Đang tải... (xem toàn văn)
Luận Văn Thạc Sỹ Về Khái niệm chỉ số của phương trình vi phân đại số Phương trình vi phân thường đã được nghiên cứu từ lâu, trong khi đó lý thuyết phương trình vi phân ẩn, trong đó có phương trình vi phân đại số, chỉ mới được quan tâm mạnh mẽ trong vòng 30 năm trở lại đây. Phương trình vi phân đại số là bài toán đặt không chỉnh, vì vậy có rất nhiều điểm đặc biệt mà ta không thể tìm thấy ở phương trình vi phân thường, ví dụ: ma trận hệ số là ma trận suy biến, sự tồn tại và duy nhất nghiệm phụ thuộc vào vế phải,..., khiến việc nghiên cứu những vấn đề định tính cũng như giải số phương trình vi phân đại số trở nên phức tạp hơn nhiều so với phương trình vi phân thường.
Mục lục Mở đầu Danh mục ký hiệu Phương trình vi phân đại số 1.1 Một số đặc thù phương trình vi phân đại số 1.2 Một số ví dụ phương trình vi phân đại số thực tế 13 1.2.1 1.2.2 1.3 Hệ học có ràng buộc 13 Mạch điện 16 Phép chiếu - Ma trận quy 20 Các khái niệm số phương trình vi phân đại số 23 2.1 Chỉ số Kronecker 23 2.2 Chỉ số vi phân 27 2.3 Chỉ số mềm 2.4 Các khái niệm số khác 44 33 2.4.1 Chỉ số nhiễu 44 2.4.2 Chỉ số hình học 48 2.4.3 Chỉ số lạ 52 Kết luận 58 Tài liệu tham khảo 59 Lời cảm ơn Luận văn thực hoàn thành Viện Toán học - Viện Hàn lâm Khoa học Công nghệ Việt Nam, hướng dẫn khoa học PGS.TS Tạ Duy Phượng Tác giả xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến thầy giáo, người hướng dẫn khoa học mình, người giao đề tài tận tình hướng dẫn suốt trình tập dượt nghiên cứu tác giả Đồng thời tác giả chân thành cảm ơn thầy cô Viện Toán học, Viện Hàn lâm Khoa học Cơng nghệ Việt Nam nhiệt tình giảng dạy, tạo điều kiện cho tác giả tài liệu thủ tục hành để tác giả hồn thành luận văn Tác giả gửi lời cảm ơn đến gia đình, Tạp chí Tốn học Tuổi trẻ bạn lớp Cao học K19 Viện Toán học, động viên giúp đỡ tác giả trình học tập làm luận văn Hà Nội, ngày 25 tháng năm 2013 Người thực Nguyễn Thị Trang Mở đầu Phương trình vi phân thường nghiên cứu từ lâu, lý thuyết phương trình vi phân ẩn, có phương trình vi phân đại số, quan tâm mạnh mẽ vịng 30 năm trở lại Phương trình vi phân đại số tốn đặt khơng chỉnh, có nhiều điểm đặc biệt mà ta khơng thể tìm thấy phương trình vi phân thường, ví dụ: ma trận hệ số ma trận suy biến, tồn nghiệm phụ thuộc vào vế phải, , khiến việc nghiên cứu vấn đề định tính giải số phương trình vi phân đại số trở nên phức tạp nhiều so với phương trình vi phân thường Phương trình vi phân đại số có nhiều ứng dụng rộng rãi, chúng mơ hệ động lực có ràng buộc, chẳng hạn hệ học, hệ mạch điện, hệ kỹ thuật hóa học, lý thuyết điều khiển, động lực học chất lỏng nhiều lĩnh vực khác Động thái chuyển động đối tượng vật lý thường mơ hình hóa qua hệ phương trình vi phân Nhưng trạng thái hệ thống vật lý chịu số ràng buộc (về vị trí, lượng, ), hạn chế mơ tả phương trình (ràng buộc) đại số Những hệ bao gồm phương trình vi phân phương trình đại số, gọi hệ phương trình vi phân đại số (Differential - algebraic equation, DAE), hệ đại số vi phân (Algebraic - Differential equation, ADE) tổng quát hệ phương trình vi phân ẩn Khái niệm số sử dụng lý thuyết phương trình vi phân đại số để đo độ phức tạp phương trình vi phân đại số phương trình vi phân thường Chỉ số số nguyên không âm, cung cấp thơng tin hữu ích cấu trúc tốn học phức tạp việc phân tích hệ phương trình vi phân đại số Luận văn có mục đích trình bày khái niệm số phương trình vi phân đại số số ứng dụng nghiên cứu phương trình vi phân đại số Nội dung luận văn gồm hai chương: Chương Trình bày số đặc thù, ví dụ phương trình vi phân đại số thực tế số kiến thức liên quan sử dụng Chương Chương Trình bày khái niệm số khác quan hệ chúng: số Kronecker (cho phương trình vi phân đại số tuyến tính với hệ số hằng), số vi phân (Brenan 1996), số nhiễu (Hairer 1996), số mềm (Griepentrog 1986), số hình học (Rabier 2002) số lạ (Kunkel 2006) Các khái niệm số trùng trường hợp phương trình vi phân tuyến tính với hệ số hệ phi tuyến hệ phương trình vi phân tuyến tính với hệ số biến thiên khái niệm số khác Đối với hệ này, số trở thành khái niệm địa phương với giá trị khác miền khác Danh mục ký hiệu Rn - Không gian Euclid n chiều L(Rn , Rm )- Khơng gian ánh xạ tuyến tính liên tục từ Rn vào Rm L(Rn ) - Không gian ánh xạ tuyến tính liên tục từ Rn vào Rn kerf - Hạt nhân (hạch) ánh xạ tuyến tính f : X → Y , kerf = {x ∈ X|f (x) = 0Y } imf - Ảnh ánh xạ tuyến tính f : X → Y , imf = {f (x) ∈ Y |x ∈ X} cokernel - Đối hạt nhân (đối hạch) ánh xạ tuyến tính f : X → Y , cokernel(f ) = Y |imf U V = Rn nghĩa U + V = Rn U ∩ V = {0} f (., , ) : J × Ω × Rm → Rm , J = (a, b), Ω ⊂ Rm C(J × Ω × Rm , Rm )- Tập hàm liên tục theo ba biến, C p (J) - Không gian hàm khả vi đến cấp p J detA(t) - Định thức ma trận A(t) rankA(t) - Hạng ma trận A(t) diag(M, N ) - Ma trận khối đường chéo Chương Phương trình vi phân đại số Xét phương trình vi phân ẩn F (t, x(t), x (t)) = 0, (1.1) x : J → Rm , J = (a, +∞) ⊂ R, Ω tập mở Rm , F : J × Ω × Rm → Rm , F ∈ C(J × Ω × Rm , Rm ) Một dạng phương trình vi phân ẩn quan tâm nghiên cứu nhiều năm gần phương trình vi phân đại số tuyến tính dạng A(t)(D(t)x(t)) + B(t)x(t) = q(t), (1.2) A ∈ C(J, L(Rn , Rm ), B ∈ C(J, L(Rm )), q vectơ hàm liên tục J , detA(t) = với t ∈ J Khi D(t) ≡ I (ma trận đơn vị) phương trình (1.2) có dạng A(t)x (t) + B(t)x(t) = q(t) (1.3) Phương trình (1.3) nghiên cứu kĩ so với (1.2) Người ta thường phân lớp phương trình vi phân đại số nhờ khái niệm số phương trình vi phân (1.3) (1.2) 1.1 Một số đặc thù phương trình vi phân đại số Xét phương trình vi phân đại số tuyến tính với hệ số t ∈ J, Ex (t) + F x(t) = f (t), E, F ∈ L(Rn ) (1.4) Khác với phương trình vi phân thường, tồn tính nghiệm cấu trúc tập nghiệm phương trình (1.1) vấn đề cần nghiên cứu kĩ Các ví dụ cho thấy điều Ví dụ 1.1.1 [14] Cho phương trình vi phân đại số tuyến tính 0 x (t) + x(t) = 0, 0 0 với x = x1 x2 (1.5) Phương trình (1.5) có dạng tương ứng x (t) + x (t) = 0, = Từ suy x (t) = −x2 (t) x1 (t) , x2 (t) = g(t), Nghiệm (1.5) hàm x(t) = x2 (t) t x1 (t) = − g(s)ds + C, với hàm g ∈ C (J, R) bất kì, C số t0 Ta biết khơng gian nghiệm phương trình vi phân