Baỡi giaớng Cồ hoỹc õaỷi cổồng (Meù canique Geùneùrale) PFIEV aỡ nụng Chơng II: DÂY RUNG - phơng trình DalămbE Đ1. Dao động ngang của đây - Phơng trình Đalămbe: 1) Quan sát sự lan truyền biến dạng dọc theo dây: Một sợi dây, một đầu gắn vào tờng, đầu kia đợc kéo căng bởi nguời quan sát (Hình 2). Khi ngời quan sát tạo một biến dạng ở đầu dây, biến dạng này sẽ chạy dọc theo dây từ điểm này sang điểm khác, tạo nên một sóng lan truyền dọc theo dây, tơng tự nh sóng biến dạng lan truyền trong chuỗi vô hạn các dao động tử liên kết. a) Sóng ngang và sóng dọc: Xét một sóng lan truyền trong một chuỗi vô hạn các dao động tử liên kết và một sóng lan truyền trên dây. Hai sóng này lan truyền theo phơng Ox (gọi là phơng truyền sóng). Tuy nhiên, vật dao động trong chuỗi dao động tử chuyển động theo phơng song song với Ox, còn dịch chuyển của một điểm trên dây theo phơng vuông góc với Ox. Sóng ngang: là sóng mà các phần tử của môi trờng chuyển động trong mặt phẳng vuông góc với phơng truyền sóng. Ví dụ, sóng trên dây đàn căng thẳng a) Sóng ngang b) Sóng dọc Hình 1 Phơn g tru y ền són g Phơng truyền sóng Sóng dọc: là sóng mà phơng dao động của các phần tử của môi trờng trùng với phơng truyền sóng. Ví dụ, sóng âm trong không khí, sóng biến dạng truyền trong chuỗi các dao động tử liên kết b) Chiều truyền sóng - Sóng chạy : Quan sát sự lan truyền của sóng trên dây tại những thời điểm kế tiếp nhau t 0 , t 1 = t 0 +t, t 2 = t 0 +2 t, , t n = t 0 + nt (Hình 2). Ta thấy rằng, biến dạng của dây tại các thời điểm khác nhau là nh nhau, nhng trong khoảng thời gian t, biến dạng truyền đi đợc một khoảng x tỉ lệ với t: x = c. t Sóng biến dạng đã lan truyền dọc theo dây với vận tốc x c t = không đổi theo chiều x tăng (c đợc gọi là vận tốc truyền sóng) Dịch chuyển (x,t) của dây tại (x + ct, t + t) và tại (x,t) là nh nhau: (., )(,) x ctt t xt + += Khi sóng trên dây lan truyền theo phơng chiều Ox, dịch chuyển của một điểm M tọa độ x trên dây tại thời điểm t sẽ giống nh dịch chuyển của điểm O (x = 0) tại thời điểm x ut c = (,) (0, ) ( ) x x xt t f t cc == Hàm (x,t) chỉ phụ thuộc vào biến số duy nhất : (,) () x tfu = (1) với x ut c = . Đây là sóng chạy theo phơng Ox theo chiều x tăng. 46 Baỡi giaớng Cồ hoỹc õaỷi cổồng (Meù canique Geùneùrale) PFIEV aỡ nụng Ta có : 22 22 f f x x xx == . Mà : 1 ffuf x ux u c = = 2 2 2 22 11 11 1 ff f f cu x cu x xcucuc === = u (a) Mặt khác: 2 2 f f u uu = với . f ft f utut == 22 22 fff ff tut uu t tt 2 2 t ===== (b) Từ (a) và (b), suy ra : 22 222 1 x ct = Hàm sóng (,) ((,)) x tfuxt = là một nghiệm của phơng trình truyền sóng Đalămbe. Tiếp tục quan sát (Hình 3) Biến dạng khi đến tờng, sẽ tạo nên một sóng phản xạ lan truyền với vận tốc c của sóng tới, nhng theo chiều x giảm và có dạng: (,) (v) x tg = với v x t c =+ . Đây là sóng chạy theo phơng Ox theo chiều x giảm. Tơng tự, hàm sóng (,) (v(,)) x tgxt = là một nghiệm của phơng trình truyền sóng Đalămbe. Hình 2 Hình 3 47 Baỡi giaớng Cồ hoỹc õaỷi cổồng (Meù canique Geùneùrale) PFIEV aỡ nụng 2) Phơng trình chuyển