} với K G Ví dụ, nếu N G và η : G → G/N là ánh xạ tự nhiên thì chúng ta có ker η = N và η(K) = KN/N với mọi K G (Dễ thấy η(K) = K/N nếu K chứa N ) Mệnh đề 11 Cho G và H là các nhóm và ϕ : G → H là một đồng cấu Khi đó ker ϕ G và ϕ(K) H với mọi... nếu (1) xảy ra thì (2) xảy ra khi và chỉ khi cả (3) và (4) đều phải xảy ra; do đó một nhóm cho trước có là một tích trực tiếp thì nó cần thỏa mãn hoặc (1) và (2) hoặc (1), (3) và (4) (Chú ý rằng (4) rút gọn thành H1 ∩ H2 = 1 khi n = 2.) Bây giờ, chúng tôi giới thiệu một vài kết quả liên quan đến các tích trực tiếp Bổ đề 7 Cho G là một nhóm có các nhóm con chuẩn tắc H và K sao cho G = HK Khi đó G/H ∩... nhau Chẳng hạn, bốn -nhóm Klein có ba nhóm con cấp 2, chúng đẳng cấu với nhau nhưng đây đều là nhóm con của một nhóm abel nên không thể liên hợp với nhau • Cho X = {x1 , , xn } và X là nhóm các hoán vị của X Chúng ta định nghĩa ánh xạ ϕ : n → X bởi ϕ(ρ)(xi ) = xρ(i) với ρ ∈ n và 1 ≤ i ≤ n Dễ thấy ánh xạ ϕ là một đẳng cấu • Cho G là một nhóm và N G Có một ánh xạ từ G đến nhóm thương G/N , đó là phép chiếu... Z2 , và = = ϕ : H → Aut(N ) là ánh xạ biến phần tử sinh h của H thành tự đẳng cấu mà nó biến mỗi phần tử của N thành nghịch đảo của nó (tức là, ϕ(h) = σn−1 , kí hiệu như trong đầu của phần này) Nhóm N H được gọi là nhóm dihedral cấp 2n và kí hiệu là D2n (Một vài tác giả khác kí hiệu nhóm này là Dn ) Nhóm này không là abel khi n > 2; khi n = 2, ϕ là đồng cấu tầm thường và do đó D4 ∼ Z2 × Z2 Nhóm D2n . nhiên, một nhóm vô hạn luôn luôn có cả các nhóm con hữu hạn và vô hạn, đó lần lượt là nhóm con tầm thường của nó và chính nó. Tương tự vậy mọi nhóm con của một nhóm abel là abel, nhưng một nhóm không. nếu và chỉ nếu HH = H và H −1 = H. Mệnh đề 3. Cho H và K là các nhóm con của một nhóm G. Khi đó HK là một nhóm con của G nếu và chỉ nếu HK = KH. 8 CHƯƠNG 1. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ LÝ THUYẾT NHÓM Nhận. HK = KH với các nhóm con H và K bất kì của G, và do đó tích của hai nhóm con bất kì của một nhóm abel là một nhóm con. Bây giờ chúng ta có thể mô tả cấu trúc nhóm con của các nhóm xyclic vô hạn. Định