Chng 2. i s BOOLE Trang 11 Chng 2 I S BOOLE 2.1. CÁC TIÊN  VÀ NH LÝ I S BOOLE Trong các mch s, các tín hiu thng c cho  2 mc n áp, ví d: 0V và 5V. Nhng linh kin n t dùng trong mch s làm vic  mt trong hai trng thái, ví d Transistor lng cc (BJT) làm vic  hai ch là tt hoc dn bão hoà… Do vy,  mô t các mch s ngi ta dùng  nh phân (binary), hai trng thái ca các linh kin trong mch sc mã hoá tng ng là 0 hoc 1. t b môn i s phát trin t cui th k 19 mang tên ngi sáng lp ra nó: i s Boole, còn c gi là i s logic, thích hp cho vic mô t mch s. i s Boole là công c toán hc quan trng  phân tích và thit k các mch s, c dùng làm chìa khoá i sâu vào mi lnh vc liên quan n k thut s. 2.1.1. Các tiên  ca i s Boole Cho mt tp hp B hu hn trong ó ta trang b các phép toán + (cng logic), x (nhân logic), - (bù logic/nghch o logic) và hai phn t 0 và 1 lp thành mt cu trúc i s Boole (c là Bun). ∀ x,y ∈ B thì: x+y ∈ B, x*y ∈ B và tha mãn 5 tiên  sau: 1. Tiên  giao hoán ∀x,y ∈ B: x + y = y + x 2. Tiên  phi hp ∀x,y,z ∈ B: (x+y)+z = x+(y+z) = x+y+z (x.y).z = x.(y.z) = x.y.z 3. Tiên  phân phi ∀x,y, z ∈ B: x.(y + z ) = x.y + x.z x + (y.z) = (x + y).(x + z) 4. Tiên  v phn t trung hòa Trong tp B tn ti hai phn t trung hòa là phn t n v và phn t không. Phn tn v ký hiu là 1, phn t không ký hiu là 0. ∀x ∈ B: x + 1 = 1 x . 1 = x x + 0 = x x . 0 = 0 5. Tiên  v phn t bù ∀ x ∈ B, bao gi cng tn ti phn t bù tng ng, ký hiu x , sao cho luôn tha mãn: x + x = 1 và x. x = 0 Bài ging K THUT S Trang 12 u B = B* = {0,1} (B* ch gm 2 phn t 0 và 1) và tha mãn 5 tiên  trên thì cng lp thành u trúc i s Boole nhng là cu trúc i s Boole nh nht. 2.1.2. Các nh lý c bn ca i s Boole 1. Vn i ngu trong i s Boole Hai mnh  (hai biu thc, hai nh lý) c gi là i ngu vi nhau nu trong mnh  này ngi ta thay phép toán cng thành phép toán nhân và ngc li, thay 0 bng 1 và ngc li, thì s suy ra c mnh  kia. Khi hai mnh i ngu vi nhau, nu 1 trong 2 mnh c chng minh là úng thì mnh  còn li là úng. Di ây là ví d v các cp mnh i ngu vi nhau. Ví d 2.1 : x.(y+z) = (x.y) + (x.z) x + (y.z) = (x+y).(x+z) Ví d 2.2 : x + x = 1 x. x = 0 2. Các nh lý a. nh lí 1 (nh lý v phn t bù là duy nht) ∀ x, y ∈ B, ta có: xy 0x.y 1yx =⇒ = = +      là duy nht (x và y là 2 phn t bù ca nhau) Phn t bù ca mt phn t bt k là duy nht. b. nh lí 2 (lý v sng nht ca phép cng và phép nhân logic) ∀x ∈ B, ta có: x + x +. . . . . + x = x x. x. x. . . . . . x = x c. nh lý 3 (nh lý v phnh hai ln) ∀x ∈ B, ta có: x = x d. nh lí 4 (nh lý De Morgan) ∀x, y, z ∈ B, ta có: zyx zyx =++ zyxx.y.z ++=  qu: ∀x, y, z ∈ B, ta có: x + y + z = zyx ++ = z.y.x x. y. z = x.y.z = zyx ++ e. nh lí 5 (nh lý dán) ∀ x, y ∈ B, ta có: x. ( x + y) = x.y x + ( x .y) = x + y Hai m nh  này là i ngu Hai m nh  này là i ngu Chng 2. i s BOOLE Trang 13 f. nh lí 6 (nh lý nut) ∀x, y ∈ B, ta có: x + x. y = x x.