192 2 2 2 2 17 log log . x y x y m  + =   + =   Bài 19. Tìm các giá trị của m để hệ phương trình sau có nghiệm ( ; ); 1, 4. x y x y > < 2 4 2 0 log log . y x y x m x y  − =   =   Bài 20. Tìm các giá trị của m để hệ phương trình sau có đúng bốn nghiệm 2 2 2 2 2 4 .4 8.2 3 log log log ( ). x y xy x y x y m  =   + + = + +   Bài 21. Cho hệ phương trình 2 2lg 3 3lg 1 x y m x y  + =   − =   1) Giải hệ phương trình với 1; m = 2) Tìm các giá trị của m để hệ phương trình có nghiệm ( ; ); 1. x y x ≥ Bài 22. Tìm các giá trị của m để hệ phương trình sau có một nghiệm duy nhất 2 2 lg lg 1 lg . x y x m y  + =   =   CHƯƠNG VI. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC §1. CÁC CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI LƯỢNG GIÁC Ta quy ước các biểu thức trong các công thức sau đều có nghĩa. 1. Công thức cộng 1) cos( ) cos cos sin sin 2)cos( ) cos cos sin sin 3)sin( ) sin cos cos sin 4)sin( ) sin cos cos sin tan tan 5)tan( ) 1 tan tan tan tan 6) tan( ) . 1 tan tan a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b + = − − = + + = + − = − + + = − − − = + 2. Công thức nhân 2.1. Công thức nhân đôi 193 2 2 2 1) cos2 cos sin 2)sin 2 2sin cos 2 tan 3) tan 2 . 1 tan a a a a a a a a a = − = = − 2.1.1. Công thức hạ bậc 2 2 1 cos 2 1) cos 2 1 cos2 2)sin . 2 a a a a + = − = 2.1.2. Công thức tính theo cos2 a 2 2 2 1 1) cos (1 cos 2 ) 2 1 2)sin (1 cos2 ) 2 1 cos 2 3) tan . 1 cos 2 a a a a a a a = + = − − = + 2.1.3. Công thức tính theo tan 2 a t = 2 2 1 1) cos 1 t a t − = + 2 2 2 2)sin 1 2 3) tan . 1 t a t t a t = + = − 2.2. Công thức nhân ba 3 3 1) cos3 4cos 3cos 2)sin 3 3sin 4sin a a a a a a = − = − 3 2 3tan tan 3) tan3 . 1 3 tan a a a a − = − 3. Công thức biến đổi tích thành tổng 1 1) cos cos [cos( ) cos( )] 2 1 2)sin sin [cos( ) cos( )] 2 1 3)sin cos [sin( ) sin( )]. 2 a b a b a b a b a b a b a b a b a b = + + − = − + − − = + + − 4. Công thức biến đổi tổng thành tích 194 1) cos cos 2cos cos 2 2 2)cos cos 2sin sin 2 2 3)sin sin 2sin cos 2 2 4)sin sin 2cos sin . 2 2 a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b + − + = + − − = − + − + = + − − = Một số công thức quen thuộc 1) cos sin 2 cos( ) 4 a a a π + = − 2)cos sin 2 sin( ) 4 a a a π + = + 3) cos sin 2 cos( ) 4 4)cos sin 2 sin( ) 4 a a a a a a π − = + π − = − − 4 4 2 2 5)cos sin 1 2sin cos a a a a + = − 6 6 2 2 6)cos sin 1 3sin cos . a a a a + = − §2. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN 1. Phương trình sin x a = (1) · Nếu 1 a > thì phương trình (1) vô nghiệm. · Nếu 1 a ≤ thì phương trình (1) có nghiệm. Gọi α là số đo của góc sao cho sin a α = Ta có ( ) 1 sin sin x ⇔ = α 2 ; 2 x k k x k = α + π  ⇔ ∈   = π − α + π  ℤ (nếu α cho bằng radian). Hay ( ) 0 0 0 .360 1 ; 180 .360 x k k x k  = α +  ⇔ ∈  = − α +  ℤ (nếu α cho bằng độ). Các trường hợp đặc biệt · sin 1 2 , . 2 x x k k π = ⇔ = + π ∈ ℤ · sin 1 2 , . 2 x x k k π = − ⇔ = − + π ∈ ℤ 195 · sin 0 , . x x k k = ⇔ = π ∈ ℤ 2. Phương trình cos x a = (2) · Nếu 1 a > thì phương trình (2) vô nghiệm. · Nếu 1 a ≤ thì phương trình (2) có nghiệm. Gọi α là số đo góc sao cho cos a α = Ta có ( ) 2 cos cos x ⇔ = α 2 ; . 2 x k k x k = α + π  ⇔ ∈   = −α + π  ℤ (nếu α cho bằng radian). Hay ( ) 0 0 .360 2 ; . .360 x k k x k  = α +  ⇔ ∈  = −α +  ℤ (nếu α cho bằng độ). Các trường hợp đặc biệt · cos 1 2 , . x x k k = ⇔ = π ∈ ℤ · cos 1 2 , . x x k k = − ⇔ = π + π ∈ ℤ · cos 0 , . 2 x x k k π = ⇔ = + π ∈ ℤ 3. Phương trình ( ) tan 3 x a= (3) xác định với mọi , 2 x k k π ≠ + π ∈ ℤ . Gọi α là số đo góc sao cho tan , a α = thì ( ) 3 tan tan x ⇔ = α ,x k k ⇔ = α + π ∈ ℤ (nếu α cho bằng radian). Hay (3) 0 .180 , . x k k ⇔ = α + ∈ ℤ (nếu α cho bằng độ). Chú ý. Nếu phương trình ban đầu dạng ( ) tan tan * u v = Thì điều kiện là 2 u k π ≠ + π , , . 2 v k k π ≠ + π ∈ ℤ Khi đó (*) ,u v k k ⇔ = + π ∈ ℤ . 4. Phương trình ( ) cot 4 x a= 196 (4) xác định với mọi ,x k k ≠ π ∈ ℤ . Gọi α là số đo góc sao cho cot , a α = thì ( ) 4 cot cot x ⇔ = α ,x k k ⇔ = α + π ∈ ℤ (nếu α cho bằng radian). Hay (4) 0 .180 , . x k k ⇔ = α + ∈ ℤ (nếu α cho bằng độ). Chú ý. Nếu phương trình ban đầu dạng ( ) cot cot ** u v= thì điều kiện là u k ≠ π , , , v k k ≠ π ∈ ℤ khi đó (**) , . u v k k ⇔ = + π ∈ ℤ §3. MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP 1. Phương trình bậc nhất, bậc hai, bậc cao đối với một hàm số lượng giác Cách giải. + Đối với các phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác ta biến đổi ngay về phương trình lượng giác cơ bản. + Đối với các phương trình bậc hai, bậc cao đối với một hàm số lượng giác ta đặt ẩn phụ, sau đó giải phương trình theo ẩn phụ. Chú ý. Nếu đặt cos t x = hay sin t x = thì điều kiện 1. t ≤ Ví dụ 1. Giải phương trình ( ) 2 5sin 2 3 1 sin tan (1) x x x− = − Giải. Điều kiện: cos 0 2 x x k π ≠ ⇔ ≠ + π (*) ( ) 2 2 sin (1) 5sin 2 3 1 sin cos x x x x ⇔ − = − ( ) 2 2 2 2 sin 5sin 2 3 1 sin 1 sin 3sin 5sin 2 1 sin 2sin 3sin 2 0 1 sin 2 sin 2. x x x x x x x x x x x ⇔ − = − − ⇔ − = + ⇔ + − =  =  ⇔   = −  Ta nhận 1 5 sin 2 2 , , 2 6 6 x x k x k k π π = ⇔ = + π ∨ = + π ∈ ℤ (thỏa điều kiện (*)) 197 Ví dụ 2. Giải phương trình sin 3 2cos 2 2 0. (1) x x + − = Giải. ( ) 3 2 (1) 3sin 4sin 2 1 2sin 2 0 x x x ⇔ − + − − = 3 2 4sin 4sin 3sin 0 x x x ⇔ + − = sin x 0 3 sinx 2 ; . 