¨o P (D) P (x, D) ¨o ¨o ¨o ¨o G k,λ = ∂ 2 ∂x 2 + x 2k ∂ 2 ∂y 2 + iλx k−1 ∂ ∂y , (x, y) ∈ Ω R 2 , λ ∈ C, i k G k,λ k k G k,λ G a,b k,c = X 2 X 1 + icx k−1 ∂ ∂y , X 2 = ∂ ∂x − iax k ∂ ∂y , X 1 = ∂ ∂x − ibx k ∂ ∂y , a = −1, b = 1 G a,b k,c a, b ab < 0 G a,b k,c k k G a,b k,c G k,λ G k,λ G a,b k,c a, b, c Re(a) < 0, Re(b) > 0 G k,λ f + ψ  x, y, f, ∂f ∂x , x k ∂f ∂y  = 0, k G k,λ G k,λ ψ ψ G a,b k,c f + ψ  x, y, f, ∂f ∂x , x k ∂f ∂y  = 0, a = −1, b = 1, c = λ + k G a,b k,c = G k,λ . a = −1, b = 1 k k k k k a, b a = −1, b = 1 a, b, c k G a,b k,c f + ψ  x, y, f, ∂f ∂x , x k ∂f ∂y  = 0, a, b, c Re(a) < 0, Re(b) > 0 k (x, y) ∈ Ω R 2 G a,b k,c k a = −1, b = 1 k k k G a,b k,c G a,b k,c f + ψ  x, y, f, ∂f ∂x , x k ∂f ∂y  = 0, a, b, c k G a,b k,c G a,b k,c = X 2 X 1 + icx k−1 ∂ ∂y , (x, y) ∈ R 2 ; a, b, c ∈ C; Re(a) < 0; Re(b) > 0; i = √ −1 k X 1 = ∂ ∂x − ibx k ∂ ∂y , X 2 = ∂ ∂x − iax k ∂ ∂y . Re(a) < 0 Re(a) > 0 A + = −ax k+1 + bu k+1 + i(k + 1)(y − v) A − = bx k+1 − au k+1 − i(k + 1)(y − v) R = A + A − = −ab(x 2k+2 + u 2k+2 ) + (a 2 + b 2 )(x k+1 u k+1 ) + (k + 1) 2 (y − v) 2 + i(k + 1)(y − v)(a + b)(x k+1 − u k+1 ) p =  (a − b) 2 x k+1 u k+1 R −1 xu = 0, 0 xu = 0, M = A − c (k+1)(b−a) + A − k(b−a)−c (k+1)(b−a) − . G a,b k,c . k Re(a) < 0 Re(b) > 0 p /∈ (1, +∞) p = 1 ⇔ y = v, x = ± u u = 0 E a,b k,c (x, y, u, v) G a,b k,c . M = M(x, y, u, v), F (p) = F a,b k,c (p(x, y, u, v)), E a,b k,c = E a,b k,c (x, y, u, v) = MF (p). E a,b k,c (x, y, u, v) G a,b k,c E a,b k,c (x, y, u, v) = δ(x − u, y − v). E a,b k,c G a,b k,c E a,b k,c = 0 G a,b k,c E a,b k,c (x, y, u, v) = 0 F (p) p(1 −p)F  (p) +  γ −(1 + α + β)p  F  (p) − αβF (p) = 0, α = c (k + 1)(b − a) , β = k(b − a) − c (k + 1)(b − a) , γ = k k + 1 F (p) = C 1 F  c (k + 1)(b − a) , k(b − a) − c (k + 1)(b − a) , k k + 1 , p  + C 2 p 1 k+1 F  c + b − a (k + 1)(b − a) , (k + 1)(b − a) − c (k + 1)(b − a) , k + 2 k + 1 , p  := C 1 F a,b k,c;1 (p) + C 2 F a,b k,c;2 (p), F (α, β, γ, p) C 1 , C 2 k F a,b k,c (p) p /∈ (1, +∞) C 1 = − Γ( c (k+1)(b−a) )Γ( k(b−a)−c (k+1)(b−a) ) 4(b − a) 1 k+1 πΓ( 1 k+1 ) := C a,b k,c , C 2 = − Γ( c+b−a (k+1)(b−a) )Γ( (k+1)(b−a)−c (k+1)(b−a) ) 4(b − a) 1 k+1 πΓ( k+2 k+1 ) := D a,b k,c . c = ±[N(k + 1)(b − a)], c = ±[N(k + 1) + k](b − a), N |C a,b k,c |, |D a,b k,c | < ∞. k a, b, c, k k a, b, c, k E a,b k,c (x, y, u, v) = M(C