Bài giảng phương pháp tính B B a a ø ø i i g g i i a a û û n n g g p p h h ö ö ô ô n n g g p p h h a a ù ù p p t t í í n n h h t t o o ù ù m m t t a a é é t t - Trang 1 - C C h h ư ư ơ ơ n n g g 0 0 : : M M Ô Ô Û Û Ñ Ñ A A À À U U I. Giới thiệu môn phương pháp tính Phương pháp tính là bộ môn toán học có nhiệm vụ giải đến kết quả bằng số cho các bài toán, nó cung cấp các phương pháp giải cho những bài toán trong thực tế mà không có lời giải chính xác. Môn học này là cầu nối giữa toán học lý thuyết và các ứng dụng của nó trong thực tế. Trong thời đại công nghệ thông tin hiện nay thì việc áp dụng các phương pháp tính càng trở nên phổ biến nhằm tăng tốc độ tính toán. II. Nhiệm vụ môn học  Tìm ra các phương pháp giải cho các bài toán gồm : Phương pháp đúng và phương pháp gần đúng. *) Phương pháp đúng : cho ta kết quả dưới dạng một biểu thức giải tích cụ thể. *) Phương pháp gần đúng: thường cho ta kết quả sau một quá trình tính lặp theo một quy luật nào đó, nó được áp dụng trong trường hợp bài toán không có lời giải đúng hoặc nếu có thì quá phức tạp và khó khăn. Chính vì vậy việc giải gần đúng là một vấn đề rất thực tế và cần thiết.  Tìm nghiệm các phương trình Đại số, Siêu việt, …  Tìm nghiệm các hệ phương trình Tuyến tính, phi tuyến, …  Tìm giá trị của tích phân và giá trị nghiệm của phương trình hay hệ phương trình vi phân, …  Giải các bài toán về cực trị.  Xấp xỉ hàm: Khi khảo sát, tính toán trên một hàm f(x) khá phức tạp, ta có thể thay hàm f(x) bởi hàm g(x) đơn giản hơn sao cho g(x) f(x)  . Hoặc giữa hai đại lượng x và y nào đó được liên hệ với nhau qua hệ thức y f(x)  nhưng f(x) không xác định được mà qua tiến hành đo đạc hay thí nghiệm ta chỉ nhận được một số giá trị tương ứng :   0 0 1 1 , , , * n n x y x y x y    Vấn đề được đặt ra là “Hỏi rằng với những giá trị của * x không đo đạc được thì y = ?”. Để giải quyết được vấn đề này ta cũng phải tìm một hàm g(x) thỏa   * thay cho f(x), khi đó g(x) được gọi là đa thức nội suy để suy ra được giá trị tai * x là   * * y g x  . Tóm lại thì việc lựa chọn tìm ra g(x) để thay thế cho f(x) được gọi là phép xấp xỉ hàm.  Xác định tính chất nghiệm.  Đánh giá sai số : Khi giải bài toán bằng phương pháp gần đúng thì sai số xuất hiện do sự sai lệch giữa giá trị gần đúng nhận được với nghiệm chính xác của bài toán. Vì vậy ta phải đánh giá sai số để từ đó chọn ra được phương pháp tối ưu nhất. III. Trình tự giải bài toán trong phương pháp tính  Khảo sát, phân tích bài toán.  