SӢ GIÁO DӨC VÀ ĐÀO TҤO NGHӊ AN T RƯӠNG THPT CHUYÊN PHAN BӜI CHÂU Kǣ THI THӰ ĐҤI HӐC LҪN 2 NĂM 2011 Môn thi: TOÁN ± Khӕi D Thͥi gian làm bài: 180 phút, không k͋ thͥi gian giao đ͉ I. PHҪN CHUNG CHO TҨT CҦ THÍ SINH (7,0 đi͋m) Câu I (2,0 đi͋m) Cho hàm sӕ 3 2 (2 3) (2 )y x m x m x m!      có đӗ thӏ là ( ). m C 1. Khҧo sát sӵ biӃn thiên cӫa hàm sӕ vӟi 2.m ! 2 . Tìm m đӇ đӗ thӏ ( ) m C cҳt trөc hoành tҥi ba điӇm phân biӋt có hoành đӝ âm . Câu II (2,0 đi͋m) 1. Giҧi phương trình 3 1 (tan .cot 2 1). os ( 3 sin 2cos 1). 2 x x c x x x !   2. Giҧi hӋ phương trình 2 2 2 2 2 ( 1) 3 3 2 . x x y y y x xy y x y ®    ! ± ¯   !  ± ° Câu III (1,0 đi͋m) Tính tích phân 3 2 2 1 ln( 3) . x I dx x  ! ´ Câu IV (1,0 đi͋m) Cho hình lăng trө . ' ' 'ABC A B C có '.A ABC là hình chóp tam giác đӅu, mһt phҷng ( ' )A BC vuông góc vӟi mһt phҷng ( ' ' ),C B BC .AB a! Tính theo a thӇ tích khӕi chóp '. ' '.A BCC B Câu V (1,0 đi͋m) Cho ba sӕ dương , ,x y z thoҧ mãn 3.x y z  u Chӭng minh rҵng 3. x y z y z x   u II. PHҪN RIÊNG (3,0 đi͋m): Thí sinh chӍ đưӧc làm mӝt trong hai phҫn A hoһc B. A. Theo chương trình cơ b̫n Câu VIa (2,0 đi͋m) 1. Trong mһt phҷng vӟi tӑa đӝ Oxy, cho elip 2 2 ( ) : 1. 8 2 x y E  ! ViӃt phương trình đưӡng thҷng d cҳt ( )E t ҥi hai điӇm phân biӋt có toҥ đӝ là các sӕ nguyên. 2. Trong không gian tӑa đӝ Oxyz, cho hình thoi ABCD có diӋn tích bҵng 12 2, đӍnh A thuӝc trөc Oz, đӍnh C thuӝc mһt phҷng ,Oxy hai đӍnh B và D thuӝc đưӡng thҷng 1 : 1 1 2 x y z d  ! ! và B có hoành đӝ dương. Tìm toҥ đӝ , , , .B C D Câu VIIa (1,0 đi͋m) Cho sӕ phӭc z thoҧ mãn 7 1 . 2 z z z   !  Tính 2 . z i z i   B. Theo chương trình nâng cao Câu VIb (2,0 đi͋m) 1. Trong mһt phҷng tӑa đӝ Oxy, cho hai đưӡng tròn 2 2 1 ( ) : ( 1) ( 2) 5C x y   ! và 2 2 2 ( ) : ( 1) ( 3) 9.C x y   ! ViӃt phương trình đưӡng thҷng ( tiӃp xúc vӟi 1 ( )C và cҳt 2 ( )C tҥi hai điӇm A, B thoҧ mãn 4.AB ! 2. Trong không gian tӑa đӝ Oxyz, cho đưӡng thҷng 1 2 : 2 1 1 x y z d   ! ! và mһt phҷng ( ): 2 3 0.P x y z   ! ViӃt phương trình đưӡng thҷng ( t huӝc (P), vuông góc vӟi d và có khoҧng cách giӳa d và ( b ҵng 2. C âu VIIb (1,0 đi͋m) Tìm m đӇ hàm sӕ 2 2 x mx m y x   !  