www.khoabang.com.vn Luyện thi trên mạng Phiên bản 1.0 _______________________________________________________________ Câu I. 1) Chỷỏng tỏ rằng hệ thỷỏc k b 2 2 =(k+1) 2 2 ac (k ạ -1) là điều kiện cần và đủ để phỷơng trình bậc hai ax 2 +bx+c=0 (aạ 0) có hai nghiệm, trong đó một nghiệm bằng k lần nghiệm kia. 2) a, b, c là 3 số khác 0. Chỷỏng minh rằng a b + b c + c a a b + b c + c a 2 2 2 2 2 2 . Câu II. 1) Giải phỷơng trình 2sin 3x + 4 = 1 + 8sin2x cos 2x 2 ; 2) Giải phỷơng trình x+2 x-1+ x-2x-1= x+3 2 . Câu III. Tỷỏ diện SABC có các mặt SAB, SBC, SCA tỷơng đỷơng, và tổng các góc phẳng ở đỉnh S bằng 180 0 o . Chỷỏng tỏ rằng các cạnh đối của tỷỏ diện là bằng nhau tỷõng đôi một. Câu I. 1) Trỷớc hết ta hãy chứng tỏ rằng từ hệ thức đã cho, suy ra phỷơng trình có nghiệm. Quả vậy nếuk=0,suyraac=0ịc =0 (vì a ạ0), vậy phỷơng trình có nghiệm. Nếu k ạ0(kạ-1), suy ra b 2 =(k+1) 2 ac k ị ac k 0, do vậy: D =b 2 - 4ac = (k + 1) k -4 2 ộ ở ờ ờ ự ỷ ỳ ỳ ac=(k-1) 2 . ac k 0. Gọi x 1 ,x 2 là các nghiệm của phỷơng trình bậc hai. Theo các hệ thức Viet: (x 1 -kx 2 )(x 2 -kx 1 )=(1+k 2 )x 1 x 2 -k( x+x 1 2 2 2 )=(1+k 2 )x 1 x 2 - k[(x 1 +x 2 ) 2 -2x 1 x 2 ]= =(1+k 2 ) c a -k b a -2 c a = (k + 1) ac - kb a 2 2 22 2 ổ ố ỗ ỗ ỗ ỗ ử ứ ữ ữ ữ ữ ta đỷợc kết quả cần chứng minh. 2) Nếu A, B, C là ba số không âm, thì ta có A+B+C 3 3 ABC , và với mọi A, B, C ta luôn có A 2 +B 2 +C 2 1 3 (A+B+C) 2 vì nó tỷơng đỷơng với 3A 2 +3B 2 +3C 2 A 2 +B 2 +C 2 + 2AB + 2BC + 2CA hay (A-B) 2 +(B-C) 2 +(C-A) 2 0. Vì vậy a b + b c + c a 1 3 a b + b c + c a 2 2 2 2 2 2 ẵ ẵ ẵ ẵ ẵ ẵ ẵ ẵ ẵ ẵ ẵ ẵ ẵ ẵ ẵ ẵ ẵ ẵ ổ ố ỗ ỗ ỗ ử ứ ữ ữ ữ ữ 2 1 3 a b + b c + c a .33 a b ẵ ẵ ẵ ẵ ẵ ẵ ẵ ẵ ẵ ẵ ẵ ẵ ẵ ẵ ẵ ẵ ẵ ẵ ổ ố ỗ ỗ ỗ ử ứ ữ ữ ữ ữ ẵ ẵ ẵ ẵ ẵ ẵ b c c a ẵ ẵ ẵ ẵ ẵ ẵ ẵ ẵ ẵ ẵ ẵ ẵ = www.khoabang.com.vn Luyện thi trên mạng _______________________________________________________________ = a b + b c + c a a b + b c + c a ẵ ẵ ẵ ẵ ẵ ẵ ẵ ẵ ẵ ẵ ẵ ẵ ẵ ẵ ẵ ẵ ẵ ẵ . Câu II. 1) Phỷơng trình đã cho tỷơng đỷơng với sin( ) ( ) sin ( ) sin cos ( ) 3 4 01 43 4 18 2 2 2 22 x xxx + +=+ ỡ ớ ù ù ù p p ù ợ ù ù ù ù Giải (2) : (2) ổ ố ỗ ỗ ỗ ử ứ ữ ữ ữ ộ ở ờ ờ ự ỷ ỳ ỳ 2 1 - cos 6x + 2 = 1 + 8sin2xcos 