Bài tập toán cao cấp Tập 1 part 5 docx

3.3. Ha . ng cu ’ a ma trâ . n 111 Gia ’ i. Ta t`ım ha . ng cu ’ a ma trâ . ndã cho theo phu . o . ng pháp I. Hiê ’ n nhiên ma trâ . n A có d i . nh thú . c con ∆ 2 =      −10 01      = −1 =0. Ta t´ınh các di . nh th ú . c con ∆ 3 bao ∆ 2 .Tacó ∆ (1) 3 =        −100 011 111        =(−1)      11 11      =0; ∆ (2) 3 =        −100 011 423        = −1 =0. Nhu . vâ . y có mô . td i . nh thú . cbao∆ (2) 3 = 0. Ta t´ınh di . nh thú . c bao cu ’ a ∆ (2) 3 .Tacó δ (1) 4 =          −1001 0 112 1 111 4 231          =0 (ta . i sao ?). Tù . dó suy ra r( A)=3.  V´ı d u . 2. T`ım ha . ng r(A)nê ´ u A =         1 −325 −24 31 0 −2711 7 −15 −72 −11 56         Gia ’ i. Ta gia ’ i theo phu . o . ng pháp I. Hiê ’ n nhiên ma trâ . n A có di . nh th ú . c con ∆ 2 =      1 −3 −24      = −2 =0. 112 Chu . o . ng 3. Ma trâ . n. D - i . nh thú . c Tâ ´ tca ’ các di . nh thú . c con bao ∆ 2 :        1 −32 −243 0 −27        ;        1 −35 −24 1 0 −211        ;        1 −32 −24 3 7 −15 −7        ;        1 −35 −241 7 −15 2        ;        1 −32 −243 −115        ;        1 −35 −243 −116        d ê ` ub˘a ` ng 0. Do dó r(A)=2.  V´ı d u . 3. B˘a ` ng các phép biê ´ nd ô ’ iso . câ ´ p, t´ınh ha . ng cu ’ a các ma trâ . n 1) A =    12 3 5 3 −14−2 53108    ;2)B =         −1001 0 112 1 111 4 231 3 120         . Gia ’ i. 1) Ta thu . . chiê . n phép biê ´ ndô ’ iso . câ ´ p theo hàng và thu du . o . . c A =    12 3 5 3 −14−2 53108    h 2 −3h 1 → h  2 h 3 −5h 1 → h  3 ∼ ∼    12 3 5 0 −7 −5 −7 0 −7 −5 −17    h 3 − h 2 → h  3 ∼    12 3 5 0 −7 −5 −17 00 0 0    . D ó là ma trâ . n h`ınh thang và hiê ’ n nhiên nó có ha . ng b˘a ` ng 2. Do dó r(A)=2. 3.3. Ha . ng cu ’ a ma trâ . n 113 2) Ta có B =         −1001 0112 1111 4231 3210         h 3 + h 1 → h  3 h 5 +4h 1 → h  4 h 5 +3h 1 → h  5 ∼         −1001 0 112 0 112 0 235 0 123         h 3 −h 2 → h  3 h 4 − 2h 2 → h  4 h 5 −h 2 → h  5 ∼         −1001 0 112 0 000 0 011 0 011         ∼         −1001 0 112 0 011 0 000 0 011         h 5 − h 3 → h  5 ∼         −1001 0 112 0 011 0 000 0 000         . Tù . d ó t h u d u . o . . c r(B)=3.  V´ı d u . 4. T´ınh ha . ng cu ’ a các ma trâ . n 1) A =      12 4 5 2 23 1 1 3 01 7 9 1 1311143      ;2)B =      13205 2 6 9712 −2 −524 5 1 4 8420      . Gia ’ i. 1) Ta thu . . chiê . n các phép biê ´ nd ô ’ i sau: A =      12 4 5 2 23 1 1 3 01 7 9 1 1311143      ∼      12452 −0 −1 −7 −9 −1 01791 01791      ∼      12452 01791 01791 01791      ∼      12452 01791 00000 00000      ∼  12452 01791  Tù . dó suy r˘a ` ng r(A)=2. 