Chuẩn kiến thức Hình học 12 A THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN I/ Các cơng thức thể tích khối đa diện: THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ: V= B.h B : diện tích đáy h với  h : chiều cao B a) Thể tích khối hộp chữ nhật: V = a.b.c với a,b,c ba kích thước b) Thể tích khối lập phương: V = a3 với a độ dài cạnh THỂ TÍCH KHỐI CHĨP: V= a c b a a a Bh h B : diện tích đáy với   h : chiều cao B TỈ SỐ THỂ TÍCH TỨ DIỆN: Cho khối tứ diện SABC A’, B’, C’ điểm tùy ý thuộc SA, SB, SC ta có: VSABC VSA ' B' C ' SA SB SC = SA ' SB' SC ' S C' A' A B' C B Chú ý: 1/ Đường chéo hình vng cạnh a d = a , Đường chéo hình lập phương cạnh a d = a , Đường chéo hình hộp chữ nhật có kích thước a, b, c d = a + b2 + c , a 3/ Hình chóp hình chóp có đáy đa giác cạnh bên ( có đáy đa giác đều, hình chiếu đỉnh trùng với tâm đáy) 4/ Lăng trụ lăng trụ đứng có đáy đa giác BÀI TẬP Bài 1: Cho hình chop S.ABC có đáy tam giác ABC vng B, đường thẳng SA vng góc với mp ( ABC), biết AB = a, BC = a SA = 3a a) Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a b) Gọi I trung điểm cạnh SC, tính độ dài đoạn BI theo a Bài 2: Cho hình chóp tam giác S ABC có cạnh đáy a, cạnh bên 2a Gọi I trung điểm BC a) Chứng minh SA vng góc với BC b) Tính thể tích khối chóp S ABI theo a Bài 3: Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác vng B, cạnh bên SA vng góc với đáy Biết SA=AB=BC= a Tính thể tích khối chóp S.ABC 2/ Đường cao tam giác cạnh a h = Chuẩn kiến thức Hình học 12 Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, cạnh bên SA vng góc với đáy, cạnh bên SA a a) Tính thể tích khối chóp S ABCD b) Chứng minh trung điểm cạnh SC điểm cách đỉnh hình chóp S ABCD Bài 5: Cho hình chóp S ABC có SA, AB, BC vng góc với đôi Biết SA = a, AB =BC= a Tính thể tích khối chóp S ABC Bài 6: Cho khối chóp S.ABC có hai mặt ABC SBC hai tam giác nằm hai mp vng góc Biết BC =1, tính thể tích khối chóp S.ABC Bài 7: Cho khối chóp S ABC có đáy ABC tam gíac vng cân A hình chiếu vng góc S lên ( ABC) trùng với trọng tâm G tam giác ABC Biết SA hợp với đáy góc α = 600 Tính thể tích khối chóp S.ABC Bài 8: Cho khối chóp S.ABCD, có đáy ABCD hình thoi , ABC va SAC hai tam giác cạnh a, SB =SD Tính thể tích khối chóp S ABCD Bài 9: Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, cho SA vng góc với mặt đáy (ABCD) Biết SA =2a, AB = a, BC =3a Tính thể tích khối chóp S ABC Bài 10: Cho khối chóp S ABCD , có đáy ABCD hình thang vng A B , Cho SA vng góc với mặt đáy (ABCD) , SA = AD = 2a AB =BC = a Tính thể tích khối chóp S ABCD Bài 11: Cho hình chop S ABCD có đáy hình vng cạnh a, SA vng góc với mặt đáy (ABCD) , góc SC đáy (ABCD) 450 Tính thể tích khối chóp S.ABCD Bài 12: Cho khối chóp S.ABC có đáy tam giác vng A, AB =a, AC =2a Đỉnh S cách A,B,C, mặt bên (SAB) hợp với mặt đáy (ABC) góc 600 Tính thể tích khối chóp S.ABC HD : 12: Bài 13: Cho khối lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy tam giác cạnh a, cạnh bên a hình chiếu ( vng góc ) A’ lên (ABC) trùng với trung điểm BC Tính thể tích khối lăng trụ ,từ suy thể tích khối chóp A’ ABC HD: Bài 14: Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có đáy tam giác cạnh a, cạnh bên hợp với đáy góc 600 , A’ cách A,B,C Chứng minh BB’C’C hình chữ nhật tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ HD: Chuẩn kiến thức Hình học 12 Bài 15: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy tam giác vuông A, AC = b, · ACB = 600 Đường chéo BC’ mặt bên BB’C’C tạo với mặt phẳng ( AA’C’C) góc 300 a) Chứng minh tam giác ABC ' vuông A b) Tính độ dài đoạn AC’ c) Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ từ suy thể tích khối chóp C’.ABC HD: Bài 16: Cho khối lăng trụ ABC.A’B’C’ tích V Gọi M , N trung điểm hai cạnh AA’ BB’ Mặt phẳng (C’MN) chia khối lăng trụ cho thành hai phần a)Tính thể tích khối chóp C’.ABC theo V b) Tính thể tích khối chóp C’ ABB’A’ theo V c) Tính thể tích khối chóp C’ MNB’A’ theo V d) Tính tỉ lệ thể tích hai khối chóp C’ MNB’A’ ABC.MNC’ 17 Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác ABC vuông tại B Biết BB’ = AB = h và góc của B’C với mặt đáy bằng α a) CMR: g(BCA) = g(B’CB) và tính thể tích của khối lăng trụ b) Tính diện tích thiết diện tạo nên mp(ACB’) cắt hình lăng trụ 18 Một hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a, cạnh bên BB’ = a, chân đường vuông góc hạ từ B’ xuống đáy ABC trùng với trung điểm I của cạnh AC a) Tính góc giữa cạnh bên với đáy và tính thể tích của lăng trụ b) CMR: mặt bên AA’C’C là hình chữ nhật 19.Hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AC = b, góc C = 600 Đường chéo BC’ của mặt bên (BB’C’C) tạo với mặt phẳng (AA’C’C) một góc 300 a) Tính độ dài đoạn AC’ b) Tính thể tích của lăng trụ 