2x 2 p 2(1 + sin6x)=1+8sin2x(1 - sin 2 2x) 2(1 + 3sin2x - 4sin 3 2x)=1+8sin2x - 8sin 3 2x sin2x = 1 2 =+ =+ ỡ ớ ù ù ù ù ợ ù ù ù ù =+ = 2 6 2 2 5 6 2 12 3 5 1 1 2 xk xk xk x p p p p p p p () 2 4+ ỡ ớ ù ù ù ù ợ ù ù ù ù kp () Thay thế (3), (4) vào (1) : sin( ) sin( )3 42 3 1 xk+= + pp p = 12 121 khi k n khi k n = -=+ ỡ ớ ù ù ợ ù ù sin( ) sin( )3 4 3 2 3 2 xk+= + pp p = -= =+ ỡ ớ ù ù ợ ù ù 12 121 khi k m khi k m Vậy nghiệm của phỷơng trình là x= 12 +2n ,x= 5 12 + (2m + 1) (n, m ) p p p pờZ 2) Trỷớc hết xét hàm y= x+2 x-1+ x-2x-1 . Hàm số đỷợc xác định khi x 1,bởivìkhiđóx-1 0vàtacó: www.khoabang.com.vn Luyện thi trên mạng _______________________________________________________________ y= (x - 1) + 2 x-1+1+ (x-1)-2 x-1+1 = ( x-1+1) + ( x-1-1) 22 = 2 khi 1 Ê x Ê 2, = x-1+1+| x-1-1| = 2 x-1 khi x 2.Vậy: a) nếu 1 Ê x Ê 2, ta có phỷơng trình 2= x+3 2 ị x=1(nghiệm thích hợp); b) nếu x 2, ta có phỷơng trình 2x-1= x+3 2 ị x=5(nghiệm thích hợp). Tóm lại phỷơng trình đã cho có nghiệm x=1,x=5. Câu III. Đặt a=SA,b=SB,c=SC, a = BSC ^ , b = CSA ^ , g=ASB ^ . Vậy abgp++ = . Các mặt ASB, BSC, CSA có diện tích bằng nhau, suy ra absing = bcsina = acsinb ị sin a = sin b = sin c abg . Xem tam giác KLM có các góc K= a , L= b ,M= g và cạnh LM=a.áp dụng định lí hàm sin cho tam giác này, ta đỷợc sin a = sin KM = sin KL abg ị KM=b,KL=c. Các tam giác ASB và KLM bằng nhau (c.g.c), suy ra AB=c.Tỷơng tự BC=a,AC=b. www.khoabang.com.vn Luyện thi trên mạng _______________________________________________________________ www.khoabang.com.vn Luyện thi trên mạng ___________________________________________________________________ Câu IVa. 1) /2 n n 0 Isinxdx = (n N). Đặt n1 usin x dv sinxdx = = n2 du (n 1)sin xcosxdx vcosx = = /2 0 /2 n1 n2 2 n 0 I cosxsin x (n 1)sin xcos xdx = + nn2n I(n1)I (n1)I = nn2 n1 II n = n2 n n1 II n2 + + = + 2) Theo giả thiết : nn1 f(n) (n 1)I .I + =+ n1 n2 f(n 1) (n 2)I .I + + + =+ mà : n2 n n1 II n2 + + = + n1 n n1 f(n 1) (n 2)I I n2 + + += + + f(n + 1) = (n + 1) nn1 I.I + f(n + 1) = f (n) . Câu Va. Ta có BO JJJG = (2, 4, 4) BO JJJG = 6, BA JJJG = (1, 6, 2) BA J JJG = 41 , BO.BA JJJG JJJG = 14 cosB = 7 341 sinB = 85 341 , vậy OO' = BO JJJG . sinB = 16 5 41 . Câu IVb. 1) Dễ thấy CB (SAB). CB AE SB AE (giả thiết) AE (SBC) AE SC. Tơng tự, chứng minh đợc AF SC Vậy SC (AEF). 2) Dễ thấy rằng tập hợp điểm P là nửa đờng tròn đờng kính AC = a2 (nằm trong mặt phẳng cố định (CAx)) trừ điểm C, A. 3) 2 P.ABCD 1 VVaPH 3 == với PH là đờng cao của hình chóp. Suy ra 2 3V PH h a = = Dĩ nhiên h phải thỏa mãn điều kiện a2 h 2 , tức là 2 3V a 2 2 a hay 3 1 a VV 32 = . Khi đó ta có hai vị trí của S trên Ax để thể tích P.ABCD V = V cho trớc. S A B C D E P F H I www.khoabang.com.vn Luyện thi trên mạng Phiên bản 1.0 _______________________________________________________________ Câu IVa. Xét tích phân I n = sin n xdx 0 2 (n ẻ N). 1) Chỷỏng tỏ rằng I n+2 = n+1 n+2 I n . 2) Chỷỏng minh rằng hàm f : N đ R f(n)=(n+1)I n .I n n+1 là một hàm hằng số. Câu Va. Trong không gian, cho các điểm A(-3, -2, 6), B(-2, 4, 4). Hãy tính độ dài đỷờng cao OO của tam giác OAB, (O là gốc tọa độ). Câu IVb. Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, và cạnh bên SA vuông góc với đáy. Tỷõ A hạ các đỷờng vuông góc AE ^ SB, AF ^ SD (E ẻ SB, F ẻ SD). 1) Chỷỏng minh rằng mặt phẳng (AEF) vuông góc với SC. 2) Gọi P là giao điểm của (AEF) với SC. Tìm tập hợp điểm P khi S chạy trên nỷóa đỷờng thẳng Ax vuông góc với đáy (ABCD). 3) Chỷỏng minh rằng có 2 vị trí của S trên Ax sao cho hình chóp P.ABCD có thể tích V cho trỷỳỏc, với điều kiện V nhỏ hơn một giá trị V 1 . Chỉ rõ giá trị lớn nhất của V. . mạng _______________________________________________________________ y= (x - 1) + 2 x-1+1+ (x-1 )-2 x-1+1 = ( x-1+1) + ( x- 1-1 ) 22 = 2 khi 1 Ê x Ê 2, = x-1+1+| x- 1-1 | = 2 x-1 khi x 2.Vậy: a) nếu 1 Ê x Ê 2, ta có phỷơng trình 2= x+3 2 ị. hàm y= x+2 x-1+ x-2x-1 . Hàm số đỷợc xác định khi x 1,bởivìkhiđóx-1 0vàtacó: www.khoabang.com.vn Luyện thi trên mạng _______________________________________________________________ y= (x - 1) + 2 x-1+1+. Theo các hệ thức Viet: (x 1 -kx 2 )(x 2 -kx 1 )=(1+k 2 )x 1 x 2 -k( x+x 1 2 2 2 )=(1+k 2 )x 1 x 2 - k[(x 1 +x 2 ) 2 -2 x 1 x 2 ]= =(1+k 2 ) c a -k b a -2 c a = (k + 1) ac - kb a 2 2 22 2 ổ ố ỗ ỗ ỗ ỗ ử ứ ữ ữ ữ ữ ta