Lựa chọn phương pháp dựa vào các tiêu chí sau : Khối lượng tính toán ít. Đơn giản khi xây dựng thuật toán. B B a a ø ø i i g g i i a a û û n n g g p p h h ö ö ô ô n n g g p p h h a a ù ù p p t t í í n n h h t t o o ù ù m m t t a a é é t t - Trang 2 - Sai số bé. Tính khả thi. Xây dựng thuật toán : sử dụng ngôn ngữ giả hoặc sơ đồ khối ( càng mịn càng tốt ). Viết chương trình: sử dụng ngôn ngữ lập trình ( Pascal, C, C++, Maple, Matlab, … ). Thực hiện chương trình, thử nghiệm, sửa đổi và hoàn chỉnh. B B a a ø ø i i g g i i a a û û n n g g p p h h ư ư ơ ơ n n g g p p h h a a ù ù p p t t í í n n h h t t o o ù ù m m t t a a é é t t - Trang 3 - Chương 1: L L Y Y Ù Ù T T H H U U Y Y E E Á Á T T S S A A I I S S O O Á Á Bài 1: Số xấp xỉ 1.1 Đònh nghóa : Số a được gọi là số xấp xỉ của A nếu nó được dùng thay thế cho A trong quá trình tính toán. Kí hiệu: a A.   Chú ý: Tùy theo phạm vi sử dụng mà người ta sẽ lấy a sát với A theo tính chất công việc.  Nếu a A  thì ta nói a là số  thiếu của A.  Nếu a A  thì ta nói a là số  thừa của A. Ví dụ : 1,41 2 1,42    1,41 là  thiếu của 2; 1,41 là  thừa của 2. 1.2 Sai số tuyệt đối : a. Đònh nghóa : Cho a là số xấp xỉ của số A . Sai số tuyệt đối của A được kí hiệu là a A .    b. Đònh nghóa : Sai số tuyệt đối giới hạn của số xấp xỉ a là 1 số không nhỏ hơn sai số tuyệt đối của số xấp xỉ a. Kí hiệu là a  . a a a a a A A a A               Ví dụ : Chọn A = 25,1384 ; a  = 10 -4  25,1383  a  25,1385 1.3 Sai số tương đối : a. Đònh nghóa : Sai số tương đối kí hiệu là : A    . b. Đònh nghóa : Sai số tương đối giới hạn của số sấp xỉ a kí hiệu là: a a A    . Ta có : a    . Chú ý: Đôi khi việc xác đònh số đúng A rất khó, do đó người ta còn tính sai số tương đối bằng cách thay A bởi a, nên ta có công thức sau : A A ; a a       Ví dụ : Đo đúng một chi tiết máy có chiều dài A 150cm.  B B a a ø ø i i g g i i a a û û n n g g p p h h ư ư ơ ơ n n g g p p h h a a ù ù p p t t í í n n h h t t o o ù ù m m t t a a é é t t - Trang 4 - Đo sai chi tiết máy đó với chiều dài a = 155 cm. Tính % sai số. Giải   155 150 100% 100% 3,33% 150 A       Vậy sai số tương đối cho ta biết phần trăm sai lệch của kích thước. 2.1 Chữ số có nghóa : Chữ số có nghóa của một số là những chữ số của số đó kể từ chữ số khác không đầu tiên tính từ bên trái (sang phải ). Ví dụ : 0,2 0 5 0 0 : có 3 chữ số có nghóa ( 2 chữ số 0 cuối cùng không có giá trò ) 87,1035 : có 6 chữ số có nghóa. 0,03 1 0 7 : có 4 chữ số có nghóa. 2.2 Chữ số đáng tin : Mọi số xấp xỉ a đều có thể biểu diễn được dưới dạng hệ thập phân như sau : n n 1 n k n k 1 n n 1 n k n k 1 a .10 .10 .10 .10                   Chữ số n k   được gọi là đáng tin nếu n k a 0,5 10     . Chữ số n k   được gọi là nghi ngờ nếu . n k a 0,5 10     Ví dụ : Hãy tìm những chữ số chắc của số a 153,0489  với 2 a 0, 3.10 .    Giải Ta có : 2 1 0 1 2 3 4 a 135,0489 1.10 3.10 5.10 0.10 4.10 8.10 9.10             Chữ số 1: 2 a 0,5 10 50      số 1 là đáng tin. 3: 1 a 0,5 10 5      số 3 là đáng tin.    4: 2 a 0,5 10      số 4 là đáng tin. 8: 3 a 0,5 10      số 8 là nghi ngờ. 9: 4 a 0,5 10      số 9 là nghi ngờ. Nhận xét: Nếu 1 chữ số là đáng tin thì những chữ số bên trái của nó cũng đáng tin. Nếu 1 chữ số là nghi ngờ, thì những chữ số bên phải của nó cũng nghi ngờ. Cách 2 : Ta có n n 1 n k n n 1 n k 2 1 0 135,0489 .10 .10 .10 1.10 3.10 5.10                 n 2   B B a a ø ø i i g g i i a a û û n n g g p p h h ư ư ơ ơ n n g g p p h h a a ù ù p p t t í í n n h h t t o o ù ù m m t t a a é é t t - Trang 5 - Chữ số thứ (k 1),  n k   là đáng tin nếu n k a n k a a 10 2 a 10 10 0,5 10 10 0,5 n k log 0,5 0,3 10 k n log 2 log 4,22 0,5 0,5                                                            k 4   Vậy có k 1 5   chữ số đáng tin là: 1, 3, 5, 4, 0 2 chữ số đáng ngờ là: 8, 9. 2.3 Cách viết số xấp xỉ : Có 2 cách viết :  Cách 1 : a A a .    Ví dụ : A = 35,105  0,3  .10 -2  35,102  a  35,108  Cách 2 : Viết các chữ số có nghóa là những chữ số đáng tin, hay chữ số có nghóa cuối cùng là đáng tin. Nghóa là trong trường hợp này người ta không cho a .  Khi đó ta chọn j a 0,5 10    ( j là vò trí chữ số hàng cuối cùng) Ví dụ : a = 15,034 3 a 0,5.10     b = 0,0508 4 b 0,5.10     Bài tập: 1/ Cho a = 25,1085. Tính a ?  Giải Ta có : 4 9 a a 0,5 10 3,158934 10 25,1085 a          2/ Xác đònh chữ số đáng tin của số a = 607,58931 với 2 a 0,5.10    Giải Ta xét chữ số 8 : 0,5.10 -2 = a   số 8 là đáng tin.  các chữ số 6, 0, 7, 5 cũng là đáng tin. xét chữ số 9 : 0,5.10 -3 < a   số 9 là nghi ngờ.  các chữ số 3, 1 cũng là nghi ngờ. Vậy 6, 0, 7, 5, 8 : đáng tin B B a a ø ø i i g g i i a a û û n n g g p p h h ư ư ơ ơ n n g g p p h h a a ù ù p p t t í í n n h h t t o o ù ù m m t t a a é é t t - Trang 6 - 9, 3, 1 : nghi ngờ. 2.4 Sự quy tròn: Nếu chữ số bò bỏ đi bé hơn hay bằng 4 ta xóa chữ số đó đi, còn nếu chữ số bò bỏ đi lớn hơn hay bằng 5 sau khi bỏ đi ta cộng thêm 1 cho chữ số bên trái đứng kề với chữ số bò bỏ đi. Ví dụ : 35,25749  lấy 3 số lẻ 35,257 35,25751  lấy 3 số lẻ 35,258  Chú ý: Tất cả tính toán trong môn học đều phải lấy 6 chữ số thập phân. 3. Xác đònh sai số của hàm số : 3.1 Công thức tổng quát : Cho hàm nhiều biến u = u(x 1 , x 2 , …, x n ) Gọi i  là sai số tuyệt đối giới hạn của biến x i , i 1,n   Kí hiệu: i / x u là đạo hàm riêng cấp 1 của hàm u theo biến x i ( nghóa là các biến còn lại ta xem như là hằng số). Khi đó, ta có các công thức sau :  Sai số tuyệt đối giới hạn của u : k 1 2 n n / / / / u x k x 1 x 2 x n k 1 u . u . u . u .             .  Sai số tương đối giới hạn của u : u u u    . Ví dụ: Tính sai số tuyệt đối giới hạn và tương đối giới hạn của các hàm số sau 1/ 2 z u xy ye ,   với x 1,032;  y 2,16;  z 1,132;  3 x 0,3.10 ;    2 y 0,4.10 .    