20 Cho khối hộp ABCD.A’B’C’D’ có tất cả các cạnh đều bằng a và ba góc ở đỉnh A đều bằng 600 Tính thể tích của khối hộp đó theo a 21 Cho khối lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, điểm A’ cách đều ba điểm A, B, C, cạnh bên AA’ tạo với mặt đáy một góc 600 a) Tính thể tích của khối lăng trụ đó b) CMR: mặt bên BCC’B’ là một hình chữ nhật c) Tính tổng diện tích các mặt bên của lăng trụ(Gọi là diện tích xung quanh) 22 Cho khối lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ Gọi M là trung điểm của AA’ Mặt phẳng qua M, B’, C chia khối lăng trụ thành hai phần Tính tỉ số thể tích của hai phần đó 23 Cho hình lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh đều bằng a a) Tính thể tích khối tứ diện A’.BB’C b) Mặt phẳng qua A’B’ và trọng tâm tam giác ABC, cắt AC và BC lần lượt tại E và F Tính thể tích khối chóp C.A’B’FE 24 Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ Tính tỉ số thể tích của khối tứ diện ACB’D’ và thể tích khối hộp 25 Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’, gọi O là giao điểm của AC và BD Tính tỉ số thể tích của khối chóp O.A’B’C’D’ và khối hộp đã cho Chuẩn kiến thức Hình học 12 26 Đáy của khới chóp là một tam giác vuông cân có cạnh góc vuông bằng a Mặt bên qua cạnh huyền vuông góc với đáy, mỗi mặt bên tạo với đáy một góc 450 a) CMR chân đường cao khối chóp trùng với trung điểm cạnh huyền b) Tính thể tích khối chóp 37 Cho khối chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và góc ASB bằng α CMR: đường cao của a a khối chóp h = cot − và tính thể tích khối chóp 2 28 Cho khối chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, góc giữa cạnh bên với đáy bằng 600 a) Tính thể tích khối chóp b) Tính góc mặt bên tạo với đáy 29 Cho tứ diện S.ABC có đáy ABC là tam giác cân tại B, AC = a, SA ⊥ (ABC), góc giữa cạnh bên SB và đáy bằng 600 a) Chứng minh BC ⊥ (SAB) b) Tính thể tích tứ diện SABC 30 Cho hình chóp tứ giác đều SABCD có cạnh đáy bằng a và góc giữa mặt bên hợp với đáy một góc 600 a) Tính thể tích khối chóp b) Tính khoảng cách giữa AB và mp(SCD) 31 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, cạnh bên SA ⊥ (ABC), góc giữa mặt bên (SBC) và đáy bằng 600 a) Tính thể tích khối chóp b) Xác định điểm I cách đỉnh hình chóp tính IA 32 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, gọi I là trung điểm của AB, SI ⊥ (ABCD), góc giữa mặt bên (SCD) và đáy bằng 600 Tính thể tích khối chóp 33 Cho hình chóp tam giác O.ABC có ba cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc với và OA = a, OB = b, OC = c Tính đường cao OH của hình chóp 34 Cho tam giác ABC vuông cân ở A và AB = a Trên đường thẳng qua C và vuông góc với (ABC) lấy điểm D cho CD = a Mặt phẳng qua C vuông góc với BD, cắt BD tại F và cắt AD tại E Tính thể tích khối tứ diện CDEF 35 Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy AB = a Các cạnh bên SA, SB, SC tạo với đáy một góc 60o Gọi D là giao điểm của SA với mặt phẳng qua BC và vuông góc với SA a) Tính tỉ số thể tích của hai khối chóp S.DBC và S.ABC b) Tính thể tích của khối chóp S.DBC 36 Cho hình chóp tam giác S.ABC có AB = 5a, BC = 6a, CA = 7a Các mặt bên SAB, SBC, SCA tạo với đáy một góc 60o Tính thể tích của khối chóp 37 Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, đáy là hình vuông cạnh a, cạnh bên tạo với đáy một góc 60o Gọi M là trung điểm SC Mặt phẳng qua AM và song song với BD, cắt SB tại E và cắt SD tại F Tính thể tích khới chóp S.AEMF B MẶT NĨN, MẶT TRỤ, MẶT CẦU I) MẶT NĨN, HÌNH NĨN, KHỐI NĨN: 1) Mặt nón: Cho hai đường thẳng ∆ d cắt O tạo thành góc α (0 < α < 900) Mặt tròn xoay sinh đường thẳng d quay quanh đường thẳng ∆ gọi mặt nón * d: đường sinh * ∆: trục * O đỉnh * 2α: góc đỉnh 2) Hình nón: Hình nón trịn xoay hình sinh tam giác vuông quay quanh cạnh Chuẩn kiến thức Hình học 12 góc vng * Diện tích xung quanh: Sxq = π rl l: độ dài đường sinh r: bán kính đường trịn đáy 3) Khối nón: Hình nón với phần gọi khối nón * Thể tích khối nón: V= π r2h h: độ dài đường cao r: bán kính đường trịn đáy II) MẶT TRỤ, HÌNH TRỤ, KHỐI TRỤ: 1) Mặt trụ: Cho hai đường thẳng ∆ d song song cách khoảng r Mặt tròn xoay sinh đường thẳng d quay quanh ∆ gọi mặt trụ * d: đường sinh * ∆: trục 2) Hình trụ: Hình trụ trịn xoay hình sinh hình chữ nhật quay quanh cạnh * Diện tích xung quanh: Sxq = π rl l: độ dài đường sinh r: bán kính đường trịn đáy 3) Khối trụ: Hình trụ với phần gọi khối trụ * Thể tích khối nón: V= r2 h h: độ dài đường cao r: bán kính đường trịn đáy  Chú ý: khối trụ h = l III) MẶT CẦU, HÌNH CẦU, KHỐI CẦU: 1) Mặt cầu: Cho điểm O cố định số thực r Tập hợp điểm M không gian cách điểm O khoảng r gọi mặt cầu tâm O bán kính r Kí hiệu: Chú ý: * * * S(O,r) = { M OM = r} OA > r ⇔ A nằm (S) OA < r ⇔ A nằm (S) OA = r ⇔ A nằm (S) 2) Vị trí tương đối mặt phẳng mặt cầu: Cho mặt cầu S(O,r) mặt phẳng (P) Gọi H hình chiếu O mp(P) d= OH khoảng cách từ O đến mp(P) * d > r ⇔ (P) không cắt (S) hay (P) ∩ (S) = φ * d = r ⇔ (P) tiếp xúc (S) H Khi đó: (S): tiếp diện, (H): tiếp điểm * d < r ⇔ (P) cắt (S) theo đường tròn (C) có tâm H, bán kính r − d Chuẩn kiến thức Hình học 12  Chú ý: d = hay O ≡ H (P) cắt (S) theo đường trịn C(O, r) 3) Vị trí tương đối đường thẳng mặt cầu: Cho mặt cầu S(O,r) đường thẳng ∆ Gọi H hình chiếu O ∆ d= OH khoảng cách từ O đến ∆ * d > r ⇔ ∆ không cắt (S) hay ∆ ∩ (S) = φ * d = r ⇔ ∆ tiếp xúc (S) H Khi đó: ∆: tiếp tuyến, (H): tiếp điểm * d < r ⇔ (P) cắt (S) hai điểm phân biệt A, B 4) Diện tích xung quanh hình cầu, thể tích khối cầu: * Diện tích xung quanh hình cầu: Sxq = π r2 * Thể tích khối cầu: V = π r3 BÀI TẬP 1) Cho hình nón trịn xoay có đường cao h = 20 cm, bán kính đáy r = 25 cm a) Tính diện tích xung quanh hình nón cho b) Tính thể tích khối nón c) Một thiết diện qua đỉnh hình nón có khoảng cách từ tâm đáy đến mặt phẳng chứa thiết diện 12 cm Tính diện tích thiết diện 2) Một hình trụ có bán kính đáy r = 5cm có khoảng cách hai đáy 7cm a) Tính diện tích xung quanh hình trụ thể tích khối trụ b) Cắt khối trụ mặt phẳng song song vói trục cách trục 3cm Tính diện tích thiết diện tạo nên 3) Cắt hình nón mặt phẳng qua trục ta thiết diện tam giác cạnh 2a.Tính diện tích xung quanh thể tích hình nón 4) Một hình trụ có bán kính đáy r chiều cao h = r a) Tính diện tích xung quanh diện tích tồn phần hình trụ b) Tính thể tích khối trụ c) Cho hai điểm A, B nằm hai đường trịn đáy cho góc AB trục hình trụ 300 Tính khoảng cách AB trục hình trụ 5) Cắt hình nón đỉnh S mặt phẳng qua trục ta tam giác vng cân có cạnh huyền a a) Tính diện tích xung quanh, diện tích đáy thể tích khối nón b) Cho dây cung BC đường trịn đáy hình nón cho mặt phẳng (SBC) tạo với mặt phẳng chứa đáy hình nón góc 600 Tính diện tích tam giác SBC 6) Mặt phẳng qua trục hình trụ, cắt hình trụ theo thiết diện hình vng cạnh 2R a) Tính diện tích xung quanh diện tích tồn phần hình trụ b) Tính thể tích khối trụ c) Tính thể tích khối lăng trụ tứ giác nội tiếp hình trụ 7) Một khối nón có góc đỉnh 1200 có bán kính đáy r Tính diện tích thiết diện qua hai đường sinh vng góc với 8) Một khối lăng trụ đứng có chiều cao h có đáy tam giác cạnh a Tính thể tích khối trụ ngoại tiếp khối lăng trụ 9) Một khối tứ diện có cạnh a nội tiếp khối nón Tính thể tích khối nón 10) Một khối trụ gọi nội tiếp khối cầu hai đường tròn đáy khối trụ nằm mặt khối cầu a) Tính diện tích xung quanh thể tích khối trụ nội tiếp khối cầu bán kính R biết đường cao khối trụ h b) Tính giá trị lớn thể tích khối trụ nội tiếp khối cầu bán kính R cho trước 11) Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a a) Tính diện tích xung quanh thể tích của khối trụ có đường trịn hai đáy ngoại tiếp hình vng ABCD A’B’C’D’ b) Tính diện tích xung quanh thể tích khối nón có đỉnh tâm O hình vng ABCD đáy đường trịn nội tếp hình vng A’B’C’D’ Chuẩn kiến thức Hình học 12 12) Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a Xác định tâm bán kính mặt cầu qua đỉnh hình lập phương cho 13) Cho tứ diện D.ABC có DA ⊥ (ABC) DA = 5a, tam giác ABC vuông B AB = 3a, BC = 4a Xác định tâm bán kính mặt cầu qua bốn đỉnh tứ diện 14) Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh đáy a, cạnh bên b Xác định tâm bán kính mặt cầu qua đỉnh hình chóp 15) Cho tứ diện D.ABC có DA ⊥ (ABC) DA = 4a, tam giác ABC vuông B AB = 6a, BC = 8a Xác định tâm bán kính mặt cầu qua bốn đỉnh A, B, C, D tứ diện 16) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SA ⊥ (ABCD) SA = 2a, Xác định tâm bán kính mặt cầu qua đỉnh S, A, B, C, D 17) Cho hình chóp tứ giác SABCD có cạnh đáy a, cạnh bên b Xác định tâm bán kính mặt cầu qua đỉnh S, A, B, C, D 18) Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có tất cạnh a a) Xác định tâm bán kính mặt cầu qua đỉnh lăng trụ b) Tính diện tích mặt cầu thể tích khối cầu tương ứng 19) Cho hình chóp SABCD có đáy hình vng cạnh a, SA ⊥ (ABCD) Dựng mp(P) qua A vng góc với SC Mặt phẳng (P) cắt SB, SC, SD B’, C’, D’ a) CMR: điểm A, B, C, D, A’, B’ C’, D’ ln nằm mặt cầu b) Tính diện tích mặt cầu thể tích khối cầu tạo thành 20) Cho hình chóp tam giác SABC có cạnh đáy a, mặt bên hợp với đáy góc 600 a) Xác định tâm bán kính mặt cầu qua đỉnh lăng trụ b) Tính diện tích mặt cầu thể tích khối cầu tương ứng 21) Cho hình chóp SABC có SA = SB = SC = a có chiều cao h a) Xác định tâm bán kính mặt cầu qua đỉnh lăng trụ b) Tính diện tích mặt cầu PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN I : HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN A KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1.Hệ tọa độ không gian Hệ gồm ba trục Ox, Oy, Oz đội vuông góc gọi hệ trục tọa độ vng góc không gian → → → Nếu ta lấy ba vectơ đơn vị i , j , k Ox, Oy, Oz thì: →2 →2 →2 i = j = k =1, 2.Tọa độ điểm vectơ → → → → → → i j = j k = k i = → → → M(x ; y ; z) ⇔ OM = x i + y j + z k → → → → → u = ( x; y; z ) ⇔ u = x i + y j + z k Cho A(x1; y1; z1), B(x2; y2; z2) ⇒ AB = ( x − x1 ; y − y1 ; z − z1 ) 3.Vectơ Tọa độ vectơ tổng, hiệu → → Cho u = ( x1 ; y1 ; z1 ), v = ( x ; y ; z )  x1 = x → →  * u = v ⇔  y1 = y z = z  → → * u ± v = ( x1 ± x ; y1 ± y ; z1 ± z ) → * k u = (kx1 ; ky1 ; kz1 ) k ∈ R → → * m u + n v = ( mx1 + nx ; my1 + ny ; mz1 + nz ) (m, n ∈ R ) 4.Hai vectơ phương Chuẩn kiến thức Hình học 12  x = kx1 x2 y z  = = u, v phương ( u // v )(u ≠ ) ⇔ ∃k ∈ R : v = k u ⇔  y = ky1 ⇔ x1 y1 z1  z = kz  5.Chia đọan thẳng theo tỉ số cho trước x A − kx B  xM = − k  y A − ky B  M chia đọan AB theo tỉ số k ≠ ⇔ MA = k MB ⇔  y M = 1− k  z A − kz B  z M = − k  → → → → → → → →  x A + xB y A + yB z A + z B  ; ;  M trung điểm AB M  2   6.Tích vơ hướng hai vectơ → → Cho hai vectơ u = ( x1 ; y1 ; z1 ), v = ( x ; y ; z ) → → → → → → u v =| u || v | cos u , v  = x1 x + y1 y + z1 z   → →2 | u |= u = x12 + y12 + z12 AB = AB = ( x B − x A ) + ( y B − y A ) + ( z B − z A ) → → → → cos( u , v ) = u.v → x1 x + y1 y + z1 z = → 2 x12 + y12 + z12 x + y + z | u || v | → → → → → (| v |≠ , | v |≠ ) → u ⊥ v ⇔ x1 x + y1 y + z1 z = 7.Tích có hướng hai vectơ → →  y1 z1 z1 x1 x1 y1 [ u , v ] =  y z ;z x ;x y2 2 2  → → → → →     → [u , v ] ⊥ u , [u , v ] ⊥ v → → → → → → | [u , v ] |=| u || v | sin( u , v ) → → → → → u, v phương ⇔ [ u , v ] = → → → → → → u , v , w đồng phẳng ⇔ [ u , v ] w = 8.Các ứng dụng S ABC = AB, AC [ [ ] ] V ABCD A'B 'C 'D ' = AB, AD AA' V ABCD = [ ] AB, AC AD Mặt cầu - Mặt cáu tâm I(a ; b ; c) có bán kính R có phương trình: (x – a)2 + (y – b)2 + (z – c)2 = R2 - Ngược lại, phương trình: x2 + y2 + z2 + 2ax + 2by + 2cz + d =0 phương trình mặt cầu có điều kiện : a2 + b2 + c2 > d Khi I( -a ; -b; -c) tâm mặt cầu bán Chuẩn kiến thức Hình học 12 kính R = a + b + c − d B.BÀI TÂP → → → → 1/ Cho u = (1; ; 3), v = (2 ; ; − 1), w = (4 ; ; − 4) Tìm tọa độ x , biết: → → → → → → → → → → → → → a) x = u + v − w , b) x = u − v − w , c ) u + v − w+ x = → 2/ Cho u có điểm đầu (1 ; -1 ; 3) điểm cuối (-2 ; ; 5) → Trong vectơ sau vectơ phương với u → → → → → → → → → → → → → a ) a = −6 i + j + k , b) b = j + k , c ) c = i − j + k 3/ Cho ba điểm A(2 ; ; 3), B(3 ; ; 4), C(x ; y ; 6) Tìm x, y để A, B, C thẳng hàng 4/ Cho hai điểm A(-1 ; ; 6), B(3 ; -6 ; -2) Tìm M thuộc mp(Oxy) cho MA + MB nhỏ 5/ Chứng minh bốn điểm A(1 ; -1 ; 1), B(1 ; ; 1), C(4 ; ; 1), D(4 ; -1 ; 1) đỉnh hình chữ nhật Tính độ dài đường chéo, xác định tâm hình chữ nhật đó.Tính cosin góc hai vectơ AC , BD → → 6/ Tính tích có hướng [ u , v ] biết → → → → → → → → → → a ) u = (1 ; ;−3) , v = ( −4 ; ; 2) b) u = i + j − k , v = − i − j + k → → → → → → c) u = (0 ; ; − 2), v = (3 ; ; − 4) b) u = i + k , v = i − j → → → 7/ Tính [u , v ] w biết → → → a ) u = (0 ; ; 2), v = ( −4 ; ; − 3), w = (1 ; − ; 2) → → → → → → → → → → → → → b) u = i + j − k , v = j + k , w = i − j + k → → → → → → → c) u = i + j , v = i + j + k , w = i 8/ Chứng tỏ bốn điểm sau bốn đinh hình bình hành tính diện tích hình bình hành A(1 ; ; 1), B(2 ; ; 4), C(6 ; ; 2), D(7 ; ; 5) 9/ Tìm Oy điểm cách hai điểm A(3 ; ; 0) B(-2 ; ; 1) 10)/ Tìm mặt phẳng Oxz cách ba điểm A(1 ; ; 1), B(-1 ; ; 0), C(3 ; ; -1) 11/ Cho hai điểm A(2 ; -1 ; 7), B(4 ; ; -2) Đường thẳng AB cắt mp(Oyz) điểm M Điểm M chia đọan AB theo tỉ số nào? Tìm tọa độ điểm M → → → 12/ Xét đồng phẳng ba vectơ u , v , w trường hợp sau → → → a) u = (1 ; − ; 1), v = (0 ; ; 2), w = (4 ; ; 3) → → → → → → → → → → → b) u = i + j + k , v = i + j + k , w = i + k → → → 13/ Cho ba vectơ u = (3 ; ; 0), v = (2 ; ; 1), w = (3 ; − ; 4) → → → a) Chứng minh u , v , w không thẳng hàng → → → → b) Biểu thị a = (−4 ; − 12 ; 3) theo ba vectơ u ; v ; w → → → → 14/ a) Cho a = (1 ; m ; − 1), b = (2 ; ; 3) Tìm m để a ⊥ b → → → → b) Cho a = (1 ; log ; m), b = (3 ; log ; 4) Tìm m để a ⊥ b → → → → → c) Cho a = ( ; − ; 0) Tìm b phương với a , biết a b = 10 15/ Trong không gian tọa độ Oxyz cho bốn điểm A(1 ; ; 0), B0 ; ; 1), C(1 ; ; 2), D(1 ; ; 1) a) Chứng minh bốn điểm khơng đồng phẳng Tính thể tích tứ diện ABCD Chuẩn kiến thức Hình học 12 b) Tìm tọa độ trọng tâm tam giác ABC, trọng tâm tứ diện ABCD c) Tính diện tích mẳt tứ diện d) Tính độ dài đường cao khối tứ diện e) Tính góc hai đường thẳng AB CD f) Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD 16/ Trong không gian tọa độ Oxyz cho ba điểm A(1 ; ; 0), B(0 ; ; 1), C(2 ; ; 1) a) Chứng minh A, B, C ba đỉnh tam giác