Chơng 4: Biến đổi tuyến tính trình ngẫu nhiên dừng 4.1 Biến đổi hm ngẫu nhiên toán tử tuyến tính Giả sử hm (t) nhận đợc từ hm f(t) b»ng c¸ch thùc hiƯn mét sè phÐp to¸n nμo ®ã vμ L lμ ký hiƯu qui −íc c¸c phÐp toán ny, tức L l qui tắc, theo hm f(t) biến đổi thnh (t) Trong toán học, ngời ta gọi qui tắc, theo tập hm đợc ánh xạ sang tập hợp hm khác l toán tử Ta nói rằng, hm (t) l kết tác dụng toán tử L lên hm f(t), tức l (t ) = L{ f (t )} (4.1.1) Trong kỹ thuật vô tuyến v ứng dụng kỹ thuật kh¸c ng−êi ta th−êng gäi hμm f(t) lμ t¸c dơng lèi vμo, hμm ϕ(t) lμ tÝn hiƯu ra, cßn L toán tử hệ lm biến đổi tác dụng lối vo Toán tử L đợc gọi l tuyến tính, thoả mÃn hai điều kiện sau: L{cf (x )} = cL{ f (x )} (4.1.2) tøc lμ kÕt tác dụng toán tử lên tích hm f(t) v thừa số không đổi c tích thừa số với kết tác dụng toán tử ®ã lªn f(t) L{ f1 (t ) + f (t )} = L{ f1 (t )} + L{ f (t )} (4.1.3) tức l kết tác dụng toán tử lên tổng hai hm tổng kết tác dụng toán tử lên hm riêng biệt Toán tử không thoả mÃn điều kiện gọi lμ to¸n tư phi tun VÝ dơ, to¸n tư vi phân l toán tử tuyến tính, thoả mÃn đẳng thức d {cf1 (t )} = c d { f1 (t )} dt dt vμ d { f1 (t ) + f (t )} = d { f1 (t )} + d { f (t )} dt dt dt Toán tử lấy tích phân l toán tử tuyến tính Toán tử nhận đợc tác dụng liên tiếp vi toán tử tuyến tính l to¸n tư tun tÝnh To¸n tư lÊy kú väng to¸n học hm ngẫu nhiên l toán tử tuyến tính VÝ dơ vỊ to¸n tư phi tun lμ phÐp to¸n nâng lên luỹ thừa, toán tử lấy phơng sai hm ngẫu nhiên Nếu hm ngẫu nhiên Y(t) l kết t¸c dơng cđa mét to¸n tư tun tÝnh L bÊt kỳ lên hm ngẫu nhiên X(t) có kỳ vọng toán häc mx(t) vμ hμm t−¬ng quan Rx(t1,t2), tøc lμ Y (t ) = L{X (t )} m y (t ) = L{mx (t )} (4.1.5) Ry (t1 , t2 ) = L(t1 )L(t ){Rx (t1 , t2 )} th× (4.1.4) (4.1.6) nghĩa l my(t) nhận đợc cách tác dụng toán tử L lên mx(t), Ry(t1,t2) nhận đợc cách tác dụng hai lần toán tử L lên hm Rx(t1,t2), theo đối số thứ t1, sau ®ã theo ®èi sè thø hai t2 104 Thùc vËy, m y (t ) = M [L{X (t )}] (4.1.7) Toán tử L tác dụng lên biến t, toán tử tìm kỳ vọng toán học tiến hnh lấy trung bình tung độ hm ngẫu nhiên (khi cố định t) theo tập hợp tất giá trị đại lợng ngẫu nhiên X(t), l toán tử tuyến tính Vì vậy, đổi chỗ trật tự t¸c dơng cđa c¸c to¸n tư M vμ L cho nhau, tøc lμ my(t)= L{M[X(t)]}=L{mx(t)}, vμ ®iỊu ®ã ®· chøng minh cho đẳng thức (4.1.5) Tiếp theo [( [ ][ ] R y (t1 , t ) = M {Y (t1 ) − m y (t1 ) Y (t2 ) − m y (t2 ) }= )( )] = M L(t1 ) {X (t1 )} − L(t1 ) {mx (t1 )} L(t2 ) {X (t2 )} − L(t21 ){mx (t2 )} = [ = M L(t1 ) L(t2 ){[ X (t1 ) − mx (t1 )][X (t ) − mx (t )]} = = L(t1 ) L(t2 ){M [[ X (t1 ) − mx (t1 )][ X (t2 ) − mx (t )]]} = L(t1 ) L(t ){Rx (t1 , t2 )} Các công thức đà trình by chơng kỳ vọng toán học v hm tơng quan đạo hm v tích phân hm ngẫu nhiên l trờng hợp riªng cđa (4.1.5) vμ (4.1.6) ViƯc biÕt Dx(t) lμ ch−a đủ để nhận đợc phơng sai Dy(t) trình ngẫu nhiên Y(t) Trớc hết cần phải tìm hm tơng quan Ry(t1,t2) theo công thức (4.1.6), sau vo t1=t2=t Để tìm đặc trng hm ngẫu nhiên, l kết tác dụng toán tử phi tuyến lên hm ngẫu nhiên X(t), biết mx(t) v Rx(t1,t2) cha đủ, trờng hợp ny qui luật phân bố hm X(t) đóng vai trò quan trọng Đối với toán tử phi tuyến nhận đợc kết tơng đối đơn giản số trờng hợp riêng Trong trờng hợp tác dụng toán tử tuyến tính lên hm X(t) có qui luật phân bố chuẩn, hm ngẫu nhiên Y(t) = L{X(t)} cịng tu©n theo qui lt ph©n bè chn, bëi tính chất tuyến tính toán tử L, hm Y(t) nhận đợc nhờ tổ hợp tuyến tính số hữu hạn vô hạn tung độ hm X(t) Nhng từ lý thuyết xác suất ta biết rằng, tổ hợp tuyến tính đại lợng ngẫu nhiên phân bố chuẩn phụ thuộc ®éc lËp ®Ịu tu©n theo qui lt ph©n bè chn Do vậy, trờng hợp X(t) l hm ngẫu nhiên tuân theo qui luật phân bố chuẩn, Y(t) tuân theo qui luật phân bố chuẩn v đặc trng my(t), Ry(t1,t2) tìm đợc hon ton xác định Nếu X(t) l hm ngẫu nhiên phân bố chuẩn, Y(t) qui luật ph©n bè víi X(t) Qui lt ph©n bè chn cịng không đợc bảo ton toán tử L không tuyến tính 4.2 Biến đổi tuyến tính dới dạng phổ Ta h·y biĨu diƠn phÐp biÕn ®ỉi tun tÝnh d−íi dạng phổ Muốn vậy, ta sử dụng khái niệm hm delta Dirac, hm đợc sử dụng rộng rÃi to¸n häc Hμm delta δ(t) lμ hμm cã c¸c tÝnh chÊt sau: 105 0 t ≠ ∞ t = 1) δ (t ) =  (4.2.1) tøc lμ (t) không với giá trị t khác không, điểm t = tăng lên vô hạn 2) Tích phân hm delta ton miền vô hạn đơn vị (t )dt = (4.2.2) Hm delta l hm theo nghĩa thông thờng, m l hm tợng trng no ®ã Theo nghÜa chÝnh x¸c, hμm cã c¸c tÝnh chÊt (4.2.1) v (4.2.2) không tồn Tuy nhiên xÐt hμm δ(t) theo mét nghÜa nμo ®ã gièng nh− giới hạn hm thông thờng Ta lấy hm Gauss lμm vÝ dơ H×nh 4.1 f (t ) = t − e 2σ , 2π σ ®èi với hm ny hệ thức (4.2.2) đợc thoả mÃn Ta giảm đại lợng xuống, đồ thị hm nhọn (trong nguyên viết l đồ thị giÃn ND) (hình 4.1), giá trị cực đại f (0 ) = tăng, miền