Giải  Sai số tuyệt đối giới hạn của u : Ta có / / / u x x y y z z u u u ,        với   / 2 / 2 2 3 x x x x / z / 1,132 2 y y y / z / 1,132 3 z z z u y u y . (2,16) 0,3.10 =A u 2xy e u = 2.1,032.2,16 e 0,4.10 B u ye u = 2,16.e 0,5.10 C                          u A B C 0,034990        Sai số tương đối giới hạn của u : B B a a ø ø i i g g i i a a û û n n g g p p h h ư ư ơ ơ n n g g p p h h a a ù ù p p t t í í n n h h t t o o ù ù m m t t a a é é t t - Trang 7 - 2 z 2 1,132 3 u u u xy ye 1,032.(2,16) 2,16.e 11,514904 0,034990 3,038676.10 11,514904 u             2/ u xy sin z   , với x = 1,925; y = 0,162; z = 0,53. ĐS: 3 3 u u 5, 357535 10 ; 6, 554495 10 .         Chú ý: Nếu hàm số có chứa dạng lượng giác thì tất cả các máy tính đều phải để ở chế độ “Rad” khi tính toán. 3.2 Dạng đặc biệt : a/. Nếu 1 2 n u x x x     u u 1 2 n u Thì ; . u            b/. Nếu 1 2 n u x x x     1 2 n u u u x x x Thì u . ; .            B B a a ø ø i i g g i i a a û û n n g g p p h h ư ư ơ ơ n n g g p p h h a a ù ù p p t t í í n n h h t t o o ù ù m m t t a a é é t t - Trang 8 - Chương 2 : G G I I A A Û Û I I P P H H Ư Ư Ơ Ơ N N G G T T R R Ì Ì N N H H - - Đ Đ A A Ï Ï I I S S O O Á Á & & S S I I E E Â Â U U V V I I E E Ä Ä T T Bài 1: Đặt vấn đề  Giải phương trình là ta đi tìm nghiệm của phương trình f(x) = 0. Trong một số trường hợp nghiệm của phương trình trên không giải được hoặc giải được nhưng rất khó khăn. Trong khi đó thì việc lấy nghiệm chính xác trong một số trường hợp là không cần thiết. Chính vì vậy, việc tính nghiệm gần đúng là thực tế và cần thiết.  Việc tiến hành tính nghiệm gần đúng của một phương trình được thực hiện theo hai bước như sau: Bước 1: Tìm khoảng cách ly nghiệm nghóa là tìm khoảng (a, b) chứa một và chỉ một nghiệm của phương trình. Bước 2: Xuất phát từ khoảng cách ly nghiệm tìm được ở bước 1. Tính gần đúng nghiệm thực của phương trình đạt độ chính xác yêu cầu bằng một phương pháp giải gần đúng. Bài 2: Khoảng cách ly nghiệm 2.1 Đònh lý : Nếu hàm f(x) liên tục và có đạo hàm không đổi dấu trên khoảng (a, b) và f(a).f(b) < 0. Khi đó (a, b) được gọi là khoảng cách ly nghiệm của phương trình. 2.2 Cách tìm khoảng cách ly nghiệm : Để tìm khoảng cách ly nghiệm của phương trình f(x) = 0. Ta vẽ đồ thò hàm số y = f(x), giao điểm của đồ thò với trục hoành chính là nghiệm thô của phương trình. Từ các nghiệm thô này ta xác đònh được các khoảng cách ly nghiệm. Ví dụ : Tìm khoảng cách ly nghiệm của các phương trình sau: 1/. 