A. MỘT SỐ KHÁI NIỆM VÀ ĐỊNH NGHĨA VỀ LÝ THUYẾT VÀNH VÀ TRƯỜNG . 1. Định nghĩa . Vành là một tập hợp X cùng với hai phép toán hai ngôi trên X gồm phép cộng (+) và phép nhân (.) thoả mãn các điều kiện sau : a. X cùng với phép cộng là một nhóm Abel. b. Phép nhân có tính chất kết hợp : Với mọi x,y,z ∈ X .Ta có :x(yz) =(xy)z . c.Phép nhân phân phối đối với phép cộng : Với mọi x,y,z ∈ X .Ta có : x(y + z) = xy + xz . (y + z)z = yx + zx. Nhóm (X,+) được gọi là nhóm cộng của vành X .Phần tử trung lập của phép cộng gọi là phần tử không , kí hiệu 0.Phần tử đối xứng của phần tử x ∈ X gọi là phần tử đối của x ,kí hiệu là –x. Vành X được gọi là vành giao hoán nếu phép nhân của nó là giao hoán . Vành X được gọi là vành có đơn vị nếu phép nhân của nó có đơn vị ,phần tử đơn vị của X kí hiệu là e hay 1. 2.Một số tính chất suy ra từ định nghĩa . a. Với mọi x,y,z ∈ X ta có : x(y-z) =xy – xz (y – z)x = yx – zx . b.Với mọi x ∈ X .Ta có : 0.x = x.0 = 0. c.Với mọi x,y ∈ X .Ta có : x(-y) = (-x)y = -xy (-x)(-y) = x.y . d. Với mọi x i ,y i ∈ X ,Ta có : (x 1 + x 2 +…+ x m )(y 1 + y 2 + …+ y n ) = ∑ = m i 1 ∑ = n j 1 x i y j .Tính chất trên gọi là luật phân phối tổng quát . 3.Vành con. 3.1 Định nghĩa. Giả sử X là một vành và A là một tập con khác rỗng ổn định đối với hai phép toán trong X.A được gọi là một vành con của X nếu A cùng với hai phép toán cảm sinh trên A là một vành. 3.2 Định lý . Giả sửA là một tập con khác rỗng của vành X .Khi đó các điều kiện sau là tương đương : a. A là vành con của X. b. Với mọi x,y ∈ A , ta có x + y ∈ A ,x.y ∈ A , và -x ∈ A. c. Với mọi x,y ∈ A , ta có x - y ∈ A và x.y ∈ A. 4.Ideal. 4.1 . Định ngh ĩa. Giả sử X là một vành . a. Vành con Acủa X gọi là ideal trái của X nếu xa ∈ A , ∀ x ∈ X và a ∈ X. b. Vành con A của X gọi là ideal phải của X nếu ax ∈ A , ∀ x ∈ X và a ∈ X. c. Vành con A của X gọi là ideal của X nếu A vừa là ideal trái vừa là ideal phải của X . Phan Thạch Đa Trang 1 Đối với vành giao hoán , các khái niệm ideal trái ,ideal phải và ideal là trùng nhau. Giả sử X là vành có đơn vị và A là một ideal của X chứa đơn vị của X .khi đó A = X. 4.2 . Định lý. Một tập con A khác rỗng của vành X là ideal của X khi và chỉ khi các điều kiện sau thoả mãn: a. Với mọi a,b ∈ A , ta có a - b ∈ A . b. Với mọi a ∈ A v à x ∈ X, ta có xa ∈ A và ax ∈ A . 4.3 . Định nghĩa. A được gọi là ideal chính nếu A là ideal sinh bởi một tập hợp. Kí hiệu : A = <a>. 5. Vành thương. Giả sử X là một vành và A là một ideal tuỳ ý của X .Khi đó A là nhóm con của nhóm cộng Abel X .Suy ra A là chuẩn tắc . Đã biết rằng tập thương : X/A = {x + A : x ∈ X } cùng với phép toán cộng : (x + A) + (y + A) = (x + y) + A (x,y ∈ X) là một nhóm Abel. Ta có thể trang bị cho X/A một phép toán nhân định nghĩa như sau : (x + A)(y +A) = x.y + A (x,y ∈ X). Định nghĩa này được xác định một cách đúng đắn , nghĩa là lớp xy + A chỉ phụ thuộc vào lớp x + A và y + A mà không phụ thuộc vào việc