Lý thuyết đồ thị Chương 2: Đường chu trình Đường chu trình Euler Bài tốn “Kưnigsburg Bridges” (Leonhard Euler, 1707-1783) Xác định chu trình qua tất cầu, lần Đường chu trình Euler     Định nghĩa: Xét đồ thị liên thông G Một đường Euler G đường đơn giản có đỉnh bắt đầu khác đỉnh kết thúc qua tất cạnh G Khi G gọi đường Euler Một chu trình Euler G chu trình đơn giản qua tất cạnh G Khi G gọi chu trình Euler Một đồ thị chứa chu trình Euler gọi đồ thị Euler Đường chu trình Euler   Định lý 2.1: (Định lý Euler 1) Cho đồ thị vô hướng G liên thông có đỉnh Khi đó, G có chu trình Euler đỉnh G có bậc chẵn A E B D C Chu trình Euler: DEABCEBD Đường chu trình Euler  Thuật tốn tìm chu trình Euler đồ thị G(V, E) Kết cho C chu trình Euler bao gồm thứ tự cạnh chu trình Đường chu trình Euler 6 1 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 C = Ø, v = Đường chu trình Euler 6 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 C = 1,2 Đường chu trình Euler 6 0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 0 1 C = 1,2,3 Đường chu trình Euler C = 1,2,3,1 6 0 0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 0 1 E≠Ø 10 Đường chu trình Hamilton  Định lý 2.5: Mọi đồ thị đầy đủ có chu trình Hamilton 30 Đường chu trình Hamilton  Định lý 2.6: Cho đồ thị G Giả sử có k đỉnh G cho xóa k đỉnh với cạnh liên kết với chúng khỏi G đồ thị nhận có k thành phần Khi đó, G khơng có chu trình Hamilton 1 2 10 10 31 Đường chu trình Hamilton  Định lý 2.7 (Định lý Dirac): Coi đồ thị G liên thông có n đỉnh (n ≥ 3) Nếu đỉnh G có bậc ≥ n/2 G có chu trình Hamilton 32 Đường chu trình Hamilton  Định lý 2.8 (tổng quát định lý 2.7): Một đồ thị G có n đỉnh đỉnh có tổng bậc ≥ n G có chu trình Hamilton 33 Đường chu trình Hamilton  Định lý 2.9: Mọi đồ thị có hướng đầy đủ có đường Hamilton A B Đường đi: CBDA D C 34 Định nghĩa:    Một đồ thị có chứa đường Hamilton gọi đồ thị nửa Hamilton Định lý (Rédei): Nếu G đồ thị có hướng đầy đủ G đồ thị nửa Hamilton Hệ quả: Nếu G đơn đồ thị có n đỉnh đỉnh G có bậc khơng nhỏ 2/n −1 G đồ thị nửa Hamilton 35  Định lý: Nếu G đồ thị phân đơi với hai tập đỉnh V1, V2 có số đỉnh n (n ≥ 2) bậc đỉnh lớn n/2 G đồ thị Hamilton 36 Tóm tắt   Một đường Euler G đường đơn giản có đỉnh bắt đầu khác đỉnh kết thúc qua tất cạnh G Khi G gọi đường Euler Một chu trình Euler G chu trình đơn giản qua tất cạnh G Khi G gọi chu trình Euler 37 Tóm tắt   Cho đồ thị vô hướng G liên thơng có đỉnh Khi đó, G có chu trình Euler đỉnh G có bậc chẵn Cho đồ thi vơ hướng G liên thơng có đỉnh Khi đó, G có đường Euler G có đỉnh bậc lẻ 38 Tóm tắt   Cho đồ thị có hướng G liên thơng có đỉnh Khi đó, G có chu trình Euler G cân Cho đồ thị có hướng G liên thơng có đỉnh Khi đó, G có đường Euler G có đỉnh a, b thỏa: dout(a) = din(a) + din(b) = dout(b) + đỉnh lại cân đường Euler phải bắt đầu a kết thúc b 39 Tóm tắt    Một đường Hamilton G đường sơ cấp qua tất đỉnh G Một chu trình Hamilton G chu trình sơ cấp qua tất đỉnh G Chưa có điều kiện cần đủ để xác định chu trình Hamilton 40 Bài tập  Đồ thị đồ thị Hamilton? 41 Bài tập  Đồ thị có chu trình (đường đi) Hamilton? 42 Bài tập  Với giá trị m n đồ thị phân đôi đầy đủ Km,n có chu trình Hamilton?  Vẽ chu trình Hamilton đồ thị lập phương Q3? Tìm đường Hamilton hình vẽ?  43 Bài tập  Trong đồ thị liên thông sau, đồ thị chứa chu trình Hamilton 44 ... Đường chu trình Euler  Thuật tốn tìm chu trình Euler đồ thị G(V, E) Kết cho C chu trình Euler bao gồm thứ tự cạnh chu trình Đường chu trình Euler 6 1 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 C = Ø, v = Đường chu. .. B D E A C B Đường Hamilton: BAECD D C 24 Đường chu trình Hamilton A B Chu trình Hamilton: ABCDA D A C B Chu trình Hamilton: ACBDA D C 25 Đường chu trình Hamilton  Qui tắc tìm chu trình Hamilton... Một đường Hamilton G đường sơ cấp qua tất đỉnh G Một chu trình Hamilton G chu trình sơ cấp qua tất đỉnh G Một đồ thị chứa chu trình Hamilton gọi đồ thị Hamilton 23 Đường chu trình Hamilton A E Đường