Đang tải... (xem toàn văn)
Các hàm đặc biệt trong Vật lý.
Các hàm đặc biệt Vật Lý I.Các công thức mở rộng Qui tắc tính đạo hàm bậc n tích- tổng… dn (n) j a ( f o g ) = n (f g) = ∑ n= Cn f ( i ) g( n − j) j dx n ( n) j b (a ± b) = ∑ j= ( ±1) j C n a jbn − j ( Nhị thức Newton) c (x.f (x) ) ( e −x x (n) k ) = ( n) n ∑ j= = j Cn x jf (x)(n − j) dn dx n ( ) e − x x k = (n = C0 x + C1 x 'f(x)−1) n n ( j) = x ( ) ( ) n j ∑ Cn e− x j= xk dn dx n (1.1) (1.2) f + n d n −1 dx n −1 f (1.3) ( n − j) n k! j j Cn e − x x (k − n + j) where k ≠ n (1.4) d ∑ ( −1) ( k − n + j) ! j= o = k ( −1) j k! C j e − x x j where k = n n ∑ j! j− (x k )(n) = ((x k ) ')(n −1) = k.(x k −1 )(n −1) = = k(k − 1) (k − n + 1)x (k − n) ý: k! = x (k − n) (k − n)! (1.4a) n tương tự: (1.4b) (e − x )( ) = = ( −1) n e − x x e Nếu đặt e (e và: −x L(kj) (x) (1.5b) từ (1.4) ta có: k (k) x ) x = L k (x) = e dk dx k ( e− x x k ) d j x dk −x k = j ( L k (x) ) = j e k e x dx dx dx dj ( (1.5a) ) Ljk (x) vi : x ( k k k! i ( i ) k! i− j i k! i i ( j) = j ∑ ( −1) C n x = ∑ ( −1) Cn (x ) = ∑ ( −1)i x ( ) Cij i! i! (i − j)! dx i = i =0 i =0 i − j) Ljk (x) = dj = k i = ⇔ i ≤ j,cho − nen : k k! ∑ ( −1)i Cin (i − j)! x ( (1.5) i − j) i= j k− j k! ∑ ( −1)i + j Cik+ j i! x i i =0 L k Ljk đa thức x II Đa thức Hermit Xét hàm số: y = A.e − x Có nghiệm dạng: y’ + 2xy = (2.1) Đạo hàm (n+1) lần hai vế phương trình ý đến (1.3) đặt n ( n ) = A d (e − x ) , ta có: v"+ 2xv '+ 2(n + 1)v = v(x) = y dx n Đặt: v(x) = e − x u(x) thay vào (2.2), ta được: u"− 2xu '+ 2xu = Tương tự, ta có: u = e x2 v = e x2 A Đặt A = ( −1) n ta có: u = ( −1) n e x dn (2.3) dx dn (2.2) (e − x ) , A số tùy ý n (e − x ) = H n (x) n dx H n (x) đa thưc Hermite bậc n, nghiệm phương trình (2.3): , chẵn lẻ với n H" (x) − 2xH 'n (x) + 2xH n (x) = n Các dạng đặc biệt: H (x) = H1 (x) = 2n H (x) = 4x − H (x) = 8x − 12x H (x) = 16x − 48x + 12 Một số công thức suy biến: 1 x.H n (x) = n.H n −1 (x) + H n +1 (x) 2 d H n (x) = 2x.H n −1 (x) dx x.H n −1 (x) = (n − 1)H n − + H n x.H n +1 = (n + 1).H n + H n + 2 d H n −1 = 2(n − 1)H n − dx d H n +1 = 2(n + 1)H n dx d2 d H n = 2n H n −1 = 4n(n − 1)H n − dx dx Cơng thức chuẩn hóa: n x2 +∞ − x e H (x)dx n −∞ với H n (x) = ( −1) e H=∫ d +∞ ⇒ H = ( −1) n ∫−∞ H n Tính tích phân: I = ∞ n dx ∫ −∞ dn dx e− x n 2 e − x dx =…= 2n.n! π n H n (x) dn