chọn các phần tử đại diện x và y từ các lớp đó . Thật vậy , giả sử x’ + A = x + A và y’ + A = y + A , tức là x’ – x ∈ A và y’ – y ∈ A . Khi đó :x’y’ – xy = x’(y’ – y) +(x’ – x)y ∈ A vì A là một ideal của X. Dễ dàng thấy rằng X/A lập thành một vành đối với hai phép toán cộng và nhân đã nói ở trên. 5.1 . Định nghĩa. Vành X/A được gọi là vành thương của vành X theo ideal A (hay vành thương của X/A) . Dễ thấy nếu vành X là giao hoán thì vành X/A cũng giao hoán .Nếu X có đơn vị là 1 thì vành X/A có đơn vị là lớp 1 + A. 6. Tích trực tiếp của một họ vành. Định nghĩa . Giả sử (X i ) i với i ∈ I là một họ không rỗng các vành và X = ∏ ∈Ii X i = {(x i ) , i ∈ I :x i ∈ X i } là tích đề các của họ (X i ) ,i ∈ I .Trong đó ta định nghĩa 2 phép toán : Phép cộng : (x i ) i ∈ I + (y i ) i ∈ I = (x i y i ) i ∈ I . Phép nhân : (x i ) i ∈ I (y i ) i ∈ I = (x i y i ) i ∈ I . Khi đó X cùng với hai phép toán trên lập thành một vành . Vành X = ∏ ∈Ii X i được gọi là tích trực tiếp của họ các vành (X i ) i ∈ I . 7.Tổng trực tiếp Định nghĩa Giả sử ∏ ∈Ii X i là tích trực tiếp của họ không rỗng các vành (X i ) ∈ I .ta gọi giá của họ (x i ) i ∈ I ∈ ∏ ∈Ii X i là tập con với I o = { i ∈ I :x i ≠ 0} ⊂ I .Nếu I o là hữu hạn thì ta nói họ (x i ) i ∈ I có giá hữu hạn. Phan Thạch Đa Trang 2 Tập con A gồm tất cả các họ (x i ) i ∈ I ∈ ∏ ∈Ii X i có giá hữu hạn là một vành con của tích trực tiếp ∏ ∈Ii X i . Vành con này được gọi là tổng trực tiếp của họ các vành (x i ) i ∈ I và được kí hiệu là ∑ ∈Ii X i .Nếu I ={1,2,…,n} thì tổng trực tiếp ∑ ∈Ii X i thường được kí hiệu là X 1 ⊕ X 2 ⊕ … ⊕ X n . Khi tập chỉ số I là hữu hạn thì tích trực tiếp và tổng trực tiếp của họ các vành (x i ) i ∈ I là trùng nhau . 8.Miền nguyên. Giả sử X là một vành ,phân tử a ≠ 0 của X gọi là ước của không nếu tồn tại phần tử b ≠ 0 của X sao cho a.b = 0 hoặc b.a = 0. Một vành X được gọi là một miền nguyên nếu X là vành giao hoán ,có đơn vị ,có nhiều hơn một phần tử và không có ước của không. 9. Trường . Một vành giao hoán có đơn vị có nhiều hơn một phần tử và mọi phần tử khác không đều khả nghịch (đối với phép nhân) được gọi là một trường. Như vậy một tập hợp X cùng với hai phép toán cộng và nhân là một trường nếu và chỉ nếu . a.X cùng với phép cộng là một nhóm Abel. b.X\{0} cùng với phép nhân là một nhóm abel. c.Phép nhân phân phối đối với phép cộng. 10.Thể Vành có đơn vị X được gọI là một thể nếu X có nhiều hơn một phần tử và mọi phần tử khác không của X đều khả nghịch . Như vậy trường là một thể giao hoán . 11.Đặc số của vành . Giả sử X là một vành .Nếu tồn tại số nguyên dương nhỏ nhất n sao cho na = 0 , ∀ a ∈ X thì ta nói vành X có đặc số là n .Nếu không tồn tại số n như vậy thì ta nói vành X có đặc số 0. Đặc số của vành X được kí hiệu là CharX. Nếu X là một trường thì ta hiểu đặc số của trường X chính là đặc số của vành X. 12. Ideal nguyên tố và Ideal tối đại. Giả sử X là một vành giao hoán ,có đơn vị : a. Ideal P của vành X được gọi là Ideal nguyên tố nếu : P ≠ X và ∀ x,y ∈ X từ xy ∈ P ta suy ra x ∈ P hoặc y ∈ P . b. Ideal M của vành X được gọi là Ideal tối đại nếu M ≠ X và không tồn tại một Ideal A nào của X thoả mãn M ⊂ A ⊂ X với A ≠ M và A ≠ X . 