http://toancapba.com hoc toan va on thi dai hoc mien phi ! TRNG THPT TY THY ANH THI TH TUYN SINH I HC LN II NM HC 2010-2011 Mụn: TON Thi gian lm bi: 180 phỳt (khụng k thi gian giao ) PHN CHUNG CHO TT C TH SINH (7,0 im). Cõu I (2 im) : Cho hm s y = x 3 3x + 1 cú th (C) v ng thng (d): y = mx + m + 3. 1/ Kho sỏt s bin thiờn v v th (C) ca hm s. 2/ Tỡm m (d) ct (C) ti ba im phõn bit M(-1; 3), N, P sao cho tip tuyn ca (C) ti N v P vuụng gúc nhau. Cõu II (2 im). 1. Gii phng trỡnh : sin 2 3sin cos 2 cos 1 x x x x + = + + 2. Gii bt phng trỡnh : 2 1 5 3 x x x + > Cõu III (1im) . Tớnh tớch phõn I = 1 2 1 dx 1 x 1 x + + + Cõu IV (1im). Cho hỡnh hp ng ABCD A B C D cú AB = AD = a, AA = a 3 2 , gúc BAD bng 60 0 .Gi M,N ln lt l trung im ca cnh A D v A B . Chng minh AC vuụng gúc vi mt phng (BDMN) v tớnh th tớch khi a din AA BDMN theo a . Cõu V (1 im). Cho x, y, z l cỏc s dng tha món xyz = 1. CMR: 3 3 3 2 2 2 3 ( ) ( ) ( ) x y z y z x z x y + + + + + PHN RIấNG (3,0 im) Thớ sinh ch c lm mt trong hai phn (phn A hoc B) A. Theo chng trỡnh Chun. Cõu VIa (2điểm). 1. Cho tam giỏc ABC cú nh A (0;1), ng trung tuyn qua B v ng phõn giỏc trong ca gúc C ln lt cú phng trỡnh : ( 1 d ): x 2y + 4 = 0 v ( 2 d ): x + 2y + 2 = 0 Vit phng trỡnh ng thng BC . 2. Trong khụng gian vi h ta ờcỏc vuụng gúc Oxyz cho mp(P) : x 2y + z 2 = 0 v hai ng thng : (d) x 1 3 y z 2 1 1 2 + + = = v (d) x 1 y 2 z 1 2 1 1 = = Vi t ph ng trỡnh tham s c a ng th ng ( ) n m trong m t ph ng (P) v c t c hai ng th ng (d) v (d) . CMR (d) v (d) chộo nhau v tớnh kho ng cỏch gi a chỳng Câu VIIa: (1điểm). Cho khai triển n n n xaxaxaa x ++++= + 32 1 2 210 . Tìm số lớn nhất trong các số n aaaa , ,,, 210 biết rằng n là số tự nhiên thỏa mãn 11025 2 111222 =++ n nn n n n n n nn CCCCCC . B. Theo chng trỡnh Nõng cao. Cõu VI b (2 i m) . 1.Trong mt phng ta Oxy , cho im A(2; 3 ) v elip (E): 2 2 1 3 2 x y + = . Gi F 1 v F 2 l cỏc tiờu im ca (E) (F 1 cú honh õm); M l giao im cú tung dng ca ng thng AF 1 vi (E); N l im i xng ca F 2 qua M. Vit phng trỡnh ng trũn ngoi tip tam giỏc ANF 2 . 2 . Trong khụng gian vi h to Oxyz , cho cỏc im ( ) ( ) 0;3;0 , 4;0; 3 B M . Vit phng trỡnh mt phng ( ) P cha , B M v ct cỏc trc , Ox Oz ln lt ti cỏc im A v C sao cho th tớch khi t din OABC bng 3 ( O l gc to ). Câu VII.b: (1điểm) Giải hệ ph-ơng trình: 2 2 3 log (3 ) log ( 2 ) 3 ( ) 4 2.4 20 x y x y x x y x y x y x xy y x R + + + + + + + + = + = http://toancapba.com hoc toan va on thi dai hoc mien phi ! ______________________ Hết ____________________ H ọ và tên thí sinh : ………………………………… S ố báo danh ……………. TRƯỜNG THPT TÂY THỤY ANH KỲ THI THỬ TUYỂN SINH ĐẠI HỌC LẦN II NĂM HỌC 2010-2011 Môn: TOÁN ĐÁP ÁN SƠ LƯỢC – BIỂU ĐIỂM CHẤM MÔN TOÁN (Đáp án gồm 07 trang) CÂU NỘI DUNG ĐIỂM Câu I (2 đ i ể m) : Cho hàm s ố y = x 3 – 3x + 1 có đồ th ị (C) và đườ ng th ẳ ng (d): y = mx + m + 3. 1/ Kh ả o sát s ự bi ế n thiên và v ẽ đồ th ị (C) c ủ a hàm s ố . 2/ Tìm m để (d) c ắ t (C) t ạ i M(-1; 3), N, P sao cho ti ế p tuy ế n c ủ a (C) t ạ i N và P vuông góc nhau. 1/ Kh ả o sát s ự bi ế n thiên và v ẽ đồ th ị (C) c ủ a hàm s ố . (Yêu cầu đầy đủ các bước) + TXĐ + Tính y’=3(x 2 -1); y’ = 0 0,25 đ + Kho ả ng đồ ng bi ế n , ngh ị ch bi ế n + C ự c tr ị 1. + Gi ớ i h ạ n 0,25 đ * Bảng biến thiên: x -∞ -1 1 +∞ y' + 0 - 0 + y 3 +∞ -∞ -1 0,25 đ ______ 2. * Đồ thị: 4 2 -2 -4 y -6 -4 -2 2 4 6 x -1 3 1 -1 o 0,25 đ http://toancapba.com hoc toan va on thi dai hoc mien phi ! CÂU NỘI DUNG ĐIỂM 2/ Tìm m để (d) c ắ t (C) t ạ i M(-1; 3), N, P sao cho ti ế p tuy ế n c ủ a (C) t ạ i N và P vuông góc nhau Xét pt hoành độ giao điểm x 3 -3x+1=mx+m+1 (x+1)(x 2 -x-m-2)=0 x =-1 g(x) = x 2 -x-m-2=0 (1) 0,25 đ d cắt (C) tại M(-1;3) và cắt thêm tại N và P sao cho tiếp tuyến của (C) tại đó vuông góc với nhau , , 0 ( ). ( ) 1 ( 1) 0 g N P y x y x g ∆ >   = −   − ≠  0,25 đ Kết luận 0,5 đ Câu II (2 đ i ể m) 1. Giả i ph ươ ng trì nh : sin 2 3sin cos 2 cos 1 x x x x + = + + 2 2 2sin cos 1 2sin 3sin cos 1 0 cos(2sin 1) 2sin 3sin 2 0 x x x x x x x x ⇔ − + + − − = ⇔ − + + − = 0,25 đ cos (2 sin 1) (2sin 1)(sin 2) 0 (2sin 1)(cos sin 2) 0 x x x x x x x ⇔ − + − + = ⇔ − + + = 0,25 đ 1 2 sin 6 2 5 cos sin 2( ) 2 ( ) 6 x k x x x VN x k k Z π  = + π   =  ⇔ ⇔   π  + = − = + π ∈    0,5 đ Giả i b ấ t ph ươ ng trì nh : 2 1 5 3 x x x − − + > − 2 2 1 5 3 x x x − − + > − (1) Đ k: 1 x ≥ Nhân l ượ ng liên h ợ p: 2 1 5 0 x x − + + > (2 1 5)(2 1 5) ( 3)(2 1 5) x x x x x x x − − + − + + > − − + + 4( 1) ( 5) ( 3)(2 1 5) x x x x x ⇔ − − + > − − + + 3( 3) ( 3)(2 1 5) x x x x ⇔ − > − − + + (2) 0,25đ Xét các trường hợp: TH1:x>3 thì phương trình (2) trở thành: 3 2 1 5 x x > − + + (3) (3) 2 2 2 2 4 2 VP > + = >3 nên bất phương trình (3) vô nghiệm 0,25đ TH2: x=3 thì 0>0 (vô lý) http://toancapba.com hoc toan va on thi dai hoc mien phi ! CÂU NỘI DUNG ĐIỂM TH3: 1 3 x ≤ < nên từ bất phương trình (2) ta suy ra: 3 (2 1 5) x x < − + + bình phương 2 vế ta được: 4 ( 1)( 5) 8 5 x x x − + > − (4) * 8 5 0 8 3 1 3 5 x x x − <  ⇔ < <  ≤ <  (5) thì (4) luôn đúng * 8 5 0 8 1 1 3 5 x x x − ≥  ⇔ ≤ ≤  ≤ <  (*) nên bình phương hai vế của (4)ta được 2 9 144 144 0 8 48 8 48 x x x− + < ⇔ − < < + 0,25đ Kết hợp với điều kiện(*) ta được: 8 8 48 5 x − < ≤ (6) Từ (5) và (6) ta có đs: 8 48 3 x − < < 0,25đ Tính I = 1 2 1 dx 1 x 1 x − + + + ∫ 0,25đ Đặt t = 1+x + 2 1 x + ⇔ t – (1+x ) = 2 1 x + ⇔ ⇔ 2 2 2 2 2 x 2x 2( 1) t t t t t x t − − = − ⇔ = − 2 2 2 2 x 2( 1) t t d dt t − + ⇒ = − Và 1 2 2 1 2 x t x t  = ⇒ = +   = − ⇒ =   0,25đ Câu III (1 điểm) Vậy I = 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( 2 2) x 1 1 1 2 2 ( 1) 2 ( 1) 1 t t d dt t t t t t + +   − + = = − +   − − −   ∫ ∫ 0,25đ = 2 2 1 1 ln 1 2ln 1 2 1 2 t t t +   − − + = =   −   0,25đ Câu IV (1 điểm) http://toancapba.com hoc toan va on thi dai hoc mien phi ! CÂU NỘI DUNG ĐIỂM N M D ' C ' B ' A ' S O D C B A Gọi O là tâm của ABCD , S là điểm đối xứng của A qua A ’ thì M và N lần lượt là trung điểm của SD và SB. AB=AD=a , góc BAD = 60 0 nên D AB ∆ đề u ⇒ 3 , 3 2 a OA AC a = = SA = 2AA ’ = 3 a ; CC ’ = AA ’ = 3 2 a ⇒ ∆ SAO = ∆ ACC ’ ⇒ ' SO AC ⊥ 0,25 đ Mặt khác ' ' ' D ( ) D B ACC A B AC ⊥ ⇒ ⊥ Vậy AC ’ ⊥ (BDMN) 0,25 đ L ậ p lu ậ n d ẫ n t ớ i 3 2 D 1 3 . 3 3 4 4 SAB a V a a= = ; ' 2 3 1 3 3 3 16 2 32 SA MN a a a V = = 0,25 đ V ậ y ' ' 3 D AA D 7a 32 SAB B MN SA MN V V V= − = 0,25 đ Câu V (1 điểm) Cho x, y, z là các s ố d ươ ng th ỏ a mãn xyz = 1. CMR: 3 3 3 2 2 2 3 ( ) ( ) ( ) x y z y z x z x y + + ≥ + + + Đặ t 1 1 1 ; ;a b c x y z = = = ta có : 3 3 3 3 3 3 2 2 2 2a 2a 2a ( ) ( ) ( ) bc b c bc x y z y z x z x y b c a c b a + + = + + + + + + + + (1) 0,25 đ http://toancapba.com hoc toan va on thi dai hoc mien phi ! CÂU NỘI DUNG ĐIỂM Do xyz = 1 nên abc = 1 Ta đượ c (1) ⇔ 2 2 2 3 3 3 2 2 2 2a 2 2 ( ) ( ) ( ) b c x y z y z x z x y b c a c b a + + = + + + + + + + + C ũ ng áp d ụ ng b ấ t đẳ ng th ứ c Cô si ta đượ c 2 a 4 b c a b c + + ≥ + 2 4 b a c b a c + + ≥ + 2 4 c a b c b a + + ≥ + 2 2 2 a 2 b c a b c b c a c b a + + ⇒ + + ≥ + + + mà 3 3 3 a b c abc + + ≥ = V ậ y 2 2 2 3 3 3 2 2 2 2a 2 2 3 ( ) ( ) ( ) b c x y z y z x z x y b c a c b a + + = + + ≥ + + + + + + Đ i ề u c ầ n ch ứ ng minh 0,75 đ Cho tam giác ABC có đỉnh A (0;1), đường trung tuyến qua B và đường phân giác trong của góc C lần lượt có phương trình : ( 1 d ): x – 2y + 4 = 0 và ( 2 d ): x + 2y + 2 = 0 . Viết phương trình đường thẳng BC Câu VIa (2 điểm) 1 G ọ i ( ; ) c c C x y Vì C thu ộ c đườ ng th ẳ ng (d2) nên: ( 2 2; ) c c C y y − − G ọ i M là trung đ i ể m c ủ a AC nên 1 1; 2 c c y M y +   − −     0,25 đ Vì M thu ộ c đườ ng th ẳ ng (d1) nên : 1 1 2. 