a,b k,c F a,b k,c;1 (p) + D a,b k,c F a,b k,c;2 (p)) = − Γ  c (k+1)(b−a) )Γ( k(b−a)−c (k+1)(b−a) )F ( c (k+1)(b−a) , k(b−a)−c (k+1)(b−a) , k k+1 , p  4(b − a) 1 k+1 πΓ( k k+1 )A c (k+1)(b−a) + A k(b−a)−c (k+1)(b−a) − − xuΓ( c+b−a (k+1)(b−a) )Γ( (k+1)(b−a)−c (k+1)(b−a) )F ( c+b−a (k+1)(b−a) ), (k+1)(b−a)−c (k+1)(b−a) , k+2 k+1 , p) 4(b − a) − 1 k+1 πΓ( k+2 k+1 )A c+b−a (k+1)(b−a) + A (k+1)(b−a)−c (k+1)(b−a) − k a, b, c, k G a,b k,c E a,b k,c (x, y, u, v) = δ(x − u, y − v). C 2 (Ω) E a,b k,c  X 1 = ∂ ∂u − ibu k ∂ ∂v ,  X 2 = ∂ ∂u − iau k ∂ ∂v ,  G a,b k,c =  X 2  X 1 + icu k−1 ∂ ∂v Ω ⊂ R 2 f ∈ C 2 (Ω) f(x, y) =  ∂Ω f(u, v)  B 2 (E a,b k,c (x, y, u, v), a, b, c, k)ds −  ∂Ω E a,b k,c (x,y,u,v)  B 1 (f(u, v), a, b, c, k)ds +  Ω E a,b k,c (x, y, u, v)  G a,b k,c f(u, v)dudv(1.10) Ω  B 1 (f(u, v), a, b, c, k) = (ν 1 − iau k ν 2 )  X 1 f(u, v) + icu k−1 ν 2 f(u, v)  B 2 (E a,b k,c (x, y, u, v), a, b, c, k) = (ν 1 − ibu k ν 2 )  X 2 E a,b k,c (x, y, u, v) ν = (ν 1 , ν 2 ) ∂Ω ψ k G a,b k,c a, b, c, k G m k, (Ω) =  f ∈ L 2 (Ω) :  (α,β,γ)∈Ξ m k || γ ∂ α,β f|| L 2 (K) < ∞  , K Ω γ ∂ α,β f := x γ ∂ α+β f ∂x α ∂y β Ξ m k =  (α, β, γ) ∈ Z 3 + : α + β ≤ m, km ≥ γ ≥ α + (1 + k)β − m  . ψ C ∞ m ≥ 2k + 3 k a, b, c, k G m k, (Ω) C ∞ (Ω) Ψ a,b k,c f(x, y) Ω R 2 ∂ α f ∂x α , ∂ β f ∂y β ∂ α 1 f, ∂ β 2 f r 0 = 2k + 2 r ∈ Z + Γ r (α, β) Γ r = Γ 1 r ∪ Γ 2 r Γ 1 r = {(α, β) : α ≤ r 0 , 2α + β ≤ r} Γ 2 r = {(α, β) : α ≥ r 0 , α + β ≤ r − r 0 } |f, Ω| r = max (α,β)∈Γ r |∂ α 1 ∂ β 2 f, Ω| + max (α,β)∈Γ r α≥1,β≥1 max (x,y)∈ ¯ Ω |∂ α+2 1 ∂ β 2 f|, |f, Ω| = max (x,y)∈ ¯ Ω  |f| +    ∂f ∂x    +    x k ∂f ∂y     . k a, b, c, k ψ ∈ G s s ≥ 1 C ∞ (Ω) G s (Ω) Ψ a,b k,c ψ C ∞ (Ω) Ω Ψ a,b k,c E a,b k,c V T , V T 2T S V T V T     x γ ∂ α+β E a,b k,c (x, y, u, v) ∂x α ∂y β     ≤ CR − 1 2 1 , ∀(α, β, γ) ∈ Ξ 1 k . (1.32) S σ N (x,y) (x, y) |x| ≤  2σ N (x, y)  1 k+1    γ ∂ α,β  X 2 E a,b k,c (x, y, u, v)    ≤ C σ k+2 k+1 N (x, y) . (1.36) S σ N (x,y) (x, y) |x| ≥  2σ N (x, y)  1 k+1     γ ∂ α,β  X 2 E a,b k,c (x, y, u, v) u k     ≤ C σ 2 N (x, y) ; ∀(α, β, γ) ∈ Ξ 1 k . V T δ V T δ (x, y) ∈ V T σ N (x, y) = 1 N ρ  (x, y), S  (α, β, γ) ∈ Ξ 1 k , (α 1 , β 1 ) ∈ Γ N+1 , α 1 ≥ 1, β 1 ≥ 1 C 61 max (x,y)∈V T δ   γ ∂ α,β ∂ α 1 1 ∂ β 1 2 f(x, y)   ≤ C 61  T 1 k+1 |f, V T δ | N+1 + H 0  H 1 δ  N−r 0 −1 (N − r 0 − 1)! s  T 1 k+1 + 1 