2 6 1 5 sinx 2 2 6 x k x k k x k     = = π     − π ⇔ = ⇔ = + π ∈       π   = = + π   ℤ 2. Phương trình bậc nhất đối với sin x và cos x Phương trình bậc nhất đối với sin x và cos x là phương trình có dạng sin cos (1), , ,a x b x c a b c + = ∈ ℝ Cách giải. Cách 1. Chia hai vế của (1) cho 2 2 , a b + ta được ( ) 2 2 2 2 2 2 sin cos 2 a b c x x a b a b a b + = + + + Đặt 2 2 2 2 cos ,sin a b a b a b β = β = + + Khi đó (2) trở thành 2 2 cos sin sin cos c x x a b β + β = + Hay ( ) ( ) 2 2 sin 3 c x a b + β = + (3) có nghiệm 2 2 2 2 2 1 c a b c a b ⇔ ≤ ⇔ + ≥ + Phương trình (3) đã biết cách giải trong §1. Cách 2. Chia hai vế của (1) cho a rồi đặt tan b a = α Ta được sin tan cos c x x a + α = sin cos sin cos cos c x x a ⇔ α + α = α ( ) sin cos (*) c x a ⇔ + α = α 198 Đây là phương trình đã xét trong §1. Chú ý rằng (*) có nghiệm khi và chỉ khi cos 1. c a α ≤ Ví dụ. Giải phương trình 3 3sin 3 3 cos9 1 4sin 3 (1) x x x − = + Giải. Ta có (1) 3 (3sin 3 4sin 3 ) 3 cos9 1 x x x ⇔ − − = sin9 3 cos9 1 1 3 1 sin 9 cos9 2 2 2 1 sin(9 ) 3 2 x x x x x ⇔ − = ⇔ − = π ⇔ − = 2 9 2 , 3 6 18 9 5 7 2 9 2 , . 3 6 54 9 k x k x k k x k x k π π π π   − = + π = + ∈     ⇔ ⇔   π π π π − = + π = + ∈     ℤ ℤ 3. Phương trình thuần nhất bậc hai đối với sin x và cos x Đó là phương trình dạng ( ) 2 2 sin sin cos cos 0 2 , , ,a x b x x c x a b c + + = ∈ ℝ Cách giải. · Xét 2 x k π = + π xem có phải là một nghiệm của phương trình không. · Xét , 2 x k π ≠ + π khi đó 2 cos 0, x ≠ chia 2 vế phương trình cho 2 cos x ta được 2 tan tan 0 a x b x c + + = . Đây là phương trình bậc hai đối với tan x ta đã biết cách giải. Chú ý. · Nếu phương trình với vế phải khác 0 2 2 sin sin cos cos a x b x x c x d + + = Ta viết phương trình dạng ( ) 2 2 2 2 sin sin cos cos cos sin a x b x x c x d x x + + = + rồi chuyển vế phải sang vế trái. · Cũng có thể giải phương trình (2) bằng cách biến đổi về phương trình bậc nhất đối với sin 2 x và cos2 , x nhờ các công thức 199 2 1 cos 2 cos 2 x x + = 2 1 cos 2 sin 2 x x − = 1 sin cos sin 2 2 x x x = · Đối với phương trình thuần nhất bậc ba đối với sin x và cos x 3 2 2 3 cos cos sin sin cos sin 0 a x b x x c x x d x + + + = Ta cũng biến đổi đưa về phương trình bậc ba đối với tan . x Ví dụ 1. Giải phương trình 2 2 os 3 sin2 =1+sin (1) c x x x − Giải. Vì cos 0 x = không là nghiệm nên chia hai vế của (1) cho 2 os 0, c x ≠ ta được ( ) 2 2 2 1 2 3 tan 1 tan tan 2 tan 2 3 tan 0 x x x x x − = + + ⇔ + = tan 0 , . tan 3 3 x k x k x k x = π  =    ⇔ ⇔ ∈  π  = − + π = −    ℤ Ví dụ 2. Giải phương trình 3 3 2 cos 4sin 3cos sin sin 0 (1) x x x x x− − + = Giải. Vì cos 0 x = không thỏa phương trình nên chia hai vế của (1) cho 3 cos 0 x ≠ ta được ( ) 3 2 2 1 4 tan 3tan tan 1 tan 0 x x x x − − + + = ( ) ( ) 3 2 2 3tan 3tan tan 1 0 tan 1 3tan 1 0 x x x x x ⇔ + − − = ⇔ + − = tan 1 4 ; . 3 tan 3 6 x x k k x x k π  = −  = − + π    ⇔ ⇔ ∈   π = ±  = ± + π    ℤ Ví dụ 3. Giải phương trình 3 sin 2 sin 4 x x π   − =     (1) Giải. 200 ( ) 3 3 2 2 3 1 (1) sin cos 2 sin 2 2 sin 3sin .cos 3sin .cos os 4sin (2) x x x x x x x x c x x ⇔ − = ⇔ − + − = Vì cos 0 x = không là nghiệm nên chia hai vế của (2) cho 3 os 0, c x ≠ ta được ( ) 3 2 2 (2) tan 3tan 3tan 1 4 tan 1 tan . x x x x x ⇔ − + − = + 3 2 3tan 3tan tan 1 0 tan 1 , . 4 x x x x x k k ⇔ + + + = π ⇔ = − ⇔ = − + π ∈ ℤ Ví du 4. Giải phương trình 4 2 2 4 3cos 4sin cos sin 0 x x x x − + = (1) Giải. Đây là phương trình thuần nhất bậc bốn đối với sin x và cos x Do os 0 c = không là nghiệm nên chia hai vế của (1) cho 4 cos 0 x ≠ Ta được 2 4 2 2 3 4 tan tan 0 tan 1 4 , . tan 3 3 x x x k x k x x k − + = π  = ± + π   =   ⇔ ⇔ ∈   π =  = ± + π   ℤ 4. Phương trình đối xứng đối với sin x và cos x Phương trình đối xứng đối với sin x và cos x là phương trình dạng ( ) ( ) sin cos sin cos 0 3 , , ,a x x b x x c a b c + + + = ∈ ℝ Cách giải. Đặt sin cos 2 sin , 4 t x x x π   = + = +     điều kiện 2. t ≤ Khi đó 2 1 2sin cos t x x = + Suy ra 2 1 sin cos . 2 t x x − = Thay vào phương trình (3) ta được ( ) 2 1 0 2 b t at c − + + = hay ( ) 2 2 2 0. bt at c b + + − = (*) Giải phương trình (*) tìm t và chọn nghiệm thỏa 2. t ≤ Chú ý. Phương pháp giải đã trình bày ở trên cũng có thể áp dụng cho phương trình ( ) sin cos sin cos 0 a x x b x x c − − + = 201 bằng cách đặt sin cos 2 sin , 4 t x x x π   = − = −     điều kiện 2. t ≤ Khi đó 2 1 sin cos . 2 t x x − = Ví dụ 1. Giải phương trình ( ) 2 sin cos 6sin cos 2 0 (1) x x x x+ + − = Giải. Đặt sin cos 2 sin + , 4 t x x x π   = + =     điều kiện 2. t ≤ ( ) 2 1 (1) 2 6 2 0 2 t t − ⇔ + − = 2 3 2 5 0 t t ⇔ + − = 1 5 . 