thường tuyến tính x = A(t)x không gian hữu hạn chiều Không gian nghiệm hệ (1.5) vô hạn chiều Thật vậy, chọn x2,k (t) = tk , k = 1, 2, , k+1 k+1 − t x1,k (t) = − t Khi xk (t) = k + nghiệm k k+1 t (1.1) Do hệ {tk , k = 1, 2, } độc lập tuyến tính nên khơng gian nghiệm (1.5) vô hạn chiều Đây đặc thù phương trình vi phân đại số Ví dụ 1.1.2 [12] Xét phương trình vi phân đại số tuyến tính 1 x(t) = −t x(t) + (1.6) Phương trình (1.6) có dạng (1.2) với 1 x , x = A = , D = −t , B = x2 Phương trình (1.6) tương đương với x (t) 1 = x1 (t) −tx2 (t) + x2 (t) Phương trình (1.7) có dạng x (t) − x (t) − tx (t) + x (t) + x (t) = 0, 2 x (t) − x2 (t) − tx (t) + 2x2 (t) = 0, (a) (1.7) (1.8) (b) Trừ phương trình (1.8a) cho phương trình (1.8b) ta x1 (t) = x2 (t) Thay trở lại phương trình (1.8a) ta (1 − t)x1 (t) + x1 (t) = (1.9) Trên khoảng (−∞, 1) (1, +∞), phương trình (1.9) tương đương −x1 (t) dx1 (t) dt với x1 (t) = ⇔ = ⇔ lnx1 (t) = ln(t − 1) + C ⇔ 1−t x1 (t) t−1 x0 x1 (t) = (t − 1)C Nếu cho trước x(0) = x0 = −C hay x0 C = −x0 Vậy x1 (t) = x2 (t) = (1 − t)x0 Nghiệm phương trình (1.6) x1 (t) (1 − t)x0 = = (1 − t)x0 , x(t) = x2 (t) (1 − t)x0 x0 ∈ R Điều cho thấy tất nghiệm bị triệt tiêu (bằng 0) t∗ = Hơn (1.8) có nghiệm ứng với điều kiện ban đầu nữa, hệ x10 x10 x(t0 ) = x0 = = Khác với phương trình vi phân thường, x20 x10 tính nghiệm khơng cịn bảo đảm (tại t∗ = 1) Các điểm mà phương trình vi phân đại số khơng có nghiệm tính nghiệm bị phá vỡ gọi điểm tới hạn Điểm mà ma trận hàm A(t)D(t) E(t) có hạng thay đổi khoảng xét định nghĩa điểm tới hạn Ví dụ 1.1.3 [12] Cho phương trình vi phân đại số 0 α(t) x (t) + x(t) = q(t) 0 Phương trình (1.10) có dạng α(t)x (t) + x (t) = q (t), 1 x2 (t) = q2 (t) Hàm liên tục α(t) xác định I = [−1, 1] α(t) = với t ≤ 0, α(t) = với t > Hệ (1.10) có nghiệm x2 (t) = q2 (t), t ∈ [−1, 1] q (t), t ∈ [−1, 0], x1 (t) = q1 (t) − α(t)q (t), t ∈ (0, 1] (1.10) Như vậy, để (1.10) có nghiệm vế phải q2 (t) phải khả vi liên tục tức tồn nghiệm phụ thuộc vào tính khả vi hàm tham gia vế phải Đây điểm khác biệt phương trình vi phân đại số phương trình vi phân thường Tại t∗ = E(t) = E(t) = ma trận E(t) có hạng thay đổi từ sang Thật vậy, có rankE(t) = với t ≤ 0, có rankE(t)=1 với t > 0 Như rankE(t) thay đổi qua điểm tới hạn t∗ = Phương trình vi phân đại số (1.10) giải (có nghiệm) hàm q2 liên tục khoảng I khả vi liên tục (0, 1] Ví dụ 0, t ∈ [−1, 0] α(t) = √ t, t ∈ (0, 1], với q1 (t) = q2 (t) = α(t) ta thu 0, t ∈ [−1, 0] x1 (t) = − √ , t ∈ (0, 1] 33t x2 (t) = α(t) Như Hình 1.1, tọa độ x2 (t) nghiệm "dán" với Hình 1.1: Nghiệm x1 , x2 trường hợp q1 = q2 = α 10 hay t ||ˆ(t) − x(t)|| ≤ ||ˆ(0) − x(0)|| + x x ||[f (ˆ(τ ), y (τ )) − f (x(τ ), y(τ ))]||dτ x ˆ t + || δ1 (τ )dτ || Sử dụng điều kiện Lipschitz cho hàm f (ˆ(τ ), y (τ )) ta x ˆ t ||[f (ˆ(τ ), y (τ )) − f (x(τ ), y(τ ))]||dτ x ˆ t ≤ L ||ˆ(τ ) − x(τ )|| + ||ˆ(τ ) − y(τ )||dτ x y (2.33) Phương trình thứ hai = f (ˆ, y ) + δ2 (t) hệ phương trình x ˆ đại số (khơng có đạo hàm), ta sử dụng Định lý hàm ẩn Vì gy khả nghịch theo giả thiết, từ Định