Chương 1: Một Vài Nguyên Lí Cơ Bản NGUYÊN LÝ DIRICHLET Từ đó suy ra số hạng tổng quát của dãy có dạng:   =   1 + √ 5 2   +   1 − √ 5 2   Với ∀≥0 Mà theo giả thiết ta lại có:  = 0;  = 1 ⇒  += 0   1 + √ 5 2  +   1 − √ 5 2  = 1 ⇒ ⎩ ⎪ ⎨ ⎪ ⎧ = √ 5 5 = − √ 5 5 Vậy số hạng tổng quát của dãy Fibonacci là:   = √     √     −  √      với∀≥0 Ví dụ 2:Tìm số hạng tổng quát của dãy số {   }  xác định như sau:   =   = 0,  = 6  −9  (∀≥0) Giải: Phương trình đặc trưng của dãy đã cho là:  −6+ 9 =0 Nghiệm của phương trình đặc trưng là:   =   = 3 Từ đó suy ra số hạng tổng quát của dãy đã cho là:  = 3  + 3  (∀≥0) Theo giả thiết :  =   = 1 ⇒ = 1 = −2 Vậy số hạng tổng quát của dãy đã cho là:   = 3  −23  (∀≥1) Ví dụ 3:Tìm số hạng tổng quát của dãy {   }  xác định như sau:   = 0;  = 1   =   −  Giải: Phương trình đặc trưng của dãy đã cho là  −+ 1 =0 có nghiệm là:   =  √   ;  =  √   Ta có: |   | = |   | = 1,  =   =   Do đó số hạng tổng quát của dãy đã cho là:  = 1     + sin    Với ∀≥1 Theo giả thiết ta có:  = 0,  = 1 nên = 0;=  √    Vậy dãy đã cho có số hạng tổng quát là:   =  √   sin   ∀≥0. BÀI TẬP: Bài 2: Tính số hạng tổng quát của dãy {   }  xác định bởi u 0 = 0;u 1 = 1 và 2  = 2  −  với n0 Giải: Phương trình đặc trưng: 2  −2+ 1 = 0 có nghiệm :   = 1 +  2 ;  = 1 − 2 Ta có: |   | = |   | =  1 2 ;  =   =  4  Do đó số hạng tổng quát của dãy số đã cho có dạng là:   =  1 √ 2     4 +   4 ∀≥0 Theo giả thiết ta có:  = 0;  = 1 nên p = 0 Vậy dãy đã cho có số hạng tổng quát là:   = 2sin  4  1 √ 2   ∀≥0 Bài 3: Xác định số hạng tổng quát của dãy: (   )  biết rằng   = > 0,  = > 0 và   =        ∀≥0 Giải: Ta có:   =        (1) Dễ thấy:   ≠0∀≥1. Lấy ln hai vế của (1): ln  =   ln   .  ⇔3  = 2ln  + ln   Đặt ln  =   . Vậy ta có: 3  = 2  +   (2) với   = ln;  =  Phương trình đặc trưng của (2) là3  −2−1 = 0có nghiệm là:   = 1;  = −   từ đó suy ra số hạng tổng quát có dạng:   = .1 + − 1 3   ;∀≥0 Mà ta có:    = ln   = ln ⇒  + =  − 1 3 = ln ⇒  =       = 3 4 ln   Vậy số hạng tổng quát của dãy là:   =      =       .1  +  3 4 ln   ).( − 1 3   ;∀≥0 Bài 4: Xác định số hạng tổng quát của dãy (   )  biết rằng   = > 0,  = > 0 và   =         (3) ∀≥0 Giải: Dễ thấy:   ≠0;∀≥1. Do đó, đặt    =   . Khi đó ta có: 1   = 2.1   1   1   + 1   ⇒ 1   = 2   +   ⇒  +   = 2  Với   = 1  ;  = 1  ∀≥0 Phương trình đặc trưng của (4) là2  −−1 = 0 có nghiệm là: t=1; = −   từ đó suy ra số hạng tổng quát của dãy có dạng   = .1  + −     ;∀≥0 Ta lại có:   = 1  ;  = 1  ⇒ + = 1  − 1 2 = 1  ⇒ = +2 3 = 2 3 −  Vậy số hạng tổng quát của (3) là:   =      =    .1  +      .−     ;∀≥0 CHƯƠNG 3 Bài 3 CÁC PHƯƠNG PHÁP TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT Bài 1/91: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số sau đây: = |  |  + |  |  với  là một hằng số dương; = 3−5+ + 1; = √   + √ −  với a dương và n nguyên dương; = √   − √ −  với a dương và n nguyên dương; = |  |  . |  |  với p và q lớn hơn 1. LG: = | cos |  + | sin |  với  là một hằng số dương. Đặt = | cos |  ,∈ [ 0,1 ] ⟹ | sin |  = 1 − ⟹=    + ( 1 − )      =  2 .    −  2 . ( 1 − )       = 0 ⟺  2 .    −  2 . ( 1 − )    = 0 ⟺= 1 2   ( 0 ) =  ( 1 ) = 1  1 2 =  1 2    = 1 2     Nếu = 2 ⟹= 1, ∀∈ℝ Nếu< 2⟹ 1 2 > 1⟹max=  1 2  = 1 2     min= 1 Nếu> 2⟹ 1 2 <1⟹min=  1 2  = 1 2     max= 1 = cos3−cos5+ cos+ 1 = 4cos  −3cos−5 ( 2cos  −1 ) + cos+ 1 = 4cos  −10cos  −2cos+6 Đặt = cos, ∈ [ −1,1 ] ⟹=  (  ) = 4  −10  −2+ 6   (  ) = 12  −20−2   (  ) = 0 ⟺6  −10−1 = 0 ∆  = 25+ 6 = 31   = 5 + √ 31 6 > 1 ( ạ )   = 5 − √ 31 6  Bảng biến thiên Vậy min= −10 max=  5 − √ 31 6  = √   + √ −  với a dương và n nguyên dương Điều kiện 0 ≤≤ Ta có = √   + √ −  =    + ( − )     = 1 2     − 1 2 ( − )      = 0 ⟺ 1 2     = 1 2 ( − )    ⟺=  2  ( 0 ) =  (  ) = √     2 = 2   2  > √   Vậy min= √   khi = 0 hoặc = . . Chương 1: Một Vài Nguyên Lí Cơ Bản NGUYÊN LÝ DIRICHLET Từ đó suy ra số hạng tổng quát của dãy có dạng:   =   1. = 1  − 1 2 = 1  ⇒ = +2 3  = 2 3 −  Vậy số hạng tổng quát của (3) là:   =      =    .1  +      .−     ;∀≥0 CHƯƠNG 3 Bài 3 CÁC PHƯƠNG PHÁP TÌM GIÁ. 0 ∆  = 25+ 6 = 31   = 5 + √ 31 6 > 1 ( ạ )   = 5 − √ 31 6  Bảng biến thiên Vậy min= −10 max=  5 − √ 31 6  = √   + √ −  với a dương và n nguyên dương Điều