động của dây: a) Mô tả các chuyển động ngang nhỏ : y Xét một sợi dây căng thẳng nằm theo phơng trục Ox. Khi gõ lên dây, dây sẽ rung động. Để đơn giản chỉ xét chuyển động của sợi dây trong mặt phẳng xOy. Gọi : (x,t) là dịch chuyển theo phơng Oy của dây tại hoành độ x, tại thời điểm t (dịch chuyển ngang); (x,t) góc giữa tiếp tuyến với dây tại hoành độ x, tại thời điểm t so với trục Ox nằm ngang. Dây rung với biên độ bé Có thể xem nh dây vẫn thẳng Góc nghiêng (x,t) của dây rất bé: (,) (,) (,) x x t xt tg xt x = Hoành độ cong s đo dọc theo dây cung nghiệm đúng hệ thức: 2 22 1 d ds dx d dx dx dx =+=+ tức là hoành độ cong s có thể coi nh bằng hoành độ ngang x Chuyển động của một điểm trên dây theo phơng Ox nằm ngang có thể bỏ qua Sóng lan truyền trên dây có thể xem nh là các sóng ngang. M dx ds d (,) x t (,) x t Hình 4 x O x b) Lực căng dây : Xét các lực tác dụng lên phân tố dây có chiều dài dx, nằm giữa x và x + dx (Hình 5). Gọi T(x,t) là giá trị lực căng dây tại một điểm có hoành độ x, tại thời điểm t. Bỏ qua trọng lợng của dây. Giả sử bỏ qua độ cứng xoắn của dây Dây không chịu tác dụng của momen xoắn; các lực tác dụng lên dây hớng theo tiếp tuyến với dây. Gọi (,) F xt : lực căng tác dụng tại thời điểm t, từ phần dây có tọa độ > x lên phần dây có tọa độ < x. Phần dây có tọa độ nhỏ hơn x tác động lên phân tố dây dx một lực: 11 (,) (,) F Fxt Txtu= = Phần dây có tọa độ lớn hơn x+dx tác động lên phân tố dx một lực: 22 (,)(,)FFxdxtTxdxtu=+ + = + với và là vectơ đơn vị của tiếp tuyến với dây tại x và x + dx tại thời điểm t. 1 u 2 u Các thành phần của và trên các trục Ox và Oy: 1 F 2 F Trên Ox: Trên Oy : 1 2 (,) (, x x FTxt FTxdxt + ) 1 2 (,) (,). (,) ( ,) ( ,). ( ,) yy yy FFxtTxtxt F Fxdxt Txdxt xdxt = =++ + (Lu ý : cos 1, sin ). 48 Baỡi giaớng Cồ hoỹc õaỷi cổồng (Meù canique Geùneùrale) PFIEV aỡ nụng y O x x M (,) x t (,) x t 1 F 1 u (,) x dx t + (,) x dx t + 2 F 2 u x + dx Hình 5 áp dụng định luật Newton II cho phân tố dây dx, và chiếu lên Ox : (,)(,)Tx dxt Txt+ =0 ) t T= (,)(,Tx dxt Txt+= Tại thời điểm t, lực căng dây T bằng hằng số dọc theo dây. Mặc khác, chiều dài của dây xem nh không đổi lực căng nói trên luôn bằng lực căng T 0 khi dây không chuyển động: Tx 0 (,) 10 20 (,) .(,) (,).(,) yy yy FFxtTxt F Fxdxt T xdxt = = =+= + Từ đó suy ra: (2) c) Phơng trình chuyển động ngang : Gọi à là khối lợng một đơn vị chiều dài dây. áp dụng định luật Newton II cho phân tố dây dx (khối lợng à .dx) và chiếu lên Oy: [] 2 21 0 2 (,)(,). (,)(, yyy y dx F F F x dx t F x t T ) x dx t x t t à =+= + = + Suy ra: 22 00 22 y F TT tx x x à == = (3) (Lu ý : x = ). 