114 Chu . o . ng 3. Ma trâ . n. D - i . nh thú . c 2) Ta thu . . chiê . n các phép biê ´ nd ô ’ i B =      13205 2 6 9712 −2 −524 5 1 4 8420      ∼      1320 5 0057 2 016415 016415      ∼      1320 5 016415 0057 2 016415      ∼      1320 5 016415 0057 2 0000 0      Tù . dó suy r˘a ` ng r(B)=3. B ` AI T ˆ A . P T`ım ha . ng cu ’ a các ma trâ . n: 1. A =  12 3 −1  .(D S. r(A)=2) 2. A =  −13 2 −6  .(D S. r(A)=1) 3. A =  12 36  .(DS. r(A)=1) 4. A =    12 34 56    .(D S. r(A)=2) 5. A =  1 −21 −143  .(D S. r(A)=2) 3.3. Ha . ng cu ’ a ma trâ . n 115 6. A =    01 3 03−1 02 0    .(D S. r(A)=2) 7. A =    1 −23 2 −46 514    .(D S. r(A)=2) 8. A =    132 264 −13−2    .(DS. r(A)=1) 9. A =    1 −240 −1351 2 −140    .(D S. r(A)=3) Su . ’ du . ng các phép biê ´ ndô ’ iso . câ ´ pdê ’ t`ım ha . ng cu ’ a ma trâ . n: 10. A =    −10 3 −2 23−1 −3 361−8    .(DS. r(A)=2) 11. A =      2 −21 −31−1 541 100      .(D S. r(A)=3) 12. A =      49072 −11 603 0 −121−3 4 −3 −19 6      (D S. r(A)=4) 13. A =      −1 −3 −21−3 4124−1 −69−1 −26 46112−4      .(D S. r(A)=3) 116 Chu . o . ng 3. Ma trâ . n. D - i . nh thú . c 14. A =         2 −9 −5 −29−5 4437−44 −2 −3 −1 −33−3 22−12−62 −11 3−11−1         .(DS. r(A)=4) T`ım ha . ng cu ’ a ma trâ . nb˘a ` ng phu . o . ng pháp di . nh th ú . c bao: 15. A =         11000 23000 00500 00060 00008         .(DS. r(A)=5) 16. A =         1 234 −1301 2 418 1 769 0 10 1 10         .(D S. r(A)=3) 17. A =    11 3 3 2 22−1 −14 11 3 3 2    (D S. r(A)=2) 18. A =    24−2331 −1 −21172 12−14103    .(DS. r(A)=2) 19. A =           112 3 −1 021 2 2 003 3 −3 000 4 0 13612−2 133 5 1           .(D S. r(A)=4) 3.3. Ha . ng cu ’ a ma trâ . n 117 20. Vó . i giá tri . nào cu ’ a λ th`ı ma trâ . n A =  λ −1 12  có ha . ng b˘a ` ng 1 ? (D S. λ = − 1 2 ) 21. Vó . i giá tri . nào cu ’ a λ th`ı ha . ng r(A)=2,nê ´ u A =    λ 01 341 1 −12    ?(D S. λ = 7 9 ) 22. Vó . i giá tri . nào cu ’ a λ th`ı ha . ng r(A)=3nê ´ u A =    10−1 2 λ −23 10 4    ?(D S. λ =2) 23. Vó . i giá tri . nào cu ’ a λ th`ı ha . ng r(A)=3nê ´ u A =    10λ 234 008    ?