13. Vành các thương. Giả sử X là một vành giao hoán có đơn vị và S ⊂ X .Tập con S được gọi là tập con nhân của X nếu 1 ∈ S và S ổn định đối với phép nhân. Định nghĩa Giả sử S là tập con nhân của vành giao hoán có đơn vị X .Khi đó vành S -1 X là được gọi là vành các thương của X theo S. B. ĐỒNG CẤU , ĐẲNG CẤU TRONG LÝ THUYẾT VÀNH VÀ TRƯỜNG. 1. Định nghĩa. Giả sử X,Y là các vành . Ánh xạ f : X → Y được gọi là một đồng cấu vành nếu nó bảo toàn các phép toán của vành ,tức là ∀ x,y ∈ X : Phan Thạch Đa Trang 3 Ta có : f(x + y) = f(x) + f(y) . f(x.y) = f(x)f(y) . • Nếu X = Y thì đồng cấu f : X → Y được gọi là một tự đồng cấu vành của X. • Đồng cấu f: X → Y gọi là một đơn cấu(toàn cấu , đẳng cấu ) ,nếu ánh xạ f là một đơn ánh (toàn ánh ,song ánh).Một tự đồng cấu song ánh gọi là một tự đẳng cấu . • Nếu tồn tại một đẳng cấu vành f : X → Y thì ta nói X và Y là đẳng cấu .Kí hiệu X ≅ Y. 2.Các tính chất. • Nếu f: X → Y là một đồng cấu vành thì f(0 x ) = 0 y và f(-x) = -f(x) , ∀ x ∈ X. • Nếu f: X → Y v à g :Y → Z là những đồng cấu vành thì ánh xạ tích g.f :X → Z cũng là một đồng cấu vành . Đặc biệt tích của 2 đẳng cấu vành là một đẳng cấu vành . Chứng minh Giả sử f:X → Y ,g : Y → Z là những đồng cấu vành .Ta chứng minh g.f cũng là một đồng cấu vành . Thật vậy : Vì f và g là các ánh xạ nên g.f cũng là một ánh xạ từ X vào Z. Mặt khác :Vì X,Y,Z là những vành nên đối với phép cộng chúng là các nhóm giao hoán , và f,g là những nhóm đồng cấu của các nhóm cộng đó ,do đó g.f cũng là cũng là một đồng cấu nhóm (*). Tức là : ∀ x,y ∈ X ta có : g.f(x + y) =gf(x) + gf(y) . Hơn nữa ta còn có ∀ x,y ∈ X : Gf(xy) = g[f(x)f(y) ] = gf(x).gf(y) . • Nếu f :X → Y là một đẳng cấu vành thì ánh xạ ngược f -1 :Y → X cũng là một đẳng cấu vành. Định lý 1 .Giả sử f : X → Y là một đồng cấu vành . i.Nếu f có nghịch đảo trái (tức là có một đồng cấu vành g : Y → X sao cho g.f = id X ) thì f là một đơn cấu . ii.Nếu f có nghịch đảo phải (tức là có một đồng cấu vành g : Y → X sao cho f.g = id X ) thì f là một toàn cấu . iii. f là một đẳng cấu khi và chỉ khi f có nghịch đảo (tức là có một đồng cấu vành g : Y → X sao cho g.f =id X , f.g = id Y ). Chứng minh i.Giả sử có f(x) = f(y) ∀ x,y ∈ X Khi đó x = id X (x) = gf(x) = gf(y) = id Y (y) =y ⇒ x = y .Vậy f là một đơn cấu. ii. ∀ z ∈ Y , ta có z = id Y (z) = fg(z) . Vậy z là ảnh của f tác động trên g(z) . Đều này chứng cho thấy f là một toàn cấu . iii. Giả sử f là một đẳng cấu . Đặt g = f -1 dựa theo tính chất trên ta có g cũng là một đẳng cấu và gf = id X ,fg = id Y .