Sở Giáo dục và Đào tạo TP. Hồ Chí Minh ĐỀ KIỂM TRA HỌC KỲ 2 ( 2008-2009) MÔN TOÁN LỚP 12 Thờ i gian làm bài : 120 phút A.PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ HỌC SINH ( 7 điểm) Câu 1. (3,5 điểm) Cho hàm số : )( 1 2 2 C x x y + + − = a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị )(C của hàm số. b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị )(C tại giao điểm của )(C với trục Ox . c) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị )( C , trục Ox và trục Oy . d) Xác định m để đường thẳng mxyd 2:)( + = cắt đồ thị )( C tại hai điểm phân biệt. Câu 2. (1,5 điểm) Tính các tích phân : a) I= ∫ 2 0 2 sin.cos π xdxx b) J= ∫ + 1 0 2 3 ) 1 ( dx x x Câu 3. (2 điểm) Trong khơng gian Oxyz, cho các điểm A(1 ; 0 ; 0) , B(0 ; 2 ; 0) , C(0 ; 0 ; 3). a) Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm B, C và song song với đường thẳng OA. b) Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu vng góc của gốc tọa độ O trên mặt phẳng(ABC). B.PHẦN RIÊNG : ( 3 điểm) Học sinh học chương trình nào thì chỉ được làm phần dành riêng cho chương trình đó.( phần I hoặc phần II) I)Theo chương trình chuẩn. 1) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số : 43 23 +−−= xxy trên đoạn [-3;2]. 2) Xác định m để hàm số 12)2( 23 ++−++= mmxxmxy có điểm cực đại và điểm cực tiểu. 3) Trong khơng gian Oxyz, viết phương trình mặt cầu ( S ) đi qua hai điểm A(-2 ; 4 ; 1), B(2 ; 0 ; 3 ) và có tâm I thuộc đường thẳng (d):      += = = 6t1z 3ty t-2x II)Theo chương trình nâng cao. 1) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số : 52 2 ++= xxy trên đoạn [-3;2]. 2) Xác định m để hàm số 12)2( 23 ++−++= mmxxmxy đồng biến trên tập xác định của nó. 3) Trong khơng gian Oxyz, viết phương trình mặt cầu ( S ) đi qua ba điểm A(-2 ; 4 ; 1), B(2 ; 0 ; 3 ), C(0 ; 2 ; -1) và có tâm I thuộc mp(P) có phương trình: x + y – z + 2 = 0. HẾT Đáp án : A.PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ HỌC SINH ( 7 điểm) Câu 1. (3,5 điểm) Cho hàm số : )( 1 2 2 C x x y + + − = a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị )( C của hàm số. Tập xác định : } 2 1 {\R − 0,25 đ Sự biến thiên. . chiều biến thiên : 2 1 ,0 )12( 5 ' 2 − ≠∀< + − = x x y 0,25 đ Hàm số nghịch biến trên các khoảng ); 2 1 () 2 1 ;( +∞ − − −∞ và 0,25 đ Hàm số không có cực trị Tiệm cận : 2 1 1 2 2 − = + + − = ±∞→±∞→ x x LimyLim xx +∞ = −∞ = +− − → − → yLimvàyLim xx 2 1 2 1 0,25 đ Đường thẳng 2 1 − =y là tiệm cận ngang Đường thẳng 2 1 − =x là tiệm cận đứng. 0,25 đ Bảng biến thiên 0,25 đ Đồ thị cắt trục Oy tại điểm ( 0 ; 2 ), cắt trục Ox tại điểm ( 2 ; 0 ) Vẽ đồ thị . Lưu ý: Giao điểm của hai tiệm cận là tâm đối xứng của đồ thị. 0,5 đ b)Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị )( C tại giao điểm của )( C với trục Ox . Giao điểm với trục Ox : ( 2 ; 0 ) y’(2) = 5 1 − Phương trình tiếp tuyến của ( C ) tại điểm ( 2 ; 0 ) : 5 2 5 1 )2( 5 1 0 + − =⇔− − =− xyxy 0,5 đ c)Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị )( C , trục Ox và trục Oy Giao điểm với trục Ox : ( 2 ; 0 ) y’ y − − x - 1/2 - ∞ + ∞ + ∞ - 1/2 −∞ - 1/2 Giao điểm với trục Oy : ( 0 ; 2 ). Vì 0 1 2 2 ≥ + + − = x x y với ]2;0[ ∈ x nên diện tích hình phẳng cần tìm : ∫∫ ++ − = + + − = + +− = 2 0 2 0 2 0 )12 4 5 2 1 () 12 2/5 2 1 ( 12 2 xLnxdx x dx x x S S = 5 4 5 1 Ln+− ( đvdt) 0,5 đ d)Xác định m để đường thẳng mxyd 2:)( + = cắt đồ thị )( C tại hai điểm phân biệt. Hoành độ giao điểm của )( d và đồ thị ( C ) thỏa phương trình : mm cómxmx mxmx mm mxmxx xmx x x ∀>+=∆ =−+++      ≠−− =−+++ ⇔      ≠−+−− − =−+++ ⇔ − ≠+= + + − ,054 01)12( 021 2 1 01)12( 02212) 2 1 (2 022242 ) 2 1 (2 12 2 2 2 2 2 2 Vậy với mọi m đường thẳng ( d ) luôn cắt (C ) tại hai điểm phân biệt. 0,5 đ Câu 2. (1,5 điểm) Tính các tích phân : a) I= ∫ 2 0 2 sin.cos π xdxx Đặt xdxduthìxu sincos − = = 0,25 đ Ta có : x = 0 thì 1 = u x = 2 π thì 0 = u Vậy I = 3 1 ) 3 ()( 0 1 0 1 3 2 =−=− ∫ u duu 0,5 đ b) J= ∫∫ + = + 1 0 23 2 1 0 2 3 )1( ) 1 ( dx x x dx x x Đặt dxxduthìxu 23 31 =+= 0,25 đ Ta có : x = 0 thì 1 = u x = 1 thì 2 = u Vậy J= 6 1 3 1 6 1 3 1 3 2 1 2 1 2 =+ − =−= ∫ u u du 0,5 đ Câu 3. (2 điểm) Trong không gian Oxyz, cho các điểm A(1 ; 0 ; 0) , B(0 ; 2 ; 0) , C(0 ; 0 ; 3). a)Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm B, C và song song với đường thẳng OA. Ta có )3;2;0( −=BC )0;0;1(=OA Mp(P) đi qua BC và song song với OA nên có vectơ pháp tuyến là : )2;3;0(=n 0,5 đ Mp(P) đi qua điểm B(0 ; 2 ; 0), có vectơ pháp tuyến )2;3;0(=n nên có phương trình : (y – 2)3 + 2z = 0 ⇔ 3y + 2z – 6 = 0 0,5đ b)Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu vuông góc của gốc tọa độ O trên mặt phẳng(ABC). Phương trình mp(ABC) : 062361 3 2 1 =−++⇔=++ zyx zyx 0,25 đ Đường thẳng OH vuông góc với mp(ABC) nên có vecto chỉ phương là vecto pháp tuyến của mp(ABC) : ( 6 ; 3 ; 2 ) Phương trình tham số của đường thẳng OH:      = = = 2tz 3ty 6tx 0,5 đ H là giao điểm của OH và mp(ABC) nên tọa độ H thỏa hệ :        =++ = = = 06-2z3y6x 2tz 3ty 6tx Giải hệ trên ta được H ( ) 49 12 ; 49 18 ; 49 36 0,25 đ B.PHẦN RIÊNG : ( 3 điểm) I)Theo chương trình chuẩn. 1) Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số : 43 23 +−−= xxy 43 23 +−−= xxy xác định và liên tục trên R 2;00' 63' 2 −==⇔= −−= xxy xxy ( thuộc đoạn [ - 3 ; 2 ] ) 0,5 đ Xét trên trên đoạn [-3;2]: Ta có y(-3) = 4 ; y(-2) = 0 ; y(0) = 4 ; y(2) = - 16 Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là 4 , đạt tại x = -3 hoặc x = 0 và giá trị nhỏ nhất của hàm số là -16 đạt tại x =2. 0,5 đ 2) Xác định m để hàm số 12)2( 23 ++−++= mmxxmxy có điểm cực đại và điểm cực tiểu. Hàm số xác định có tập xác định là R 12)2( 23 ++−++= mmxxmxy 4106)2(' 02)2(230' 2)2(23' 22 2 2 ++=++=∆ =−++⇔= −++= mmmm mxmxy mxmxy (1) 0,5 đ Để hàm số có cực đại và cực tiểu thì (1) phải có hai nghiệm phân biệt : 2152150' +−>−−<⇔>∆ mvm 0,5 đ 3) Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt cầu ( S ) đi qua hai điểm A(-2 ; 4 ; 1), B(2 ; 0 ; 3 ) và có tâm I thuộc