(D S. ∀λ ∈ R) 24. Vó . i giá tri . nào cu ’ a λ th`ı ha . ng: 1) r(A)=1;2)r(A)=2; 3) r(A)=3nê ´ u: A =    1 λ 2 214 428    ? (D S. 1) λ = 1 2 ;2)λ = 1 2 ; 3) Không tô ` nta . i) 118 Chu . o . ng 3. Ma trâ . n. D - i . nh thú . c 3.4 Ma trâ . n nghi . ch da ’ o 3.4.1 D - i . nh ngh˜ıa Nê ´ u A là ma trâ . n vuông câ ´ p n th`ı ma trâ . n vuông B câ ´ p n tho ’ a mãn d iê ` ukiê . n AB = BA = E n trong dó E n là ma trâ . ndo . nvi . câ ´ p n du . o . . cgo . ilàma trâ . n nghi . ch da ’ o dô ´ ivó . i ma trâ . n A và du . o . . ckýhiê . ulàB = A −1 . Nhu . vâ . y theo d i . nh ngh˜ıa AA −1 = A −1 A = E n . D - i . nh lý. Ma trâ . n vuông A có ma trâ . n nghi . ch da ’ o khi và chı ’ khi ma trâ . n A không suy biê ´ n(tú . c là khi detA =0) và khi d ó A −1 = 1 detA P A , (3.12) P A =       A 11 A 21 A n1 A 12 A 22 A n2 . . . . . . . . . . . . A 1n A 2n A nn       trong d ó A ij là phâ ` nbùda . isô ´ cu ’ a phâ ` ntu . ’ a ij (i, j = 1,n) cu ’ ama trâ . n A. Ma trâ . n P A du . o . . cgo . i là ma trâ . n phu . ho . . pcu ’ a ma trâ . n A. T´ınh châ ´ t 1 + Nê ´ u ma trâ . n A có ma trâ . n nghi . ch d a ’ ovàm = 0 th`ı ma trâ . n mA c˜ung có ma trâ . n nghi . ch d a ’ ovà (mA) −1 = 1 m A −1 . 3.4. Ma trâ . n nghi . ch da ’ o 119 2 + Nê ´ u A và B là hai ma trâ . n vuông cùng câ ´ pvàdê ` u có ma trâ . n nghi . ch da ’ oth`ı (AB) −1 = B −1 A −1 . 3 + Nê ´ u A có ma trâ . n nghi . ch da ’ o A −1 th`ı A −1 c˜ung có ma trâ . n nghi . ch d a ’ ovà  A −1  −1 = A. 3.4.2 Phu . o . ng pháp t`ım ma trâ . n nghi . ch d a ’ o Phu . o . ng pháp I gô ` m các bu . ó . c sau Bu . ó . c1.T´ınh detA +Nê ´ u detA =0th`ıA không có ma trâ . n nghi . ch da ’ o. +Nê ´ u detA = 0 th`ı chuyê ’ n sang bu . ó . c2. Bu . ó . c2. T`ım ma trâ . n phu . ho . . p P A .Tù . d ó áp du . ng công thú . c (3.12) ta thu d u . o . . c ma trâ . n A −1 . Phu . o . ng pháp II (phu . o . ng pháp Gauss-Jordan) Dâ ` u tiên ta viê ´ t ma trâ . ndo . nvi . cùng câ ´ pvó . i ma trâ . n A vào bên pha ’ i ma trâ . n A và thu d u . o . . c ma trâ . n M =  A|E n  . (3.13) Tiê ´ p theo thu . . chiê . n các phép biê ´ ndô ’ iso . câ ´ p trên các hàng cu ’ a ma trâ . n M d ê ’ du . a khô ´ i ma trâ . n A vê ` ma trâ . nd o . nvi . E n còn khô ´ i E n trong (3.13) thành ma trâ . n B:  A|E n  −→  E n |B  . Khi dó B = A −1 . C ´ AC V ´ IDU . 120 Chu . o . ng 3. Ma trâ . n. D - i . nh thú . c V´ı d u . 