(x + y) = x g. nh lí 7 (Quy tc tính i vi hng) i 0, 1 ∈ B, ta có: 0 = 1 1 = 0 2.2. HÀM BOOLE VÀ CÁC PHNG PHÁP BIU DIN 2.2.1. Hàm Boole 1. nh ngha Hàm Boole là mt ánh x ti s Boole vào chính nó. Ngha là ∀ x, y ∈ B c gi là các bin Boole thì hàm Boole, ký hiu là f, c hình thành trên c s liên kt các bin Boole bng các phép toán + (cng logic), x / . (nhân logic), nghch o logic (-). Hàm Boole n gin nht là hàm Boole theo 1 bin Boole, c cho nh sau: f(x) = x, f(x) = x , f(x) = α (α là hng s ) Trong trng hp tng quát, ta có hàm Boole theo n bin Boole c ký hiu nh sau: f(x 1 , x 2 , , x n ) 2. Các tính cht ca hàm Boole u f(x 1 , x 2 , , x n ) là mt hàm Boole thì: - α.f(x 1 , x 2 , , x n ) cng là mt hàm Boole. - f (x 1 , x 2 , , x n ) cng là mt hàm Boole. u f 1 (x 1 , x 2 , , x n ) và f 2 (x 1 , x 2 , , x n ) là nhng hàm Boole thì: - f 1 (x 1 , x 2 , , x n ) + f 2 (x 1 , x 2 , , x n ) cng là mt hàm Boole. - f 1 (x 1 , x 2 , , x n ).f 2 (x 1 , x 2 , , x n ) cng là mt hàm Boole. y, mt hàm Boole f cng c hình thành trên c s liên kt các hàm Boole bng các phép toán + (cng logic), x (.) (nhân logic) hoc nghch o logic (-). 3. Giá tr ca hàm Boole Gi s f(x 1 , x 2 , , x n ) là mt hàm Boole theo n bin Boole. Trong f ngi ta thay các bin x i bng các giá tr c th α i ( n,1i = ) thì giá tr f ( α 1 , α 2 , , α n ) c gi là giá tr ca hàm Boole theo n bin. Ví d 2.3 : Xét hàm f(x 1 , x 2 ) = x 1 + x 2 Xét trong tp B = B* ={0,1, ta có các trng hp sau (lu ý ây là phép cng logic hay còn gi phép toán HOC / phép OR): - x 1 = 0, x 2 = 0 → f(0,0) = 0 + 0 = 0 Bài ging K THUT S Trang 14 - x 1 = 0, x 2 = 1 → f(0,1) = 0 + 1 = 1 - x 1 = 1, x 2 = 0 → f(1,0) = 1 + 0 = 1 - x 1 = 1, x 2 = 1 → f(1,1) = 1 + 1 = 1 Ta lp c bng giá tr ca hàm trên. Ví d 2.4 : Xét hàm cho bi biu thc sau: f(x 1 , x 2 , x 3 ) = x 1 + x 2 .x 3 Xét tp B = B* = {0,1}. Hoàn toàn tng t ta lp c bng giá tr ca hàm: x 1 x 2 x 3 f (x 1 , x 2 , x 3 ) = x 1 + x 2 .x 3 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 1 1 1 1 2.2.2. Các phng pháp biu din hàm Boole 1. Phng pháp biu din hàm bng bng giá tr ây là phng pháp thng dùng  biu din hàm s nói chung và cng c s dng  biu din các hàm logic. Phng pháp