3) Phơng trình truyền sóng: Từ phơng trình (3), suy đợc phơng trình truyền sóng Đalămbe: 22 222 1 0 x ct = (4) với: 0 T c à = Đại lợng 0 T c à = , có thứ nguyên của vận tốc và đặc trng của sự truyền sóng trên dây. 4) Các phơng trình liên kết: 49 Baỡi giaớng Cồ hoỹc õaỷi cổồng (Meù canique Geùneùrale) PFIEV aỡ nụng Phơng trình truyền sóng (4) đợc suy từ hai phơng trình sau đây liên kết F y (x,t) và (x,t): 2 2 00 1 y y F tx FT T x à = == (5) Với (,) v( , ) x t xt t = là vận tốc dịch chuyển ngang, phơng trình (5) trở thành : 0 ((,) v(x,t) 1 (- ( , )) v( , ) y y ) F xt t Fxt x x t T tx à = = (6) Hệ phơng trình (6), liên kết biến đổi của vận tốc ngang v(x,t) và thành phần ngang (,) y F xt của lực căng dây , đợc gọi là các phơng trình liên kết. (,)Fxt Nh vậy, một biến dạng của sợi dây làm xuất hiện một lực (,) y F xt , bản thân lực đó có thể kéo theo một vận tốc dịch chuyển Chính mối liên kết này là cơ sở của hiện tợng lan truyền sóng trên sợi dây. Đ2. Nghiệm sóng phẳng chạy của phơng trình Đalămbe : Trên đây, ta đã biết rằng các sóng () ( ) x fu ft c = và (v) = g( ) x gt c + là các nghiệm của phơng trình Đalămbe một chiều 22 222 1 0 xct = . Có thể quan sát đợc sự lan truyền của hai sóng này trên dây. Ngời ta chứng minh rằng nghiệm tổng quát của phơng trình Đalămbe đợc viết dới dạng tổng của hai nghiệm f(u) và g(v): (,) (,) () (v) x tuvfug ==+ với: (,) x uuxt t c = = và vv(,) x xt t c = =+ (7) Nghiệm () x ft c mô tả sóng phẳng chạy lan truyền với vận tốc c theo phơng Ox theo chiều x tăng. Nghiệm () x gt c + mô tả sóng phẳng chạy lan truyền với vận tốc c theo phơng Ox theo chiều x giảm. Đ3. Nghiệm sóng phẳng chạy đơn sắc của phơng trình Đalămbe: 1) Nghiệm hình sin của phơng trình Đalămbe: Có thể tìm nghiệm của phơng trình Dalembert phụ thuộc vào thời gian theo dạng hình sin. Sử dụng ký hiệu phức, nghiệm hình sin có dạng: (,) () it x txe = ( 2 ) Tính 2 2 x ; 2 2 t ( 3 ) và thay vào phơng trình truyền sóng, suy sa: 2 2 22 () () 0 x x xc += ( 2 ) Nghiệm sóng phẳng chạy hình sin có dạng : + Dạng thực : 0 (,) cos( )xt t kx = + + Dạng phức : () 0 (,)xt itkx e = với 00 i e = , trong đó k có thể dơng hay âm. Do đó, có thể viết : 0 (,) ikx i t x tee = hay (,) () it x txe = với 0 () ikx x e = ) 50 Baỡi giaớng Cồ hoỹc õaỷi cổồng (Meù canique Geùneùrale) PFIEV aỡ nụng Nghiệm tổng quát có dạng: 10 20 () ikx ikx x ee =+ Với : 01 10 10 i e = và 02 20 20 i e = và k c = . Vì vậy, các nghiệm hình sin tìm đợc có dạng: () ( 10 20 (,) i t kx i t kx xt e e + =+ ) Dới dạng thực, ta có: 10 01 20 02 (,) cos( ) cos( )xt t kx t kx =++++ (8) Mỗi số hạng của nghiệm đặc trng cho một sóng phẳng chạy đơn sắc. Số hạng 10 01 cos( )tkx + mô tả sóng phẳng chạy lan truyền với vận tốc c theo phơng Ox theo chiều x tăng. Số hạng 20 02 cos( )tkx ++ mô tả sóng phẳng chạy lan truyền với vận tốc c theo phơng Ox theo chiều x giảm. 2) Các đặc trng của sóng phẳng chạy đơn sắc : Một sóng phẳng chạy đơn sắc lan truyền theo phơng của trục Ox theo chiều x tăng đợc mô tả dới dạng phức: ( 0 (,) itkx xt e = ) với: 0 00 i e = Hoặc dới dạng thực: 00 (,) cos( )xt t kx =+ Sóng này đợc đặc trng bởi tần số góc và vectơ sóng . x kke= ( k cho ta biết phơng chiều truyền sóng) và có hai chu kỳ: Chu kỳ theo thời gian: 2 T = Và chu kỳ theo không gian: 2 k = Ta thấy: (,)(,xxtt xt) + + = khi kx t = . Nh vậy, có thể nói rằng sóng lan truyền theo phơng chiều Ox với vận tốc: x v tk = = . v k = gọi là vận tốc truyền sóng hay vận tốc pha (vận tốc lan truyền của pha). 