(1) Ngược lại : giả sử có đồng cấu g thoả mãn (1) theo (i) và (ii) f vừa là một đơn cấu vừa là một toàn cấu nên nó là một đẳng cấu .Mà f là một đẳng cấu thì f -1 cũng là một đẳng cấu . Nhận xét . các mệnh đảo của (i) và (ii) đều không đúng . Thật vậy : phép bao hàm : f : Z ⊂ Q là một đơn cấu vành không có nghịch đảo trái .Bởi vì nếu Phan Thạch Đa Trang 4 g : Q → Z là một nghịch đảo trái của f thì g(1) = 1 .từ đó 2.g( 2 1 ) = 1. Nhưng phương trình 2x = 1 không có nghiệm trong Z. Mặt khác : Phép chiếu Z → Z/n a  [a] là một toàn cấu vành không có nghịch đảo phải với mọi n>1 .Bởi vì nếu g là một nghịch đảo phải của f thì nói riêng g : Z/n  Z là một đồng cấu của các nhóm cộng .Nhưng mọi phần tử của Z/n đều có cấp hữu hạn , trrong khi 0 là phần tử duy nhất của Z cũng có cấp hữu hạn .Cho nên g = 0 đều này mâu thuẩn với hệ thức fg = id Z/n . 3. Ảnh và tạo ảnh của đồng cấu vành . Định lý 2.Giả sử f :X → Y là một đồng cấu vành .Và A là vành con của X, B là ideal của Y thì khi đó : a. f(A) là vành con của Y . b.f -1 (B) là ideal của X. Chứng minh a. ∀ x,y ∈ A .Ta có : x - y ∈ A ⇒ f(x – y) ∈ f(A) .Do f là đồng cấu nên : f(x – y) = f(x) – f(y) ∈ f(A) . f(xy) ∈ f(A) ⇒ f(x)f(y) ∈ f(A) . Do đó f(A) là một vành con của Y. ( Vì x,y ∈ A ⊂ X nên f(x),f(y) ∈ f(A) ⊂ Y.) b. 0 ∈ f -1 (B) ⇒ f(B) ≠ Ø . ∀ x 1 ,x 2 ∈ f -1 (B) ⇒ ∃ a,b ∈ B : f(x 1 ) = a và f(x 2 ) = b . Xét a – b = f(x 1 ) –f(x 2 ) = f(x 1 – x 2 ) ∈ B. ⇒ x 1 –x 2 ∈ f -1 (B). . x 1 ∈ f -1 (B) ⇒ f(x 1 ) ∈ B .x ∈ X thì f(x) ∈ Y . Xét f(xx 1 ) = f(x 1 )f(x) ∈ B (B là ideal). f(x 1 x) = f(x) f(x 1 ) ∈ B . ⇒ x 1. x ∈ f -1 (B) và x.x 1 ∈ f -1 (B). ∀ x ∈ X. ⇒ f -1 (B) là ideal của X. Hệ quả :Mọi ảnh của đồng cấu không tầm thường của một vành các ideal chính cũng là một vành các ideal chính . Chứng minh Giả sử X là một vành các ideal chính , nói riêng X giao hoán có đơn vị 1 ≠ 0 . Nếu f :X → Y là một đồng cấu vành thì Imf cũng cũng là một vành giao hoán . Nếu Imf không tầm thường tức là Imf ≠ 0 thì f(1) ≠ 0 chính là đơn vị của Imf. Ta chỉ còn phải chứng minh rằng mỗi ideal B của Imf đều là một ideal chính . Theo mệnh đề (trên) f -1 (B) là ideal của X . Do đó f -1 (B) là một ideal chính aX (a ∈ X) , Vì X là một vành các ideal chính . cuối cùng : B = f(f -1 (B)) = f(aX) = f(a). Imf là ideal chính sinh bởi f(a) trong vành Imf . Định lý 3. f : X → Y là một toàn cấu vành và A là ideal của X .Chứng minh f(A) là ideal của Y. Chứng minh * f(A) ≠ Ø vì A ≠ Ø * ∀ y 1 ,y 2 ∈ f(A) ⇒ ∃ x 1 ,x 2 ∈ A : y 1 = f(x 1 ) , y 2 = f(x 2 ) . Xét y 1 – y 2 = f(x 1 ) - f(x 2 ) = f(x 1 - x 2 ) ∈ f(A) . ⇒ y 1 – y 2 ∈ f(A) * ∀ y 1 ∈ f(A) , ∀ y ∈ Y Chứng minh y y 1, y 1 y ∈ f(A) . Do y ∈ Y ⇒ ∃ x ∈ X :f(x) = y . Xét y 1 y = f(a)f(x) = f(ax) ∈ f(A) (A là ideal của X ) . yy 1 = f(x)f(a) = f(xa) ∈ f(A) . Phan Thạch Đa Trang 5 ⇒ f(A) ideal của Y. Định lý 4. f :X → Y là một đồng cấu vành. Chứng minh rằng kerf  X. Chứng minh Ta có kerf ={x ∈ X :f(x) = 0 } ⇒ kerf ≠ Ø . Giả sử x 1, x 2 ∈ kerf ⇒ f(x 1) = 0 , f(x 2 ) = 0 . f(x 1 ) – f(x 2 ) = f(x 1 – x 2 ) = 0 ⇒ x 1 – x 2 ∈ kerf . * ∀ x 