giá trị khác không hm thu hẹp lại Lấy giới hạn ta nhận đợc hm cã tÝnh chÊt cđa hμm delta Sư dơng kh¸i niƯm giíi h¹n nμy, cã thĨ biĨu diƠn hμm delta d−íi dạng tích phân Tơng ứng với mục 1.12, mật độ phân bố đại lợng ngẫu nhiên phân bố chuẩn đợc biểu diễn nh l phép biến đổi ngợc Fourier hm đặc trng nó, theo (1.12.25) hm nμy cã d¹ng g (ω ) = e − ω 2σ 2 Do tÝnh ch½n cđa hμm nμy nên ta có đẳng thức t2 1 e 2σ = 2π 2π σ ∞ e −iωt e − ω 2σ 2 dω (4.2.3) −∞ LÊy giíi hạn hai vế đẳng thức (4.2.3) ta nhận đợc biểu diễn tích phân hm delta (t ) = 2π ∞ e −iωt dω (4.2.4) −∞ NÕu xÐt hμm delta cđa ®èi sè t−τ, víi τ lμ số xác định, t t = τ δ (t − τ ) =  106 (4.2.5) ∞  δ (t − τ )dt = (4.2.6) −∞ §èi víi mäi hμm f(t) bÊt kú, liên tục t=, ta có đẳng thức f (τ )δ (t − τ )dτ = f (t ) (4.2.7) Điều ny đợc suy cách đơn giản nh sau, không thật chặt chẽ Vì (t) khác t=, nên tích phân (4.2.7) khác khoảng [t, t+], với >0 bÐ tuú ý Tõ ®ã ∞ t +ε t +ε ∞ −∞ t −ε t −ε −∞  f (τ )δ (t − τ )dτ =  f (τ )δ (t − τ )dτ = f (t )  δ(t − τ)dτ = f (t )  δ(t − τ)dτ = f (t ) Ký hiƯu g(t,τ) lμ kÕt qu¶ tác dụng toán tử tuyến tính L no lên hm delta (t) điểm cố định g (t , τ ) = L{δ (t − τ )} (4.2.8) Nhê hμm g(t,τ) nμy, ta sÏ biĨu thÞ kÕt tác dụng toán tử L đà cho lên hm f(t) cho đoạn [a,b] Tác dụng toán tử tuyến tính L lên hai vế đẳng thức (4.2.7), ta đợc b L{ f (t )} = g (t ,τ ) f (τ )dτ (4.2.9) a Nh− vËy, hm (t)=L{f(t)}, kết tác dụng toán tử tuyến tính L lên hm f(t), đợc biểu diễn dới d¹ng b ϕ (t ) =  g (t ,τ ) f (τ )dτ (4.2.10) a Hμm g(t,τ), kÕt qu¶ tác dụng toán tử L lên hm delta (t), đợc gọi l hm trọng lợng (Trong kỹ thuật vô tuyến ng−êi ta gäi nã lμ hμm chuyÓn xung) NÕu hμm f(t) đợc cho khoảng vô hạn (, +) cã thÓ viÕt ∞ ϕ (t ) =  g (t ,τ ) f (τ )dτ (4.2.11) −∞ Trong tr−êng hợp riêng, toán tử L l dừng hm trọng lợng phụ thuộc vo hiệu t Khi cã thÓ viÕt ϕ (t ) = ∞  g (t − τ ) f (τ )dτ (4.2.12) −∞ TÝch phân (4.2.12) đợc gọi l tích phân chập hm f(t) vμ g(t) Ký hiÖu Sf(ω) vμ Sϕ(ω) lμ biÕn đổi Fourier (mật độ phổ) tơng ứng hm f(t) vμ ϕ(t) Khi ®ã ta cã: f (t ) = ∞ ω  S (ω )e dω i t f −∞ 107 (4.2.13) ∞ ϕ (t ) =  S ( )e it d (4.2.14) Đặt biểu thức vo (4.2.12), ta nhận đợc i t  Sϕ (ω )e dω = −∞  ∞ g (t − τ )  S f (ω )e iωτ dω  dτ ∞ −   −∞ ∞ (4.2.15) Thay đổi thứ tự lấy tích phân tích phân hai lớp v lm phép đổi biến t=1, ta đợc ∞  ∞ Sϕ (ω )eiωt dω =  S f (ω )e iωt   g (τ )e −iωτ dτ  dω ∞ −∞ −   −∞ ∞ (4.2.16) Ký hiƯu G(ω) lμ biÕn ®ỉi Fourier (mật độ phổ ) hm trọng lợng g(t) G (ω ) = 2π ∞  g (t )e it dt (4.2.17) Tích phân móc vuông (4.2.16) b»ng 2πG(ω), tõ ®ã cã thĨ viÕt ∞ ω  [Sϕ (ω ) − S (ω ).2πG(ω )]e dω = i t (4.2.18) f −∞ §iỊu nμy chøng tỏ rằng, biến đổi ngợc Fourier hm S ( ) − S f (ω )2 π G (ω ) 0, v đẳng thức sau cần đợc tho¶ m·n Sϕ (ω ) = S f (ω ).2πG (ω ) (4.2.19) Hμm: L(ω ) = 2πG (ω ) = ∞  g (t )e −iωt dt (4.2.20) đợc gọi l hm truyền toán tử tuyến tính L Từ viết (4.2.19) dới dạng Sϕ (ω ) = S f (ω )L(ω ) (4.2.21) Nh vậy, mật độ phổ S(), kết việc tác dụng toán tử tuyến tính L lên hm f(t), b»ng tÝch mËt ®é phỉ Sf(ω) cđa hμm f(t) vμ hm truyền L() toán tử 4.3 Mật độ phổ ngẫu nhiên dừng phép biến đổi tuyến tính trình Bây ta xét trình ngẫu nhiên dừng X(t) cã kú väng to¸n häc b»ng vμ hμm tơng quan Rx() cho trớc V giả sử trình ngẫu nhiên khác Y(t) l kết tác dụng toán tử tuyến tính dừng L lên trình ngẫu nhiªn X(t) Y (t ) = L{X (t )} (4.3.1) Khi ta biểu diễn trình ngẫu nhiên Y(t) dới dạng Y (t ) =  g (t − τ )X (τ )dτ −∞ víi g(t) l hm trọng lợng 108 (4.3.2) Thật vậy, thể yi(t) trình ngẫu nhiên Y(t), kết tác dụng toán tử L lên hm không ngẫu nhiên xi(t) l thể tơng ứng trình ngẫu nhiên X(t), v chúng hệ thøc (4.3.2) lμ ®óng, ®ã nã cịng ®óng ®èi với tập tất thể Trong trờng hợp toán tử tuyến tính L đợc cho dới hình thức biến đổi thực no đó, nguyên tắc cần thoả mÃn l khả thực đợc mặt vật lý, m theo phản ứng biến đổi lên tác dụng lối vo xuất trớc bắt đầu có tác động xảy ra, tức l hm trọng lợng g(t) cần phải đồng t< Xuất phát từ đó, biến đổi thực, công thức (4.3.2) cần phải viết d−íi d¹ng Y (t ) = t  g (t − τ )X (τ )dτ (4.3.3) −∞ Thùc hiÖn phÐp ®ỉi biÕn t−τ=τ1, ta ®−ỵc ∞ Y (t ) =  g (τ )X (t − τ )dτ (4.3.4) g(t)=0 t 0; k2y lực đn hồi; F(t) lực xáo trộn đợc xác định dao động số lợng va chạm phân tử Giả sử rằng, lực F(t) l trình ngẫu nhiên dừng có mật độ phổ không đổi Sf() = c Theo (4.4.14), hm truyền phơng trình (4.4.26) có d¹ng L(ω ) = 1 = 2 (iω ) + 2αiω + k k − ω + 2i (4.4.27) Theo (4.4.16), mật độ phổ trình ngẫu nhiên dừng Y(t), nghiệm phơng trình (4.4.26), đợc xác định dới dạng S y ( ) = c c= 2 2 2 k − ω + 2iαω k − ω + (2iαω ) ( ) (4.4.28) B»ng c¸ch ký hiƯu k = α + β 2, c = 2ασ k π (4.4.29) cã thÓ viÕt biÓu thøc (4.4.28) d−íi d¹ng S y (ω ) = 2σ 2α π (ω α2 + β2 −α − β 114 ) + 4α 2ω (4.4.30) MËt ®é phỉ nμy (nh− ®· chØ mơc 3.2, vÝ dơ 5) t−¬ng øng víi hμm t−¬ng quan R y (τ ) = σ e −α τ  α  cos βτ + sin β τ  β      (4.4.31) Tõ (4.4.29), biĨu diƠn β v qua hệ số phơng trình = k2 −α , σ2 = πc , 2αk (4.4.32) ta viết hm tơng quan (4.4.31) dới dạng Ry() = πc 2αk e −α τ  α  cos k − α 2τ + sin k − α τ  2 k −α  (4.4.33) Quá trình ngẫu nhiên Y(t) có hm tơng quan dạng (4.4.31) l khả vi, nhiên không tồn đạo hm bậc hai Vì vậy, cần xét nghiệm phơng trình (4.4.26) theo nghĩa nh đà phơng trình (4.4.19) Chơng 5: Nội ngoại suy v lm trơn hm ngẫu nhiên 5.1 Đặt bi toán Ta hÃy xét vi bi toán thờng gặp khí tợng thuỷ văn Ngoại suy Giả sử có thể x(t) trình ngẫu nhiên X(t) khoảng biến đổi no tham số [a,t] xảy trớc thời điểm t Giả thiết đặc trng trình ngẫu nhiên X(t) kỳ vọng toán học v hm tơng quan nó, đà biết Yêu cầu dự báo giá trị x(t+T) thể ny thời điểm t+T no đó, T>0 Ngời ta gọi đại lợng T l lợng ngắm đón Bi toán ny đợc gọi l bi toán ngoại suy trình ngẫu nhiên Do giả thiết thể x(t) đợc xác định xác, sai số đo, nên bi toán ny đợc gọi l bi toán ngoại suy tuý Lm trơn Giả sử thể x(t) trình ngẫu nhiên X(t) đợc xác định nhờ kết thực nghiệm, khoảng biến đổi [a,t] cđa tham sè t, víi sai sè y(t) lμ thể trình ngẫu nhiên Y(t), tức l thực nghiệm ta nhận đợc thể z(t) = x(t) + y(t), với x(t) l giá trị thực thể hiện, y(t) l sai số đo Giả thiết đà biết đặc trng trình ngẫu nhiên X(t) v Y(t), nh kỳ vọng toán học, hm tơng quan v hm tơng quan quan hệ Yêu cầu xác định giá trị thực thể x(t) thời điểm t no đó, có nghĩa l tách khỏi sai số đo Bi toán ny gọi l bi toán lm trơn (lọc) trình ngẫu nhiên Nó xuất hiện, chẳng hạn, tách tín hiệu hữu ích nhiễu kỹ thuật vô tuyến, ngời ta gọi giá trị thực l tín hiệu hữu ích, sai số lm méo tín hiệu ®−ỵc gäi lμ 115 ... trình (4. 4.1) dới dạng ký hiệu (anpn+ an-1pn-1 + +a1p+a0)y(t)=(bmpm+ bm-1pm-1 + +b1p+b0)x(t) (4. 4.3) Đặt anpn+ an-1pn-1 + +a1p+a0=An(p) 110 (4. 4.2) bmpm+ bm-1pm-1 + +b1p+b0=Bm(p) (4. 4 .4) ta cã... (4. 4.9) −∞ Ta thay (4. 4.8) vμ (4. 4.9) vμo (4. 4.1) V× d k iωt k e = (iω ) eiωt k dt [ ] d k iωt k e L(ω ) = (iω ) L(ω )e iωt k dt nªn ta cã [an(iω)n+ an-1(iω)n-1+ + a1(iω)+a0]L(ω)eiωt= 111 (4. 4.10)... với (4. 4. 24) ta thÊy σ α = c , tõ ®ã σ = quan nghiệm phơng trình (4. 4.19) dới d¹ng Rv (τ ) = πc −α τ e α (4. 4.25) Trong mục 2.9 ta đà chứng tỏ rằng, trình ngẫu nhiên có hm tơng quan dạng (4. 4.25)