1 TRƯỜNGTHPTCHUYÊNLƯƠNGVĂNCHÁNH TỔTOÁN ĐỀTHITH ỬĐẠIHỌCNĂM2010 MÔNTOÁN –KHỐIA (Thời gianlàm bài:180phút) PHẦNCHUNGCHOTẤTCẢTHÍSINH(7,0điểm) Câu I.(2,0 điểm) Chohàmsố 2 2 x y x = + 1. Khảosátsựbiếnthiênvàvẽđồthị(C)củahàmsốđãcho. 2. Viếtphươngtrìnhtiếptuyếncủađồthị(C),biếtrằngkhoảngcáchtừtâm đốixứngcủađồthị(C)đếntiếptuyếnlàlớnnhất. Câu II.(2,0điểm) 1. Giải phươngtrình: 2 4 os 2 tan 2 .tan 2 4 4 tan cotx c x x x x p p æ ö æ ö - + = ç ÷ ç ÷ è ø è ø 2. Giảihệphươngtrình: 2 2 2 2 3 2 1 1 4 22 y x y x x x y y ì + = ï + - ï í ï + + = ï î CâuIII.(1,0điểm) Tính tích phân 8 3 ln 1 x I dx x = + ò Câu IV. (1,0điểm) ChohìnhchóptứgiácđềuS.ABCDcóđộdàicạnhđáybằnga,mặtbêntạovới mặtđáygóc60 0 .Mặtphẳng(P)chứaABvàđiquatrọngtâmtamgiácSACcắt SC,SDlầnlượttạiM,N.TínhthểtíchhìnhchópS.ABMNtheoa. Câu V.(1,0điểm) Chocácsốthựca,b,cthỏamãn:0 1,0 1,0 1a b c < £ < £ < £ .Chứng minhrằng: ( ) 1 1 1 1 1 3a b c abc a b c æ ö + + + ³ + + + ç ÷ è ø PHẦNRIÊNG(3,0điểm) Thísinhchỉđượclàmmộttronghaiphần(phần1hoặcphần2) 1.TheochươngtrìnhChuẩn: Câu VI. a (2,0điểm) 1. TrongmặtphẳngOxychotamgiácABCcó ( ) 3;6A - ,trựctâm ( ) 2;1H , trọngtâm 4 7 ; 3 3 G æ ö ç ÷ è ø .XácđịnhtoạđộcácđỉnhBvàC. 2. Trongkhônggianvới hệtoạđộOxyz,chomặtphẳng ( ) a  vàmặtcầu (S)có phươngtrình ( ) : 2 2 3 0x y z a - + - = và ( ) 2 2 2 : 2 4 8 4 0S x y z x y z + + - + - - = . 2 Xétvị trí tương đối củamặtcầu (S)vàmặtphẳng ( ) a  .Viếtphươngtrình mặtcầu (S’)đốixứngvớimặtcầu (S)quamặtphẳng ( ) a  . Câu VII.a (1,0điểm) Độidựtuyểnbóngbàncó10nữ,7nam,trongđócódanhthủnamlàVũMạnh CườngvàdanhthủnữlàNgôThuThủy.Ngườitacầnlậpmộtđộituyểnbóng bànquốcgiatừđộidựtuyểnnóitrên.Độituyểnquốcgiabaogồm3nữvà4 nam.Hỏicóbaonhiêucáchlậpđộituyểnquốcgiasaochotrongđộituyểncó mặtchỉmộttronghaidanhthủtrên. 