có giá trӏ cӵc đҥi và giá trӏ cӵc tiӇu trái dҩu. . HӃt Thí sinh không đưͫc s͵ dͭng tài li͏u. Giám th͓ không gi̫i thích gì thêm. Hӑ và tên thí sinh: Sӕ báo danh: www.VNMATH.com SӢ G IÁO DӨC ĐÀO TҤO NGHӊ AN TRƯӠNG THPT CHUYÊN PHAN BӜI CHÂU ĐÁP ÁN ± THANG ĐIӆM Đӄ THI THӰ ĐҤI HӐC LҪN 2 NĂM 2011 Môn: TOÁN; Khӕi D (Đáp án - thang điӇm gӗm 04 trang) ĐÁP ÁN í THANG ĐIӆM Câu Đáp án Đi͋m I (2,0 đi͋m) 1. (1,0 điӇm) Khҧo sát« Tұp xác đӏnh .D ! ¡ Vӟi 2,m ! hàm sӕ trӣ thành 3 2 2 .y x x!   Ta có: 2 3 2 ;y x x!  2 ' 0 0 . 3 y x x!  !  ! 0,25 Giӟi hҥn: lim ; lim . x x y y pg pg ! g ! g Bҧng biӃn thiên: 0,25 Hàm sӕ đҥt cӵc đҥi tҥi 0x ! và 2; C D y ! hàm sӕ đҥt cӵc tiӇu tҥi 3 x  ! và 50 . 2 7 CT y ! Hàm sӕ đӗng biӃn trên các khoҧng 2 ( ;0),( ; ); 3 g g Hàm sӕ nghӏch biӃn trên khoҧng 2 ( 0; ). 3 0,25 Đӗ thӏ: 0,25 2. (1,0 điӇm) Tìm m đӇ « Phương trình hoành đӝ giao điӇm cӫa (C) vӟi trөc hoành là 3 2 2 (2 3) (2 ) 0 ( 1) 2( 1) 0x m x m x m x x m x m     !      ![ ] 2 1 2( 1) 0(1) x x m x m !  «  ¬    !  0,25 (C) cҳt Ox tҥi ba điӇm phân biӋt có hoành đӝ âm khi và chӍ khi (1) có hai nghiӋm âm phân bӋt, khác ± 1 0,25 ' 0 1 0 0 3 0 1 3 5 . 3 1 0 3 2 m S P m m " ® « ± ¬ ± ¬  ¯ " ¬ ± ¬ ±  {  ° ( 0,50 II ( 2,0 đi͋m) 1. (1,0 điӇm) Giҧi phương trình ĐiӅu kiӋn: sin 2 0.x { Phương trình đã cho tương đương vӟi 3 s inx.cos2 sin 2 .cos 1 . os ( 3 sinx 2cos 1) sin 2 .cos 2 x x x c x x x x  !   0,25 x g 0 2 3 g y' + 0 ± 0 + y g 2 g 50 2 7 y x O 2 3 2 ±1 50 2 7 www.VNMATH.com Câu Đáp án Đi͋m 3 s in 1 .cos ( 3 sin 2cos 1) cos 3sin 1 sin 2 .cos 2 x x x x x x x x  !     ! 0,25 1 2 c os( ) 2 2 . 3 2 3 x x k x k T T   !  ! T  !   T 0,25 Đӕi chiӃu điӅu kiӋn ta đưӧc hӑ nghiӋm 2 2 , . 3 x k k T !   T  ¢ 0,25 2. (1,0 điӇm).Giҧi hӋ phương trình «« HӋ đã cho tương đương vӟi 2 2 2 2 2 3 3 2 x xy y y x x xy y x y ®   !  ± ¯   !  ± ° 0,25 Th1: 0 0.y x!  ! Th2: 0,y { đһt x t x ty y !  ! thay vào hӋ: 2 2 2 2 (2 1) (3 ) (1) ( 3) ( 2) (2) y t t y t y t t y t ®   !  ± ¯   !  ± ° 0,25 Tӯ (1) và (2) ta đưӧc: 3 2 7 3 7 3 7 0 { 1;1; }. 3 t t t t   !    0,25 HӋ có bӕn nghiӋm 7 3 ( 0;0);(1;1);( 1;1);( ; ). 43 43  0,25 III (1,0 đi͋m) Tính tích phân««« Đһt 2 2 2 2 l n( 3) 3 1 xdx du u x x dx dv v x x ® ® ! !  ± ± ±   ¯ ¯ ! ± ± !  ° ± ° 0,25 3 3 2 2 1 1 l n( 3) ln12 2 ln 4 2 . 3 3 x dx I J x x  !   !    ´ 0,25 Đһt 2 3 3 tan , , dt x t dx c t ! ! os đәi cұn: 1 ; 3 . 6 3 x t x t!  ! !  ! T T 0,25 3 6 3 . 3 6 3 dt J ! ! ´ T T T Vұy ln12 l n 4 . 3 3 3 I !   T 0,25 IV (1,0 đi͋m) Tính thӇ tích khӕi chóp « Gӑi x là đӝ dài cҥnh bên, O là tâm tam giác ABC, I và M lҫn lưӧt là trung điӇm BC và B¶C¶. Ta có 2 2 3 ' ; ' ; . 2 4 a a A M AI A I x IM x! ! !  ! 0,25 ' ' ( ' ' ) ' ( ' ) ( ' ' ) A I BC A I C B BC A I IM A BC C B BC B ®  B  B ¯ B ° 0,25 Do đó: 2 2 2 2 2 2 2 3 ' ' . 4 4 2 a a a A I IM A M x x x !    !  ! 0,25 3 ' . ' ' 1 . ' . . . 3 6 2 A BCC B a V A I BC IM! ! 0,25 A B C O A¶ B¶ C¶ I  M  www.VNMATH.com Câu Đáp án Đi͋m V (1,0 đi͋m) Chӭng minh rҵng« Ta có: 1 2 , 2 1 y x x y y y  e  u  tương tӵ ta đưӧc: 2( ) 1 1 1 x y z T y z x u      0,25 Mһt khác: 2 2 2 2 ( ) 1 1 1 x y z x y z x y z y z x xy x yz y zx z xy yz zx x y z     !   u            0,25 2 2 ( ) 3( ) 3( ) 3 ( ) 3 2 1 3 3 x y z x y z x y z x y z x y z x y z x y z x y z x y z x y z         u ! ! u !                  0,25 Tӯ đó ta có: 3.V T u Dҩu bҵng xҧy ra khi 1.x y z! ! ! 0,25 VI.a (2,0 đi͋m) 1. (1,0 điӇm) ViӃt phương trình đưӡng thҷng cҳt elip« Gӑi ( ; ) ( ),M x y E vӟi , .x y ¢ ¢ Ta có: 2 2 1 2 8 2 x y y   !  e KӃt hӧp vӟi ,y ¢ ta đưӧc {0;1; 1}.y  0,25 Vӟi 0,y ! ta đưӧc 8x ! s ¢ (loҥi); vӟi 1,y ! s ta đưӧc 2.x ! s 0,25 Bӕn điӇm thuӝc (E) có toҥ đӝ nguyên là 1 2 3 4 (2;1); (2; 1); ( 2;1); ( 2; 1).M M M M    0,25 Có 6 đưӡng thҷng thoҧ mãn là: 2; 2; 1; 1; 2 0; 2 0.x x y y x y x y! !  ! !   !  ! 0,25 2. (1,0 điӇm) Tìm toҥ đӝ A, B, C, D. Gӑi (0;0; ); ( ; ;0).A a C b c Ta có: ( ; ; ),AC b c a!  uuur d có vectơ chӍ phương (1;1;2),u ! r toҥ đӝ trung điӇm I cӫa AC là ( ; ; ). 2 2 2 b c a I 0,25 Ta có . 0 2, AC u a b c I d ® ! ±  ! ! ! ¯  ± ° uuur r do đó (0;0;2); (2;2;0)A C và (1;1;1).I 0,25 DiӋn tích hình thoi 1 . 12 2, 2 S AC BD! ! mà 2 3A C ! suy ra 4 6 2 6.B D IB!  ! 0,25 ( ; ; 1 2 ), 0.B d B t t t t    " Khi đó: 2 6 3 (3;3;5); ( 1; 1; 3).I B t B D!  !     0,25 VII.a (1,0 đi͋m) Tính môđun ««. ĐiӅu kiӋn 2.z { Tӯ giҧ thiӃt ta có: 2 2 5 0 (1).z z  ! 0,25 2 4 20 16 (4 ) ;i( !  !  ! phương trình (1) có nghiӋm 1 2z i!  và 1 2 .z i!  0,25 Vӟi 1 2 ,z i!  ta đưӧc: 2 1 1 1 . 