dx e − x dx n Tích phân phần ta có: I = H n (x) d n −1 dx n −1 e −x2 ∞ d d n −1 − x − ∫ H n n −1 e dx dx −∞ dx −∞ ∞ , số hạng đứng trước tích phân tỉ lệ với e − x Tiếp tục tính tích phân phân đoạn (n-1) lần ý số hạng đứng trước tích phân ≈ e − x I = ( −1) n ∞ ∫ e −x2 −∞ dn dx n H n (x)dx , ý đến (2.4): n ( n) dn n n(n − 1) n −1 d H n (x) = n ( 2x ) − ( 2x ) + = n ( 2x ) n = 2n x n = 2n.n! 1! dx dx n dx d n ( ) n H = ( −1) I = n! ( I0 = ∞ ∫ −∞ n ∞ ∫ e − x dx = 2n.n! π −∞ e − x dx = π tích phân Poisson) Chú ý: Nếu : +∞ − x e H n H mdx −∞ ∫ = Hn Hm trực giao III Đa thức Legendre Hàm điều hòa cầu y(x) = A.(x − 1)l xét hàm số: ( A = const, l nguyên dương) Là nghiệm tổng quát phương trình: ( l ∈ N \ ) (3.1) (1 − x ).y '+ 2lxy = Đạo hàm (l+1) lần hai vế (3.1), ý rằng: d l +1 − x y ' = l +1 dx ( l +1 ) ∑ Clj+1 ( − x ) ( j) y( l + − j) j= = (1 − x )y( l+2) + ( l + 1) ( −2x ) y( l +1) l − l ( l + 1) y( ) , để ý đến (1.3) đặt v = y( l ) ta có: ( − x ) v "− 2xv '+ l(l + 1)v = l 1 dl Nếu chọn: A = l thì: v(x) = l ( x − 1) = Pl (x) l! l! dx l Pl (x) Hay: gọi đa thức Legendre thỏa mãn phương trình (3.2): − x Pl" (x) − 2xPl' (x) + l(l + 1)Pl (x) = ( ) (3.2) (3.2a) Đạo hàm phương trình (3.2a) m lần, ý đến (1.1) (1.3) d2 d ( − x ) dx2 Pl( m) (x) − ( m + 1) x dx Pl( m) (x) + ( l − m ) (l + m + 1)Pl( m) (x) = (3.3) m m − Kí hiệu: Pl( m ) (x) = d Pl (x) = u(x) − x 2 dx m m2 − x u"− 2xu '+ l ( l + 1) − u=0 Thay (3.4) vào (3.3) 2 1− x ( ( u(x) = ( ) m 2 1− x ) phương trình (3.5): (1− x ) ( ) Plm (x) , khoảng −1 ≤ x ≤ dm dx P (x) m l ) "− 2x ( (3.4) (3.5) = Plm (x) gọi đa thức Legendre biến đổi, thỏa mãn Plm (x) ) m2 m '+ l ( l + 1) − Pl (x) = − x2 Chứng minh tính trực chuẩn Plm (x) : ( ) ( ) ( ) ( ' ( ) ) " ' d m Vì − x Pl (x) = − x Plm (x) − 2x Plm (x) từ (3.5) ta suy ra: dx d m2 m d m 1− x Pl (x) + l ( l + 1) − (3.6) Pl = dx dx − x2 d m2 m d m 1− x Pl ' (x) + l ' ( l '+ 1) − (3.7) Pl ' = dx dx − x2 m m Nhân (3.6) với Pl ' (3.7) với Pl , lấy kết trừ nhau: d m − x (P 'lm Plm − P 'l ' Plm ) + l ( l + 1) − l '(l '+ 1) Plm Plm = ' ' dx Tính tích phân vế trái ta có: ( ) − x (P 'm P m − P 'm P m ) l l' l' l = l ( l + 1) − l '(l '+ 1) +1 ∫ −1 +1 −1 + l +1 ( l + 1) − l '(l '+ 1) ∫ −1 Plm Plm dx = , l ≠ l ' suy tính trực giao ' Bài tốn: chuẩn hóa hàm I lm = (3.9) +1 ∫( −1 Plm Plmdx = ' ) ( Plm ( m −1) − x = Pl m − x Plm Plmdx ' tích phân: ) m ( m) Pl ' ( +1 −1 − I lm = +1 +1 ∫ −1 Plm Plmdx ' ( (3.8) ) ( m −1) − x P( m ) (x) ' dx Pl ∫ l −1 ) Số hạng đứng trước tích phân (3.9) tỉ lệ với − x ( m ≥ 1) Nếu m=0 ( ) số hạng lại tỉ lệ − x Pl −1Pl với ( l ≥ 1) Hơn từ phương trình (3.3) chuyển m → m + , ta viết lại: m +1 m m −1 ( m ) (x) − 2mx d P (x) + l + m (l − m + 1) d d 1− x Pl Pl (x) = ( ) l dx m +1 dx m dx m −1 ( ) ( , nhân vế kết với − x d 1− x dx ( Ta có: ) m dm dx m ) Pl (x) = − x ( m −1 ) m ý Plm +1 (x) − 2mx ( − x ) m −1 Plm (x) (3.3’) ( ) ( m d − x Plm (x) = − ( l + m ) ( l − m + 1) − x dx Thay (3.10) vào (3.9) ta có: I lm +1 ∫( = ( l + m ) ( l − m + 1) − x2 −1 ) ) m −1 ( m −1) Pl (x) (3.10) m −1 ( m −1) ( m −1) Pl (x)Pl ' (x)dx = ( l + 1) ( l − m + 1) Ilm −1 (3.11) (3.11) cơng thức truy chứng Có thể dễ dàng thấy rằng: ( l + m ) ! I0 I lm = ( l − m) ! l I0 l +1 = ( 2l.l!) ∫ −1 dl ( (x dx l − 1) l dl ) dxl ( x − 1) dx l Tích phân phân đoạn l lần, ý số hạng đứng trước tích phân lần tích phân lại có (-1) đứng làm nhân trước tích phân ( −1) l +1 (x − 1)l d 2l x − l dx = ) dx 2l ( ) ∫ ( 22l ( l!) −1 I0 l Chú ý đến (1.2) (1.4a): Tích phân ∫( ) l x − dx = d 2l x − 1) 2l ( dx l ( −1) l +1 − x l ) ∫ ( x + 1) ( x − 1) dx = ∫( +1 l l l +1 −1 Tích phân l-1 lần nữa: +1 ∫( −1 = ( 2l ) ! −1 d l +1 1+ l l −1 l +1 + x ) dx = ( ∫ ( − x ) ( + x ) dx dx l + −1 l ( l − 1) +1 2l x − dx = ( −1) ∫ ( + x ) dx ( l + 1) ( l + ) 2l −1 ) l l ( l!) 22l +1 = ( −1) ( 2l ) ! 2l + ( l + m) ! 2 m o Vậy: I l = I l = ( l − m ) ! 2l + 2l + l (3.12) Trong toán học, định lý cộng hàm cầu điều hòa, gọi định lý cộng Legendre, phát biểu sau: Nếu góc γ định nghĩa thông qua {θ1,φ1} {θ2,φ2} bằng: cos(γ) = cos(θ1)cos(θ2) + sin(θ1) sin(θ2) cos(φ1 - φ2) Thì đa thức Legendre với biến γ thỏa mãn: Ở đây, đa thức Legendre đa thức Legendre liên quan Định lý chứng minh việc dùng hàm Green cho tổng hàm điều hòa cầu cân tổng với hàm sinh đa thức Legendre VI Đa thức Laguerre Đa thức Laguerre bậc k biểu thức: L k (x) = e x Ví dụ: L0 (x) = dk dx k (x k e − x ) = e x y ' L2 (x) = − 4x + x L1 (x) = − x k Kí hiệu hàm: y = x e −x L3 (x) = − 18x + 9x − x dk x Lúc L k (x) = e dx k Từ định nghĩa, dễ thấy rằng: xy '+ (x − k)y = y(x) (4.1) Lấy đạo hàm (k+1) lần vế (4.1) theo quy tắc (1.3) ta phương trình: xy( k + 2) + (x + 1)y( k +1) k + ( k + 1) y( ) = (4.2) k y( ) = e − x L k (x) cho nên: xL"k (x) + ( − x ) L'k (x) + kL k (x) = (4.3) (1.5a) (4.3) gọi phương trình vi phân Laguerre Đạo hàm j lần phương trình (4.3), đặt: Ljk (x) = dj dx { Lk (x)} = j d j x dk −x k e x e dx j dx k (1.5b) Ta có: x dj dx L" (x) + j k ( j +1− x) dj ' dx j L k (x) + (k − j) dj dx j L k (x) = (4.4) Bây ta chuẩn hóa tích phân: ∞ I = ∫ Ljk (x)Ljk ' (x)e − x x j+1dx (4.5) Tính hai tích phân phụ A& B sau: ∞ ∞ dk ∞ o o dx A = ∫ e − x x m L k dx = ∫ x m (x k e − x )dx B = ∫ e − x x m Ljk (x)dx k Tích phân phân đoạn m lần ý số hạng trước tích phân 0, nhân trước tích phân (-1) với số mũ x cộng thêm ∞ ( ) A = ( −1) m! ∫ x k e − x m ∞ Nếu k>m thì: ∫( x k e − x ) ( k−m) ( k−m) dx (4.6a) ∞ ( k − m −1) ( k − m −1) dx = ∫ d x k e − x = e − x x k ( ) ( ) ∞ =0 Nếu để ý đến (1.4) k=m thì: ∞ k −x I k = ∫ x e dx = − x k ∞ e − x + k ∞ ∫x k −1 − x e dx = kI k −1 = k!I0 = k! (4.6b) o.if k f m A= k ( −1) ( k!) if k = m Vậy ∞ B= ∫e −x x dj m dx j (4.6) L k dx (4.7) Tích phân phân đoạn k lần, ý số hạng đứng trước tích phân triệt tiêu: B = ( −1) j ∞ dj ∫ Lk (x) dx j ( e −x m x ) dx (4.7a) Chú ý đến (1.4) (4.6): ∞ 0.if k f ( m − j + i ) max ⇒ k f m m! i+ j i − x m − j+ i B = ∑ ( −1) C j ∫ e x L k (x)dx = k ( m − j + i) ! ( −1) ( k!) if k = ( m − j + i ) max ⇒ i = j i =0 (4.8) j Chú ý đến (1.5a), (1.4) (4.6) ta dễ dàng chứng minh tính trực chuẩn L k (x) xác định bởi: ∞ ∫e −x L k ' (x)L k (x)dx = ( k!) δkk ' (4.9) Chú ý đến (1.5) (4.8) ta dễ dàng chứng minh được: ∞ ∫e −x j x L k ' (x)L k (x)dx = k ' ≠ k , k’=k thì: ∞ ∫ ∞ ∫ e − x x jLjk Ljk 'dx e − x x jLjk ' (x)Ljk (x)dx ( k!) k! = ∫ ( −1) e − x x k Ljk dx = nghĩa là: ( k − j) ! ( k − j) ! ∞ k ( k!) δ = ( k − j) ! kk ' Bây ta tính I xác định (4.5) từ (1.5) (4.8) ta có: ∞ ∞ k! kk! k −1 k +1 − x j I = ∫ ( −1) x e L k dx + ∫ ( −1) x k e − x Ljk dx ( k − j) ! ( k − j − 1) ! 0 k k ( k!) Tích phân thứ − để ý đến (4.8) Tính tích phân: ( k − j − 1) ! C= ∞ ∫ e − x x k +1Ljk dx = ( −1) j ∞ ∫ Lk ∞ dj dx j ( e−x x k +1 ) dx ( theo (4.7a)) = ∫ e − x x k +1L k dx − ( −1) j ( k + 1) ( k!) theo (1.4) (4.6) k Còn: ∞ ∫e ∞ − x k +1 L k (x)dx = ∫ x x k +1 dk dx k (e −x k x ) = ( −1) k ∞ ( k + 1) ! ∫ e− x x k +1dx theo (4.6a) tích phân k lần k = ( −1) ( k + 1) ! theo (4.66) Vây: C = ( −1) k ( k + 1) !k!