H 1   (α, β, γ) ∈ Ξ 1 k C 73 max (x,y)∈V T δ   γ ∂ α,β ∂ N+1 2 f(x, y)   ≤ C 73  T 1 k+1   f, V T δ”   N+1 + + H 0  H 1 δ  N−r 0 −1 ((N − r 0 − 1)!) s  T 1 k+1 + 1 H 1  (α, β, γ) ∈ Ξ 1 k C 98 max (x,y)∈V T δ    γ ∂ α,β ∂ N−r 0 +1 1 f(x, y)    ≤ C 98  T 1 k+1   f, V T δ    N+1 + + H 0  H 1 δ  N−r 0 −1 ((N − r 0 − 1)!) s  T 1 k+1 + 1 H 1   (α 1 , β 1 ) ∈ Γ N+1 \ Γ N , α 1 ≥ 1, β 1 ≥ 1. C 117 max (x,y)∈V T δ    ∂ α 1 +2 1 ∂ β 1 2 f(x, y)    ≤ C 117  T 1 k+1   f, V T δ    N+1 +H 0  H 1 δ  N−r 0 −1  (N − r 0 − 1)!  s  T 1 k+1 + 1 H 1   . [...]... Đánh giá được tính trơn của nghiệm của phương trình nửa tuyến tính elliptic suy biến a,b k,c f = Ga,b f + x, y, f, k,c f k f ,x x y = 0 (1) 3 Chứng minh được tính giải tích, tính chính quy Gevrey của nghiệm của phương trình (1) 4 Chứng minh được tính hypoelliptic, giải tích hypoelliptic, s-hypoelliptic của toán tử phi tuyến a,b k,c Những vấn đề cần tiếp tục nghiên cứu Nghiên cứu tính chính quy Gevrey. .. - nghiệm của phương trình (1) là thuộc k,loc Gs (); toán tử phi tuyến a,b k,c là s- hypoelliptic ii) Trong trường hợp đặc biệt, nếu là hàm giải tích thì mọi của phương trình (1) cũng là giải tích trên hypoelliptic ; toán tử phi tuyến C m ()a,b k,c nghiệm là giải tích Chương 2 Biến đổi Fourier và tính chính qui Gevrey của nghiệm của một lớp phương trình elliptic suy biến phi tuyến cấp hai với bậc suy. .. thì mọi Gm () - nghiệm của phương trình (1) là thuộc k,loc Gs (); toán tử phi tuyến a,b k,c là s- hypoelliptic ii) Trong trường hợp đặc biệt, nếu là hàm giải tích thì mọi của phương trình (1) cũng là giải tích trên hypoelliptic ; toán tử phi tuyến C m ()a,b k,c nghiệm là giải tích Kết luận và kiến nghị Những kết quả chính của luận án 1 Tìm được nghiệm cơ bản của toán tử elliptic suy biến a,b Gk,c =... c, k là số chẵn và các tham số Gs (s 1), Gs (); toán tử phi tuyến a,b k,c thì mọi C ()- thì (, , ) 1 k chấp nhận được Khi đó: nghiệm của phương trình (1) thuộc là s-hypoelliptic mở rộng ii) Trường hợp đặc biệt, nếu là giải tích , thì mọi C ()- nghiệm của phương a,b k,c là giải tích hypoelliptic mở trình (1) cũng là hàm giải tích trên ; toán tử rộng Định lí 2.3.2 Giả sử rằng, k là số chẵn, các... kết quả về tính chính quy Gevrey của nghiệm của phương trình (1) với k lẻ và k chẵn có khác nhau hay không? Nhưng chúng tôi đã chứng minh được, các đánh