4 0 1 2 c c c y y y + − − − + = ⇒ = ( 4;1) C ⇒ − 0,25 đ T ừ A k ẻ 2 AJ d ⊥ t ạ i I ( J thu ộ c đườ ng th ẳ ng BC) nên véc t ơ ch ỉ ph ươ ng c ủ a đườ ng th ẳ ng (d2) là (2; 1) u → − là véc t ơ pháp tuy ế n c ủ a đườ ng th ẳ ng (AJ) V ậ y ph ươ ng trình đườ ng th ẳ ng (AJ) qua A(0;1)là:2x-y+1=0 Vì I=(AJ) ∩ (d2) nên to ạ độ di ể m I là nghi ệ m c ủ a h ệ 4 2 1 0 4 3 5 ( ; ) 2 2 0 3 5 5 5 x x y I x y y  = −  − + =   ⇔ ⇒ − −   + + =   = −   0,25 đ Vì tam giác ACJ cân t ạ i C nên I là trung đ i ể m c ủ a AJ G ọ i J(x;y) ta có: 8 8 0 8 11 5 5 ( ; ) 6 11 5 5 1 5 5 x x J y y   + = − = −     ⇔ ⇒ − −     + = − = −     V ậ y ph ươ ng trình đườ ng th ẳ ng (BC) qua C(-4;1) ; 8 11 ( ; ) 5 5 J − − là: 4x+3y+13=0 0,25 đ ______ M ặ t ph ẳ ng (P) c ắ t (d) t ạ i đ i ể m A(10 ; 14 ; 20) và c ắ t (d’) t ạ i đ i ể m B(9 ; 6 ; 5) Đườ ng th ẳ ng ∆ c ầ n tìm đ i qua A, B nên có ph ươ ng trình : 0,25 đ http://toancapba.com hoc toan va on thi dai hoc mien phi ! CU NI DUNG IM x 9 t y 6 8t z 5 15t = = = + ng th ng (d) i qua M(-1;3 ;-2) v cú VTCP ( ) u 1;1;2 + ng th ng (d) i qua M(1 ;2 ;1) v cú VTCP ( ) u ' 2;1;1 Ta cú : ( ) MM ' 2; 1;3 = ( ) ( ) 1 2 2 1 1 1 1 1 1 2 2 1 MM ' u, u ' 2; 1;3 ; ; 8 0 = = Do ú (d) v (d) chộo nhau .( pcm) 0,25 2 Khi ú : ( ) ( ) ( ) MM ' u, u ' 8 d d , d ' 11 u, u ' = = = 0,5 Tìm số lớn nhất trong các số n aaaa , ,,, 210 Ta có 221 n 2 n 1n n 1 n 1n n 2n n 2n n 2 n 105)CC(11025CCCC2CC =+=++ + V i n N v 2 n = = =+=+ =+ )iạlo(15n 14n 0210nn105n 2 )1n(n 105CC 21 n 2 n Ta có khai triển = = = = + 14 0k kk14kk 14 14 0k kk14 k 14 14 x.3.2C 3 x 2 1 C 3 x 2 1 Do đó k14kk 14k 3.2Ca = Gi s k a l hệ số lớn nhất cần tìm ta đ-ợc hệ , qua cụng th c khai tri n nh th c NEWTON ta cú h sau : 1 1 k k k k a a a a + ( ) 3 1 28 2 2(15 ) 3 k k k k + 5 6 k k 0,25 _____ 0,25 Do k N , nên nhận 2 giá trị k = 5 hoặc k = 6 0,25 Cõu VIIa (1 im) Do đó a 5 và a 6 là hai hệ số lớn nhất, thay vo ta ck t qu 65 ; aa v 65 aa = Vậy hệ số lớn nhất là 62208 1001 32Caa 595 1465 === 0,25 Cõu VIb (2 im) http://toancapba.com hoc toan va on thi dai hoc mien phi ! CÂU NỘI DUNG ĐIỂM 1 ( ) 2 2 2 2 2 : 1 3 2 1 3 2 x y E c a b + = ⇒ = − = − = Do đ ó F 1 (-1; 0); F 2 (1; 0); (AF 1 ) có ph ươ ng trình 3 1 0 x y − + = ⇒ M 2 1; 3       ⇒ N 4 1; 3       0,5 đ ⇒ 1 NA 1; 3   = −      ; ( ) 2 F A 1; 3 =  ⇒ 2 NA.F A 0 =   ⇒ ∆ANF 2 vuông t ạ i A nên đườ ng tròn ngo ạ i ti ế p tam giác này có đườ ng kính là F 2 N 0,25 đ Do đ ó đườ ng tròn có ph ươ ng trình là : 2 2 2 4 ( 1) 3 3 x y   − + − =     0,25 đ 2 • Gọi , a c lần lượt là hoành độ, cao độ của các điểm , A C . Do OABC là hình tứ diện theo giả thiết nên ac ≠ 0 Vì ( ) 0;3;0 B Oy ∈ nên ta có phương trình mặt phẳng chắn ( ) : 1 3 x y z P a c + + = . 