1. T`ım ma trâ . n nghi . ch da ’ odô ´ ivó . i các ma trâ . n sau: 1) A =    35−2 1 −32 67−3    ;2)A =         10−21−7 −54 203 1 6 789 2 6 592 3 −2101         Gia ’ i. 1) Ta có detA =10= 0. Do d ó ma trâ . n A trong 1) có ma trâ . n nghi . ch d a ’ o. Phâ ` nbùda . isô ´ cu ’ a các phâ ` ntu . ’ cu ’ a nó b˘a ` ng: A 11 = −5; A 12 = 15; A 13 = 25; A 21 =1;A 22 =3;A 23 =9;A 31 =4; A 32 = −8; A 33 = −14. Tù . d ó theo công thú . c (3.12) ta có A −1 = 1 10    −51 4 15 3 −8 25 9 −14    =        − 1 2 1 10 2 5 3 2 3 10 − 4 5 5 2 9 10 − 7 5        . 2) Ta t´ınh detA.Lâ ´ y hàng thú . ba cô . ng vào hàng thú . nhâ ´ t ta có detA =             2 6 592 −5 4 203 1 6 789 2 6 592 3 −2101             =0 v`ı trong ma trâ . nthud u . o . . c có hàng thú . nhâ ´ t và thú . tu . giô ´ ng nhau. Nhu . vâ . y ma trâ . n A trong 2) là ma trâ . n suy biê ´ n, do dó nó không có ma trâ . n nghi . ch d a ’ o. V´ı d u . 2. Dùng các phép biê ´ ndô ’ iso . câ ´ p t`ım ma trâ . n nghi . ch da ’ odô ´ i [...]... (DS  1 1 0 ) 4 1  9 −2 13 12 1  2 3 4 1 0 0   ` o o (DS Khˆng tˆn tai)  5 1 −3  1 0 3   1 1 1 1 0 1  1 1  (DS   0 0 1 1 0 1 0 0   0 1 0 0  1  0 1 1  (DS    1 0 1 1 1 1 1 0   1 2 5 −2  −3 5  (DS    0  5 4 6 5 0  0 0 1 0   ) 1 1 0 1  1 1 0 1 1 0   ) 0 0 1 0 1 1  −2 5 4 1 11 −9  ) 0 5 −4 0 −6 5 ’ 3.4 Ma trˆn nghich dao a  1 0  19 ... 2 1  1 2  2 5 Chu.o.ng 3 Ma trˆn D nh th´.c a -i u 12 8  1  12  1 1  1  13  1 1  14 15 16 17 18 1   1 1  1 1   3 2  1 1 0 1   0 0 0 0  1  1   0 1  1 2 2 5   0 0 0 0  1 1 1  − 3 6 2  5 2   1 1   (DS  0 4 1 − )  2 2  1 2 1 7 3  − 3 6 2   2 5 2  −   9 9 9 4 1  1 1   2  (DS  1 4 ) −  9 9 9   1 2 2 2 1  − 9 9 9    −3 1 17 15 1 ... 1 2 1 3 5 (DS 1 5 1 ) 13 −3 2 0 1 1 2 1 (DS ) 3 3 0 3 −2     1 1 3 −9 11 5 1     3 5 1 (DS 2   7 −4 13 ) 41 1 4 1 19 5 6 2 ’ 3.4 Ma trˆn nghich dao a 12 7   1 2 −3   4 3 1 5  5 3 1   2 −3 0   5  1 1 4 3 −2 5   1 0 1   6  0 0 2 1 3 1   1 3 4   7  0 1 2 0 1 5 ` o o (DS Khˆng tˆn tai)  13 1  (DS −  17 25 1  6 −3 1 (DS −2 −2 6 0 3  15 12  10 ... ) 5 1  0  2 ) 0   3 11 2 1  (DS − 0 5 +2) 3 0 1 1   1 12 5   (DS  1 17 −7) 0 −2 1    1 0 0 0 0     1  1  1 1  √ −√  √ √  (DS 0 2 2  2 2 )     1  1  1 1 √ √ −√ 0 √ 2 2 2 2     1 2 2 1 2 2 1    10 2 1 −2 (DS 2 1 −2) 9 2 −2 1 2 −2 1   1 1    1 2 2  2 1 1   1 3    11 3 1 −2 (DS  3 − − )  2 2  3 1 0 1 1  0 − 2 2  3  8 1 2  1 ... 0 1  1 0 0  1 1 0 0 1 1  1 1 1  1 2 1 0 1 1  4 2 1 6 3 3  1 5 4   − 6 3 4  2 1 1 − − 6 3 3 ’ 3.4 Ma trˆn nghich dao a 12 3  h1 − h2 → h1 2 0 0  − − − − 0 3 0 −−−→ 0 0 4  h1 ( 1 ) → h1  1 0 0  2  −− − −  −−−→ 0 1 0 h2 ( 1 ) → h2   3  1 h3 ( 4 ) → h4  0 0 1  2 1 0  1 2 1 0 1 1  1 0  1 −  2  1 2 1 − −  3 3 3  1 1   0 − 4 4 ` T` d´ suy r˘ng u o a  1 1 −...   