3 2 x 3x 3 0    Giải Ta vẽ đồ thị hàm số 3 2 y x 3x 3    là : B B a a ø ø i i g g i i a a û û n n g g p p h h ư ư ơ ơ n n g g p p h h a a ù ù p p t t í í n n h h t t o o ù ù m m t t a a é é t t - Trang 9 - Dựa vào đồ thò ta thấy 3 nghiệm thô x 1 , x 2 , x 3 và các khoảng cách ly tương ứng là :       1 2 3 x 3; 2 , x 2; 1 , x 0;1        Tuy nhiên, ta có thể tách phương trình 3 2 3 2 x 3x 3 0 x 3 3x       và vẽ hai đồ thị 3 y x  và 2 y 3 3x   trên cùng một hệ trục tọa độ thì hoành độ của các giao điểm “ thô ” chính là các nghiệm thô của phương trình và từ đó ta cũng xác đònh được khoảng cách ly nghiệm. Bài 3: Các phương pháp tìm nghiệm gần đúng I. Phương pháp chia đôi : Cho phương trình f(x) = 0, có khoảng cách ly nghiệm là (a, b) và sai số  . 1. Ý tưởng : Chia đoạn AB b a   ra làm 2 đoạn bằng nhau, ta sẽ giữ lại đoạn nào còn chứa nghiệm của phương trình và cứ tiếp tục chia 2 đoạn còn lại như thế cho đến khi đoạn còn lại cuối cùng có độ dài bé tùy ý (vẫn còn chứa nghệm). Sau một lần chia 2 độ dài AB b a   còn lại b a 2  và như vậy thì sau n lần chia 2 độ dài AB còn lại là n b a 2  . Giả sử đến lúc này đoạn còn lại đã đạt yêu cầu chiều dài  bé tùy ý cho trước, nghóa là : [...]...   6, v  4 2  Giải gần đúng hệ phương trình tuyến tính Bằng phương pháp lặp & Seildel 3.1 Phương pháp lặp đơn : Xét hệ phương trình tuyến tính AX  B, với det(A)  0 Thuật toán  Bước 1: -Trang 20- Bài giảng phương pháp tính tóm tắt Đưa hệ phương trình AX  B về dạng   Mn ( ),   M n1() Và ma trận  thỏa  p X  X   , với  1,( p  1, 2, ) thì phương pháp sẽ hội tụ về nghiệm duy nhất... Chú ý : Phương pháp Newton (tiếp tuyến) cho tốc độ hội tụ nghiệm rất nhanh, nhưng đôi khi nó cho nghiệm nằm ngoài khoảng cách ly Khi đó ta phải dùng phương pháp lặp đơn để giải Nếu dùng phương pháp lặp không được ta phải dùng phương pháp chia đôi Phương pháp chia đôi luôn luôn tìm được nghiệm nhưng rất lâu (tuy nhiên ta có thể rút ngắn khoảng cách ly nghiệm) -Trang 16- Bài giảng phương pháp tính tóm... của phương trình x1 x2 Nếu sử dụng cách 3 thì (x) không thỏa điều kiện hội tụ của phương pháp  Chú ý : Cách biến đổi từ f (x )  0 về x  (x ) là không duy nhất Chính vì vậy việc chọn hàm (x ) cũng sẽ ảnh hưởng đến:  Số lần lặp của phương pháp  Các x k ( k = 1,2,…) cũng khác nhau  Nghiệm gần đúng của phương trình (vì ta chỉ kiểm tra hai x liên tiếp nhau) -Trang 13- Bài giảng phương pháp tính. .. Chú ý: Sử dụng máy tính 570 MS hoặc ES Nhập  cho ma trận A,  cho ma trận B Với X0 =   X1 = .X0 +  = matA  matB + matB X2 = .X1 +  = matA  matAns + matB -Trang 22-  0, 610175      1,100649        1, 681870       Bài giảng phương pháp tính tóm tắt 3.2 Phương pháp Seildel : Xét hệ phương trình tuyến tính AX  B, với det(A)  0 Thuật toán  Bước 1: Đưa hệ phương trình AX... 25- Bài giảng phương pháp tính tóm tắt X(4)  0, 733614088   0, 733614237         0, 781835136; X(5)  