www.VNMATH.com ĐỀ KIỂM TRA MÔN TOÁN LỚP 12E3 Thời gian: 180 phút Đề số 7 I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7 điểm) Câu I (2 điểm) Cho hàm số 4 2 2 1y x mx m= − + − (1) , với m là tham số thực. 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi 1m = . 2) Xác định m để hàm số (1) có ba điểm cực trị, đồng thời các điểm cực trị của đồ thị tạo thành một tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng 1 . Câu II (2 điểm) 1) Giải phương trình ( ) 2 2sin 2 3sin cos 1 3 cos 3 sinx x x x x + + = + . 2) Giải bất phương trình mũ 2 2 2 3 9.3 3 9 0 x x x x x+ − − − + > Câu III (1 điểm) Tính tích phân ( ) 2 2 0 cos sinI x x xdx π = + ∫ . Câu IV (1 điểm) Trong không gian cho lăng trụ đứng 1 1 1 .ABC A B C có 1 , 2 , 2 5AB a AC a AA a= = = và · 120BAC = o . Gọi M là trung điểm của cạnh 1 CC . Hãy chứng minh 1 MB MA⊥ và tính khoảng cách từ A tới mặt phẳng ( 1 A BM ). Câu V (0,5 điểm) Tìm m để phương trình sau có đúng một nghiệm thực: ( ) 4 4 13 1 0x x m x m − + + − = ∈ ¡ . Câu VI (2 điểm) 1. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy , tìm điểm A thuộc trục hoành và điểm B thuộc trục tung sao cho A và B đối xứng với nhau qua đường thẳng :2 3 0d x y− + = . 2. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho các điểm ( ) ( ) 0;3;0 , 4;0; 3B M − . Viết phương trình mặt phẳng ( )P chứa ,B M và cắt các trục ,Ox Oz lần lượt tại các điểm A và C sao cho thể tích khối tứ diện OABC bằng 3 ( O là gốc toạ độ ). Câu VII (1 điểm) Tìm phần thực và phần ảo của mỗi số phức sau : 2008 2008 1 w w z = + , biết 1 w 1 w + = . Câu VIII(0,5 điểm) Cho hàm số 2 4 3 2 x x y x − + + = − có đồ thị ( C ). Tìm điểm M trên ( C ) sao cho tổng khoảng cách từ M đến các tiệm cận của ( C ) đạt giá trị nhỏ nhất. Hết Giáo viên: Nguyễn Văn Đức 1 www.VNMATH.com ĐÁP ÁN MÔN TOÁN Câu Nội dung Điểm I (2điểm) 1.(1 điểm). Khi 1m = hàm số trở thành: 4 2 2y x x= − • TXĐ: D= ¡ • Sự biến thiên: ( ) ' 3 2 0 4 4 0 4 1 0 1 x y x x x x x =  = − = ⇔ − = ⇔  = ±  0.25 ( ) ( ) 0 0, 1 1 CD CT y y y y= = = ± = − 0.25 • Bảng biến thiên x - ∞ -1 0 1 + ∞ y ’ − 0 + 0 − 0 + y + ∞ 0 + ∞ -1 -1 0.25 • Đồ thị 0.25 2. (1 điểm) ( ) ' 3 2 2 0 4 4 4 0 x y x mx x x m x m =  = − = − = ⇔  =  Hàm số đã cho có ba điểm cực trị ⇔ pt ' 0y = có ba nghiệm phân biệt và ' y đổi dấu khi x đi qua các nghiệm đó 0m⇔ > 0.25 • Khi đó ba điểm cực trị của đồ thị hàm số là: ( ) ( ) ( ) 2 2 0; 1 , ; 1 , ; 1A m B m m m C m m m− − − + − − + − 0.25 • 2 1 . 