0,25 đ • ( ) ( ) 4 3 4;0; 3 1 4 3 M P c a ac a c − ∈ ⇒ − = ⇔ − = (1) 1 1 1 . .3. 3 6 3 3 2 2 OABC OAC ac V OB S ac ac ∆ = = = = ⇔ = (2) 0,25 đ T ừ (1) và (2) ta có h ệ 4 6 6 2 3 4 3 6 4 3 6 3 2 a ac ac a c a c a c c = −  = = − =     ∨ ⇔ ∨     − = − = = = −      0,25 đ V ậ y ( ) ( ) 1 2 2 : 1; : 1 4 3 3 2 3 3 x y z x y z P P + − = + + = − 0,25 đ Câu VIIb (1 điểm) Gi¶i hÖ ph-¬ng tr×nh: 2 2 3 log (3 ) log ( 2 ) 3 ( ) 4 2.4 20 x y x y x x y x y x y x xy y x R + + + +  + + + + =  ∈   + =  Đặ t 2 2 3 log (3 ) log ( 2 ) 3 x y x y x y x xy y + + + + + + = (1) và 4 2.4 20 x x y x y + + + = (2) + ĐK 0 1 0 3 1 x y x y < + ≠   < + ≠  Víi ®k trªn PT (1) 2 3 log (3 ) log ( ) 3 x y x y x y x y + + ⇔ + + + = 3 log (3 ) 2 log ( ) 3 (3) x y x y x y x y + + ⇔ + + + = Đặ t log (3 ) x y t x y + = + 0,25 đ http://toancapba.com hoc toan va on thi dai hoc mien phi ! CÂU NỘI DUNG ĐIỂM PT(3) trở thành 2 1 2 3 3 2 0 2 t t t t t t =  + = ⇔ − + = ⇔  =  Víi t=1 ta cã log (3 ) 1 3 0 x y x y x y x y x + + = ⇔ + = + ⇔ = thay vµo (2) ta ®-îc : 4 y +2.4 0 =20 4 4 18 log 18 y y ⇔ = ⇔ = (TM) Víi t=2 ta cã 2 log (3 ) 2 3 ( ) (4) x y x y x y x y + + = ⇔ + = + 0,25 đ PT(2) 2 3 1 2( ) 2( ) 2 2 20 2 2 20 (5) x x y x y x y x y x y + + + + + + ⇔ + = ⇔ + = + Thay (4) vµo (5) ta ®-îc 2 ( ) 2( ) 2( ) 2 2 20 2 2 20 (6) x y x y x y x y x y + + + + + + = ⇔ + = §Æt t= ( ) 2 0 x y+ > PT(6) trở thµnh t 2 + t – 20 = 0 5( ) 4( ) t L t TM = −   =  Víi t = 4 ta cã 2 4 2 3 4 x y x y x y + = ⇔ + = ⇒ + = Ta cã hÖ 2 1 ( ) 3 4 1 x y x TM x y y + = =   ⇔   + = =   Kết luận hÖ PT cã 2 cÆp nghiÖm (0; 4 log 18);(1;1) 0,5 đ HƯỚNG DẪN CHUNG + Trên đây chỉ là các bước giải và khung điểm bắt buộc cho từng bước, yêu cầu thí sinh phải trình bầy và biến đổi hợp lý mới được công nhận cho điểm . + Mọi cách giải khác đúng vẫn cho tối đa theo biểu điểm. + Chấm từng phần. Điểm toàn bài làm tròn đến 0.5 điểm Người ra đề : Thầy giáo Phạm Viết Thông Tổ trưởng tổ Toán – Tin Trường THPT Tây Thụy Anh – Thái Bình . ………………………………… S ố báo danh ……………. TRƯỜNG THPT TÂY THỤY ANH KỲ THI THỬ TUYỂN SINH ĐẠI HỌC LẦN II NĂM HỌC 2010 -2011 Môn: TOÁN ĐÁP ÁN SƠ LƯỢC – BIỂU ĐIỂM CHẤM MÔN TOÁN (Đáp án gồm 07. http://toancapba.com hoc toan va on thi dai hoc mien phi ! TRNG THPT TY THY ANH THI TH TUYN SINH I HC LN II NM HC 2010 -2011 Mụn: TON Thi gian lm bi: 180 phỳt (khụng k thi gian giao ) PHN CHUNG. từng phần. Điểm toàn bài làm tròn đến 0.5 điểm Người ra đề : Thầy giáo Phạm Viết Thông Tổ trưởng tổ Toán – Tin Trường THPT Tây Thụy Anh – Thái Bình