0, 781835206               2, 759831468  2, 75983146           Ta thấy : X(5)  X(4) Vậy X(5)     0, 733614237      0, 781835206 là nghiệm gần đúng của hệ phương trình        2, 75983146       -Trang 26- Bài giảng phương pháp tính. .. Q(0,1)  28,297640 Vậy với x  2,68 thì t  -Trang 34- x  x4 h Bài giảng phương pháp tính tóm tắt Ba ø i 4 Phương pháp bình phương nhỏ nhất 1 ĐẶT VẤN ĐỀ: Trong quá trình đo đạc, đôi khi mức độ đo đạc không chính xác nghóa là f(xi) không bằng yi nhưng vấn đề được đặt ra là ta phải lấy những giá trò mà ta không đo đạc được Phương pháp bình phương nhỏ nhất cho ta hàm có độ chính xác tốt nhất so với phép...     Phương pháp Gauss & Phương pháp ma trận đảo 1.1 Phương pháp Gauss: Cho hệ phương trình AX  B , với A  Mn (); B, X  Mn1( ); det(A)  0 Phương pháp Gauss được giải theo theo sơ đồ sau : a b  c    1     0          A B     y z     n1    0  0 w        n     Suy ra nghiệm bằng cách giải từ dưới lên Ví dụ : Giải các hệ phương. ..     y  2z  6   y  6  2z  12    x  2y  3z  8 x  8  2y  3z  5       1.2 Phương pháp ma trận đảo : Cho hệ phương trình : AX  B , với A  Mn (); B, X  Mn1( ); det(A)  0   Phương pháp : Tính ma trận đảo A1  X  A1B Một số phương pháp tìm ma trận đảo  Phương pháp 1: Sử dụng phép biến đổi sơ cấp trên dòng - Hoán vò hai dòng của ma trận - Nhân một dòng của ma trận... f / (x n ) , n  0,1,2, -Trang 14- Bài giảng phương pháp tính tóm tắt Tính cho tới khi x n1  x n   thì x n1 là nghiệm gần đúng của phương trình 3 Đánh giá sai số : Giả sử x* là nghiệm chính xác của phương trình x n1 là nghiệm gần đúng của phương trình Sai số: 2 M x n1  x n 2m / // với 0  m  f (x) ; f (x)  M, x  (a, b) x n1  x *  Ví dụ : Giải các phương trình sau : 1/ x 3  3x 2  3... -Trang 30- 6 4 9 5 Bài giảng phương pháp tính tóm tắt a/ Hãy lập bảng tính các tỷ hiệu b/ Viết đa thức nội suy y  P(x) và tính y(1) ? xi 1 yi 2 TH1 Giải TH 2 1 4 3  3 5 24 1 5 4 3 1 9  4 5 1 3 * TH1  2 3 * TH2 x y Ví dụ 4: Cho bảng nội suy : TH 4 37 168  3 6 TH 3 1 3 TH * 3 1 3 31 560 TH* 4 1 1, 5 2 1 4 37 a/ Hãy lập bảng tính các tỷ hiệu b/ Viết đa thức nội suy y  P(x) và tính y(3) 3 Đa thức . dụng các phương pháp tính càng trở nên phổ biến nhằm tăng tốc độ tính toán. II. Nhiệm vụ môn học  Tìm ra các phương pháp giải cho các bài toán gồm : Phương pháp đúng và phương pháp gần. I. Giới thiệu môn phương pháp tính Phương pháp tính là bộ môn toán học có nhiệm vụ giải đến kết quả bằng số cho các bài toán, nó cung cấp các phương pháp giải cho những bài toán trong thực. ra được phương pháp tối ưu nhất. III. Trình tự giải bài toán trong phương pháp tính  Khảo sát, phân tích bài toán.  Lựa chọn phương pháp dựa vào các tiêu chí sau : Khối lượng tính toán