1 1 2 z i z i i i  ! ! !    0,25 Vӟi 1 2 ,z i!  ta đưӧc: 1 4 2 1 4 17 . 1 3 1 3 10 i z i i z i i i    ! ! !    0,25 VI.b (2,0 đi͋m) 1. (1,0 điӇm) ViӃt phương trình đưӡng thҷng«. 1 ( )C có tâm 1 ( 1; 2)I  và bán kính 1 5 ;R ! 2 ( )C có tâm 2 ( 1; 3)I   và bán kính 2 3.R ! T a có: 1 ( ; ) 5 (1).d I !( 0,25 Gӑi 2 ( ; ),h d I! ( ta có: 2 2 2 2 5 (2).AB R h h!   ! 0,25 Tӯ (1) và (2) suy ra ( song song vӟi 1 2 I I hoһc ( đi qua trung điӇm 5 ( 0; ) 2 M  cӫa 1 2 I I . 0,25 www.VNMATH.com Câu Đáp án Đi͋m Vì M nҵm trong 1 ( )C nên không xҧy ra khҧ năng ( qua M, do đó 1 2 / / ,I I( suy ra phương trình ( có dҥng 2 0,x y m  ! khi đó: 1 5 ( ; ) 5 5 0 10. 5 m d I m m  !  !  !  ! ( 0,25 2. (1,0 điӇm) ViӃt phương trình đưӡng thҷng thuӝc (P) và vuông góc vӟi d«. (2;1;1); d u ! uur ( ) ( 1;2; 1), P n !  uuur do đó ( có vectơ chӍ phương là ( ) 1 , (1; 1; 1). 3 P d u n u « » ! !    ½ ( uur uuur uur 0,25 Gӑi (Q) là mһt phҷng chӭa ( và song song vӟi d, ta có: ( ) 1 , (0;1; 1). 3 Q d n u u « » !  !   ½ ( uuur uur uur Phương trình (Q): 0.y z m  ! Chӑn (1; 2;0) ,A d!   ta có: ( ,( )) 2 0 4.d A Q m m!  !  ! 0,25 Vӟi 0,m ! vì ( ) ( )P ! ( nên ( đi qua (3;0;0),B ! phương trình 3 : . 1 1 1 x y z ! !   ( 0,25 Vӟi 4,m ! vì ( ) ( )P ! ( nên ( đi qua (7;0;4),C ! phương trình 7 4 : . 1 1 1 x y z  ! !   ( 0,25 VII.b (1,0 đi͋m) Tìm m đӇ hàm sӕ Tұp xác đӏnh: _ a \ 2 .D ! ¡ 0,25 Hàm sӕ có giá trӏ cӵc đҥi và giá trӏ cӵc tiӇu trái dҩu khi và chӍ khi đӗ thӏ hàm sӕ không cҳt trөc hoành khi và chӍ khi phương trình 2 0x mx m  ! vô nghiӋm 0,50 0<m<4. 0,25 ««««.HӃt««««. www.VNMATH.com . Sӕ báo danh: www.VNMATH.com SӢ G IÁO DӨC ĐÀO TҤO NGHӊ AN TRƯӠNG THPT CHUYÊN PHAN BӜI CHÂU ĐÁP ÁN ± THANG ĐIӆM Đӄ THI THӰ ĐҤI HӐC LҪN 2 NĂM 2011 Môn: TOÁN; Khӕi D (Đáp án - thang điӇm. GIÁO DӨC VÀ ĐÀO TҤO NGHӊ AN T RƯӠNG THPT CHUYÊN PHAN BӜI CHÂU Kǣ THI THӰ ĐҤI HӐC LҪN 2 NĂM 2011 Môn thi: TOÁN ± Khӕi D Thͥi gian làm bài: 180 phút, không k͋ thͥi gian giao đ͉ I. PHҪN CHUNG. Khҧo sát sӵ biӃn thi n cӫa hàm sӕ vӟi 2.m ! 2 . Tìm m đӇ đӗ thӏ ( ) m C cҳt trөc hoành tҥi ba điӇm phân biӋt có hoành đӝ âm . Câu II (2,0 đi͋m) 1. Giҧi phương trình 3 1 (tan .cot 2 1). os