1 ∈ kerf và ∀ x ∈ X .Ta cần chứng minh x 1 x ,x 1 x ∈ kerf . Ta có ∀ x ∈ X ⇒ ∃ y ∈ Y sao cho : f(x) = y . Do x 1 ∈ kerf ⇒ f(x 1 ) = 0 . Xét f(x)f(x 1 ) = f(xx 1 ) = f(x).0 = 0 ⇒ xx 1 ∈ kerf . Tương tự : Xét f(x 1 )f(x) = f(x 1 x) = 0.f(x 1 ) = 0 ⇒ x 1 x ∈ kerf . ⇒ kerf  X. Định lý 5 .Giả sử f :X → Y là một đồng cấu vành. A  X và B là  Y sao cho f(A) ⊂ B.Khi đó : i. ∃ ! Một đồng cấu vành f : X/A → Y/B sao cho biểu đồ sao giao hoán : X f Y h A h B X/A f Y/B Tức là h B f = f h A (h A , h B là các toàn cấu chính tắc). ii. f là một đẳng cấu khi và chỉ khi Imf + B = Y và f -1 (B) ⊂ A . Chứng minh Tương ứng f : X/A → Y/B x+A  f(x) + B • Chứng minh f là ánh xạ . Giả sử x+A = x’+A Chứng minh f(x + A) = f(x’ + A) . ⇒ x – x’ ∈ A ⇒ f(x – x’) ∈ f(A) ⊂ B. ⇒ f(x) – f(x’) ∈ B ⇒ f(x) + B = f(x’) + B .Vậy f là một ánh xạ . • Chứng minh f là đồng cấu . Lấy a,b ∈ X/A ⇒ a = x + A , b = y + B. Xét f [(x + A) + (y+ B) ] = f [(x + y) + A] = f(x + y) + B = = f(x) + B + f(y) + B = f (a) + f (b) . f [(x + A)(y + B) ] = f (xy + A) = f(xy) + B = f(x)f(y) + B = = (f(x) + B)(f(y + B)) = f (a) f (b) . ⇒ f là một đồng cấu . ii. * Imf + B = Y . Lấy a ∈ X/A ⇒ a = x + A Ta có : f (x + A) = f(x) + B . Mặt khác do f là toàn cấu : f (x + A) = y + B ⇒ f(x) + B = y + B . ⇒ f(x) – y ∈ B ⇒ ∃ b ∈ B : f(x) – y = b ⇒ y = f(x) + b ∈ Imf + B . ⇒ Y ⊂ B + Imf . Mặt khác ta luôn có : Y = Imf + B Phan Thạch Đa Trang 6 X/A *f -1 (B) ⊂ A . Lấy x tuỳ ý ⇒ x ∈ f -1 (B) ⇒ f(x) ∈ B ⇒ f(x) + B = 0 + B ⇒ f (x + A) = f (0 + A) ⇒ f mà đẳng cấu ⇒ x + a = 0 + A ⇒ x ∈ A ⇒ f -1 (B) ⊂ A . ( ⇐ ) . Imf + B = Y và f -1 (B) ⊂ A Chứng minh f là đẳng cấu . • ∀ y + B ∈ Y/B ⇒ y ∈ Y = Imf + B ⇒ ∃ x ∈ X , b ∈ B : y = f(x) + b ⇒ y + B = f(x) + b + B = f(x) + B = f (x + A) .Vậy f là toàn cấu . • Giả sử f (x 1 + A) = f (x 2 + A) ⇒ f(x 1 ) + B = f(x 2 ) + B ⇒ f(x 1 ) – f(x 2 ) ∈ B ⇒ x 1 - x 2 ∈ f -1 (B) ⊂ A ⇒ x 1 + A = x 2 + A ⇒ f là một đơn cấu .Vậy f là một đẳng cấu . Nhận xét . Ta không đòi hỏi mọi vành đều có đơn vị nên không bắt buộc mọi đồng cấu vành f :X → Y phải có tính chất f(1) = 1’ , ngay cả trong trường hợp X và Y có đơn vị (tương ứng là 1 và 1’) .Tuy nhiên , nếu f ≠ 0 và Y là một miền nguyên thì từ hệ thức f(1)f(1) = f(1) và f(1) ≠ 0 ⇒ f(1) = 1’ . Định lý 6. Đồng cấu vành f : X → Y là một đồng cấu vành. a.Nó là toàn cấu nếu và chỉ nếu Imf = Y. b.Nó là đơn cấu nếu và chỉ nếu kerf =0 . Chứng minh a.Ta có :Ta có : Imf = {f(x) : x ∈ X} = f(X) . Mà Imf = Y ⇒ Y = f(X) ⇒ f là một toàn cấu. b. ( ⇒ ) Giả sử f là đơn cấu . Khi đó ∀ x ∈ kerf ⇒ f(x) = 0 ⇔ f(x) = f(0) ⇒ x = 0 . Nên kerf = {0}. ( ⇐ ) Ngược lại :Giả sử kerf = {0} .khi đó ∀ a,b ∈ X : f(a) = f(b) ⇒ f(a) – f(b) = 0 ⇒ f(a – b) =0 ⇒ a - b ∈ kerf . ⇒ a – b = 0 ⇒ a = b. Hệ quả :Mỗi đồng cấu vành từ một thể vào một vành hoặc là đồng cấu tầm thường hoặc là một đơn cấu . Chứng minh Giả sử f : K → X là một đồng cấu vành từ một thể vào một thể K vào một vành X .Nếu