này gm mt bng c chia làm hai phn: - Mt phn dành cho bin  ghi các t hp giá tr có th có ca bin vào. - Mt phn dành cho hàm  ghi các giá tr ca hàm ra tng ng vi các t hp bin vào. Bng giá tr còn c gi là bng chân tr hay bng chân lý (TRUE TABLE). Nh vy vi mt hàm Boole n bin bng chân lý s có: - (n+1) t: n ct tng ng vi n bin vào, 1 ct tng ng vi giá tr ra ca hàm. - 2 n hàng: 2 n giá tr khác nhau ca t hp n bin. Ví d 2.5 : Hàm 3 bin f(x 1 , x 2 , x 3 ) có thc cho bng bng giá tr nh sau: x 1 x 2 x 3 f (x 1 , x 2 , x 3 ) 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 1 1 1 1 Trong các ví d 2.3 và 2.4 chúng ta cng ã quen thuc vi phng pháp biu din hàm bng ng giá tr. x 1 x 2 f(x 1 , x 2 ) = x 1 + x 2 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 Chng 2. i s BOOLE Trang 15 2. Phng pháp gii tích ây là phng pháp biu din hàm logic bng các biu thc i s. Phng pháp này có 2 dng: ng ca các tích s hoc tích ca các tng s. ng tng ca các tích s gi là dng chính tc th nht (Dng chính tc 1). ng tích ca các tng s gi là dng chính tc th hai (Dng chính tc 2). Hai dng chính tc này là i ngu nhau. ng tng các tích s còn gi là dng chun tc tuyn (CTT), dng tích các tng s còn gi là ng chun tc hi (CTH). a. Dng chính tc 1(Dng tng ca các tích s) Xét các hàm Boole mt bin n gin: f(x) = x, f(x) = x , f(x) = α (α là hng s). ây là nhng trng hp có th có i vi hàm Boole 1 bin. Chúng ta si chng minh biu thc tng quát ca hàm logic 1 bin si vi dng chính tc 1. Sau ó áp dng biu thc tng quát ca hàm 1 bin  tìm biu thc tng quát ca hàm 2 bin vi vic xem 1 bin là hng s. Cui cùng, chúng ta suy ra biu thc tng quát ca hàm logic n bin cho trng hp dng chính tc 1 (tng các tích s). Xét f(x) = x: Ta có: x =0. x + 1.x t khác: ( ) () ( )    = = ⇒= 00f 11f xxf Suy ra: f(x) = x có th biu din: f(x) = x = f(0). x + f (1).x trong ó: f (0), f (1) c gi là các giá tr ca hàm Boole theo mt bin. Xét f(x) = x : Ta có: x = 1. x + 0. x t khác: ( ) ( ) ( )    = = ⇒= 10f 01f xxf Suy ra: f(x) = x có th biu din: f(x) = x = f(0). x + f(1).x Xét f(x) = α ( α là hng s): Ta có: α = α .1 = α .(x + x ) = α . x + α .x t khác: ( ) ( ) ( )    = = ⇒= 0f 1f xf Suy ra f(x) = α có th biu din: f(x) = α = f(0). x + f(1).x t lun : Dù f(x) = x, f(x) = x hay f(x) = α, ta u có biu thc tng quát ca hàm mt bin vit theo dng chính tc th nht nh sau: Bài ging K THUT S Trang 16 f(x) = f(0). x + f(1).x y f(x) = f(0). x + f(1).x, trong ó f(0), f(1) là giá tr ca hàm Boole theo mt bin, c gi là biu thc tng quát ca hàm 1 bin vit  ng chính