lý hàm ẩn ta có ||ˆ(t) − y(t)|| ≤ C1 (||ˆ(t) − x(t)|| + ||δ2 (t)||) y x (2.34) vế phải phương trình đủ nhỏ Theo (2.32), (2.33) (2.34) ta có t ||ˆ(t) − x(t)|| ≤ ||ˆ(0) − x(0)|| + C2 x x ||ˆ(τ ) − x(τ )||dτ x t t ||δ2 (τ )|| + || + C3 δ1 (τ )|| 0 Kí hiệu e(τ ) = ||ˆ(τ ) − x(τ )||, ta có x t e(t) ≤ e(0) + C2 t ||δ2 (τ )|| + || e(τ )dτ + C3 t δ1 (τ )|| (2.35) Trong đánh giá này, chuẩn tương ứng với δ2 bên tích phân, chuẩn tương ứng với δ1 bên ngồi tích phân Điều tương ứng với thực tế nhiễu phương trình đại số (phương trình thứ hai hệ (2.28)) phức tạp phương trình vi phân (phương trình thứ hệ (2.28)) hệ Áp dụng Bổ đề Gronwall khoảng bị chặn [0, τ ] ta có t ||ˆ(t) − x(t)|| ≤ C4 ||ˆ(0) − x(0)|| + x x ||δ2 (τ )||dτ + max || 46 ξ 0≤ξ≤t δ1 (τ )dτ || ≤ C5 ||ˆ(0) − x(0)|| + max ||δ2 (ξ)|| + max ||δ1 (ξ)|| x 0≤ξ≤t 0≤ξ≤t Từ bất đẳng thức (2.28) cho thấy phương trình vi phân đại số có số nhiễu Hệ phương trình vi phân đại số số Để tìm số nhiễu phương trình x = f (x, y); = g(x), (2.36) x = f (ˆ, y ) + δ(t); ˆ x ˆ = g(ˆ) + θ(t) x (2.37) ta xét hệ nhiễu Lấy đạo hàm phương trình thứ hai theo t (2.37) ta = gx x (t) + θ (t) = gx (ˆ)f (ˆ, y ) + gx (ˆ)δ(t) + θ (t) ˆ x y ˆ x Do gx (ˆ)f (ˆ, y ) khả nghịch nên sử dụng cơng thức đánh giá x x ˆ ví dụ số với δ2 (t) thay gx (ˆ)δ(t)+θ (t), x ta t ||ˆ(t) − x(t)|| ≤ C ||ˆ(0) − x(0)|| + x x ||δ(ξ)|| + ||θ (ξ)||dξ ||ˆ(t) − y(t)|| ≤ C ||ˆ(0) − y(0)|| + max ||δ(ξ)|| + max ||θ (ξ)|| y y 0≤ξ≤t 0≤ξ≤t Vì ước lượng phụ thuộc vào đạo hàm cấp θ nên số nhiễu phương trình (2.36) Trong ví dụ 2.2.2 2.2.3 ta thấy rằng, hệ (2.28) (2.36) có số vi phân tương ứng Những ví dụ tạo ấn tượng số nhiễu số vi phân Ví dụ sau điều khơng Ví dụ 2.4.1 (Lubich, 1989) y1 − y3 y2 + y2 y3 = 0, y2 = 0, 47 y3 = 0; y1 − y3 y2 + y2 y3 = 0, ˆ ˆˆ ˆˆ y2 = ε sin ωt, ˆ y3 = ε cos ωt; ˆ với yi (0) = (i = 1, 2, 3) Ta có y2 = εω cos ωt y3 = −εω sin ωt Thay y2 = ε sin ωt, y3 = ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆˆ ε cos ωt y2 , y3 vào phương trình y1 − y3 y2 + y2 y3 = ta ˆ ˆ ˆ y1 − ε cos ωt.εω cos ωt + ε sin ωt.(−εω sin ωt) ˆ = y1 − ε2 ωt(cos2 ωt + sin2 ωt) ˆ = y1 − ε2 ωt ˆ ⇒ y1 = ε2 ω ε cố định ω → 0, ước lượng (2.27) với ˆ m = không thỏa mãn Tuy nhiên cho m = cơng thức (2.27) thỏa mãn Vậy tốn có số vi phân số nhiễu Ví dụ dẫn đến nhận định số vi phân số nhiễu khác nhiều Tuy nhiên, Campell Gear (1995) điều khơng phương trình ym N y + y = 0, (2.38) với N ma trận cấp m × m có dạng nilpotent tam giác Vì dịng cuối N 0, ta có ym = số vi phân Mặt khác ym = Cho nên phương trình (2.38) có số nhiểu m 2.4.2 Chỉ số hình học Phương trình vi phân đại số ngày đóng vai trị quan trọng nghiên cứu hệ động lực Phương trình vi phân đại số tựa tuyến tính tìm thấy nhiều ứng dụng có dạng A(x, µ)x = f (x, µ), (2.39) A ∈ C k (W0 × I, Rm×m ), Rm×m tập ma trận có hệ số số thực cấp m × m f ∈ C k (W0 × I, Rm ), W0 tập 48 mở Rm , I khoảng số thực, tham số µ k số đủ lớn để lấy vi phân Cố định tham số µ (2.39) với giá trị cho trước, ta dẫn tới phương trình vi phân đại số tựa tuyến tính dừng (khơng phụ thuộc thời