Sở Giáo dục và Đào tạo Kỳ thi chọn học sinh giỏi tỉnh Thừa Thiên Huế Khối 12 THPT - Năm học 2005-2006 Đề thi chính thức Môn : TOÁN ( Vòng 2) ĐÁP ÁN - THANG ĐIỂM Bài Nội dung Điểm 6,0 + Biểu thức lgx xác định khi x > 0. + Nếu x là nghiệm thì : x = [ 2 x ] + [ 3 2x ]- [ 6 x ] - [lg x ] nên x là số nguyên dương. 1,0 1,0 + Đặt x = 6q + r ,với q và r là các số tự nhiên , 0  r  5 . [ 2 x ] + [ 3 2x ] - [ 6 x ] = [ 3q + 2 r ]+ [4q+ 3 2r ] – [q+ 6 r ]= 6q + [ 2 r ]+ [ 3 2r ]- [ 6 r ] Phương trình trở thành : 6q + r = 6q +[ 2 r ]+[ 3 2r ]-[ 6 r ] -[lg x ]  [lg x ]= [ 2 r ]+ [ 3 2r ]- [ 6 r ] - r với r  {0;1;2;3;4;5} 2,0 1 + Ta có : [ 2 r ]+[ 3 2r ]-[ 6 r ]-r =      5;4;3;2;00 11 rkhi rkhi +Do x  1 nên [lgx]  0 .Không xét trường hợp r=1 Với r  1,ta có : [lgx]= 0  0  lgx < 1  1  x < 10 . Ta chọn các số nguyên x thoả 1  x < 10 và x chia cho 6 có dư số khác 1. Nghiệm của phương trình : x  {2;3;4;5;6;8;9} . 1,0 1,0 7,0 2 Câu 1/ (Hình vẽ ở trang cuối) + Q = MG NG NG MG   2 .Dấu bằng khi và chỉ khi : NG MG = MG NG = 1 . + SG cắt mp(ABCD) tại tâm O của hình bình hành ABCD. Gọi K là trung điểm của SG . Từ K dựng mặt phẳng song song với mp(ABCD) cắt SA,SB,SC,SD lần lượt tại A 1 ,B 1 ,C 1 ,D 1 .Từ N dựng mặt phẳng song song với mp(ABCD) cắt SG tại N’. Ta có: MG NG = OG GN' ; MG NG =1  N’trùng K  N thuộc cạnh hình bình hành A 1 B 1 C 1 D 1 Nối NK cắt cạnh hình bình hành A 1 B 1 C 1 D 1 tại P, ta có : PM // SG . + Từ đó : Q=2 khi và chỉ khi M thuộc cạnh hình bình hành ' 1 ' 1 ' 1 ' 1 DCBA ' 1 ' 1 ' 1 ' 1 DCBA là hình chiếu song song củahình bình hành A 1 B 1 C 1 D 1 lên mp(ABCD) theo phương SG . 1,0 1,0 1,0 Câu 2/ +Miền hình bình hành ABCD hợp bởi các miền tam giác OAB,OBC,OCD,ODA M thuộc miền hình bình hành ABCD nên M thuộc một trong bốn miền tam giác này. Chẳng hạn M thuộc miền  OAB. M  A  N  C’; M  B  N  D’; M  O  N  S. Do đó N thuộc miền  SC’D’ và N’ thuộc đoạn SH ,với C’,D’ và H lần lượt là trung điểm của SC,SD và SO . Do đó : HG  N’G  SG. Vì vậy : OG HG  OG GN'  OG SG hay 2 1  MG NG  2. 2,0 + Đặt x = MG NG Ta có : Q = x 1 + x với x  [ 2 1 ;2]. Q’= 0 và x  ( 2 1 ;2)  x = 1 . MaxQ = Max{Q( 2 1 );Q(2);Q(1)}= 2 5 . + Giá trị lớn nhất của Q là : 2 5 . Đạt khi M trùng với O hoặc các đỉnh A,B,C,D. 1,0 1,0 7,0 + Điều kiện a/ cho thấy bậc của P(x)  n ,điều kiện b/ cho thấy bậc của P(x)  n. Vậy bậc của P(x) là n. P(x) = a n x n + a n-1 x n-1 + + a 1 x + a 0 . với (a 0, a 1, , a n ) là một hoán vị của {0,1, ,n} và a n  0 . + Ta có : x > 0  P(x) > 0 .Do đó mọi nghiệm x i của P(x) đều không dương . + Với n=1 ,ta có đa thức duy nhất thoả bài toán : P(x) = 1.x + 0 . 