2.TheochươngtrìnhNângcao: Câu VI. b(2,0điểm) 1. Trong mặtphẳng với hệtoạđộOxy,chotamgiác ABCcóđỉnhAthuộc đường thẳng d: x – 4y– 2= 0, cạnh BCsong song với d, phươngtrình đường caoBH:x+y+3=0vàtrung điểmcủacạnhAClàM(1;1).Tìm toạ độcácđỉnhA,B,C. 2. Trongkhônggianvới hệtoạđộOxyz,chohình thangcânABCDvới ( ) ( ) ( ) 3; 1; 2 , 1;5;1 , 2;3;3A B C - - ,trong đóABlàđáylớn,CDlàđáy nhỏ (CD<AB).Tìm toạđộđiểm D. Câu VII.b (1,0điểm) Giảihệphươngtrình: 3 1 2 3 2 2 2 3.2 3 1 1 x y y x x xy x + - + ì + = ï í + + = + ï î  Hết 3 TRƯỜNGTHPTCHUYÊNLƯƠNGVĂNCHÁNH TỔTOÁN ĐỀTHITH ỬĐẠIHỌCNĂM2010 MÔNTOÁN –KHỐIA (Thời gianlàm bài:180phút) ĐÁPÁN THANGĐIỂM Câu Đápán Điểm I 2,00 Khảosátsựbiếnthiênvàvẽđồthị(C)củahàmsố(1,00điểm) 2 2 x y x = + TậpxácđịnhTXĐ: { } \ 2D R = Sựbiếnthiên ( ) 2 4 ' 0 x D 2 y x = > " Î + Hàmsốđồngbiếntrên ( ) ; 2 -¥ - và ( ) 2; - +¥ 0,25 Bảngbiếnthiên x –¥ –2+¥ y’ ++ y +¥ 2 2 –¥ 0,25 Tiệmcận:Tiệmcậnđứngx=2;tiệmcậnngangy=2 Đồthịnhậngiaođiểm ( ) 2;2I - củahaiđườngtiệmcậnlàmtâmđốixứng 0,25 1 Đồthị: 0,25 2 Viếtphươngtrìnhtiếptuyến(1,00điểm) y xO –2 2 6 4 Tiptuyncath(C)tiimMcúhonh 2a ạ - thucth(C) cúphngtrỡnh: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 4 2 4 2 2 0 2 2 a y x a x a y a d a a = - + - + + = + + Tõmixng ( ) 22I - .Tacú ( ) ( ) ( ) 4 2 8 2 8 2 8 2 , 2 2 2 2 2 16 2 2.4. 2 a a a d I d a a a + + + = Ê = = + + + + 0,25 0,25 ( ) ,d I d lnnhtkhi ( ) 2 0 2 4 4 a a a = ộ + = ờ = - ở Túsuyracúhaitiptuyny=xvy=x+8 0,50 II 2,00 1 Giiphngtrỡnhlnggiỏc(1,00im) iukin ( ) os 2 0 os 2 0 * 4 4 sin 2 0t anxcotx 0 c x c x x p p ỡ ổ ử ổ ử - ạ + ạ ù ỗ ữ ỗ ữ ố ứ ố ứ ớ ù ạ ạ ợ ýrng tan 2 .tan 2 tan 2 .tan 2 4 4 4 4 cot 2 .tan 2 1 4 4 x x x x x x p p p p p p ổ ử ổ ử ổ ử ổ ử - + = - - + = ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ ố ứ ố ứ ố ứ ố ứ ổ ử ổ ử - + + = - ỗ ữ ỗ ữ ố ứ ố ứ 0,25 KhiúPT(1)trthnh: 2 2 4 os 2 1 cotxtanx=4cos 2 t anxcotx c x x - = ( ) 2 2 2 2 1 tan 1 2 4 =4 tan 2 1 0 t anx 1+tan 2 tan 2 1 tan 2 x x x x x - = - = + 0,5 ( ) tan 2 1 2 4 8 2 x x m x k k p p p p = = + = + ẻZ :Khụngthoiu kin(*). Vyphngtrỡnh óchovụnghim. 0,25 2 Giihphngtrỡnh(1,00im) iukin: 2 2 0, 0, 1 0x y x y ạ ạ + - ạ t 2 2 1 x u x y v y = + - = . 