tc th nht (dng tng ca các tích). Biu thc tng quát ca hàm hai bin f(x 1 , x 2 ) : Biu thc tng quát ca hàm 2 bin vit theo dng chính tc th nht cng hoàn toàn da trên cách biu din ca dng chính tc th nht ca hàm 1 bin, trong ó xem mt bin là hng s.  th là: nu xem x 2 là hng s, x 1 là bin s và áp dng biu thc tng quát ca dng chính tc th nht cho hàm 1 bin, ta có: f(x 1 ,x 2 ) = f(0,x 2 ). x 1 + f(1,x 2 ).x 1 Bây gi, các hàm f(0,x 2 ) và f(1,x 2 ) tr thành các hàm 1 bin s theo x 2 . Tip tc áp dng biu thc tng quát ca dng chính tc th nht cho hàm 1 bin, ta có: f(0,x 2 ) = f(0,0). x 2 + f(0,1).x 2 f(1,x 2 ) = f(1,0). x 2 + f(1,1).x 2 Suy ra: f(x 1 ,x 2 ) = f(0,0). x 1 x 2 + f(0,1). x 1 x 2 + f(1,0).x 1 x 2 + f(1,1).x 1 x 2 ây chính là biu thc tng quát ca dng chính tc th nht (dng tng ca các tích s) vit cho hàm Boole hai bin s f(x 1 ,x 2 ). Biu thc tng quát này có th biu din bng công thc sau: f(x 1 ,x 2 ) = 2  2 1  12 1 0e 1 x)x,f( 2 2 ∑ − = Trong ó e là s thp phân tng ng vi mã nh phân (α 1 ,α 2 ) và: x 1 nu α 1 = 1 x 1 nu α 1 = 0 x 2 nu α 2 = 1 x 2 nu α 2 = 0 Biu thc tng quát cho hàm Boole n bin : T biu thc tng quát vit  dng chính tc th nht ca hàm Boole 2 bin, ta có th tng quát hoá cho hàm Boole n bin f(x 1 ,x 2 , ,x n ) nh sau: f(x 1 ,x 2 , ,x n ) = n n 2 21 xx)x, ,,f( n2 1 n 2 0e 1    1  ∑ − = trong ó e là s thp phân tng ng vi mã nh phân ( α 1 , α 2 , , α n ); và: x i nu α i = 1 x i nu α i = 0 (vi i = 1, 2, 3,…,n) 1 1 x  = 2 2 x  = i i  x = Chng 2. i s BOOLE Trang 17 Ví d 2.6: Vit biu thc ca hàm 3 bin theo dng chính tc 1: f(x 1 ,x 2 ,x 3 ) = ∑ − = 12 0e 3 f (α 1 ,α 2 ,α 3 ).x 1 α1 .x 2 α2 .x 3 α3 ng di ây cho ta giá tr ca s thp phân e và t hp mã nh phân (α 1 ,α 2 ,α 3 ) tng ng: e α 1 α 2 α 3 0 0 0 0 1 0 0 1 2 0 1 0 3 0 1 1 4 1 0 0 5 1 0 1 6 1 1 0 7 1 1 1 Biu thc ca hàm 3 bin vit theo dng tng các tích nh sau: f(x 1 , x 2 , x 3 ) = f(0,0,0) x 1 x 2 x 3 + f(0,0,1) x 1 x 2 x 3 + f(0,1,0) x 1 x 2 x 3 + f(0,1,1) x 1 x 2 x 3 + f(1,0,0) x 1 x 2 x 3 + f(1,0,1)x 1 x 2 x 3 + f(1,1,0) x 1 x 2 x 3 + f(1,1,1) x 1 x 2 x 3 Vy dng chính tc th nht là dng tng ca các tích s mà trong mi tích s cha y  các bin Boole di dng tht hoc dng bù (nghch o). b. Dng chính tc 2 (tích ca các tng s): ng chính tc 2 là dng i ngu ca dng chính tc 1 nên biu thc tng quát ca dng chính tc 2 cho n bin c vit nh sau: f(x 1 , x 2 , , x n ) = ∏ − = 12 0e n [f(α 1 ,α 2 ,α 3 ) + x 1 α1 + x 2 α2 + + x n αn )] trong ó e là s thp phân tng ng vi mã nh phân (α 1 ,α 2 , ,α n ); và: x i nu α i = 1 x i nu α i = 0 (vi i = 1, 2, 3,…,n) Ví d 2.7: Biu thc ca hàm Boole 2 bin  dng tích các tng s (dng chính tc 2) c vit nh sau: f(x 1 ,x 2 )=[f(0,0)+x 1 +x 2 ][f(0,1)+x 1 + x 2 ][f(1,0)+ x 1 +x 2 ][f(1,1)+ x 1 + x 2 ] Ví d 2.8 : Biu thc ca hàm Boole 3 bin  dng chính tc 2: f(x 1 ,x 2 ,x 3 ) = [f(0,0,0)+x 1 + x 2 +x 3 ].