kerf = 0 thì f là một đơn cấu . Trái lại nếu kerf ≠ 0 ,giả sử a ≠ 0 là một phần tử của kerf .Vì K là một thể ,nên a có nghịch đảo là a -1 .Do kerf là một ideal nên 1 = a -1 a ∈ kerf . Từ đó x = x.1 ∈ kerf , ∀ x ∈ K . Vậy K = kerf , và f là đồng cấu tầm thường . Định lý 7.Giả sử f :X → Y là một đồng cấu vành X ,A ⊂ kerf . Khi đó : i. Tồn tại duy nhất met đồng cấu vành f :X/A → Y sao cho biểu đồ sau giao hoán: X f Y h f Tức là f = f h (h là toàn cấu chính tắc). ii. Im f =Imf ; ker f = (kerf)/A . Phan Thạch Đa Trang 7 iii. f là một đẳng cấu khi và chỉ khi f là một toàn cấu và A = kerf. Chứng minh i. Định nghĩa ánh xạ f : X/A → Y bởi công thức : f (x + A) =f(x) , ∀ x ∈ X. Định nghĩa này được xác định một cách đúng đắn. Thật vậy , nếu x + A y + A thì x – y ∈ A ⊂ kerf ,nên f(x – y) = 0 Y hay f(x) = f(y) . Dễ dàng thử thấy rằng f là một đồng cấu vành thoả mãn f = f h .Giả sử tồn tại đồng cấu vành g :X/A → iY sao cho f = g h .Thế thì ∀ x ∈ X, ta có ( f h)(x) = ( g h)(x) , hay f [h(x) ] = g [h(x) ] ,do đó : f (x + A) = g (x + A) .Vậy f = g và f được xác định duy nhất . ii.Từ định nghĩa ánh xạ f ta suy ra Im f = Imf . Ta có : kerf = {x + A ∈ X/A : f (x + A) =0 Y } = {x + A ∈ X/A : f(x)=0 Y } = {x + A ∈ X/A : x ∈ kerf } = (kerf)/A . iii.Giả sử f là một đẳng cấu .Thế thì f là một toàn cấu và là một đơn cấu .Do đó ker f = 0 = A hay kerf/A = A ,do đó kerf = A. Ngược lại : do A = kerf , nên : Kerf = kerf/A = A ,suy ra f là một đơn cấu .Vậy f là một đẳng cấu . 4.Các định lý đẳng cấu vành . Định lý 8 . Giả sử A và B là các ideal của vành X sao cho A ⊂ B .Khi đó B/A l à một ideal của vành X/A và ta có đẳng cấu vành : (X/A)/(B/A) ≅ X/B . Chứng minh. Định nghĩa ánh xạ : f : X/A → X/B x + A  x + B . Định nghĩa này là đúng đắn thật vậy : Giả sử x + A = x’ + A thế thì x-x’ ∈ A ⊂ B do đó x + B = x’ + B .Dễ dàng kiểm tra được rằng f là một toàn cấu vành .Mặt khác ,ta có : Kerf = {x + A ∈ X/A :f(x + a) = 0 } = {x + A ∈ X/A:x + B = B} = {x + A ∈ X/A:x ∈ B} = B/A. Vậy theo định lý đồng cấu vành f cảm sinh đẳng cấu vành : f : (X/A)/kerf → X/B hay (X/A)/(B/A) ≅ X/B . Định lý 9 .Giả sử A là vành con của vành X và B là ideal của X .Khi đó A ∩ B là một ideal của A và ta có đẳng cấu vành A/ A ∩ B ≅ (A + B)/B. Chứng minh Xét phép nhúng tự nhiên h : A → A + B và toàn cấu chính tắc g : A + B → (A + B)/B . Khi đó tích f = h.g : A → (A + B)/B a  a + B Là một đồng cấu vành . Hơn nữa f là một toàn cấu, thật vậy ta có : (a + b) +B = a + B = f(a) ,với mọi (a + b) + B ∈ (A +B )/B .Mặt khác : kerf = {a ∈ A :f(a) = 0} = {a ∈ A :a + B = B} = { a ∈ A :b ∈ B} = A ∩ B . Phan Thạch Đa Trang 8 Theo định lý đồng cấu vành ta có đẳng cấu vành : A/A ∩ B ≅ (A + B)/B. C .Phần bài tập Bài1. Giả sử X là vành tuỳ ý và Z là vành các số nguyên.Trong tập XxZ ta định nghĩa các phép toán : (x 1 ,n 1 ) + (x 2 ,n 2 ) = (x 1 + x 2 , n 1 + n 2 ); (x 1 ,n 1 ). (x 2 ,n 2 ) =(x 1 x 2 +n 1 x 2 +n 2 x 1 ,n 1 n 2 ); CMR ánh xạ f : X → XxZ x  (x,0) là một đơn cấu. Giải f : X → XxZ x  (x,0) f là một đồng cấu. Thật vậy ∀ x,y ∈ X ta có: f(x+y) = f(x +y,0) = (x,0) + (y,0) = f(x) +f(y) f(xy) = f(xy,0) = (x,0).