1,0 1,0 1,0 3 + Với n=2 ,nếu P(x) = a 2 x 2 +a 1 x + a 0 thoả bài toán thì theo định lí Víet : x 1 + x 2 = - 2 1 a a ; x 1 .x 2 = 2 0 a a trong đó : { a 0 , a 1 , a 2 }={0,1,2}, a 2  0 Do x 1  0 , x 2  0 , x 1  x 2 nên , a 1  0 .Suy ra : a 0 = 0 . Các đa thức : P(x) = 1.x 2 + 2.x + 0 , P(x) = 2.x 2 + 1.x + 0 thoả bài toán . + Với n=3 ,nếu P(x) = a 3 x 3 +a 2 x 2 +a 1 x + a 0 thoả bài toán thì theo định lí Víet : x 1 + x 2 + x 3 = - 3 2 a a ; x 1 x 2 +x 2 x 3 + x 3 x 1 = 3 1 a a ; x 1 x 2 x 2 = - 3 0 a a trong đó : { a 0 , a 1 , a 2 ,a 3 }={0,1,2, 3}, a 3  0 Do x 1  0 , x 2  0 ,x 3  0, x 1  x 2 x 1  x 3 x 2  x 3 nên a 1  0 và a 2  0 . Suy ra: a 0 = 0 . Ta có :P(x)= a 3 x 3 +a 2 x 2 +a 1 x= x(a 3 x 2 +a 2 x +a 1 ) ; { a 1 , a 2 ,a 3 }={1,2, 3}, 04 13 2 2  aaa Các đa thức : P(x)=1.x 3 +3.x 2 +2.x+0 , P(x)=2x 3 +3x 2 +1.x+0 thoả bài toán . 1,0 1,0 + Với n>3,nếu P(x) = a n x n + a n-1 x n-1 + + a 1 x + a 0 thoả bài toán thì theo định lí Víet :                  n n n n n nnnn n n n a a xxx a a xxxxxxxxx a a xxx 0 21 1 1 2132121 1 21 )1( )1( với (a 0, a 1, , a n ) là một hoán vị của {0,1, ,n} và a n  0 Do các x i không dương và khác nhau đôi một nên phải có a 0 = 0 . Vậy P(x) có một nghiệm bằng 0 và n-1 nghiệm còn lại khác nhau đôi một và đều âm. Có thể giả sử x n = 0 .Lúc đó x 1 , x 2 , , x n-1 là các nghiệm âm của : Q(x)= a n x n-1 + a n-1 x n-2 + + a 2 x +a 1 với (a 1, a 2, , a n ) là một hoán vị của{1,2, ,n},a n  0 Đặt u i = - x i (i=1,2, ,n-1) .Ta có u i > 0 và : u 1 + u 2 + + u n-1 = n n a a 1 (1) ; u 1 u 2 u n-2 + u 2 u 3 u n-1 + + u n-1 u 1 u n-3 = n a a 2 (2) u 1 u 2 u n-1 = n a a 1 (3) . Từ (2) và (3) cho : 1 1 u + 2 1 u + + 1 1 n u = 1 2 a a (4) Theo bất đẳng thức Côsi : (u 1 + u 2 + + u n-1 )( 1 1 u + 2 1 u + + 1 1 n u )  (n-1) 2 Dùng (1) và (4) suy ra : n n a a 1 . 1 2 a a  (n-1) 2 .Nhưng n n a a 1 . 1 2 a a  2 . 1 )1(  nn nên : (n-1) 2  2 . 1 )1(  nn  n  2 , mâu thuẩn với n > 3 . Các đa thức thoả bài toán : P(x) = x , P(x) = x 2 + 2x , P(x) = 2x 2 + x , P(x) = x 3 +3x 2 +2x , P(x) = 2x 3 +3x 2 +x . 2,0 D' C' H G N' N M O D C B A s Hình vẽ bài 2 . Sở Giáo dục và Đào tạo Kỳ thi chọn học sinh giỏi tỉnh Thừa Thi n Huế Khối 12 THPT - Năm học 200 5-2 006 Đề thi chính thức Môn : TOÁN ( Vòng 2) ĐÁP ÁN - THANG ĐIỂM Bài Nội dung. 0 thoả bài toán . + Với n =3 ,nếu P(x) = a 3 x 3 +a 2 x 2 +a 1 x + a 0 thoả bài toán thì theo định lí Víet : x 1 + x 2 + x 3 = - 3 2 a a ; x 1 x 2 +x 2 x 3 + x 3 x 1 = 3 1 a a ;. :P(x)= a 3 x 3 +a 2 x 2 +a 1 x= x(a 3 x 2 +a 2 x +a 1 ) ; { a 1 , a 2 ,a 3 }={1,2, 3} , 04 13 2 2  aaa Các đa thức : P(x)=1.x 3 +3. x 2 +2.x+0 , P(x)=2x 3 +3x 2 +1.x+0 thoả bài toán .