[f(0,0,1)+x 1 +x 2 + x 3 ]. [f(0,1,0)+x 1 + x 2 +x 3 ].[f(0,1,1)+x 1 + x 2 + x 3 ]. [f(1,0,0)+ x 1 +x 2 +x 3 ].[f(1,0,1)+ x 1 +x 2 + x 3 ]. [f(1,1,0)+ x 1 + x 2 +x 3 ].[f(1,1,1)+ x 1 + x 2 + x 3 ] i i x  = Bài ging K THUT S Trang 18 Vy, dng chính tc th hai là dng tích ca các tng s mà trong ó mi tng s này cha y  các bin Boole di dng tht hoc dng bù. Ví d 2.9: Hãy vit biu thc biu din cho hàm Boole 2 bin f(x 1 ,x 2 )  dng chính tc 1, vi bng giá tr a hàm c cho nh sau: x 1 x 2 f(x 1 ,x 2 ) 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 Vit di dng chính tc 1 ta có: f(x 1 ,x 2 ) = f(0,0). x 1 x 2 + f(0,1). x 1 .x 2 + f(1,0).x 1 . x 2 + f(1,1).x 1 .x 2 = 0. x 1 x 2 + 1. x 1 .x 2 + 1.x 1 . x 2 + 1.x 1 .x 2 = x 1 .x 2 + x 1 . x 2 + x 1 .x 2 Nhn xét: • Dng chính tc th nht, tng ca các tích s, là dng lit kê tt c các t hp nh phân các bin vào sao cho tng ng vi nhng t hp ó giá tr ca hàm ra bng 1 → ch cn lit kê nhng t hp bin làm cho giá tr hàm ra bng 1. • Khi lit kê nu bin tng ng bng 1 c vit  dng tht (x i ), nu bin tng ng bng 0 c vit  dng bù ( x i ). Ví d 2.10 : Vit biu thc biu din hàm f(x 1 ,x 2 ,x 3 )  dng chính tc 2 vi bng giá tr ca hàm ra c cho nh sau: x 3 x 2 x 1 f(x 1 ,x 2, x 3 ) 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 Vit di dng chính tc 2 (tích các tng s): f(x 1 ,x 2 ,x 3 ) = (0+x 1 +x 2 +x 3 ).(0+x 1 +x 2 + x 3 ).(0+x 1 + x 2 +x 3 ). (1+x 1 + x 2 + x 3 ).(1+ x 1 +x 2 +x 3 ).(1+ x 1 +x 2 + x 3 ). (1+ x 1 + x 2 +x 3 ).(1+ x 1 + x 2 + x 3 ) Chng 2. i s BOOLE Trang 19 Áp dng tiên  v phn t trung hòa 0 và 1 ta có: x + 1 = 1, x . 1 = x x + 0 = x, x . 0 = 0 nên suy ra biu thc trên có th vit gn li: f(x 1 ,x 2 ,x 3 ) = (x 1 +x 2 +x 3 ).(x 1 +x 2 + x 3 ).(x 1 + x 2 +x 3 ) Nhn xét: • Dng chính tc th hai là dng lit kê tt c các t hp nh phân các bin vào sao cho ng ng vi nhng t hp ó giá tr ca hàm ra bng 0 → ch cn lit kê nhng t hp bin làm cho giá tr hàm ra bng 0. • Khi lit kê nu bin tng ng bng 0 c vit  dng tht (x i ), nu bin tng ng bng 1 c vit  dng bù ( x i ). Ví dn gin sau giúp SV hiu rõ hn v cách thành lp bng giá tr ca hàm, tìm hàm mch và thit k mch. Ví d 2.11 Hãy thit k mch n sao cho khi công tc 1 óng thì