b) Tính chu vi diện tích tam giác ABC c) Tìm tọa độ điểm D để ABCD hình bình hành d) Tính độ dài đường cao tam giác ABC e) Tính góc tam giác ABC f) Xác định tọa độ trực tâm tam giác ABC g) Xác định tọa độ tâm đường tròn ngọai tiếp tam giác ABC 17/ Cho bốn điểm A(2 ; -1 ; 6), B(-3 ; -1 ; -4), C(5 ; -1 ; 0), D(1 ; ; 1) a) Chứng minh ABC tam giác vng b) Tính bán kính đường trịn nội, ngọai tiếp tam giác ABC c) Tính độ dài đường phân giác tam giác ABC vẽ từ đỉnh C 18/ Cho tứ diện ABCD có đỉnh A(2 ; ; -1), B(3 ; ; 1), C(2 ; -1 ; 3) D thuộc trục Oy Biết VABCD = Tính tọa độ đỉnh D 19/ Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’B’ cạnh a a) Chứng minh A’C ⊥ ( AB ' D' ) b) Gọi M trung điểm AD, N trung điểm BB’.Chứng minh A’C ⊥ MN c) Tính cosin góc hai vectơ MN AC ' d) Tính VA’CMN 20/ Viết phương trình mặt cầu trường hợp sau: a) Tâm I(1 ; ; -1), đường kính b) Đường kính AB với A(-1 ; ; 1), B(0 ; ; 3) c) Tâm O(0 ; ; 0) tiếp xúc với mặt cầu tâm I(3 ; -2 ; 4) bán kính R = d) Tâm I(2 ;-1 ; 3) qua A(7 ; ; 1) e) Tâm I(-2 ; ; – 3) tiếp xúc mp(Oxy) f) Tâm I(-2 ; ; -3) tiếp xúc trục Oy g) Tâm I(-2 ; ; -3) bán OI 21/ Trong phương trình sau phương trình phương trình mặt cầu a) x2 + y2 + z2 -2x – 6y – 8z + = b) x2 + y2 + z2 – 2y = c) 2x2 + 2y2 + 2z2 – 2x – 4y + 6z - = d) x2 + y2 + z2 – 3x + 4y – 8z + 25 = 22) Viết phương trình mặt cầu trường hợp sau: a) Đi qua ba điểm A(1 ; ; -4), B(1 ; -3 ; 1), C( ; ; 3) có tâm nằm mp(Oxy) b) Đi qua hai điểm A(3 ; -1 ; 2), B(1 ; ; -2) có tâm thuộc trục Oz c) Đi qua bốn điểm A(1 ; ; 1), B(1 ; ; 1), C(1 ; ; 2), D(2 ; ; 1) 23/ Cho phương trình x2 + y2 + z2 – 4mx + 4y + 2mz + m2 + 4m = 0.Tìm m để phương trình mặt cầu tìm m để bán kính mặt cầu nhỏ II.PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG I.KIẾN THỨC CẦN NHỚ Vectơ pháp tuyến mặt phẳng → → * vectơ n ≠ gọi VTPT mp( α ) nằm đường thẳng vng góc với → mp( α ) , viết tắt n ⊥ (α ) → → * Nếu u = ( x1 ; y1 ; z1 ), v = ( x ; y ; z ) không phương đường thẳng chứa → → chúng song song với (hoặc nằm trên) mp( α ) ( u, v gọi cặp vectơ phương 10 Chuẩn kiến thức Hình học 12 mp( α ) ) : → →   y1 z1 z1 x1 x1 y1   n = u , v  =  ; ;    y z z x2 x2 y2    VTPT mp( α ) Phương trình tổng quát: Ax + By + Cz + D = với A2 + B2 + C2 ≠ → → VTPT n = ( A ; B ; C) qua M ( x ; y ; z )  ⇒ mp (α ) : A( x − x0 ) + B( y − y ) + C ( z − z ) = mp (α ) :  → VTPT n = ( A ; B ; C )  Trường hợp đặc biệt Cho mp( α ) : Ax + By + Cz + D = Khi đó: * D = ⇔ ( α ) qua gốc tọa độ * C = , D ≠ ⇔ (α ) song song với trục Oz C = D = ⇔ (α ) chứa trục Oz * B = C = , D ≠ ⇔ (α ) song song với mp(Oyz) * B = C = D = ⇔ (α ) mp(Oyz) ( Các trường hợp khác suy tương tự) Vị trí tương đối hai mặt phẳng Cho hai mặt phẳng (α ) : Ax + By + Cz + D = (α ' ) : A’x + B’y + C’z + D’ = A B C D (α ) //(α ' ) ⇔ = = ≠ A' B' C ' D' A B C D (α ) ≡ (α ' ) ⇔ = = = A' B ' C ' D' A B B C C A (α ) ∩ (α ' ) ⇔ ≠ hay ≠ hay ≠ A' B ' B' C ' C ' A' (α ) ⊥ (α ' ) ⇔ AA'+ BB '+CC ' = • Chú ý: Ta quy ước “ phân số” có “ mẫu số “ “tử số “cũng Phương trình theo đọan chắn mặt phẳng Mp( α ) cắt Ox A(a ; ; 0), cắt Oy B(0 ; b ; 0), cắt Oz C(0 ; ; c) có phương trình là: x y z + + = , abc ≠ a b c Góc hai mặt phẳng Cho hai mặt phẳng (α ) : Ax + By + Cz + D = (α ' ) : A’x + B’y + C’z + D = Gọi ϕ góc hai mặt phẳng, ta có: AA'+ BB'+CC ' cos ϕ = A + B + C A' + B' +C ' Khỏang cách từ điểm đến mặt phẳng Cho mp( α ) : Ax + By + Cz + D = điểm M0(x0 ; y0 ; z0 ) Khi đó: Ax0 + By + Cz + D d(M0, ( α ) ) = A2 + B + C II.BÀI TẬP 1.Trong trường hợp sau viết phương trình mặt phẳng (P) a) Qua điểm M0(x0 ; y0 ; z0) song song với mặt phẳng tọa độ (Oxy), (Oyz), (Oxz) 11 Chuẩn kiến thức Hình học 12 b) Qua hình chiếu điểm M0(x0 ; y0 ; z0) với( x0.y0.z0 ≠ ), lên Ox, Oy, Oz c) Qua điểm M0(x0 ; y0 ; z0) với (x0y0z0 ≠ 0) chứa trục Ox ; Oy ; Oz Trong trường hợp sau , viết phương trình mặt phẳng (P) a) Đi qua ba điểm A(-1 ; ; 3), B(2 ; -4 ; 3), C(4 ; ; 6) b) Đi qua điểm M0(1 ; ; - 2) vuông góc với trục Oy c) Đi qua M0(2; -1 ; 3) vng góc với BC với B(0 ; ; 1), C(1 ; ; 1) d) Đi qua M(1 ; ; 2) song song với mặt phẳng 2x – y + z + = e) Đi qua hai điểm A(3 ; ; -1), B(2 ; -1 ; 4) vng góc với mặt phẳng x – y + 2z = g) Đi qua M0(2 ; -1 ; 2), song song với trục Oz vng góc với mặt phẳng 2x – y + 3z +1 = h) Đi qua M0(-2 ; ; 1) vng góc với hai mặt phẳng 2x + y + 2z + = 3x + 2y +z – = Tìm a để bốn điểm A(1 ; ; 1), B(1 ; a ; 0), C(1 ; -2 ; 1), D( ; ; 1) thuộc mặt phẳng Cho ba điểm A(1 ; ; 1), B(3 ; -1 ; 1), C(-1 ; ; 2) Điểm C có thuộc mặt phẳng trung trực đọan AB khơng? Xét vị trí tương đối cặp mặt phẳng cho phương trình sau: a) x – y + 2z – = 10x – 10y + 20z – 40 = b) 2x – 3x – 3z + 9x – 6y – 9z – = c) x + y + z – = 2x + 2y – 2z + = Cho hai mặt phẳng