1 −2 2   1) λ 3 0; 2 1 1   λ 2 0   2)  2 λ 1  0 1 λ √ 9 (DS 1) λ = ; 2) λ = 0, λ = ± 5) 4 ’ ı 24 T` ma trˆn X thoa mñ cć phu.o.ng tr`nh ım a a a 1) 2 1 1 1 X= 3 1 0 1 (DS 1 1 0 ) 5 −3 5 3 1 −2 1 = 2 1 3 1 (DS 5 2 ) 13 5 2) X 3) 2 1 3 1 1 1 6 −3 X = (DS ) 1 0 1 2 3 0 11 −2 4) AX + B = 2C, trong d´ o     1 1 2 1 1 1     A = 0 1 1 , B =  0 3 4 , −2 0 1 0 0 1 ... 5 7 1 2 −3   0 1 2  0 0 1 129   1 −3 11 −38 0 1 −2 7    (DS  ) 0 0 1 −2  0 0 0 1  0 0  a22 0  , a11a12 · · · ann = 0   ann 0  1 0 0   a 11   1  0 0    a22 (DS  )      1  0 0 ann  a 11   0 20    0   1  0   21 0     1 1 0 1 1 1 0 0 0 a a2 1 a 0 1 0 0 0 1  0  22 0     1  1  1     1  1. .. 0 1 0 2 5 2  1 0 2   − − − − 0 1 4 − − − →  0 2 5 h2 ( 1) →h2  1 0 2  −→ 0 1 4   0 0 −3  1 0 0  2  1 −→ 1 0  2  1 h − 2h2 → h3 0 1 3 2  1 0 0 2  1 −→ 1 0  2  1 1 h × (− 3 ) → h3 2 1 3 − 2 Chu.o.ng 3 Ma trˆn D nh th´.c a -i u 12 2  1 0 2  0 1 4   0 0 1   1 0 0  1 0 0 h − 2h3 → h1  2  1  1 1 0  − − − − − 0 1 0  −−− −→ 2 2 1  h2 − 4h3 → h2  1 − − 0 0 1 6 3 3... a 12 1 a v´.i ma trˆn o   2 0 4   1) A =  1 1 −2 ; 1 2 3 ’ Giai 1) Ta lˆp ma trˆn a a  2 0 4  M =  1 1 −2 1 2 3   2 3 4   2) A = 2 6 8  2 6 12  1 0 0  0 1 0 0 0 1 1 ´ a o Nhˆn h`ng th´ nhˆt v´.i ta thu du.o.c a a u 2   1 1 0 2 0 0   2   M −→  1 1 −2 0 1 0 h2 − h1 → h2 −→   1 2 3 0 0 1 h3 + h1 → h3   1 0 0 2 1 0 2   1 −→ 0 1 −4 1 0 −   2   1 0 1 0... trong d´ o     1 1 2 1 1 1     A = 0 1 1 , B =  0 3 4 , −2 0 1 0 0 1   5 16 −8   (DS  4 −7 5 ) 4 −2 1   2 3 0   C = 4 −3 5 1 1 0 o 5) XA − 2B = E, trong d´     1 1 3 1 3 −2     A = −2 5 7 , B =  1 2 0  1 1 2 3 1 4   − 21 45 15 6 1   (DS − 21 15 − 21 ) 15 51 20 −79 ´ ´ ’ ’ e 25 Gia su A l` ma trˆn cˆp n v` (E + A)k = O v´.i sˆ tu nhiˆn k o o a a a a ` ´ nò . 1      ) 17 .      1 100 10 11 0 011 1 110      .(D S.      0 11 0 11 10 10 01 1 01 1      ) 18 .      12 12 25 35 00 5 4 00 6 5      .(D S.      5 −2 54 − 21 11 9 0 05 4 00− 65      ) 3.4 =      13 2 05 2 6 9 712 −2 52 4 5 1 4 8420      ∼      13 20 5 0 057 2 016 4 15 016 4 15      ∼      13 20 5 016 4 15 0 057 2 016 4 15      ∼      13 20 5 016 4 15 0 057 2 0000. thú . c 12 .    15 2 14 1 12 1    .(D S.        − 1 3 1 6 1 2 0 1 2 − 1 2 1 3 − 7 6 3 2        ) 13 .    14 1 11 4 12 2    .(D S.        2 9 2 9 − 5 9 2 9 − 1 9 1 9 − 1 9 2 9 1 9        ) 14 .    1 −3 1 14 1 19−2    .(D S.    17 15 1 11 0 13 12 1    ) 15 .      12