TOÁN CAO CẤP THI CAO HỌC KHỐI NGÀNH KINH TẾ [WWW.TENS.VN | WWW.SAUDAIHOC.INFO] B i ê n t ậ p : T u t k k t - L u y ệ n T h i C a o H ọ c T E N s – 3 6 T r ầ n C a o V â n Trang 28 Nhƣ vậy R (A|B) = 3 # R A = 2, hệ đã cho vô nghiệm. Với m = 1, ta có ma trận mở rộng nhƣ sau: Nhƣ vậy R (A|B) = R A = 1 < sồ ẩn , hệ đã cho có vô số nghiệm. Phƣơng trình tƣơng đƣơng:           Giải từ dƣới lên ta thấy: 0.z = 0; 0.y = 0 nên chọn z = , y =, do vậy x = 1 -   Vậy nghiệm trong trƣờng hợp m = 1:         Nhƣ vậy, đến đây các bạn đã biết đƣợc nhƣ thế nào là hệ phƣơng trình tuyến tính. Các bạn cũng biết đƣợc các cách giải của hệ phƣơng trình tuyến tính. Đặc biệt các bạn sẽ biện luận đƣợc số nghiệm của hệ phƣơng trình dựa vào tham số và hạng của ma trận (A|B) và ma trận A. Các bạn hãy cố gắng luyện tập giải thật nhiều để nhuần nhuyễn, tập tính kiên nhẫn ghi ra thật chi tiết. Trong bài thi mình ghi chi tiết chẳng mất điểm đâu mà lo, chỉ sợ các bạn bỏ bƣớc ròi sai tùm lum mà không biết sửa chỗ nào. Bên cạnh đó chấm bài theo bƣớc, nên nếu bỏ bƣớc cũng là sự nguy hiểm cho việc ẵm trọn điểm. Vâng, thƣa các bạn những vấn đề từ chủ đề 1 đến chủ để 2 và chủ đề 3 thật cơ bản phải không nào? Chúng ta phải chấp nhận 1 sự thật là có thể những gì các bạn đã học ở trên không phải là 1 câu hỏi trong đề thi, nhƣng tất cả những gì chúng ta học ở trên thì nó sẽ hỗ trợ rất tốt cho chủ đề tiếp theo. Và phải nói chắc rằng nếu các bạn không nắm đƣợc các vấn đề từ chủ đế 1 đến chủ đế 2 và chủ đề 3 thì đừng có cơ may mà ẵm đƣợc 6 điểm trở lên ( đã trừ đi phần xác suất 2 điểm ). Bởi vì các phần 1,2,3 sẽ đƣợc chuyển hóa trong một bài toán rất hay đó là bài toán kinh tế, hay còn gọi là ứng dụng của các phần 1,2,3 trong kinh tế. Để đi tiếp qua phần 4 mà chúng ta sẽ đƣợc thấy sau đây thì nhiệm vụ của chúng ta trƣớc tiên là phải điểm qua một số nội dung quan trọng của chủ để 3. Xin mời các bạn xem tiếp trang kế tiếp. TOÁN CAO CẤP THI CAO HỌC KHỐI NGÀNH KINH TẾ [WWW.TENS.VN | WWW.SAUDAIHOC.INFO] B i ê n t ậ p : T u t k k t - L u y ệ n T h i C a o H ọ c T E N s – 3 6 T r ầ n C a o V â n Trang 29 MỘT SỐ ĐIỄM CẦN LƢU Ý VỀ HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 01. Các bạn phải hình dung cho đƣợc ma trận mở rộng (A|B), ma trận bậc thang mở rộng sau khi dùng các phép biến đổi sơ cấp trên dòng (A’|B’). 02. Hạng của ma trận (A’|B’) cũng là hạng của ma trận (A|B), hạng của ma trận A’ cũng là hạng của ma trận A. 03. Nếu R (A|B) # R A thì hệ vô nghiệm ( bất kể hệ có bao nhiêu ẩn ). Nếu R (A|B) = R A = R thì hệ có nghiệm nhƣ sau: a. Nếu R (A|B) = R A = số ẩn n thì hệ có 01 nghiệm duy nhất. b. Nếu R (A|B) = R A < số ẩn n thì hệ có vô số nghiệm phụ thuộc vào (n –R) tham số. 04. Khi biện luận nghiệm của hệ mà trong đó có tham số thì làm nhƣ sau: a. Bƣớc 1: cho tất cả các phần tử nằm trên đƣờng chéo chính của ma trận A’ khác không, từ đó tìm nghiệm duy nhất của hệ. b. Bƣớc 2: cho từng ( từng chứ không phải là tất cả ) các phần tử nằm trên đƣờng chéo chính của ma trận A’ bằng không, tùy từng giá trị của tham số có đƣợc ta thế vào ma trận bậc thang mở rộng để tìm hạng của (A’|B’) và A’ từ đó suy ra hạng của ma trận (A|B) và A từ đó dựa vào hạng mà biện luận hệ cho vô nghiệm hay vô số nghiệm. 