gian) tham số viết dạng A(x)x = f (x), (2.40) A ∈ C k (W0 , Rm×m ), f ∈ C k (W0 , Rm ), W0 tập mở Rm Để phân tích phương trình vi phân đại số tựa tuyến tính chứa tham số (2.39), ta cần xem kĩ thuật rút gọn khái niệm số hình học nghiên cứu dáng điệu địa phương (2.40) Phương pháp rút gọn hình học nghiên cứu năm 1990 chủ yếu Reich Rabier Rheinboldt Dưới giới thiệu ngắn gọn phương pháp tiếp cận Ta tập trung vào tốn mà A có hạng khơng đầy đủ W0 Lớp tốn chứa trường hợp phương trình vi phân đại số nửa dạng Ir 0 y z = h(y, z) , g(y, z) (2.41) với h ∈ C k (W0 , Rm ) W0 tập mở Rr+p Để bắt đầu, ý nghiệm liên tục khả vi cấp (2.40) phải nằm tập W1 = {x ∈ W0 |f (x) ∈ imA(x)} (2.42) Cố định x∗ ∈ W1 , giả sử ma trận A(x) (gắn với x (t)) có hạng khơng đổi r < m lân cận x∗ Khi đó, lân cận U nhỏ hơn, tồn ánh xạ H ∈ C k (U, R(m−r)×m ) P1 ∈ C k (U, Rr×m ) từ U nhận giá trị ma trận cho với x ∈ U , đẳng thức ker H(x) = imA(x) ánh xạ hạn chế P1 (x)|imA(x) sinh đẳng cấu Im A(x) → Rr Chú ý, H(x) P1 (x) có hạng cực đại (m − r r, tương ứng) 49 Trong trình xây dựng, cho trước x ∈ U , rõ ràng v ∈ imA(x) ⇔ H(x)v = 0, tập W1 miêu tả cách địa phương W1 ∩ U = {x ∈ U |H(x)f (x) = 0} Ta nói x∗ ∈ W1 điểm 0-chính quy điều kiện hạng khơng đổi địa phương nói cho A(x), nữa, H(x)f (x) phép nhúng (a submersion) x∗ (nghĩa là, đạo hàm (Hf ) có hạng cực đại m−r ) Chú ý điều kiện nhúng không phụ thuộc vào cách chọn H(x) tương đương với đòi hỏi ánh xạ F : W0 × Rm → Rm xác định F (x, p) = A(x)p−f (x) phép nhúng (x∗ , p∗ ) với cách chọn p∗ thỏa mãn F (x∗ , p∗ ) = Giả thiết Hf phép nhúng x∗ với miêu tả địa phương W1 tập không điểm H(x)f (x) cách địa phương làm cho W1 C k -đa tạp r chiều xung quanh x∗ Bây giờ, ϕ1 : Ω1 → W1 ∩U0 tham số hóa địa phương tập W1 xung quanh điểm 0-chính quy x∗ , với Ω1 tập mở Rr U0 ⊆ U, không khó để kiểm tra x(t) nghiệm (2.40) bên U0 x(t) ∈ W1 với t ξ(t) = ϕ−1 (x(t)) nghiệm A1 (ξ)ξ = f1 (ξ), ξ ∈ Ω1 ⊆ R r , (2.43) với A1 (ξ) = P1 (ϕ1 (ξ))A(ϕ1 (ξ))ϕ1 (ξ), (2.44) f1 (ξ) = P1 (ϕ1 (ξ))f (ϕ1 (ξ)) (2.45) Hệ (2.43) gọi rút gọn địa phương bước phương trình vi phân đại số (2.40) ban đầu Kí hiệu ϕ−1 (x∗ ) ξ ∗ Điểm x∗ gọi quy với số hình học A1 (ξ ∗ ) ∈ Rr×r khơng suy biến Khái niệm không phụ thuộc vào cách chọn toán tử P1 , ϕ1 Trong trường hợp (2.43) viết lại dạng phương trình vi phân hiển lân cận ξ ∗ Ω1 Điều dẫn đến mô tả tọa độ 50 địa phương dòng xác định phương trình vi phân đại số đa tạp W1 , mà mặt địa phương lấp đầy nghiệm phương trình vi phân Nếu A1 ma trận suy biến ξ ∗ , kiểm tra điều kiện hạng điều kiện nhúng cho phép rút gọn (2.43) Nếu xảy trường hợp này, nhắc lại q trình để tính rút gọn hai bước (A2 , f2 ) dựa toán tử rút gọn P2 , ϕ2 Nếu q trình đến Aν khơng suy biến, x∗ gọi quy với số hình học ν với điều kiện Aν ma trận không suy biến chuỗi q trình Ta hiểu, ν− bước rút gọn Av (u)u = fv (u) (2.46) viết lại cách địa phương dạng hiển dùng để mơ tả hệ tọa độ địa phương dòng xây dựng phương trình vi phân đại số đa tạp nghiệm Đặc trưng số hình học thể qua mệnh đề sau Mệnh đề 2.1 Giả thiết A(x) có hạng