0,25 5 HPTtrthnh: ( ) ( ) 3 2 3 2 1 1 1 21 4 2 1 4 22 u v u v u v u v ỡ ỡ + = + = ù ù ớ ớ ù ù = - + + = ợ ợ Thay(2)vo(1)tac: 2 3 3 2 1 2 13 21 0 7 21 4 2 v v v v v v = ộ ờ + = - + = ờ - = ở 0,25 Nuv=3thỡu=9,tacúHPT: 2 2 2 2 1 9 1 10 3 3 3 x y y x y x x x y y ỡ + - = = ỡ + = ỡ ù ớ ớ ớ = = = ợ ợ ù ợ 0,25 Nu 7 2 v = thỡu=7,tacúHPT: 2 2 2 2 2 41 7 8 53 7 7 2 2 14 2 53 yx y x y x x y y x ỡ ỡ = + - = ỡ + = ù ù ù ù ớ ớ ớ = = ù ù ù = ợ ợ ù ợ Sosỏnh iukintac4nghimcaHPT. 0,25 III Tớnhtớchphõn 1,00 t ln 2 1 1 dx u x du x dx dv v x x = ỡ ỡ = ù ù ị ớ ớ = ù ù = + + ợ ợ 0,25 ( ) 8 8 3 3 1 2 1ln 2 6ln8 4ln3 2 x I x x dx J x + ị = + - = - - ũ 0,25 Vi 8 3 1x J dx x + = ũ t 3 3 3 2 2 2 2 2 2 1 1 1 .2 2 2 1 1 1 1 t t t x J tdt dt dt t t t t ổ ử = + ị = = = + - ỗ ữ - - - + ố ứ ũ ũ ũ 0,25 8 3 1 2 ln 2 ln3 ln2 1 t t t ổ - ử = + = + - ỗ ữ + ố ứ Tú 20ln2 6ln3 4I = - - 0,25 IV TớnhthtớchhỡnhchúpS.ABMN 1,00 6 KẻSOvuônggócvới(ABCD)thìOlàgiaođiểmcủaACvàBD. GọiI,JlầnlượtlàtrungđiểmcủaABvàCD;Glàtrọngtâm DSAC Gócgiữamặtbên(SCD)vàđáy(ABCD)là ¶ 0 60SJI = 0,25 Vì DSIJđềucạnhanênGcũnglàtrọngtâmDSIJ IGcắtSJtạiKlàtrungđiểmcủaSJ;M,NlàtrungđiểmcủaSC,SD 0,25 2 3 1 3 3 ; ( ) 2 2 8 ABMN a a IK S AB MN IK = = + = 0,25 3 1 3 ( ); . 2 3 16 ABMN a a SK ABMN SK V S SK ^ = Þ = = (đvtt) 0,25 V Chứngminhbấtđẳngthức 1,00 Vì0 1,0 1a b < £ < £ nên ( )( ) 1 1 0 1 0a b ab a b - - ³ Þ - - + ³ 1 a b ab Þ ³ + - ( ) 1 1 1 1 1 ab a b Þ ³ + - 0,25 Chứngminhtươngtự: ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 1 2 , 1 3 bc b c ca c a ³ + - ³ + - CộngcácBĐT(1),(2),(3)vếtheovế: ( ) 1 1 1 1 1 1 2 3 4 ab bc ca a b c æ ö + + ³ + + - ç ÷ è ø 0,25 SửdụngBĐT(4)vàBĐTCauchytacó: ( ) 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3a b c a b c a b c abc ab bc ca a b c æ ö æ ö + + + = + + + + + ³ + + + + + - ç ÷ ç ÷ è ø è ø 0,25 S N D I O C G A B K M 60 0 J 7 ( ) 1 1 1 1 1 1 2 3a b c a b c a b c æ ö ³ + + + + + + + - ç ÷ è ø CũngtheoBĐTCauchytađược: ( ) 1 1 1 9a b c a b c æ ö + + + + ³ ç ÷ è ø Dođó ( ) 1 1 1 1 1 1 1 1 6 3 3a b c abc a b c a b c æ ö + + + ³ + + + - = + + + ç ÷ è ø (đpcm) Đẳngthứcxảyrakhivàchỉkhia=b=c=1. 