đường thẳng (d):      += = = 6t1z 3ty t-2x Vì mặt cầu (S) qua hai điểm A, B nên tâm I của mặt cầu thuộc mặt trung trực của AB. Trung điểm của AB là : K (0 ; 2 ; 2 ) Vecto )2;4;4(AB −= → Phương trình mp trung trực của AB : (x-0)4 +(y-2)(-4)+(z-2)2 = 0 02zy2x2 = + + − ⇔ Ta có I là giao điểm của đường thẳng ( d ) và mp trung trực của AB nên tọa độ tâm I thỏa :        =++− += = −= 02z2y2x 6t1z 3ty t2x Giải hệ trên ta được I ( )22; 2 21 ; 2 3 − 0,5 đ Bán kính mặt cầu (S) : IB = 2 967 19) 2 21 ()2 2 3 ( 222 =++−− Phương trình mặt cầu ( S ) 2 967 )22() 2 21 () 2 3 ( 222 =−+−++ zyx 0,5 đ II)Theo chương trình nâng cao. 1) Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số : 52 2 ++= xxy trên đoạn [-3;2]. Ta có tập xác định của hàm sô là R Hàm số liên tục trên R. ]2;3[10' 52 1 ' 2 −∈−=⇔= ++ + = xy xx x y 0,5 đ Ta có y(-3) = 8 ; y(-1) =2 ; y(2) = 13 Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là 13 , đạt tại x = 2 và giá trị nhỏ nhất của hàm số là 2 đạt tại x = -1 0,5 đ 2) Xác định m để hàm số 12)2( 23 ++−++= mmxxmxy đồng biến trên tập xác định của nó. Hàm số xác định có tập xác định là R 12)2( 23 ++−++= mmxxmxy 4106)2(' 02)2(230' 2)2(23' 22 2 2 ++=++=∆ =−++⇔= −++= mmmm mxmxy mxmxy (1) 0,5 đ Để hàm số đồng biến trên tập xác định của nó thì (1) phải có nghiệm kép hoặc vô nghiệm ( vì hệ số a của y’ là số dương) 2152150' +−≤≤−−⇔≤∆ m 0,5 đ 3) Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt cầu ( S ) đi qua ba điểm A(-2 ; 4 ; 1), B(2 ; 0 ; 3 ), C(0 ; 2 ; -1) và có tâm I thuộc mp(P) có phương trình: x + y – z + 2 = 0. Vì mặt cầu (S) qua hai điểm A, B nên tâm I của mặt cầu thuộc mặt trung trực của AB. Trung điểm của AB là : K (0 ; 2 ; 2 ) Vecto )2;4;4(AB −= → Phương trình mp trung trực của AB : (x-0)4 +(y-2)(-4)+(z-2)2 = 0 02zy2x2 = + + − ⇔ ( 1 ) Vì mặt cầu (S) qua hai điểm B,C nên tâm I của mặt cầu thuộc mặt trung trực của BC. Trung điểm của BC là : J (1 ; 1 ; 1 ) Vecto )4;2;2(BC −−= → Phương trình mp trung trực của BC : (x-1)(-2) +(y-1)(2)+(z-1)(-4) = 0 022yx = + − + − ⇔ z (2) Theo giả thiết tâm I thuộc mp(P):x + y – z + 2 = 0 (3) Vậy tọa độ I thỏa hệ phương trình ( 1 ) , ( 2 ) , ( 3 ). Giải hệ này ta được I( -1 ; 1 ; 2). 0,5 đ Bán kính mặt cầu ( S ) : IA = 11 Vậy phương trình mặt cầu ( S ): 11)2()1()1( 222 =−+−++ zyx 0,5 đ Hết . mm cómxmx mxmx mm mxmxx xmx x x ∀>+=∆ =−+++      ≠−− =−+++ ⇔      ≠−+−− − =−+++ ⇔ − ≠+= + + − ,054 01) 12( 021 2 1 01) 12( 022 12) 2 1 (2 022 2 42 ) 2 1 (2 12 2 2 2 2 2 2 Vậy với mọi m đường thẳng ( d ) luôn cắt (C ) tại hai điểm phân biệt. 0,5 đ Câu 2. (1,5 điểm) Tính. hệ trên ta được I ( )22 ; 2 21 ; 2 3 − 0,5 đ Bán kính mặt cầu (S) : IB = 2 967 19) 2 21 ( )2 2 3 ( 22 2 =++−− Phương trình mặt cầu ( S ) 2 967 )22 () 2 21 () 2 3 ( 22 2 =−+−++ zyx 0,5 đ II)Theo. Sở Giáo dục và Đào tạo TP. Hồ Chí Minh ĐỀ KIỂM TRA HỌC KỲ 2 ( 20 08 -20 09) MÔN TOÁN LỚP 12 Thờ i gian làm bài : 120 phút A.PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ HỌC SINH ( 7 điểm) Câu 1.