r < m lân cận điểm x∗ ∈ W1 cho trước Khi đó, x∗ quy với số cho phương trình (2.40) ma trận ∗ ∗ P1 (x A(x )) S(x∗ ) = ∗ (Hf ) (x ) không suy biến Ý tưởng dẫn đến kết A1 (ξ ∗ ) = P1 (ϕ1 (ξ ∗ ))A(ϕ1 (ξ ∗ ))ϕ1 (ξ ∗ ) ma trận không suy biến nếu kerP1 (ϕ1 (ξ ∗ ))A(ϕ1 (ξ ∗ )) ∩ imϕ1 (ξ ∗ ) = {0} 51 (2.47) (chú ý kerϕ1 (ξ ∗ ) = {0} ϕ1 tham số hóa địa phương); khơng gian imϕ1 (ξ ∗ ) miêu tả không gian tiếp xúc với W1 x∗ viết ker(Hf )∗ (ξ ∗ ) Do (Hf )∗ (ξ ∗ ) có hạng cực đại nên điều kiện số trở thành kerP1 (ϕ1 (ξ ∗ ))A(ϕ1 (ξ ∗ )) ∩ (Hf )∗ (ξ ∗ ) = {0} Điều kiện thực chất tương đương với tính khơng suy biến S(x∗ ) 2.4.3 Chỉ số lạ Chỉ số lạ khái niệm suy rộng số Kronecker cho phương trình vi phân đại số E(t)x (t) + A(t)x(t) = f (t), t ∈ J ⊂ R, (2.48) với hệ số phụ thuộc thời gian, E, A ∈ C(J, Cn,n ), f ∈ C(J, Cn ), với điều kiện ban đầu x(t0 ) = x0 , t0 ∈ J, x0 ∈ Cn (2.49) Kí hiệu C l (J, Cn ) tập hàm khả vi liên tục cấp l từ J không gian vectơ phức n chiều Định nghĩa 2.4.2 Hàm x : J → Cn gọi nghiệm (2.48) x ∈ C (J, Cn ) x thỏa mãn (2.48) điểm x gọi nghiệm toán giá trị ban đầu (2.48) , (2.49) x nghiệm (2.48) x thỏa mãn (2.49) Điều kiện ban đầu (2.49) gọi tương thích toán giá trị ban đầu tương ứng giải được, tức có nghiệm Trong trường hợp hệ số E(t) ≡ E, A(t) ≡ A, toán nghiên cứu kĩ nhờ số Kronecker Nhưng với trường hợp tổng quát, toán (2.48) có hệ số phụ thuộc vào thời gian, vấn đề trở nên phức tạp 52 Trường hợp hệ số Xét phương trình Ex + Ax = f (t), t ∈ J ⊂ R, (2.50) với E, A ∈ Cn,n , f ∈ C(J, Cn ) Cặp ma trận (Ei , Ai ), i = 1, 2, gọi tương đương ma trận P, Q ∈ Cn,n không suy biến với (E2 , A2 ) = P (E1 , A1 ) Q Q (2.51) Rõ ràng, định nghĩa xác định quan hệ tương đương mà khẳng định nhờ kiểm tra chùm ma trận λE − A Một dạng tắc liên quan đến tính tương đương dạng tắc Kronecker Định lí 2.1.2 Ta gọi đại lượng k= 0, max{σj |j = 1, , w}, với w = 0, với w > 0, (2.52) với w (2.4) số λE − A ký hiệu k = ind(E, A) Định lý 2.4.1 [3] Cho phương trình (2.48) với chùm ma trận quy λE − A cho f ∈ C k (J, Cn ) với k = ind (E, A) Khi đó, (2.50) giải điều kiện ban đầu tương thích (2.49) xác định nghiệm Trường hợp hệ số thay đổi theo thời gian Thay k (2.52), có hàm k : J → {0, , n} với k(t) = ind (E(t), A(t)), thường gọi số địa phương Nếu k(t) ≡ k , ta nói (2.48) có số k thường gọi số địa phương Nếu k(t) ≡ k , ta nói (2.50) có số k Ngồi ra, ta định nghĩa khái niệm quy cho (2.48) theo nghĩa (E(t), A(t)) quy với t ∈ J Tuy nhiên, khái niệm không cho phép phát biểu định lý tương tự Định lý 2.4.1 ví dụ bên 53 Ví dụ 2.4.2 Bằng tính tốn đơn giản ta phương trình −t t −t t x(t) = ˙ −1 0 −1 x(t), t ∈ J, quy có số k − t x(t) = c(t) nghiệm với c ∈ C ([−1, 1], C) Nói riêng, phương trình cho có nhiều nghiệm với điều kiện ban đầu tương thích Ví dụ 2.4.3 Phương trình −1 t 0 x(t) + f1 (t) f2 (t) , t ∈ J, x(t) = ˙ −1 −t với fi ∈ C (J, C2 ), i = 1, 2, không quy chùm (E(t), A(t)) suy biến với t ∈ J Tuy nhiên, có nghiệm x1 (t) = f1 (t) + tf2 (t) − tf˙1 (t), x2 (t) = f2 (t) − f˙1 (t), x = (x1 , x2 )T , f = f (f1 , f2 )T , với điều kiện ban đầu tương thích Lý chất bên tượng khái niệm nêu dựa vào quan hệ tương đương (2.51), dường phù hợp cho (2.48) để bao gồm phép biến đổi phụ thuộc thời gian Đặt x(t) = Q(t)y(t) nhân P (t) vào bên trái (2.48), phương trình (2.48) biến thành ˙ P (t)E(t)Q(t)y(t) = (P (t)A(t)Q(t) − P (t)E(t)Q(t))y(t) + P (t)f (t) ˙ (2.53) Do đó, ta có định nghĩa sau 54 Định nghĩa 2.4.3 Hai cặp ma trận hàm (Ei (t), Ai (t)), Ei , Ai ∈ C(J, Cn,n ), i = 1, 2, gọi tương đương tồn P ∈ C(J, Cn,n ) Q ∈ C (J, Cn,n ) với P (t), Q(t) không suy biến với t ∈ J cho ˙ Q(t) −Q(t) (E2 (t), A2 (t)) = P (t)(E1 (t), A1 (t)) (2.54) Q(t) Các qui tắc tính đạo hàm thơng thường thật quan hệ tương đương Nhận xét 2.4.1 Ví dụ 2.4.2 2.4.3 thu biến đổi phụ thuộc thời gian áp dụng cho phương trình vi phân đại số với hệ số hằng, chùm ma trận suy biến ví dụ quy với số k = ví dụ thứ hai Hiển nhiên tốn xảy (2.51) khơng phải trường hợp địa phương (2.54) Nhưng ta có tính chất địa phương, nghĩa giá trị đặc trưng (E(t), A(t)) với t ∈ J cố định, mà cung cấp thơng tin tốn tồn cục Nếu ý điểm t ∈ J cố định ta chọn Q(t) ˙ Q(t) độc lập với nhau, ta sửa đổi (2.51) sau Định nghĩa 2.4.4 Hai cặp ma trận (Ei , Ai ), Ei , Ai ∈ Cn,n , i = 1, 2, gọi tương đương tồn ma trận P, Q, B ∈ Cn,n với P, Q không suy biến cho (E2 , A2 ) = P (E1 , A1 ) Q −B Q (2.55) Một lần nữa, rõ ràng quan hệ quan hệ tương đương Tuy nhiên, ý (2.55) áp dụng cho phương trình vi phân đại số (2.48) biến đổi x x cách ˙ độc lập Do đó, khơng thể mong đợi kết tồn nghiệm (2.55) Tuy nhiên, điều giúp ích để hiểu (2.54) kỹ 55 Bây ta quay trở lại phương trình (2.51) trường hợp đặc biệt B = 0, ta kỳ vọng có đặc trưng đơn giản dạng tắc đơn giản dạng tắc Kronecker Với cách hiểu ma trận sở không gian vectơ tập vectơ cột sở, ta có có kết sau Định lý 2.4.2 [6] Cho E, A ∈ Cn,n T sở kernel E, (2.56) Z sở corangeE = kernel E ∗ , (2.57) T sở cokernel E = rangeE ∗ , (2.58) V sở corange(Z ∗ AT ) (2.59) Khi đó, đại lương (với quy ước rank ∅ = 0) r = rank E (hạng), (2.60) a = rank (Z ∗ AT ) (phần đại số), (2.61) s = rank (V ∗ Z ∗ AT ) (số lạ), (2.62) d = r − s (phần vi phân), (2.63) u = n − r − a − s(phần không xác định) (2.64) bất biến (2.55) I s I d 0 0 (E, A) tương đương với dạng tắc s 0 0 0 0 0 0 0 d 0 0 (2.65) 0 0 , 0 Ia 0 a Is 0 0 s 0 0 0 0 0 0 u Giá trị s gọi số lạ cặp (E, F ) Ký hiệu (E, F ) (E0 , F0 ) s0 = s Tương tự ta định nghĩa số lạ s1 cặp (E1 , F1 ) Nếu ta lặp lại trình miêu tả bên trên, ta đạt dãy cặp 56 tương đương toàn cục (Ei , Fi ), i 0, cặp có số lạ si Khi số lạ hay s-chỉ số định nghĩa µ = min{i = 0, 1, 2, | si = 0} 57 Kết luận Luận văn trình bày khái niệm số khác nhau: số Kronecker (cho phương trình vi phân đại số tuyến tính hệ số hằng), số vi phân (Brenan 1996) [1], số nhiễu (Hairer 1996)[4], số mềm (Griepentrog 1986)[3], số hình học (Rabier 2002)[11], số lạ (Kunkel 2006)[6] Các khái niệm số trùng trường hợp phương trình vi phân tuyến tính với hệ số hệ phi tuyến có hệ số biến thiên khái niệm số khác Đối với hệ này, số trở thành khái niệm địa phương với