( k + − j) thế: ( k!) ( k + 1) !( k + − j) − k ( k!) = ( k!) ( 2k + − j) I= ( k − j) ! ( k − j − 1) ! ( k − j) ! Từ đấy: ∞ ∫ Ljk ' (x)Ljk (x)e − x x j+1dx ( k!) 2k + − j δ = ( ) kk ' ( k − j) ! (4.10) V Các hàm Gamma Γ ∞ Γ(p) = ∫0 e − x x p −1dx ( p>0) Các hàm Gamma đặc biệt: Γ(1) = Γ(p +1) = p.Γ(p) Γ(p +1) = p! Mở rộng hàm Gamma cho giá trị p Bằng tính tốn chứng minh phức tạp: thừa nhận điều sau Γ(p) = ∞ p nguyên âm VI Các hàm Bessel Phương trình Bessel-Euler: x y"+ xy '+ (x − p2 )y = Nghiệm tổng quát: y = C1y1 + C2 y a Hàm Bessel loại với số âm: y"+ p2 y '+ (1 − )y = x x Lúc : y = xp ∞ ∑ k.x k k =0 Nghiệm tổng quát trường hợp này: b Hàm Bessel loại Với p phân số, hàm Bessel loại nhận từ nghiệm tổng quát: Υ p (x) = cot anP(x)J p ()x) − csc P(x).J − p (x) (*) Với csc P(x) = J p (x) cos P( π) − J − p (x) = sin P(x) sin P( π) - suy rộng cho trường hợp p nguyên, vế phải (*) có dạng bất định: Vì tử số có dạng: ( −1) p J p (x) − J − p (x) = Bằng phép biến đổi ta được: n −1 (n − m − 1)! x ( −1) m ( ) n + 2m m + n m x ( ) − n + 2m − ∑ ( ).( ∑ + ∑ ) π m = m!.(n + m)! k =1 k k = k ∞ x J n (x).(ln + c) − ∑ π π m =1 m! với c = 0.577215664901532 số Euler x ∞ ( −1) m x 2m 1 ( ) (1 + + + + ) + với n=0, ta có: Υ (x) = J (x).(ln + c) = ∑ π π m =1 (m!) 2 m Đồ thị Υ (x) Υ n (x) = c.Hệ thức liên hệ hàm Bessel với số khác - p bất kỳ, ta có: ∂ p x J p (x) = x p J p −1 (x) ∂x ∂ −p x J p (x) = − x − p J p +1 (x) ∂x Hệ quả: x.J 'p (x) + p.J p (x) = x.J p −1 (x) xJ 'p (x) − p.J p (x) = − xJ p +1 (x) ( ( ) ) J p −1 (x) − J p +1 (x) = 2.J 'p (x) J p −1 (x) + J p +1 (x) = d Các hàm Bessel loại 2n + P= số bán nguyên với n số nguyên J (x) Xét hàm , thay P = ta có: 2 x J (x) = 2.Γ 2 Γ = 2 x2 x4 x6 + − + = 1 − 2.3 2.4.3.5 2.4.6.3.5.7 sin x 2x.Γ 2 1 ∞ 1 ∞ Γ = ∫0 e − x dx = ∫0 e − t dt = x 2 x 2 ⇒ J (x) = Tương tự: J sin x πx (x) − = cos x πx e Các công thức tiệm cận hàm Bessel: phương thình 1.1: x y"+ xy '+ (s2 − p2 ) = z , y ' = , y" Thế: y = x 1 m p2 − đặt: m = − p , , = ς )z = ⇔ z"+ (1 − x x2 Ta được: z"( x ) + (1 + ς( x ) )z (x) = Với x f f ς ⇒ x → ∞, ς → Lúc phương trinh qui về: z”+z=0, nghiệm: z=Asin(x+ω) 2p J p (x) x ... 22l +1 = ( −1) ( 2l ) ! 2l + ( l + m) ! 2 m o Vậy: I l = I l = ( l − m ) ! 2l + 2l + l (3.12) Trong toán học, định lý cộng hàm cầu điều hòa, gọi định lý cộng Legendre, phát biểu sau: Nếu góc