èn , khi công tc 2 óng èn , khi  hai công tc óng èn  ? i gii: u tiên, ta qui nh trng thái ca các công tc và bóng èn: - Công tc h : 0 èn tt : 0 - Công tc óng : 1 èn  : 1 ng trng thái mô t hot ng ca mch nh sau: Công tc 1 Công tc 2 Trng thái èn x 1 x 2 f(x 1 ,x 2 ) 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1  bng trng thái có th vit biu thc ca hàm f(x 1 ,x 2 ) theo dng chính tc 1 hoc chính tc 2. - Theo dng chính tc 1 ta có: f(x 1 , x 2 ) = x 1 .x 2 + x 1 . x 2 + x 1 .x 2 = x 1 .x 2 + x 1 ( x 2 + x 2 ) = x 1 .x 2 + x 1 = x 1 + x 2 - Theo dng chính tc 2 ta có: f(x 1 , x 2 ) = (0+x 1 +x 2 ) = x 1 + x 2 T biu thc mô t trng thái /tt ca èn f(x 1 ,x 2 ) thy rng có th thc hin mch bng phn  logic HOC có 2 ngõ vào (cng OR 2 ngõ vào). Bài tp áp dng: Mt hi ng giám kho gm 3 thành viên. Mi thành viên có th la chn NG Ý hoc KHÔNG NG Ý. Kt qu gi là T khi a s các thành viên trong hi ng giám kho NG Ý, ngc li là KHÔNG T. Hãy thit k mch gii quyt bài toán trên. Bài ging K THUT S Trang 20 3. Biu din hàm bng bng Karnaugh (bìa Karnaugh) ây là cách biu din li ca phng pháp bng di dng bng gm các ô vuông nh hình bên. Trên bng này ngi ta b trí các bin vào theo hàng hoc theo ct ca ng. Trong trng hp s lng bin vào là chn, ngi ta b trí s lng bin vào theo hàng ngang bng s lng bin vào theo ct dc ca bng. Trong trng hp s lng bin vào là l, ngi ta b trí s lng bin vào theo hàng ngang nhiu hn s lng bin vào theo ct dc 1 bin hoc ngc li. Các t hp giá tr ca bin vào theo hàng ngang hoc theo ct dc ca bng c b trí sao cho khi ta i t mt ô sang mt ô lân cn vi nó ch làm thay i mt giá tr ca bin , nh vy th t  trí hay sp xp các t hp giá tr ca bin vào theo hàng ngang hoc theo ct dc ca bng Karnaugh hoàn toàn tuân th theo mã Gray. Giá tr ghi trong mi ô vuông này chính là giá tr ca hàm ra tng ng vi các t hp giá tr ca bin vào.  nhng ô mà giá tr hàm là không xác nh (có th bng 0 hay bng 1), có ngha là giá tr a hàm là tùy ý (hay tùy nh), ngi ta kí hiu bng ch X. u hàm có n bin vào s có 2 n ô vuông . Phng pháp biu din hàm bng bng Karnaugh ch thích hp cho hàm có ti a 6 bin, nu t quá vic biu din s rt rc ri. i ây là bng Karnaugh cho các trng hp hàm 2 bin, 3 bin, 4 bin và 5 bin: 2.3. TI THIU HÓA HÀM BOOLE 2.3.1. i cng Trong thit b máy tính ngi ta thng thit k gm nhiu modul (khâu) và mi modul này c c trng bng mt phng trình logic. Trong ó, mc  phc tp ca s tùy thuc vào phng trình logic biu din chúng. Vic t c  n nh cao hay không là tùy thuc vào phng trình logic biu din chúng  dng ti thiu hóa hay cha.  thc hin c u ó, khi thit k mch s ngi ta t ra vn  ti thiu hóa các hàm logic. u ó có ngha là phng f(x 1 ,x 2 ) x 1 x 2 0 1 0 1 f x 1 x 2 x 3 0 1 00 011110 f x 1 x 2 x 3 x 4 00 01 11 10 00 011110 f x 2 x 3 x 4 x 5 00 01 11 10 0001 1110 1011 0100 x 1 =0 x 1 =1 [...]