(y,0) = f(x).f(y) Như vậy f là một đồng cấu. Ta có : kerf = { } )0,0()(: =∈ xfXx = { } )0,0()0,(: =∈ xXx = { } 0: =∈ xXx = { } 0 . ⇒ Kerf = { } 0 .Vậy f là 1 đơn cấu. Bài 2.Giả sử X là vành và a X∈ .CMR: a. Ánh xạ h a : X → X x  ax là một tự đồng cấu cửa nhóm cộng của vành X. b. Ánh xạ h : X → EndX a  h(a) = h a là một đồng cấu của vành X đến vành EndX các tự đồng cấu cửa nhóm cộng cửa vành X. c.Tìm kerf .CmR hlà đơn cấu khi X là vành có đơn vị. Giải a. h a : X → X x  ax ∀ x,y ∈ X ta có: h a (x+y) = a(x+ y) = ax+ ay = h a (x) + h a (y). ⇒ h a (x + y) = h a (x) +h a (y). Như vậy h a là đồng cấu nhóm từ nhóm cộng X đến nhóm cộng X. b. h : X → EndX a  h(a) = h a h là một đồng cấu vành. Vì ∀ a,b ∈ X, h (a +b) = h a + h b h (ab) = h a .h b Thật vậy : ∀ x ∈ X ta có: h a+b (x) = (a+b)x = ax + bx = h a (x) + h b (x) = (h a + h b )(x). h a.b( x) = (ab)x = a.(bx) = h a (bx) = h a (h b (x)) = h a .h b (x). c. kerh = { } XxxhaXa ∈∀=∈ ,0)(: = { } XxaxXa ∈∀=∈ ,0: Phan Thạch Đa Trang 9 Nếu X là vành có đơn vị thì a ∈ kerf ⇔ ae = a = 0 ⇒ kerh = { } 0 .Hay h là đơn cấu. Bài 3.Cho X 1, X 2 là một vành ,xét X = X 1 xX 2 ,có các tập con là: A 1 = { } 11:)0,1( Xxx ∈ ; A 1 = { } 22:)2,0( Xxx ∈ ; Chứng minh rằng kerp j = A j với P i : X → X i là toàn cấu chính tắc (j,i =1,2;j ≠ i ) ⇒ X/A j ≅ X i . Giải Xét toàn cấu chính tắc P i : X → X i (i =1,2); Ta có : (x 1 ,x 2 ) ∈ kerP 1 ⇔ p 1 (x 1 ,x 2 ) = x 1 = 0 ⇔ (x 1 ,x 2 ) = (0,x 2 ) ∈ A 2 . Vậy A 2 = kerP 1 là một ideal của X. Tương tự A 1 = kerP 2 là một ideal của X. Theo định lý đồng cấu vành ta có: X/A 2 ≅ X 1 , X/A 1 ≅ X 2 Bài 4. Cho A là deal của vành X , p : X → X/A là toàn cấu chính tắc.Chứng minh rằng : Nếu Blà ideal của X thì P(B) là ideal của X/A. Giải P : X → X/A x  x + A Ta có: B  X cần chứng minh P(B)  X/A Gọi βα , ∈ P(B) ⇒ βα , có dạng : α = a + A , β = b +A với a,b ∈ B Xét α - β = (a + A) – (b + A) = (a – b) + A ⇒ α - β ∈ P(B).(Vì B  X ) (1) α = a + A ∈ P(B) với a ∈ B β = x + A ∈ X/A với x ∈ X Xét (a + A)(x + A) = ax + A ∈ P(B) (Vì ax ∈ B) (x + A)(a + A) = xa + A ∈ P(B) (2) Từ (1) và (2) ⇒ P(B)  X/A. Bài 5.Giả sử A,B  X , Nếu X = A + B và A ∩ B = { } 0 thì ta nói X được phân tích thành tổng trực tiếp các ideal A và B.Kí hiệu X = A ⊕ B .Và ∀ x ∈ A ⊕ B viết duy nhất dưới dạng x = a + b vớI a ∈ A,b ∈ B.Chứng minh rằng: X ≅ AxB . Giải Ta có : Nếu X=A + B X = A ⊕ B A ∩ B = { } 0 thì ∀ x ∈ X:x = a + b với a ∈ A,b ∈ B duy nhất. Xét ánh xạ f : AxB → A ⊕ B (a,b)  a + b • f là một đồng cấu. Ta nhận thấy rằng nếu a ∈ A,b ∈ B thì: ab ∈ A ∩ B = { } 0 ⇒ ab = 0. Do đó : ∀ (a,b),(a’,b’) ∈ AxB. Xét f( (a,b) + (a’,b’) ) = f(a+a’,b+b’) = (a+a’) + (b + b’) = (a+b) + (a’+b’) = f(a,b) + f(a’,b’). ⇒ f( (a,b) +(a’,b’) ) = f(a,b) + f(a’,b’). Xét f ( )( ) [ ] ',', baba = f(aa’,bb’) = aa’ + bb’ = aa’ + a’b + ab’ +bb’ = (a + b)(a’ + b’) = f(a,b).f(a’,b’). Phan Thạch Đa Trang 10 [...]