có phương trình: 2x – my + 3z – = Với giá trị m hai mặt phẳng : - Song song với - Trùng - Cắt - Vng góc với (m + 3)x – 2y + (5m + 1)z – 10 = Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I(-2 ; ; 1) tiếp xúc với mặt phẳng có phương trình : x + 2y – 2z + = Cho điểm bốn điểm A(3 ; -2 ; -2), B(3 ; ; 0), C(0 ; ;1),D(-1 ;1 ; 2) Viết phương trình mặt cầu tâm A, tiếp xúc với mp(BCD) Viết phương trình mặt cầu qua ba điểm A(1 ; ; 0), B(0 ; ; 0), C(0 ; ; 1) có tâm I nằm mặt phẳng x + y + z – = 10 Cho mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 - 6x – 2y + 4z + = điểm M(4 ; ; 0) Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu M 11 Tìm điểm Oy cách hai mặt phẳng x + y – x + = x –y + z – = 12 Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có A(0 ; ; 0), B(a ; ; 0), D(0 ; a ; 0), A’(0 ; ; b) với a , b số dương M trung điểm CC’ a) Tính thể tích tứ diện BDA’M a b) Tìm tỉ số để mp(A’BD) vng góc với mp(MBD) b 15 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy a chiều cao h Gọi I trung điểm SC Tính khỏang cách từ S đến mp(ABI ) III PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG I.KIẾN THỨC CẦN NHỚ Phương trình tham số phương trình tắc qua M ( x ; y ; z )  d:  có : → VTCP u = (a ; b ; c)  12 Chuẩn kiến thức Hình học 12  x = x o + at  (t ∈ R ) - Phương trình tham số d:  y = y + bt  z = z + ct  x − x0 y − y z − z = = - Phương trình tắc d: a b c Vị tri tương đối hai đường thẳng ' qua M qua M   , d ':  d:  → → VTCP u VTCP u '   (abc ≠ 0) → → ' + d d’ nằm mặt phẳng ⇔ [u , u '].M M =  →→ ' [ u u '].M M = + d d’ cắt ⇔  → → → [ u ; u '] ≠  → → → [ u , u '] = + d // d’ ⇔  → → ' [ u , M M ] ≠  → → → → ' + d ≡ d ' ⇔ [u , u '] = [u , M M ] = → → ' + d d’ chéo ⇔ [u , u '].M M ≠ Vị trí tương đối đường thẳng với mặt phẳng qua M ( x0 ; y ; z )  → d:  mp( α ) : Ax + By + Cz + D = có VTPT n = ( A; B; C ) → VTCP u = (a ; b ; c)  + d ∩ (α ) ⇔ Aa + Bb + Cc ≠  Aa + Bb + Cc = + d //(α ) ⇔   Ax0 + By + Cz + D ≠  Aa + Bb + Cc = + d ⊂ (α ) ⇔   Ax0 + By + Cz + D = → → → → → + d ⊥ (α ) ⇔ u // n ⇔ [ u , n ] = Góc hai đường thẳng → → Cho đường thẳng d có VTCP u = (a; b; c) d’ có VTCP u ' = ( a' ; b' ; c' ) Góc ϕ hai đường thẳng tính theo công thức → → u u' cos ϕ = → → = u u' a.a '+bb'+cc' a + b + c a ' +b ' + c ' 2 2 2 (0 ≤ ϕ ≤ 90 ) Góc đường thẳng với mặt phẳng → → Cho đường thẳng d có VTCP u = (a ; b ; c) mp( α ) có VTPT n = ( A ; B ; C ) Gọi ϕ góc hợp d mp( α ) , ta có cơng thức 13 Chuẩn kiến thức Hình học 12 → → u.n sin ϕ = → → = u.n Aa + Bb + Cc A2 + B + C a + b + c qua M  Khỏang cách từ M1(x1 ; y1 ; z1) đến đường thẳng ∆ :  → VTCP u  + Cách 1: - Viết phương trình mp( α ) qua M1 vng góc với ∆ - Tìm tọa độ giao điểm H ∆ mp( α ) - d(M1, ∆) = M1H + Cách 2: d(M1, ∆) = →   M 1M , u     → |u| Khỏang cách hai đường thẳng chéo ' qua M qua M   , ∆ ':  Cho hai đường thẳng chéo ∆ :  → → VTCP u VTCP u '   + Cách 1: - Viết phương trình mp( α ) chứa ∆ song song với ∆' ' - Tính khỏang cách từ M đến mp( α ) - ' d (∆, ∆' ) = d ( M , (α )) → →  ' u , u '.M M   + Cách 2: d (∆, ∆' ) = → →   u , u '   II BÀI TẬP 1.Viết phương trình tham số phương trình tắc( có) đường thẳng sau a) Đi qua hai điểm A(2 ; ; -1) B(5 ; ; 7) → → → → b) Đ qua A(2 ; ; -1) có VTCP u = − i + j + k c) Đi qua A(-2 ; ; 2) song song với trục Oz  x = + 2t  d) Đi qua A(2 ; ;-1) song song với đường thẳng ∆ :  y = −3t  z = + 2t  e) Đi qua A(-2 ; ; 0) vng góc với mặt phẳng (α ) : x + 2y – 2z + = x = t x = t   f) Đi qua A(2 ; -1 ; 1) vng góc với hai đường thẳng y = 1− t ,  y = − 2t  z = 2t z =    x = + 2t  Viết phương trình hình chiếu đường thẳng d:  y = −2 + 3t mặt phẳng (Oxy), (Oyz), (Oxz), z = + t  mp(P): x + y + z – = Xét vị trí tương đối cặp đường thẳng 14 Chuẩn kiến thức Hình học 12 x −1 y − z − x − y +1 z + = = , d ': = = a) d : −2 x −1 y − z x y +8 = = , d ': = = z−4 b) d : −2 −2 x−2 y z +1 x−7 y−2 z = = , d ': = = c) d : −6 −8 −6 12  x = 9t  d) d :  y = 5t , d’ giao tuyến mp(P): 2x – 3y – 3z – =  z = −3 + t  mp(Q):x – 2y + z + = Xét vị trí tương đối đường thẳng mặt phẳng x − 12 y = = = z − ( α ) : 3x + 5y – z – = a) d : x +1 y − z = = b) d : (α ) : 3x – 3y + 2z – = x − y −1 z − = = c) d : ( α ) : x + 2y – 4z + = x + y −1 z +1 = = Tính khỏang cách từ M0(2 ; ; 1) đến đường thẳng ∆ : −2 x = t  Cho đường thẳng ∆ :  y = t mp(P): 2x + y – z + = Chứng tỏ ∆ //(P ) Tính khỏang cách từ ∆  z = + 3t  đến mp(P) Tính khỏang cách cặp đường thẳng x = + t  x = − 3t '   a) d :  y = −1 − t , d ':  y = −2 + 3t ' z =  z = 3t '   x −1 y + z − x + y −1 z +1 = = , d ': = = −2 −4 −2 Tìm góc cặp đường thẳng  x = + 2t x = − t '   a) d :  y = −1 + t , d ':  y = −1 + 3t '  z = + 4t  z = + 2t '   x + y −1 z − x −1 y + z + = = , d ': = = b) d : 1 Tính góc đường thẳng