Cõu I: (2,0 im) Cho hm s mxxmxy 9)1(3 23 , vi m l tham s thc. 1. Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s ó cho ng vi 1 m . 2. Xỏc nh m hm s ó cho t cc tr ti 21 , xx sao cho 1 2 2 x x . Cõu II: (2,0 im) 1. Gii phng trỡnh: 1 3cos cos 2 2cos3 4sin .sin 2 x x x x x 2. Gii h phng trỡnh: 2 2 2 3 2 1 x x y y xy xy x y (x, y R) Cõu III: (1,0 im) Tỡm cotx dx sinx.sin x 4 Cõu IV: (1,0 im) Cho lăng trụ tam giác ABC.A 1 B 1 C 1 có tất cả các cạnh bằng a, góc tạo bởi cạnh bên và mặt phẳng đáy bằng 30 0 . Hình chiếu H của điểm A trên mặt phẳng (A 1 B 1 C 1 ) thuộc đờng thẳng B 1 C 1 . Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A 1 B 1 C 1 và tính khoảng cách giữa hai đờng thẳng AA 1 và B 1 C 1 theo a. Cõu V: (1,0 im) Xột cỏc s thc dng a, b, c tha món iu kin 1 a b c . Tỡm giỏ tr nh nht ca : 3 1 1 1 1 1 1 P ab bc ca Cõu VI (2,0 im) 1. Trong mt phng vi h ta Oxy cho hai ng trũn : (C 1 ): x 2 + y 2 = 13 v (C 2 ): (x - 6) 2 + y 2 = 25 ct nhau ti A(2; 3). Vit phng trỡnh ng thng i qua A v ln lt ct (C 1 ), (C 2 ) theo hai dõy cung phõn bit cú di bng nhau. 2. Trong khụng gian vi h ta Oxyz cho tam giỏc vuụng cõn ABC cú BA = BC. Bit A(5 ; 3 ; - 1), C (2 ; 3 ; - 4) v B l im nm trờn mt phng cú phng trỡnh : 6 0 x y z . Tỡm ta im B. Cõu VII (1,0 im) Gii phng trỡnh : 3 9 3 4 2 log log 3 1 1 log x x x Ht www.laisac.page.tl Thớ sinh khụng c s dng ti liu. Cỏn b coi thi khụng gii thớch gỡ them H v tờn: SBD: TRNG THPT CHUYấN NGUYN HU K THI TH I HC LN TH NHT NM HC 2010 2011 THI MễN: TON KHI A,B Thi gian lm bi: 180 phỳt, khụng k thi gian giao TRNG THPT CHUYấN NGUYN HU HNG DN CHM THI TH I HC LN TH NHT NM HC 2010 2011 THI MễN: TON KHI A, B CU NI DUNG IM Với 1 m ta có 196 23 xxxy . * Tập xác định: D = R * Sự biến thiên Chiều biến thiên: )34(39123' 22 xxxxy Ta có 1 3 0' x x y , 310' xy . Do đó: + Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng )1,( và ),3( . + Hm số nghịch biến trên khoảng ).3,1( 0,25 Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại 1 x và 3)1( yy CD ; đạt cực tiểu tại 3 x và 1)3( yy CT . Giới hạn: yy xx lim;lim . 0,25 Bảng biến thiên: 0,25 I-1 (1im) * Đồ thị: Đồ thị cắt trục tung tại điểm )1,0( . 1 2 3 4 -1 1 2 3 x y O 0,25 Ta có .9)1(63' 2 xmxy 0,25 Hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại 21 , xx phơng trình 0' y có hai nghiệm pb là 21 , xx Pt 03)1(2 2 xmx có hai nghiệm phân biệt là 21 , xx . 31 31 03)1(' 2 m m m )1( 0,25 I-2 (1im) +) Theo định lý Viet ta có .3);1(2 2121 xxmxx Khi đó 2 2 1 2 1 2 1 2 2 4 4 4 1 12 4 x x x x x x m 0,25 x y y 3 -1 0 0 3 1 2 3 ( 1) 4 (2) 1 m m m           Tõ (1) vµ (2) suy ra gi¸ trÞ cña m = - 3 ; m = 1 0,25 PT   1 3cos cos 2 2cos 2 4sin .sin 2 x x x x x x          1 3cos cos 2 2 cos .cos 2 sin .sin 2 4sin .sin 2 x x x x x x x x      0,25    1 3cos cos 2 2 cos .cos 2 sin .sin 2 0 x x x x x x       1 3cos cos 2 2cos 0 x x x      1 cos cos 2 0 x x    0,25  2 2cos cos 0 x x    cos 0 1 cos 2 x x        0,25 II-1 (1 điểm)  2 2 2 3 x K x K                0,25 2 2 2 2 2 3 2 3 (1) 2 1 2 1 (2) x x y y xy x xy y x y xy x y xy x y                        Cộng (1) và (2) theo vế được 2 ( ) 3( ) 4 0 x y x y      0,25 Suy ra 1 4 x y x y         0,25 Với 1 x y   thay vào (2) được 2 2 0 y y    Tìm được (x;y) = (1;0); (x;y) = (-1; 2) 0,25 II-2 (1 điểm) Với 4 x y    thay vào (2) được 2 3 5 0 y y     Phương trình vô nghiệm Hệ có 2 nghiệm (x;y) = (1;0); (x;y) = (-1; 2) 0,25   cot cot 2 sinx sinx cos sin xsin 4 x x dx dx x x              0,25 =   2 cot 2 sin x 1 cot x dx x  0,25 cot 1 1 2 (cot ) cot 1 x d x x       0,25 III (1 điểm)   2 cot ln cot 1 x x    +C 0,25 IV (1 điểm) Do )( 111 CBAAH  nªn gãc 1 AA H lµ gãc gi÷a AA 1 vµ (A 1 B 1 C 1 ), theo gi¶ thiÕt th× gãc 1 AA H b»ng 30 0 . 0,25 C A B C 1 B 1 K H A 1 XÐt tam gi¸c vu«ng AHA 1 cã AA 1 = a, gãc 1 AA H =30 0 2 a AH   . 1 1 1 1 1 2 3 1 1 a a 3 3 . 3 3 2 4 24 ABCA B C A B C a V AH S     0,25 XÐt tam gi¸c vu«ng AHA 1 cã AA 1 = a, gãc 1 AA H =30 0 2 3 1 a HA  . Do tam gi¸c A 1 B 1 C 1 lµ tam gi¸c ®Òu c¹nh a, H thuéc B 1 C 1 vµ 2 3 1 a HA  nªn A 1 H vu«ng gãc víi B 1 C 1 . MÆt kh¸c 11 CBAH  nªn )( 111 HAACB  KÎ ®êng cao HK cña tam gi¸c AA 1 H th× HK chÝnh lµ kho¶ng c¸ch gi÷a AA 1 vµ B 1 C 1 0,25 Ta cã AA 1 .HK = A 1 H.AH 4 3 . 1 1 a AA AHHA HK  0,25         3 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ab bc ca A P ab bc ca abc                      0,25 Áp dụng Bất đẳng thức Trung bình cộng và trung bình nhân có :                 2 1 1 1 2 2 1 1 4 4 4 1 1 1 2 a b c a b a b a b ab c a b                       Tương tự có:      1 1 1 1 2 a c b bc           1 1 1 1 2 b c a ca      0,25 Suy ra 2 1 1 1 1 1 1 1 8 A a b c                       0,25 V (1 điểm) Mà: 3 3 3 1 1 1 1 1 1 1 1 4 a b c abc                         Do đó min P = 8 đạt được khi a = b = c = 1 3 0,25 Gọi giao điểm thứ hai của đường thẳng cần tìm với (C 1 ) và (C 2 ) lần lượt là M và N Gọi M(x; y) 2 2 1 ( ) 13 C x y     (1) 0,25 Vì A là trung điểm của MN nên N(4 – x; 6 – y). Do N 2 2 2 ( ) (2 ) (6 ) 25C x y      (2) 0,25 Từ (1) và (2) ta có hệ 2 2 2 2 13 (2 ) (6 ) 25 x y x y            Giải hệ ta được (x = 2 ; y = 3) ( loại vì trùng A) và (x = 17 5  ; y = 6 5 ). Vậy M( 17 5  ; 6 5 ) 0,25 VI- 1 (1 điểm) Đường thẳng cần tìm đi qua A và M có phương trình : x – 3y + 7 = 0 0,25 AC = 3 2 suy ra BA = BC = 3 0,25 Tọa độ B là nghiệm của hệ phương trình: 2 2 2 2 2 2 ( 5) ( 3) ( 1) 9 ( 2) ( 3) ( 4) 9 6 0 x y z x y z x y z                      0,25 2 2 2 2 2 2 ( 5) ( 3) ( 1) 9 ( 5) (4 2 ) (2 ) 9 1 0 1 6 0 7 2 x y z x x x x z z x x y z y x                                    0,25 VI-2 (1 điểm) Tìm được: (2;3; 1) B  hoặc (3;1; 2) B  0,25 Đk: x > 0, 1 3, 9 x x   0,25   1 xlog1 4 3logxlog2 3 x93      1 xlog1 4 x9log 1 xlog2 33 3    1 xlog1 4 xlog2 xlog2 33 3       0,25 Đặt: t = log 3 x pt thành :  2 2 4 1, 2 1 1 4 3 4 0 2 1 t t t t t t t t t                    0,25 VII. (1 điểm) So sánh điều kiện được 2 nghiệm 1 ; 81 3 x x   0,25 .   2 1 1 1 2 2 1 1 4 4 4 1 1 1 2 a b c a b a b a b ab c a b                       Tương tự có:      1 1 1 1 2 a c b bc           1 1 1 1 2 b c. 1 1 2 b c a ca      0,25 Suy ra 2 1 1 1 1 1 1 1 8 A a b c                       0,25 V (1 điểm) Mà: 3 3 3 1 1 1 1 1 1 1 1 4 a b c abc          . nghiệm phân biệt là 21 , xx . 31 31 03 )1( ' 2 m m m )1( 0,25 I-2 (1im) +) Theo định lý Viet ta có .3) ;1( 2 212 1 xxmxx Khi đó 2 2 1 2 1 2 1 2 2 4 4 4 1 12 4 x x x x x x m