... ra làm 3 phần : A Một số khái niệm và định nghĩa trong lý thuyết vành và trường phần này chủ yếu nhắc lại những kiến thức cơ bản nhằm phục vụ cho việc nghiên cứu của đề tài B Phần chính của đề tài ,nói về sự đồng cấu và đẳng cấu trong lý thuyết vành và trường ,phần này trình bày những khái niệm ,định nghĩa ,tính chất ,định lý của sự đồng cấu và đẳng cấu trong lý thuyết vành và trường chủ yếu là do... nhất.xác định bởi f(1) = 1 Phan Thạch Đa Trang 16 Bài 17 Cho vành X Cấp của phần tử trong nhóm cộng X gọi là đặc số của vành X.Như thế vành khác X có đặc số m>0 nếu m là số nguyên dương nhỏ nhất sao cho m.1 = 0 Nếu cấp của 1 vô hạn ta nói X có đặc số không Chứng minh rằng mọi vành X: a ∃ ! đồng cấu vành g : Z → X b Nếu vành X có đặc số 0 thì g là một đơn cấu c Nếu X có đặc số m>0 thì ∃ đơn cấu vành Zm... Một số định nghĩa về lý thuyết vành và trường Trang 1 B Đồng cấu , đẳng cấu trong lý thuyết vành và trường Trang 3 C Phần bài tập Phần kết luận Trang 9 Phan Thạch Đa Trang 34 TÀI LIỆU THAM KHẢO 1 Bài tập đại số và số học , Tập II Nhà xuất bản giáo dục , 1985 BÙI HUY HIỀN – PHAN DOÃN THOẠI - NGUYỄN HỮU HOAN 2 Bài tập đại số đại cương Nhà xuất bản giáo dục ,1997 MỴ VINH QUANG 3 Bài tập đại số. .. 21 Nếu ít nhất một trong 2 số m và n là số âm được qui về trường hợp trên bằng cách dùng định nghĩa f(k) = -f(-k) nếu k 0 Giả sử ,f biến một số thực a thành... T f là một đồng cấu vì: m,n ∈ Z ta có : ∀ f(m + n) = (m + n)e =me + ne = f(m) + f(n) f(m.n) = m.n.e = me.ne = f(m)f(n) Nếu e có cấp vô hạn thì f là một đơn cấu Khi đó Z đẳng cấu với vành con A của T.do đó trường các thương của A là một trường con của T.theo bài 37 thì nó đẳng cấu với Q Nếu e có cấp p thì A ≅ Zp nó là một trường Bài 40.Giả sử f là một đồng cấu từ vành X đến vành Y ,K = kerf và I :K... số hữu tỷ Q là trường các thương của Z Nếu e cố cấp p thì A đẳng cấu vớI Zp ,nó là một trường nên trường các thương của a chính là A Phan Thạch Đa Trang 26 Bài 38 Chứng minh rằng mọi trường đều có trường con bé nhất ( theo quan hệ bao hàm) đẳng cấu hoặc h với trường số hữu tỷ ,hoặc với các số nguyên mod p với p là số nguyên tố Giải Xét ánh xạ f : Z → T n  ne Với T là một trường và e là một phần tử đơn . A. MỘT SỐ KHÁI NIỆM VÀ ĐỊNH NGHĨA VỀ LÝ THUYẾT VÀNH VÀ TRƯỜNG . 1. Định nghĩa . Vành là một tập hợp X cùng với hai phép toán hai ngôi trên X gồm phép cộng (+) và phép nhân (.). :Mỗi đồng cấu vành từ một thể vào một vành hoặc là đồng cấu tầm thường hoặc là một đơn cấu . Chứng minh Giả sử f : K → X là một đồng cấu vành từ một thể vào một thể K vào một vành X .Nếu kerf. .Vậy f là một đẳng cấu . 4.Các định lý đẳng cấu vành . Định lý 8 . Giả sử A và B là các ideal của vành X sao cho A ⊂ B .Khi đó B/A l à một ideal của vành X/A và ta có đẳng cấu vành : (X/A)/(B/A)