3 t t =   ⇔  − =   Ta chọn 2 1 2 sin 1 sin 4 4 2 t x x π π     = ⇒ + = ⇔ + =         sin sin 4 4 2 2 4 4 , 2 2 2 4 4 x x k x k k x k x k π π   ⇔ + =     π π  = π + = + π     ⇔ ⇒ ∈  π  π π = + π  + = π − + π    ℤ Ví dụ 2. Giải phương trình ( ) sin 2 2 2 sin cos 3 0(1) x x x+ − − = Giải. Đặt sin cos 2 sin , 4 t x x x π   = − = −     điều kiện 2. t ≤ (1) trở thành 2 1 2 2 3 0 t t − + − = 2 2 2 2 0 2 2 sin 2 4 t t t x ⇔ − + = ⇔ = π   ⇒ − =     sin 1 2 4 4 2 x x k π π π   ⇔ − = ⇔ − = + π     3 2 , . 4 x k k π ⇔ = + π ∈ ℤ [...]...§4 CÁC PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC KHÁC Có nhiều phương trình lượng giác mà để giải chúng, ta cần sử dụng các phép biến đổi lượng giác để đưa về các phương trình đã xét trong §1 và §2 Sau đây ta xét một số ví dụ 1 Sử dụng công thức hạ bậc, góc nhân đôi, góc nhân ba Ví dụ 1 Giải phương trình sin 2 x − 2 cos x + 2 sin x − 2 = 0 (1) Giải (1) ⇔ sin x... =  4  2 Ta có phương trình theo ẩn t π −1 + 2 π  t 2 + 2t − 1 = 0 ⇒ t = 2 cos  x −  = −1 + 2 ⇔ x = ± arccos + + 2k π k ∈ ℤ 4 4 2  Các công thức nghiệm trên đều thỏa điều kiện (*) nên là nghiệm của phương trình đã cho 211 4 Một số phương trình giải bằng phương pháp đặc biệt Ngoài các phương pháp cơ bản giải phương trình lượng giác đã nêu ở các mục trên, chúng ta còn có một số cách giải đặc... = m Bài 10 Tìm các giá trị của tham số m để phương trình m cos 2 2 x − 2sin 2 x + m − 2 = 0 có  π nghiệm trong khoảng  0;   4 218 TÀI LIỆU THAM KHẢO Đặng Hùng Thắng 1998 Phương trình, bất phương trình và hệ phương trình Hà Nội: NXB Giáo dục Đoàn Quỳnh (Tổng chủ biên) – Nguyễn Huy Đoan (Chủ biên) Nguyễn Xuân Liêm – Đặng Hùng Thắng – Trần Văn Vuông 2008 Đại số 10 (Nâng cao) Hà Nội: NXB Giáo dục... Văn Mậu 2001 Phương pháp giải phương trình và bất phương trình Hà Nội: NXB Giáo dục Phan Đức Chính 1999 Bất đẳng thức Hà Nội: NXB Giáo dục Phan Đức Chính – Nguyễn Dương Thụy – Tạ Mân – Đào Tam – Lê Thống Nhất 1996 Các bài giảng luyện thi môn Toán – Tập 2 Hà Nội: NXB Giáo dục Phan Huy Khải 2001 Phương pháp đồ thị để biện luận hệ phương trình chứa tham số Hà Nội: NXB Giáo dục Trần Phương 1995 Phương pháp... Bài 7 Tìm các giá trị của tham số m để các phương trình cho sau đây có nghiệm 1) tan 2 x + cot 2 x + m(tan x + cot x) + 2m = 0; 2) m(sin x + cos x ) + sin 2 x + m − 1 = 0; 3) 4(cos x − sin x ) + sin 2 x = m Bài 8 Tìm các giá trị của tham số m để phương trình sau có nghiệm thỏa − π π < x< 2 2 cos 2 x − 2m cos x + 4 ( m − 1) = 0 Bài 9 Giải và biện luận phương trình theo tham số m sin 2 x + 2sin x cos x... nghiệm Vậy, phương trình (1) vô nghiệm Ví dụ 4 Giải phương trình sin 3 x + cos 3 x = 2 − sin 4 x (1) 3 3 2 2 Giải Ta có vế trái của (1): sin 3 x + cos 3 x ≤ sin x + cos x ≤ sin x + cos x ≤ 1 Vế phải của (1): 2 − sin 4 x ≥ 1 cos 3 x = cos 2 x  π  Vậy, (1) ⇔ sin 3 x = sin 2 x ⇔ sin x = 1 ⇔ x = + k 2π 2  4 sin x = 1  Vậy, nghiệm của phương trình đã cho là x = π + k 2π, k ∈ ℤ 2 5 Một số phương trình chứa... Nguyễn Xuân Liêm – Nguyễn Khắc Minh – Đặng Hùng Thắng 2008 Đại số và Giải tích 11 (Nâng cao) Hà Nội: NXB Giáo dục Đoàn Quỳnh (Tổng chủ biên) – Nguyễn Huy Đoan (Chủ biên) Trần Phương Dung – Nguyễn Xuân Liêm – Đặng Hùng Thắng) 2008 Giải tích 12 (Nâng cao) Hà Nội: NXB Giáo dục Hoàng Kỳ 1999 Đại số sơ cấp Hà Nội: NXB Giáo dục Hoàng Kỳ 2007 Giáo trình căn số và toán vô tỉ Hà Nội: NXB Giáo dục Nguyễn Thái Hòe... giá trị của hàm số f (t ) là T f = [ ; +∞) 4 1 Vậy, giá trị cần tìm của m để phương trình (1) có nghiệm là m ≥ 4 Ví dụ 2 Cho phương trình 3 + 3 tan 2 x + m(tan x + cot x ) − 1 = 0 (1) 2 sin x Tìm m để phương trình có nghiệm Giải Ta có (1) ⇔ 3(1 + cot 2 x) + 3 tan 2 x + m(tan x + cot x) − 1 = 0 ⇔ 3(tan x + cot x) 2 + m(tan x + cot x ) − 4 = 0 Đặt t = tan x + cot x, t ≥ 2, ta có phương trình 3t 2 + mt... +  +  = 0 ⇔ tan x = 1 ⇔ x = + k π; k ∈ ℤ  2  4 4    208 So với điều kiện của phương trình thì x = π + k π không thỏa Vậy, phương trình đã cho vô 4 nghiệm 3 Dạng chứa tan x và cot x Chú ý Đối với các phương trình chứa tan x và cot x, ta phải đặt điều kiện cho tan x và cot x xác định Ví dụ 1 Giải phương trình cot x − tan x = sin x + cos x (1) Giải Điều kiện: sin x ≠ 0 ∧ cos x ≠ 0 ⇔ x ≠ kπ ,... 4 ⇔m= = f (t ), f ′(t ) = − 2 − 3 < 0 t t Suy ra hàm số f (t ) nghịch biến, mà lim f (t ) = ∓ ∞, f (−2) = 4, f (2) = −4 t →±∞ Do đó miền giá trị của hàm số f (t ) là T f = (−∞; −4] ∪ [4; +∞) Vậy, giá trị cần tìm của m để phương trình (1) có nghiệm là m ≤ −4 ∨ m ≥ 4 Ví dụ 3 Cho phương trình sin 2( x − π) − sin(3x − π) = m sin x (1) Tìm m để phương trình có nghiệm x ≠ k π, k ∈ ℤ Giải Ta có (1) ⇔ sin 2 . với một hàm số lượng giác Cách giải. + Đối với các phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác ta biến đổi ngay về phương trình lượng giác cơ bản. + Đối với các phương trình bậc hai,. ∈ ℤ 202 §4. CÁC PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC KHÁC Có nhiều phương trình lượng giác mà để giải chúng, ta cần sử dụng các phép biến đổi lượng giác để đưa về các phương trình đã xét trong §1. a + = − §2. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN 1. Phương trình sin x a = (1) · Nếu 1 a > thì phương trình (1) vô nghiệm. · Nếu 1 a ≤ thì phương trình (1) có nghiệm. Gọi α là số đo của