... 0→1) Vì x1=0 và x2=0 nên k t qu c a vòng gom 2 theo d ng chính t c 2 s có x1 và x2 d ng th t: x1+x2 f(x 1,x 2, x3) Vòng gom 1: x 1 + x 3 x1,x 2 x3 00 01 11 10 0 1 0 0 0 1 1 1 1 1 Vòng gom 2: x1 + x 2 t h p 2 vòng gom có k t qu c a hàm f vi t theo d ng chính t c 2 nh sau: f (x1,x2,x3) = (x1+x3).(x1+x2) = x1.x1 + x1.x2 + x1.x3 + x2.x3 = x1 + x1.x2 + x1.x3 + x2.x3 = x1(1+ x2 + x3) + x2.x3 = x1 + x2.x3 Nh n... + x1 x 2 = x2 + x1 x 2 = x2 + x1 Ví d 2. 13 T i thi u hoá hàm 3 bi n sau f(x1,x2,x3) = x 1x2x3 + x1 x 2 x 3 + x1 x 2x3 + x1x2 x 3 + x1x2x3 , nh lý, Bài gi ng K THU T S Trang 22 = x 1x2x3 + x1 x 2 x 3 + x1 x 2x3 + x1x2 ( x 3 + x3) = x 1x2x3 + x1 x 2( x 3 + x3) + x1x2 = x 1x2x3 + x1( x 2 + x2) = x 1x2x3 + x1 = x1 + x2 x3 Ví d 2. 14 Rút g n bi u th c: f = AB + C + AC + B Áp d ng nh lý De Morgan ta có: f... pháp i di n cho 2 nhóm: • Ph ng pháp bi n i i s (nhóm bi n i i s ) • Ph ng pháp ng Karnaugh (nhóm thu t toán) 1 Ph ng pháp bi n ây là ph tính ch t c a i is ng pháp t i thi u hóa hàm Boole (ph i s Boole ng trình logic) d a vào các tiên Ví d 2. 12 T i thi u hoá hàm f(x1,x2) = x 1x2 + x1 x 2 + x1x2 f(x1,x2) = x 1x2 + x1 x 2 + x1x2 = ( x 1 + x1).x2 + x1 x 2 = x2 + x1 x 2 = x2 + x1 Ví d 2. 13 T i thi u hoá... i vòng gom 2: Có 2 ô = 21 nên s lo i c 1 bi n Khi i vòng qua 2 ô k c n trong vòng gom giá tr c a bi n x2 và x3 không i, còn giá tr c a bi n x1 thay i (t 0→1) nên các bi n x2 và x3 c gi l i, ch có bi n x1 b lo i Vì x2=1 và x3=1 nên k t qu c a vòng gom 2 theo d ng chính c 1 s có x2 và x3 vi t d ng th t: x2.x3 t h p 2 vòng gom ta có k t qu t i gi n theo chính t c 1: f(x 1,x2,x 3) = x 1 + x2.x 3 Bài gi... bi n vào có giá tr là 0, 1, 2 ng chính t c 2: Tích các t ng s Ph ng trình trên c ng t ng ng v i cách cho hàm nh sau: f(x1,x2,x3) = Π (0, 1, 2) + d(5, 6) Ch ng 2 Ví d 2. 17: i s BOOLE Trang 25 T i thi u hóa hàm 4 bi n cho d f(x1,x2,x3,x4) = Σ (2, 6,10,11, 12, 13) + d(0,1,4,7,8,9,14,15) f(x1,x 2, x3,x4) x4x 3 x 2x1 00 00 01 11 10 i d ng bi u th c sau: X X 0 1 01 X 0 X 1 11 1 1 X X 10 X X 1 1 f(x1,x 2, x3,x4)... 0 Ví d 2. 15: c bi t: u b ng 1 và tu nh (X) ngh a là t t c các ô uk c n u b ng 0 và tu nh (X) ngh a là t t c các ô uk c n T i thi u hóa hàm sau f(x1,x2) x1 x2 0 1 0 0 1 1 1 1 i thi u hoá theo chính t c 2: f(x 1,x 2) = x 1 + x 2 Ví d 2. 