giá trị khác miền khác Khái niệm số sử dụng lý thuyết phương trình vi phân đại số để đo độ phức tạp phương trình vi phân đại số so với phương trình vi phân thường Chỉ số cung cấp thơng tin hữu ích cấu trúc toán học phức tạp việc phân tích hệ phương trình vi phân đại số 58 Tài liệu tham khảo [1] Brenan K.E., Campbell S.L.: Petzold L.R Numerical Solution of Initial-Value Problems in Differential-Algebraic Equations, (1996), Vol 66, No 220 (Oct., 1997), pp 1759-1760 [2] V F Chistyakov, Toán tử vi phân đại số với hạch hữu hạn chiều, Novosibirsk, Nauka, (1996) (Tiếng Nga) [3] Griepentrog E., Marz, R: DifferentialAlgebraic Equations and their ă Numerical Treatment, Teubner-Texte zur, 1986 [4] Hairer, E., Wanner, G.: Solving ordinary differential equation II: stiff and differential algebraic problems, Spinger, Berlin Heidelberg New York Tokyo, (1996) [5] F R Gantmacher, The Theory of Matrices, Volume Two, (1954) [6] Kunkel, P., Mehrmann, V.: Canonical forms for linear differential algebraic equations with variable coefficients, Journal of Computation and Applied Mathematics, Vol 56, pp 225-251, (1995) [7] Marz, R.: The index of linear differential algebraic equations with ă properly stated leading terms, Results in Mathematics 42, 308- 338, (2002) [8] Marz, R.: Characterizing differential algebraic equations without the ă use of derivative arrays, Humboldt-Universitat zu Berlin, Institut fur Mathematik, Preprint 02-08 (2002) 59 [9] Marz, R.: Solvability of linear differential algebraic equations with ¨ properly stated leading terms, Humboldt-Universitat zu Berlin, Institut fur Mathematik, Preprint 02-12 (2002) [10] Lamour, R.: Index determination for DAEs, Humboldt - Universitat zu Berlin, Institut fur Mathematik, Preprint 01-19, (2011) [11] Rabier P.J Rheinboldt W C.: Theoretical and Numerical Analysis of Differential-Algebraic Equations Handbook of Numerical Analysis, Vol VIII, 183–540, Handbook Numer Anal., VIII, NorthHolland, Amsterdam (2002) [12] M Sc Rakporn Dokchan: Numerical Integration of Differential Algebraic Equations with Harmless Critical Points, Humboldt Universitat zu Berlin, 113 pages (2011) [13] Ricardo Riaza, Stability loss in quasilinear DAEs by divergence of a pencil eigenvalue, Society for Industrial and Applied Mathematics, Vol 41, No 6, pp 2226–2245, (2010) [14] Schulz, S.: Four Lecture on Differential Algebraic Equations, Humboldt Universitat zu Berlin (2003) 60 ... Các khái niệm số phương trình vi phân đại số Khái niệm số sử dụng lý thuyết phương trình vi phân đại số để đo độ phức tạp phương trình vi phân đại số so với phương trình vi phân thường Chỉ số số... tạp vi? ??c phân tích hệ phương trình vi phân đại số Luận văn có mục đích trình bày khái niệm số phương trình vi phân đại số số ứng dụng nghiên cứu phương trình vi phân đại số Nội dung luận văn. .. (2.17) phương trình vi phân đại số có Với l > giá trị h(x,y) f(u,v) gλ = − số Chỉ số trái Độ phức tạp phương trình vi phân đại số đặc trưng số Ở ta định nghĩa số theo khái niệm số Kronecker số vi phân