2 ABC B A C B S y y x x m m= − − = V ; 4 , 2AB AC m m BC m= = + = 0.25 • ( ) 4 3 2 1 2 . . 1 1 2 1 0 5 1 4 4 2 ABC m m m m AB AC BC R m m S m m m =  +  = = ⇔ = ⇔ − + = ⇔ −  =   V 0.25 II (2điểm) 1) ( ) 3 1 1 3 2 3 sin 2 cos 2 3 cos 3sin 1 sin 2 cos 2 3 cos sin 2 2 2 2 x x x x x x x x     + − = + ⇔ + − = +  ÷  ÷  ÷  ÷     0.50 2 2 1 cos 2 3cos 2cos 3cos 3 3 3 3 x x x x π π π π         ⇔ + − = − ⇔ − = −  ÷  ÷  ÷  ÷         0.25 5 cos 0 3 3 2 6 x x k x k π π π π π π   ⇔ − = ⇔ − = + ⇔ = +  ÷   ( ) k ∈¢ . 0.25 Giáo viên: Nguyễn Văn Đức 2 8 6 4 2 -2 -4 -6 -8 -10 -5 5 10 f x ( ) = x 4 -2 ⋅ x 2 www.VNMATH.com 2. (1 điểm) 2 2 2 3 9.3 3 9 0 x x x x x+ − − − + > ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 3 3 1 9 3 1 0 3 9 3 1 0 x x x x x x x x− − − ⇔ − − − > ⇔ − − > 0.25 2 2 2 2 3 9 0 3 1 0 0 1 1 3 9 0 3 1 0 x x x x x x x x − −  − > ∧ − > ⇔ ⇔ < < ∨ >   − < ∧ − <  . 0.50 Tập nghiệm ( ) ( ) 0;1 1;T = ∪ +∞ 0.25 III (1 điểm) .Đặt ( ) 2 1 2sin cos cos sin cos du x x dx u x x dv xdx v x = −  = +  ⇒   = = −    . Vậy ( ) ( ) 2 2 2 0 0 cos cos 1 2sin cos cosI x x x x x xdx π π = − + + − ∫ 0.50 ( ) ( ) 3 2 2 2 2 2 0 0 0 0 cos 2 4 1 cos 2 cos cos 1 sin (2. ) 1 1 3 3 3 x xdx xd x x π π π π = + + = + + = + − = ∫ ∫ 0.50 IV (1 điểm) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 5 9 ; 2 . .cos120 7MA AC C M a a a BC AB AC AB AC a= + = + = = + − = o ; ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 7 5 12 ; 2 5 21BM BC CM a a a A B AA AB a a a= + = + = = + = + = . Suy ra 2 2 2 1 1 1 A B MA MB MB MA= + ⇒ ⊥ . 0.50 • Hình chóp 1 MBAA và 1 CABA có chung đáy là tam giác 1 BAA và đường cao bằng nhau nên thể tích bằng nhau. Suy ra 1 1 3 1 1 1 1 15 . 2 5. .2 .sin120 3 3 2 3 MBAA CBAA ABC a V V V AA S a a a= = = = = o V 1 3 1 1 15 6. 3 6 5 3 ( ,( )) . 3 12.3 MBA a V V a d A A BM S MB MA a a ⇒ = = = = V 0.50 Giáo viên: Nguyễn Văn Đức 3 M A C B A1 B1 C1 www.VNMATH.com V (1 điểm) ( ) 4 4 4 4 4 4 3 2 1 0 13 1 0 13 1 13 1 1 4 6 9 1 x x x m x x x m x x x m x x x x x m − ≥   − + + − = ⇔ − + = − ⇔  − + = −   ≤  ⇔  − − − = −  0.25 Yêu cầu bài toán ⇔ đường thẳng y m= − cắt phần đồ thị hàm số ( ) 3 2 4 6 9 1f x x x x= − − − với 1x ≤ tại đúng một điểm. 0.25 Xét hàm số ( ) 3 2 4 6 9 1f x x x x= − − − với 1x ≤ . Với 1x ≤ thì ( ) ' 2 1 12 12 9 0 2 f x x x x= − − = ⇔ = − 0.25 Bảng biến thiên: x −∞ 1 2 − 1 y ’ + 0 − y 3 2 −∞ 12− Từ bảng biến thiên ta có: Yêu cầu bài toán 3 3 2 2 12 12 m m m m   − = = −   ⇔ ⇔   − < − >   0.25 VI.1 (1 điểm) ( ) ( ) ( ) , ;0 , 0; , ;A Ox B Oy A a B b AB a b∈ ∈ ⇒ = − uuur 0.25 Vectơ chỉ phương của d là ( ) 1;2u = r Toạ độ trung điểm I của AB là ; 2 2 a b    ÷   0.25 A và B đối xứng với nhau qua d khi và chỉ khi 2 0 4 . 0 2 3 0 2 a b a AB u b b a I d − + =   = −  =   ⇔ ⇔    = − − + = ∈      uuur r . Vậy ( ) ( ) 4;0 , 0; 2A B− − 0.50 VI.2 (1 điểm) • Gọi ,a c lần lượt là hoành độ, cao độ của các điểm ,A C . Vì ( ) 0;3;0B Oy∈ nên ( ) : 1 3 x y z P a c + + = . 0.50 Vậy ( ) ( ) 1 2 2 : 1; : 1 4 3 3 2 3 3 x y z x y z P P+ − = + + = − 0.50 VII (1 điểm) 2007 2007 1 w w z = + , biết 1 w 1 w + = Giáo viên: Nguyễn Văn Đức 4 www.VNMATH.com ( ) 2 2 1 Do w 1 w w 1 0 1 4 3 3 w i+ = ⇔ − + = ⇒ ∆ = − = − = 1 2 1 3 w cos sin 2 3 3 1 3 w cos sin 2 3 3 i i i i π π π π  + = = +   ⇔  − = = −   2007 1,2 2007 2007 w cos sin 1 0 1 3 3 i i π π ⇒ = ± = − + = − Do đó : ( ) 2007 2007 1 w 1 1 2 w z = + = − + − = − Do đó : ( ) ( ) Re 2 ; Im 0z z= − = . 0.50 VIII.b (1 điểm) 2 4 3 7 2 2 2 x x y x x x − + + = = − + + − − . Gọi (C) là đồ thị của hàm số đã cho. ( ) ;M x y ∈ (C) 7 2 2 y x x ⇔ = − + + − . Tiệm cận xiên: 2 2 0y x x y= − + ⇔ + − = ; Tiệm cận đứng: 2x = 0.50 Khoảng cách từ M đến tiệm cận xiên là: 1 2 7 2 2. 2 x y d x + − = = − . Khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng là: 2 2d x= − . Ta có: 1 2 7 7 7 2 2 . 2 2 2. 2 2. 2 2 d d x x x x + = + − ≥ − = − − . Do đó Min(d 1 +d 2 )= 7 2 2 khi đó: ( ) 2 7 7 2 2 2. 2 2 x x x = − ⇔ − = − 7 7 2 7 2 2 2 7 7 2 7 2 2 2 x y x y   = + = −     ⇒ ⇒     = − + = −     0.50 Giáo viên: Nguyễn Văn Đức 5 . ⇔ − = + ⇔ = +  ÷   ( ) k ∈¢ . 0.25 Giáo viên: Nguyễn Văn Đức 2 8 6 4 2 -2 -4 -6 -8 -1 0 -5 5 10 f x ( ) = x 4 -2 ⋅ x 2 www.VNMATH.com 2. (1 điểm) 2 2 2 3 9.3 3 9 0 x x x x x+ − − − + > (. ±  0.25 ( ) ( ) 0 0, 1 1 CD CT y y y y= = = ± = − 0.25 • Bảng biến thi n x - ∞ -1 0 1 + ∞ y ’ − 0 + 0 − 0 + y + ∞ 0 + ∞ -1 -1 0.25 • Đồ thị 0.25 2. (1 điểm) ( ) ' 3 2 2 0 4 4 4 0 x y. viên: Nguyễn Văn Đức 1 www.VNMATH.com ĐÁP ÁN MÔN TOÁN Câu Nội dung Điểm I (2điểm) 1.(1 điểm). Khi 1m = hàm số trở thành: 4 2 2y x x= − • TXĐ: D= ¡ • Sự biến thi n: ( ) ' 3 2 0 4 4 0 4 1