0,25 VI.a 2,00 1 TìmtọađộđiểmBvàđiểmC(1,00điểm) GọiIlàtrungđiểmcủaBC.Tacó 2 7 1 ; 3 2 2 AG AI I æ ö = Þ ç ÷ è ø uuur uur ĐườngthẳngBCquaIvuônggócvớiAHcóPT:x –y –3=0 Vì 7 1 ; 2 2 I æ ö ç ÷ è ø làtrungđiểmcủaBC. Giảsử ( ) ( ) ; 7 ;1 B B B B B x y C x y Þ - - và 3 0 B B x y - - = 0,50 HlàtrựctâmcủatamgiácABCnên CH AB ^ ( ) ( ) 5 ; , 3; 6 B B B B CH x y AB x y = - + = + - uuur uuur 0,25 ( )( ) ( ) 3 1 6 . 0 5 3 6 0 2 3 B B B B B B B B B x y x x CH AB x x y y y - = ì = = ì ì ï = Û Û Ú í í í - + + - = = - = ï î î î uuur uuur Vậy ( ) ( ) 1; 2 , 6;3B C - hoặc ( ) ( ) 6;3 , 1; 2B C - 0,25 2 Viếtphươngtrìnhmặtcầuđốixứng(1,00điểm) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 : 1 2 4 25S x y z - + + + - = ,tâm ( ) 1; 2;4I - vàR=5 KhoảngcáchtừIđến ( ) a ( ) ( ) , 3d I R a = < Vậy ( ) a  vàmặtcầu(S)cắtnhau. 0,25 GọiJlàđiểmđốixứngcủaIqua ( ) a  PTđườngthẳngIJ: 1 2 2 4 2 x t y t z t = + ì ï = - - í ï = + î 0,25 ToạđộgiaođiểmHcủaIJvà ( ) a  thoả ( ) 1 2 1 2 1 1; 1;2 4 2 1 2 2 3 0 2 x t t y t x H z t y x y z z = + = - ì ì ï ï = - - = - ï ï Û Þ - - í í = + = - ï ï ï ï - + - = = î î VìHlàtrungđiểmcủaIJnên ( ) 3;0;0J - 0,25 8 Mtcu(S)cútõmJbỏnkớnhR=R=5nờncúPT: ( ) ( ) 2 2 2 ' : 3 25S x y z + + + = 0,25 VII.a Scỏchchnituynbúngbnqucgia 1,00 1. ituyncúVMnhCng,khụngcúNgụThuThu Scỏchchn3namcũnlil 3 6 C Scỏchchn3nkhụngcúNgụThuThul 3 9 C 0,25 Suyrascỏchchntrongtrnghpnyl 3 3 6 9 . 1680C C = (cỏch) 0,25 2.ituyncúNgụThuThu,khụngcúVMnhCng Scỏchchn4namkhụngcúVMnhCngl 4 6 C Scỏchchn2ncũnlil 2 9 C 0,25 Suyrascỏchchntrongtrnghpnyl 4 2 6 9 . 540C C = (cỏch) VyscỏchchnituynbúngbnQucgial 1680+540=2220(cỏch) S:2220(cỏch) 0,25 VI.b 2,00 1 TỡmtacỏcnhA,B,C(1,00im) TacúACvuụnggúcviBHviquaM(11)nờncúPT:y=x TonhAlnghimcah: 2 4 2 0 2 2 3 2 3 3 3 x x y A y x y ỡ = - ù - - = ỡ ù ổ ử ị - - ớ ớ ỗ ữ = ố ứ ợ ù = - ù ợ VỡMltrungimcaACnờn 8 8 3 3 C ổ ử ỗ ữ ố ứ 0,50 VỡBCiquaCvsongsongvidnờnPT(BC) : 2 4 x y = + 0,25 ( ) 3 0 4 : 41 1 2 4 x y x BH BC B B x y y + + = ỡ = - ỡ ù ầ = ị - ớ ớ = = + ợ ù ợ 0,25 2 TỡmtanhD(1,00im) DoABCDlhỡnhthangcõnnờnAD=BC=3. Gi D lngthngquaCvsongsongviAB,(S)lmtcutõmAbỏn kớnh R=3.imDcntỡmlgiaoimca D v(S). 