mặt phẳng  x = + 2t  a) d :  y = −1 + 3t , (α ) : x − y + z − = z = − t  x + y −1 z − = = , (α ) : x + y − z + = b) d : −2 10 a) Tìm tọa độ hình chiếu vng góc điểm M0(1 ; -1 ; 2) mặt phẳng (P): 2x – y + 2z + 12 = b) Cho ba điểm A(1 ; ; 2), B(-2 ; ; -1), C(2 ; -2 ; -1) Tìm tọa độ hình chiếu gốc tọa độ O mặt phẳng (ABC) 11 a) Tìm tọa độ hình chiếu điểm M0(4 ; -3 ; 2) đường thẳng b) d : 15 Chuẩn kiến thức Hình học 12 x+2 y+2 = = −z d: b) Cho ba điểm A(-1 ; ; 2), B(4 ; ; -3), C(5 ; -1 ; 4) Tìm tọa độ hình chiếu A đường thẳng BC 12 a) Tìm tọa độ điểm đối xứng điểm M0(2 ; -3 ; 1) qua mặt phẳng (P): 2x + 2y –z + =  x = + 2t  b) Tìm tọa độ điểm đối xứng điểm M0(2 ; -1 ; 1) qua đường thẳng d :  y = −1 − t  z = 2t  13 Viết phương trình đường vng góc chung cặp đường thẳng: x −2 y −3 z +4 x +1 y − z − d: = = , d ': = = −5 −2 −1 x=t   14 a) Cho đường thẳng d :  y = −1 − 2t hai mặt phẳng (P): x + 2y + 2z + = z = t  (P’) : x + 2y + 2z + = Viết phương trình mặt cầu tâm I thuộc d tiếp xúc với hai mặt phẳng (P) (P’) x y −1 z +1 = b) Cho đường thẳng d : = hai mặt phẳng (P): x + y – 2z + = 2 (P’): 2x – y + z + = Viết phương trình mặt cầu tâm I thuộc d tiếp xúc với (P) (P’)  x = + 2t x = + t'   15 Cho hai đường thẳng d :  y = −1 + t , d ':  y = t ' z = − t  z − −7 + 3t '   a) Chứng minh d d’ chéo vng góc b) Viết phương trình mp(P) qua d’ vng góc d Tìm tọa độ giao điểm d (P) 16 Cho mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 – 10x + 2y + 26z – 113 = hai đường thẳng  x = −7 + 3t x + y − z + 13  = = , d ':  y = −1 − 2t d: −3 z =  a) Viết phương trình mp(P) tiếp xúc với (S) vng góc với d b) Viết phương trình mặt phẳng (Q) tiếp xúc (S) song song với d , d’  x = −1 x −1 y +  = = z , d '  y = t Viết phương trình đường thẳng ∆ qua 17 Cho hai đường thẳng d : z = + t  M(0 ; ; 1) cho ∆ vng góc d ∆ cắt d’  x = t  x +1 y + z −  = = , d ':  y = −4 + t 18 Cho hai đường thẳng d : −2 −1   z = − t  a) Chứng minh d d’ chéo b) Tính khỏang cách d d’ c) Lập phương trình đường thẳng ∆ qua M(-4 ; -5 ; 3) cho ∆ cắt d d’ x +1 y −1 z − = = 19 Cho d : mp(P): x – y –z – = Lập phương trình đường thẳng ∆ qua A(1 ; ; -2) cho ∆ ⊥ d ∆ //(P ) 16 Chuẩn kiến thức Hình học 12 x −1 y +1 z x y+3 z +2 = = , d ': = = 20 Cho hai đường thẳng d : mp (P): x + y + z – = Lập −1 1 −1 phương trình đường thẳng ∆ cho ∆ ⊥ (P) ∆ cắt hai đường thẳng d d’ x y +1 z +1 = 21 Viết phương trình đường thẳng qua M(2 ; -1 ; 0) vuông góc cắt đường thẳng d : = −3 −3 x = t x y −1 z −  = 22 Cho điểm A(1 ; -1 ; 1) hai đường thẳng d :  y = −1 − 2t , d ': =  z = −3t  Chứng minh A, d, d’ thuộc mặt phẳng x y−2 z+4 x + y − z − 10 = , d ': = = 23 Ch hai đường thẳng d : = −1 2 −1 a) Viết phương trình đường thẳng ∆ song song với Ox cắt d M, cắt d’ N Tìm tọa độ M, N b) Cho A thuộc d, B thuộc d’, AB vng góc với d d’ Viết phương trình mặt cầu đường kính AB BÀI TẬP TỔNG HỢP 1/ Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(1; ; 0) mặt phẳng (P): x + y – 2z + = 1/ Viết phương trình mặt cầu tâm M tiếp xúc với mp(P) 2/ Viết phương trình đường thẳng (d) qua M vng góc với (P) Tìm tọa độ giao điểm 2/ Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(-1 ; ; 1) đường thẳng x −1 y z + = = (d): −1 1/ Viết phương trình mặt cầu tâm M tiếp xúc với (d) 2/ Viết phương trình mặt phẳng qua M vng góc với (d) Tìm tọa độ giao điểm 3/ Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(-1 ; ; 0), B(-3 ; ; 2), C(1 ; ; 3), D(0 ; ; - 2) 1/ Viết phương trình mặt phẳng (ABC) phương trình đường thẳng AD 2/ Tính diện tích tam giác ABC thể tích tứ diện ABCD 4/ Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(-2 ; ; 1), B(0 ; 10 ; 2), C(2 ; ; -1), D(5 ; ; -1) 1/ Viết phương trình mặt phẳng (P) qua ba điểm A, B, C viết phương trình đường thẳng qua D song song với AB 2/ Tính thể tích khối tứ diện ABCD, suy độ dài đường cao tứ diện vẽ từ đỉnh D  x = + 2t  5/ Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d:  y = + t mặt phẳng z = − t  (P): 2x + 2y + z = 1/ Tìm tọa độ giao điểm d (P).Tính góc giũa d (P) 2/ Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa d vng góc với (P)  x = + 2t  6/ Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d:  y = + t điểm A(-1 ; ; 2) z = − t  1/ Viết phương trình mặt phẳng chứa d điểm A 2/ Tìm điểm A’ đối xứng A qua d 7/ Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x + y – z – = điểm M(1, -2 ; 3) 1/ Viết phương trình mặt phẳng (Q) qua M song song với mp(P).Tính khỏang cách từ M đến mp(P) 2/ Tìm tọa độ hinh chiếu điểm M lên mp(P) 8/ Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai mặt phẳng (P): 3x – 2y + 2z – = 0, 17 Chuẩn kiến thức Hình học 12 (Q): 4x + 5y – z + = 1/ Tính góc hai mặt phẳng viết phương trình tham số giao tuyến hai mặt phẳng (P) (Q) 2/ Viết phương trình mặt phẳng (R) qua gốc tọa độ O vng góc với (P) (Q) 9/ Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm D(-3 ; ; 2) mặt phẳng (P) qua ba điểm A(1 ; ; 11), B(0 ; ; 10), C(1 ; ; 8) 1/ Viết phương trình đường thẳng AB phương trình mặt phẳng (P) 2/Viết phương trình mặt cầu tâm D, bán kính R = Chứng minh mặt cầu cắt mặt phẳng (P) 10/ Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x + 2y + z + = mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 – 2x – 4y + 4z = 1/ Tìm tâm bán kính mặt cầu (S) 2/ Viết phương trình mặt phẳng (Q) song song với (P) tiếp xúc với (S) Tìm tọa độ tiếp điểm 11/ Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm A(1 ; ; 0), B(0 ; ; 1), C(1 ; ; -4) 1/ Tìm tọa độ điểm D để ABCD hình bình hành tìm tọa độ tâm hình bình hành 2/ Viết phương trình đường thẳng (d) qua trọng tâm tam giác ABC vng góc với mp(ABC) x −1 y − z − = = 12/ Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d: , −2 −1 x = t  d’:  y = −1 − 5t  z = −1 − 3t  1/ Chứng minh d d’ chéo 2/ Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d song song với d’.Tính khỏang cách d d’ 13/ Trong không gian Oxyz, cho bốn điểm A(1 ; -2 ; 2), B(1 ; ; 0), C(0 ; ; 0), D(0 ; ; 3) 1/ Viết phương trình mặt phẳng (BCD) Suy ABCD tứ diện 2/ Tìm điểm A’ cho mp(BCD) mặt phẳng trung trực đọan AA’ x y −1 z +1 = 14/ Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d: = hai mặt phẳng 2 (P1): x + y – 2z + = 0, (P2): 2x – y + z + = 1/ Tính góc mp(P1) mp(P2), góc đường thẳng d mp(P1) 2/ Viết phương trình mặt cầu tâm I thuộc d tiếp xúc với mp(P1) mp(P2) 15/ Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,cho hai điểm A(2 ; ; 1), B(2 ; -1 ; 5) 1/ Viết phương trình mặt cầu (S) đường kính AB 2/ Tìm điểm M đường thẳng AB cho tam giác MOA vuông O 16/ Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 – 2x – 4y – 6z = hai điểm M(1 ; ; 1), N(2 ; -1 ; 5) 1/ Tìm tâm I bán kính R mặt cầu (S).Viết phương trình mặt phẳng (P) qua hình chiếu tâm I trục tọa độ 2/ Chứng tỏ đường thẳng MN cắt mặt cầu (S) hai điểm Tìm tọa độ giao điểm 17/ Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(3 ; ; -2), B(1 ; -2 ; 4) 1/ Viết phương trình đường thẳng AB phương trình mặt phẳng trung trực đọan AB 2/ Viết phương trình mặt cầu tâm A qua điểm B Tìm điểm đối xứng B qua A x −1 y + z − = = 18/ Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d:  x = −2 + 2t  d’:  y = + 3t  z = + 4t  1/ Chứng minh d song song với d’ Tính khỏang cách d d’ 18 Chuẩn kiến thức Hình học 12 2/ Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d d’ 19/ Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(2 ; -1 ; 3), mặt phẳng (P): 2x - y - 2z + = x −1 y − z = = đường thẳng d: −1 1/ Tìm tọa độ điểm A’ đối xứng A qua mp(P) 2/ Tìm tọa độ điểm M đường thẳng d cho khỏang cách từ M đến mp(P) 20/ Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1 ; ; 1), mp(P): x + y – z – = đường thẳng d: x − y z −1 = = 1 −1 1/ Tìm điểm A’ đối xứng A qua d 2/ Viết phương trình đường thẳng qua A, song song với mp(P) cắt d x y−4 z+2 = 21/ Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d: = mặt phẳng 2 (P):x + y – z – = 1/ Viết phương trình đường thẳng qua gốc tọa độ O song song với d 2/ Viết phương trình mặt phẳng (Q), biết (Q) song song với (P) cắt d điểm có hịanh độ x = x −1 y + z − = = 22/ ) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1: , −3 x − y − z −1 = = d2: −2 1/ Chứng tỏ d1 d2 nằm mặt phẳng (P) Viết phương trình mặt phẳng (P) 2/ Tìm tọa độ giao điểm M d1 d2 Viết phương trình mặt cầu tiếp xúc với (P) M có bán kính 429 23/ Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A, B có tọa độ xác định hệ thức → → → → OA = i − k , OB = −4 j − k mặt phẳng (P): 3x – 2y + 6z + = 1/ Tìm giao điểm M đường thẳng AB với mp(P) 2/ Viết phương trình hình chiếu vng góc AB mp (P)  x = + 2t  24/ Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d:  y = 2t mặt phẳng z = t  (P): x + 2y – 2z + = 1/ Viết phương trình đường thẳng qua gốc tọa độ O vng góc với d song song với (P) 2/ Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc d, tiếp xúc (P) có bán kính 19 ... trục hình trụ, cắt hình trụ theo thiết diện hình vng cạnh 2R a) Tính diện tích xung quanh diện tích tồn phần hình trụ b) Tính thể tích khối trụ c) Tính thể tích khối lăng trụ tứ giác nội tiếp hình. .. phẳng Tính thể tích tứ diện ABCD Chuẩn kiến thức Hình học 12 b) Tìm tọa độ trọng tâm tam giác ABC, trọng tâm tứ diện ABCD c) Tính diện tích mẳt tứ diện d) Tính độ dài đường cao khối tứ diện e) Tính... tiếp khối lăng trụ 9) Một khối tứ diện có cạnh a nội tiếp khối nón Tính thể tích khối nón 10) Một khối trụ gọi nội tiếp khối cầu hai đường tròn đáy khối trụ nằm mặt khối cầu a) Tính diện tích