05. Trong trƣờng hợp nếu đề yêu cầu tìm giá trị tham số để hệ có nghiệm thì ta chỉ cần làm cả hai bƣớc 1 và bƣớc 2 nhƣ ở chú ý số 04 rồi kết luận. 06. Trong trƣờng hợp yêu cầu tìm nghiệm duy nhất thì dùng đến bƣớc 1 rồi kết luận hay các bạn dùng phƣơng pháp Cramer tính định thức của ma trận A và cho định thức đó khác 0, rồi kết luận. 07. Chú ý rằng phƣơng pháp Cramer cũng có thể biện luận nghiệm của hệ phƣơng trình tuyến tính ( ngoài trƣờng hợp nghiệm duy nhất ), bằng cách nhƣ sau: a. Cho định thức A khác không, kết luận hệ có nghiệm duy nhất theo tham số. b. Cho định thức A bằng không, dựa vào từng tham số tìm đƣợc, thế vào ma trận mở rộng (A|B) sau đó dùng các phép biến đổi sơ cấp trên (A|B) đƣa về dạng bậc thang rồi tìm hạng sau đó kết luận. 08. Nhƣ vậy, phƣơng pháp Gauss hay Cramer đều có thể giải đƣợc toàn vẹn một bài toán biện luận hệ phƣơng trình tuyến tính. Tùy vào tính chất và yêu cầu của đề bài mà các bạn vận dụng cho linh hoạt. 09. Cuối cùng, chúng tôi nhắc thêm một lần nữa là các bạn hết sức cẩn thận trong tính toán từng con số, trong từng phép biến đổi. Trình bày sạch đẹp và rõ ràng nhé. Nó sẽ giúp chúng ta dễ dàng kiểm tra lại bài và nếu có sai cũng dễ nhìn ra mà sửa. TOÁN CAO CẤP THI CAO HỌC KHỐI NGÀNH KINH TẾ [WWW.TENS.VN | WWW.SAUDAIHOC.INFO] B i ê n t ậ p : T u t k k t - L u y ệ n T h i C a o H ọ c T E N s – 3 6 T r ầ n C a o V â n Trang 30 Ngành n Đầu vào Ngành 1 Ngành 2 Ngành j Ngành n Đầu ra PHẦN A: ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH CHỦ ĐỀ 4: MÔ HÌNH INPUT - OUTPUT 1. MÔ HÌNH Giả sử một nền kinh tế có n ngành. Sản phẩm của mỗi ngành gọi là đầu ra của ngành đó. Nguyên vật liệu dùng để sản xuất sản phẩm cho ngành là đầu vào. Một chú ý rằng sản phẩm đầu ra của ngành này có thể là nguyên liệu đầu vào của ngành khác. Ví dụ nhƣ ngành sắt thép thì sản phẩm đầu ra là sắt thép nhƣng sắt thép là nguyên liệu đầu vào của ngành cơ khí…Vì vậy để sản xuất ra đƣợc sản phẩm của ngành này thì nó phải lấy rất nhiều sản phẩm đầu ra của ngành khác làm nguyên liệu đầu vào cho nó. Các bạn sẽ phải sử dụng các giả thiết sau để làm đƣợc bài toán input-output: - Mỗi ngành chỉ sản xuất ra đúng 01 loại sản phẩm. - Tỷ lệ các nguyên liệu đầu vào của ngành này lấy từ các ngành khác để sản xuất đƣợc 1 đơn vị sản phẩm là cố định. - Nguyên liệu đầu vào của một ngành tăng lên k lần thì đầu ra cũng tăng lên k lần. - Đại lƣợng để đo lƣờng nguyên liệu, sản phẩm là tiền tệ. - Khi ta nói một ngành nào đó sản xuất ra 1 đơn vị sản phẩm thì có nghĩa là ngành đó sản xuất đƣợc 1 lƣợng hàng hóa trị giá 1 đơn vị tiền tệ. Theo giả