3) Hệ thức tán xạ: Phơng trình truyền sóng cho ta hệ thức liên hệ giữa k và và đợc gọi là hệ thức tán xạ. Trờng hợp sóng phẳng chạy đơn sắc dạng ( 0 (,) itkx xt e = ) , nghiệm của phơng trình truyền sóng Đalămbe, phơng trình truyền sóng trở thành: 22 () 222 1 0 itkx e xct = 22() 2 1 () ( ) 0 itkx ik i e c = Suy ra hệ thức tán xạ: 2 2 2 k c = (9) ( 3 ) Ta có : it e xx = 22 22 it e xx = 2 2 2 () it xe t = ; ; 51 Baỡi giaớng Cồ hoỹc õaỷi cổồng (Meù canique Geùneùrale) PFIEV aỡ nụng Đ4. Nghiệm sóng dừng của phơng trình Đalămbe : 1) Sự hình thành của sóng dừng - Dây Melde: a) Thí nghiệm sóng dừng trên dây Melde: Một sợi dây đợc căng thẳng giữa hai đầu (Hình 6). Đầu thứ nhất gắn với một thanh rung, đợc kích thích bởi một nam châm điện, đầu dây sẽ thực hiện dao động bé với tần số ( , với : tần số của dòng điện chạy qua nam châm). v 2'vv= 'v Đầu thứ hai của dây vắt qua một ròng rọc. Sợi dây đợc căng nhờ quả cân có khối lợng M thay đổi đợc Sức căng trên dây: T 0 = Mg b) Quan sát sóng dừng: Sau giai đoạn quá độ (xảy ra trong một khoảng thời gian ngắn), dây sẽ thực hiện dao động cỡng bức với tần số bằng tần số của thanh rung và trên dây xuất hiện các bó sóng. v Quan sát thấy các dao động xảy ra tại chỗ và không dịch chuyển Trên dây xuất hiện các sóng dừng. Thay đổi tần số của thanh rung. Nói chung, biên độ dao động của dây là bé (và có cùng cở độ lớn với biên độ dao động a của thanh rung). Tuy nhiên, ứng với một số tần số nhất định, biên độ này có thể trở nên lớn: Trên dây xuất hiện hiện tợng cộng hởng (Hình 7). v n v Ta thấy rằng ứng với một tần số cho trớc, tại một số điểm cố định, cách đều nhau trên dây xuất hiện các cực đại dao động (gọi là bụng dao động) và các cực tiểu dao động (gọi là nút dao động). y Ròn g rọc Nam châm điện Thanh rung x O Hình 6 M biên độ dao độn g của thanh run g bụn g dao độn g nút dao độn g Hình 7 Khi có cộng hởng, đầu dây gắn với thanh rung gần nh trùng với nút dao động và khoảng cách giữa hai nút bằng: + Chiều dài L của dây khi có một bó sóng. + 2 L khi có hai bó sóng. + 3 L khi có ba bó sóng c) Định nghĩa sóng dừng: Trong thí nghiệm trên đây, một điểm trên dây có hoành độ x thực hiện một dao động (,xt) với biên độ F chỉ phụ thuộc vào x (và không phụ thuộc vào t) (,)xt có dạng: a) Tần số bất kỳ b) Tần số cộng hởng nhất c) Tấn số cộn g hởn g thứ hai (,) ().cos( )xt Fx t =+ (10) 52 Baỡi giaớng Cồ hoỹc õaỷi cổồng (Meù canique Geùneùrale) PFIEV aỡ nụng Trong biểu thức này, biến số x và t đợc phân ly. Sự phụ thuộc của (,)xt vào x t c hoặc vào x t c + không còn nữa Không có sự lan truyền Hàm (,)xt mô tả một sóng dừng. Tóm lại: Một sóng dừng phẳng đợc mô tả dới dạng thực bởi hàm có dạng: (,) ().()xt FxGt = 2) Nghiệm sóng dừng của phơng trình Đalămbe: Xét một hàm sóng với biến số phân ly mô tả một sóng dừng: (,) ().