16: f(x 1,x2,x3) x ,x x3 1 2 00 0 1 0 0 Vòng gom 1: x1 01 0 1 11 1 1 10 1 1 Vòng gom 2: x2.x3 i thi u theo chính t c 1: Ta ch quan tâm n nh ng ô có giá tr b ng 1 và tùy... ng K THU T S Trang 24 i thi u theo chính t c 2: Ta quan tâm n nh ng ô có giá tr b ng 0 và tùy nh (X), nh v y ng có 2 vòng gom (hình v ), m i vòng gom u g m 2 ô k c n i v i vòng gom 1: Có 2 ô = 21 nên lo i c 1 bi n, bi n b lo i là x2 (vì có giá tr thay i t 0→1) Vì x1=0 và x3=0 nên k t qu c a vòng gom 1 theo d ng chính t c 2 s có x1 và x3 d ng th t: x1+ x3 i v i vòng gom 2: Có 2 ô = 21 nên lo i c 1 bi... tr b ng 1 và tùy nh (X), nh y s có 2 vòng gom ph h t các ô có giá tr b ng 1: vòng gom 1 g m 4 ô k c n, và vòng gom 2 g m 2 ô k c n (hình v ) i v i vòng gom 1: Có 4 ô = 2 2 nên lo i c 2 bi n Khi i vòng qua 4 ô k c n trong vòng gom ch có giá tr c a bi n x1 không i (luôn b ng 1), còn giá tr c a bi n x2 thay i (t 1→0) và giá tr c a bi n x3 thay i (t 0→1) nên các bi n x2 và x3 b lo i, ch còn l i bi n x1 trong... chính t c 1 và hàm ra vi t theo d ng chính t c 2 là gi ng nhau Tuy nhiên có tr ng h p hàm ra c a hai d ng chính t c 1 và 2 là khác nhau, nh ng giá tr c a hàm ra ng v i m t t h p bi n u vào là duy nh t trong c 2 d ng chính t c Chú ý: Ng i ta th ng cho hàm Boole d i d ng bi u th c rút g n Vì có 2 cách bi u di n hàm Boole theo d ng chính t c 1 ho c 2 nên s có 2 cách cho giá tr c a hàm Boole ng v i 2 d ng chính... không ph i lúc nào c ng 2. 3 .2 Các b • • t c l i gi i t i u cho bài toán t i thi u hóa c ti n hành t i thi u hóa Dùng các phép t i thi u t i thi u hóa các hàm s logic Rút ra nh ng th a s chung nh m m c ích t i thi u hóa thêm m t b trình logic 2. 3.3 Các ph c n a các ph ng ng pháp t i thi u hóa Có nhi u ph ng pháp th c hi n t i thi u hoá hàm Boole và có th a v 2 nhóm là bi n i i s và dùng thu t toán Ph . THUT S Trang 22 = x 1 x 2 x 3 + x 1 x 2 x 3 + x 1 x 2 x 3 + x 1 x 2 ( x 3 + x 3 ) = x 1 x 2 x 3 + x 1 x 2 ( x 3 + x 3 ) + x 1 x 2 = x 1 x 2 x 3 + x 1 ( x 2 + x 2 ) = x 1 x 2 x 3 + x 1 =. (phng trình logic) da vào các tiên , nh lý, tính cht ca i s Boole. Ví d 2. 12 Ti thiu hoá hàm f(x 1 ,x 2 ) = x 1 x 2 + x 1 x 2 + x 1 x 2 f(x 1 ,x 2 ) = x 1 x 2 + x 1 x 2 + x 1 x 2 =. ( x 1 + x 1 ).x 2 + x 1 x 2 = x 2 + x 1 x 2 = x 2 + x 1 Ví d 2. 13 Ti thiu hoá hàm 3 bin sau f(x 1 ,x 2 ,x 3 ) = x 1 x 2 x 3 + x 1 x 2 x 3 + x 1 x 2 x 3 + x 1 x 2 x 3 + x 1 x 2 x 3 Bài ging