thiết ta giả sử ngành thứ j sẽ sản xuất đƣợc 1 đơn vị sản phẩm khi nó sử dụng các nguyên liệu theo tỷ lệ cố định lấy từ các ngành tƣơng ứng: a 1j , a 2j ,…, a nj với j =1,2…,n. Tức là: Với lƣợng nguyên liệu lấy từ ngành thứ 1 là a 1j Với lƣợng nguyên liệu lấy từ ngành thứ 2 là a 2j Với lƣợng nguyên liệu lấy từ ngành thứ 3 là a 3j Với lƣợng nguyên liệu lấy từ ngành thứ n là a nj Thì ngành thứ j sẽ sản xuất ra đƣợc 1 đơn vị sản phẩm đầu ra. Ta lập một ma trận A nhƣ sau, các bạn sẽ dễ nhận thấy điều chúng tôi vừa trình bày ở trên: Ma trận A:                                   Ngành 1 Ngành 2 TOÁN CAO CẤP THI CAO HỌC KHỐI NGÀNH KINH TẾ [WWW.TENS.VN | WWW.SAUDAIHOC.INFO] B i ê n t ậ p : T u t k k t - L u y ệ n T h i C a o H ọ c T E N s – 3 6 T r ầ n C a o V â n Trang 31 Ma trận A đƣợc gọi là ma trận hệ số đầu vào. Ý nghĩa kinh tế của a ij Cần 1 ( một ) lƣợng hàng hóa của ngành i trị giá a ij đơn vị tiền để sản xuất ra 1 ( một ) lƣợng hàng hóa của ngành j trị giá 1 ( một ) đơn vị tiền. Hay nói cách khác: a ij là số tiền của ngành i đóng góp cho ngành j để ngành j sản xuất ra lƣợng hàng trị giá 1 ( một ) đơn vị tiền. Các bạn hãy chú ý cách đọc lại một lần nữa về “đầu vào”, “đầu ra ”         Nhƣ vậy đầu vào của ngành tƣơng ứng với hàng ( hàng 1 đầu vào ngành 1, hàng 2 đầu vào ngành 2, hàng n đầu vào ngành n ), đầu ra tƣơng ứng với cột ( cột 1 là sản phẩm đầu ra ngành 1, cột 2 là sản phẩm đầu ra ngành 2, cột n là sản phẩm đầu ra ngành n ). Quá khó….để mà nhớ phải hông nè? Sao mà rối rắm thế? Hic. 2. CÁC DẠNG BÀI TOÁN INPUT-OUTPUT. Giả sử một nền kinh tế có 3 ngành. Ngành 1 muốn sản xuất ra 1 đơn vị sản phẩm cần mức nguyên liệu nhƣ sau: 0,3 đơn vị nguyên liệu của ngành 1 0,2 đơn vị nguyên liệu của ngành 2 0,2 đơn vị nguyên liệu của ngành 3 Ngành 2 muốn sản xuất ra 1 đơn vị sản phẩm cần mức nguyên liệu nhƣ sau: 0,4 đơn vị nguyên liệu của ngành 1 0,3 đơn vị nguyên liệu của ngành 2 0,1 đơn vị nguyên liệu của ngành 3 Ngành 3 muốn sản xuất ra 1 đơn vị sản phẩm cần mức nguyên liệu nhƣ sau: 0,1 đơn vị nguyên liệu của ngành 1 0,2 đơn vị nguyên liệu của ngành 2 0,4 đơn vị nguyên liệu của ngành 3 Từ các thông tin trên các bạn sẽ sắp xếp đƣợc một ma trận gọi là ma trận hệ số đầu vào nhƣ sau: Gọi A là ma trận hệ số đầu vào, A có dạng: A=           Chúng ta tiếp tục đặt X là tổng sản lƣợng đầu ra của 3 ngành, Y là tổng nguyên liệu đầu vào của 3 ngành. X, Y có dạng nhƣ sau: TOÁN CAO CẤP THI CAO HỌC KHỐI NGÀNH KINH TẾ [WWW.TENS.VN | WWW.SAUDAIHOC.INFO] B i ê n t ậ p : T u t k k t - L u y ệ n T h i C a o H ọ c T E N s – 3 6 T r ầ n C a o V â n Trang 32 X=       , hay X = (       Y=       , hay Y = (       Để sản xuất   đơn vị đầu ra ngành 1,   đơn vị đầu ra ngành 2,   đơn vị đầu ra ngành 3 thì tổng nguyện liệu lấy từ các ngành 1, 2, 3 nhƣ sau: Ngành 1: 0.3  + 0.4  + 0.1  =   Ngành 2: 0.2  + 0.3  + 0.2  =   Ngành 3: 0.2  + 0.1  + 0.4  =   Nhƣ vậy, chúng ta có hệ phƣơng trình tuyến tính: A.X = Y a. Ý nghĩa kinh tế của   Các bạn xem   có phải là hạng tử nằm ở dòng thứ 2, cột thứ 3 của ma trận A? vậy   . Ý nghĩa cần một lƣợng hàng hóa của ngành thứ 2 trị giá 0.2 đơn vị tiền để sản xuất ra 1 lƣợng hàng hóa của ngành thứ 3 trị giá 1 đơn vị tiền. Hay nói cách khác 0.2 là số tiền của ngành 2 đóng góp cho ngành 3 để ngành 3 sản xuất ra 1 lƣợng hàng hóa có giá trị là 1 đơn vị tiền. b. Tìm tổng nguyên liệu đầu vào của 3 ngành để sản xuất ra 10 đơn vị đầu ra của từng ngành. Đầu ra là sao các bạn? Có phải là X không? Vâng, chính xác. Ta có: X=    , tức là đầu ra ngành 1 là 10, đầu ra ngành 2 là 10, đầu ra ngành 3 là 10 Đầu vào chính là Y, ta có: Y=        Thế vào phƣơng trình Y= A.X, với A là ma trận hệ số đầu vào, ta đƣợc: Y=        =           .     Dùng phép nhân ma trận ta tìm đƣợc Y Y =                  =     Vậy, tổng nguyên liệu đầu vào của ngành 1,2,3 để sản xuất ra 10 đơn vị đầu ra của ngành 1,2,3 lần lƣợt là: 8, 7, 7. Quá dễ phải không các bạn? Chúng tôi sẽ đƣa các bạn đi tiếp qua câu c. c. Tìm mức sản lƣợng của 3 ngành với lƣợng nguyên liệu đầu vào là 10 đơn vị của mỗi ngành. Bài toán này là bài toán ngƣợc với câu b. Chắc chắn ở dạng câu hỏi này chúng ta phải tìm ma trận nghịch đảo, các bạn chuẩn bị tính toán thật cẩn thận kẻo mất điểm hoặc bị rối nếu sảy ra sai sót. TOÁN CAO CẤP THI CAO HỌC KHỐI NGÀNH KINH TẾ [WWW.TENS.VN | WWW.SAUDAIHOC.INFO] B i ê n t ậ p : T u t k k t - L u y ệ n T h i C a o H ọ c T E N s – 3 6 T r ầ n C a o V â n Trang 33 Nhƣ các bạn đã biết X là sản lƣợng đầu ra, Y là sản lƣợng đầu vào. Vậy từ phƣơng trình Y = A.X ta suy ra X = A -1 .Y Chúng ta sẽ phải tìm ma trận nghịch đảo của ma trận A. Tuy nhiên các bạn chú ý các hệ số trong ma trận A không dễ dàng ( không tạo điều kiện thuận lợi ) để ta có thể tìm ma trận nghịch đảo A -1 . Do vậy, chúng ta sẽ nhân ma trận A với 10. Cách làm nhƣ sau: Đặt B = 10.A =           , khi đặt B = 10.A thì A -1 = 10.B -1 Với ma trận B =           , ta dễ dàng tìm đƣợc    = 10, nhƣ vậy tồn tại ma trận nghịch đảo B -1 , bây giờ ta tính ma trận nghịch đảo B -1 bằng phần bù đại số. B -1 =     .                     , Với B 11 = (-1) 1 +1 .     10 , B 12 = (-1) 1 +2 .     - 4 , B 13 = (-1) 1 +3 .     - 4 B 21 = (-1) 2 +1 .     -15 , B 22 = (-1) 2 +2 .     10 , B 23 = (-1) 2 +3 .     5 B 31 = (-1) 3 +1 .     5 , B 32 = (-1) 3 +2 .     - 4 , B 33 = (-1) 3 +3 .     1 ( CÒN TIẾP ) XÁC SUẤT THỐNG KÊ KINH TẾ HỌC WWW.TENS.VN/FORUM .                           Ngành 1 Ngành 2 TOÁN CAO CẤP THI CAO HỌC KHỐI NGÀNH KINH TẾ [WWW.TENS.VN | WWW.SAUDAIHOC.INFO] B i ê n t ậ p : T. đặt X là tổng sản lƣợng đầu ra của 3 ngành, Y là tổng nguyên liệu đầu vào của 3 ngành. X, Y có dạng nhƣ sau: TOÁN CAO CẤP THI CAO HỌC KHỐI NGÀNH KINH TẾ [WWW.TENS.VN | WWW.SAUDAIHOC.INFO]. TOÁN CAO CẤP THI CAO HỌC KHỐI NGÀNH KINH TẾ [WWW.TENS.VN | WWW.SAUDAIHOC.INFO] B i ê n t ậ p : T u t k k t