giá đối với nghiệm cơ bản của chẵn trên Ga,b với k k,c V T (sau đây sẽ được trình bày trong các Bổ đề 2.3.1, 2.3.2, 2.3.3) cũng giống như trường hợp k lẻ (trong các Bổ đề 1.3.1, 1.3.2, 1.3.3) song với kỹ thuật dùng các đánh giá tích phân của I M Gelfand... chính qui Gevrey của nghiệm của một lớp phương trình elliptic suy biến phi tuyến cấp hai với bậc suy biến chẵn 2.1 Nghiệm cơ bản của toán tử Ga,b k,c Mục này giới thiệu sơ bộ việc tìm nghiệm cơ bản của toán tử 2.1.1 Nghiệm cơ bản của toán tử Ga,b k,c Ta đã có nghiệm cơ bản của toán tử nghiệm cơ bản của khi k Ga,b k,c chẵn Ga,b khi k là số tự nhiên lẻ Bây giờ ta tìm k,c a,b Ga,b khi k là số tự nhiên... phải dùng phương pháp biến đổi Fourier để tìm nghiệm cơ bản của toán tử Ga,b Sau khi tìm nghiệm cơ bản của Ga,b trong trường hợp k chẵn bằng k,c k,c biến đổi Fourier như mục trên, chúng tôi cũng tìm được nghiệm cơ bản của trong trường hợp Ga,b k,c k lẻ bằng cách tương tự Vì công thức nghiệm cũng có dạng như k chẵn nên chúng tôi không viết công thức nghiệm ở đây 2.2 Các đánh giá đối với nghiệm cơ bản... nếu x u 14 Dùng biến đổi Fourier ngược, chúng ta hy vọng rằng 1 E(x, y, u, v) = 2 eiy E(x, , u, v)d, sẽ trở thành nghiệm cơ bản của 2.1.2 Khi Ga,b k,c Nghiệm cơ bản của toán tử Ga,b k,c khi k lẻ k là số tự nhiên lẻ, chúng ta đã tìm được nghiệm của toán tử Ga,b ở Chương k,c 1 bằng cách chỉ ra cấu trúc của công thức nghiệm Nhưng bằng cách đó, chúng tôi không tìm được nghiệm cơ bản của Ga,b trong trường... cùng những người thân trong gia đình đã giúp đỡ, động viên tác giả trong công tác và cuộc sống 20 Các kết quả của luận án này đã được báo cáo tại - Xemina Phòng Phương trình vi phân - Viện Toán học - Xemina Bộ môn Giải tích, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội I - Hội nghị Nghiên cứu sinh các năm 2007, 2008, 2009 của Viện Toán học Danh mục công trình công bố của tác giả 1 V T T Hien, N M Tri (2008), "Analiticity... tính chính quy Gevrey cho các phương trình nửa tuyến tính elliptic với bậc suy biến cấp vô hạn 17 Tài liệu tham khảo Tiếng Anh [1] Bateman H (1953), Higher Transcendental Function, Vol I, Mc Graw-Hill, New York, pp 302 [2] Egorov Yu V (1975), "On subelliptic operators", Uspechi Mat Nayk., (2), pp 57-114 [3] Friedman A (1958), "On the regularity of the solution of nonlinear elliptic and parabolic system