0,25 ngthng D cúvectchphng ( ) 263AB = - uuur nờncúphngtrỡnh: 0,25 9 2 2 3 6 3 3 x t y t z t = - ỡ ù = + ớ ù = + ợ Phngtrỡnhmtcu ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 : 3 1 2 9S x y z - + + + + = ToimDthoHPT: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 1 3 6 49 82 33 0 33 3 3 49 3 1 2 9 x t t y t t t z t t x y z = - ỡ ù = - ộ = + ù ờ ị + + = ớ = + ờ = - ù ở ù - + + + + = ợ 0,25 Vit= 1,thỡD(4 30):khụngthovỡAB=CD=7 Vi 33 164 51 48 49 49 49 49 t D ổ ử = - ị - ỗ ữ ố ứ (nhn) 0,25 VII.b Giihphngtrỡnh 1,00 ( ) ( ) 3 1 2 3 2 2 2 3.2 1 3 1 1 2 x y y x x xy x + - + ỡ + = ù ớ + + = + ù ợ PT ( ) ( ) 2 1 x+1 0 1 2 3 1 0 0 1 3 3 1 1 x x x x y x y x x xy x - ỡ - ỡ ỡ ù ớ ớ ớ + - = = = - + + = + ù ợ ợ ợ 0,25 Vix=0thayvo(1): 2 2 8 8 2 2 3.2 8 2 12.2 2 log 11 11 y y y y y y - + = + = = = 0,25 Vi 1 1 3 x y x - ỡ ớ = - ợ thayy=13xvo(1)tac: ( ) 3 1 3 1 2 2 3.2 3 x x + - - + = t 3 1 2 x t + = ,vỡ 1x - nờn 1 4 t - PT(3): 2 3 2 2 1 6 6 1 0 3 2 2 t t t t t t ộ = - + = - + = ờ = + ờ ở 0,25 ichiuiukin 1 4 t - tachn 3 2 2t = + . Khiú ( ) 3 1 2 1 2 3 2 2 log 3 2 2 1 3 x x + ộ ự = + = + - ở ỷ ( ) 2 1 3 2 log 3 2 2y x = - = - + VyHPTóchocú2 nghim 2 0 8 log 11 x y = ỡ ù ớ = ù ợ v ( ) ( ) 2 2 1 log 3 2 2 1 3 2 log 3 2 2 x y ỡ ộ ự = + - ù ở ỷ ớ ù = - + ợ 0,25 10 . ) 1 1 0 1 0 a b ab a b - - ³ Þ - - + ³ 1 a b ab Þ ³ + - ( ) 1 1 1 1 1 ab a b Þ ³ + - 0,25 Chứngminhtươngtự: ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 1 2 , 1 3 bc b c ca c a ³ + - ³ + - CộngcácBĐT(1),(2),(3)vếtheovế:. Viếtphươngtrìnhtiếptuyến(1,00điểm) y xO –2  2 6 4 Tiptuyncath(C)tiimMcúhonh 2a ạ - thucth(C) cúphngtrỡnh: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 4 2 4 2 2 0 2 2 a y x a x a y a d a a = - + - + + = + + Tõmixng ( ) 22I - .Tacú ( ) (. ) 1 1 1 1 1 1 2 3 4 ab bc ca a b c æ ö + + ³ + + - ç ÷ è ø 0,25 SửdụngBĐT(4)vàBĐTCauchytacó: ( ) 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 a b c a b c a b c abc ab bc ca a b c æ ö æ ö + + +