().xt FxGt = Khi (,)xt là nghiệm của phơng trình truyền sóng Đalămbe 22 222 1 0 x ct = , ta có: 2 1 ''( ). ( ) ( ). ''( ) 0FxGt FxGt c = Vì vậy: 2 ''( ) ''( ) () () Fx Gt c Fx Gt == A (11) Hai số hạng đầu bằng nhau và lần lợt phụ thuộc vào các biến độc lập x và t A = hằng. Chúng ta chỉ tìm một nghiệm chấp nhận đợc cho mọi giá trị của x và t Không xét đến các nghiệm phân kỳ Chỉ xét trờng hợp A < 0. Đặt: 2 A = Phơng trình (11) trở thành: 2 2 ''( ) . ( ) 0Fx Fx c += 2 ''( ) . ( ) 0Gt Gt + = Suy ra: 0 () .cos( ) G Gt G t =+ 0 () .cos( ) F Fx F kx = + với: k c = Tóm lại: Sóng dừng đơn sắc, nghiệm của phơng trình Đalămbe có dạng: 0 (,) .cos( )cos( ) F xt kx t G =+ + (12) 3) Dao động tự do nhỏ của dây rung hai đầu cố định: Hãy tìm nghiệm (x,t) của phơng trình truyền sóng ngang trên dây có chiều dài L và đợc cố định ở hai đầu. Nghiệm (x,t) mô tả dao dộng tự do của một điểm trên dây có tọa độ x. a) Nghiệm của phơng trình truyền sóng dao động ngang trên dây: Nghiệm tổng quát của phơng trình truyền sóng trên dây có dạng: (,) ( ) ( ) x x xt f t gt cc =++ Điều kiện biên: (0, ) 0t = với mọi t (a) () () 0ft gt+= (,) 0Lt = ()( ) = LL ft gt cc + + 0 với mọi t (b) Từ (a) và (b) suy ra: ( ) ( ) = f ( ) L LL ft gt t cc =+ + c Hàm f có chu kỳ theo thời gian là 2 L T c = . Khai triển hàm f(t) có chu kỳ T thành chuỗi Fourrier: 53 Baỡi giaớng Cồ hoỹc õaỷi cổồng (Meù canique Geùneùrale) PFIEV aỡ nụng 00 0 11 () cos( ) sin( ) nn nn f ta a nt b nt == =+ + với: 0 c L = ( 4 ) là tần số góc cơ bản. Dạng tổng quát của sóng truyền trên dây hai đầu cố định: (,) ( ) ( ) x x xt f t gt cc =++ (,) ( ) ( ) x x xt ft ft cc =+ 00 0 11 ( , ) cos( ( )) sin( ( )) nn nn x x xt a a n t b n t cc == =+ + 00 0 11 cos( ( )) sin( ( )) nn nn x x aant bnt cc == + + + Đặt: 2 nn A b= ; 2 nn Ba= Suy ra: [] 00 1 ( , ) cos( ) sin( ) .sin( ) nn n 0 x xt A n t B n t n c = =+ (13) Hai biến x và t phân ly trong biểu thức trên (,)xt theo (13) là nghiệm mô tả sóng dừng của phơng trình Đalămbe. b) Các dạng dao động riêng của dây rung : @ Biểu thức (,)xt theo (13) cho thấy sóng dừng trên dây là sự chồng chất của nhiều sóng dừng đơn sắc có dạng: () 00 ( ) ( ) sin( ) cos( ) sin( ) nn n n x 0 F xG t n A n t B n t c =+ 0000 ( ) ( ) sin( ). sin( ) nn n n n x FxGt F n G n t c =+ Các hàm () n F x và có dạng điều hòa: () n Gt 00 () .sin(2 ) .sin(2 ) 2 nn n n nx Fx F x F L == 00 () .sin(2 ) .sin(2 ) 2 nn nn n nc Gt G t G t L n =+= + với: 2 n L n = ; 2 n c n L = ; 0 c L = Chu kỳ theo không gian của F n (x) tơng ứng với: 0 2 n L nn == với: 0 2L = Chu kỳ theo thời gian của G n (t) tơng ứng với: 0 . 2 n c nn L == với: 0 2 c L = Trong đó n là số nguyên. Ta có: 00 nn c == Nh vậy dây rung có n dạng dao động riêng ứng với n tần số góc riêng 00n c nn L == Dạng dao động thứ nhất (n = 1): ( 4 ) Ta có : 0 2 T = với : 2L c = T 0 c L = 54 . truyền sóng trở thành: 22 () 22 2 1 0 itkx e xct = 22 () 2 1 () ( ) 0 itkx ik i e c = Suy ra hệ thức tán xạ: 2 2 2 k c = (9) ( 3 ) Ta có : it e xx = 22 22 it e xx = 2 2 2 () it xe t = ;. f utut == 22 22 fff ff tut uu t tt 2 2 t ===== (b) Từ (a) và (b), suy ra : 22 22 2 1 x ct = Hàm sóng (,) ((,)) x tfuxt = là một nghiệm của phơng trình truyền sóng Đalămbe aỡ nụng Ta có : 22 22 f f x x xx == . Mà : 1 ffuf x ux u c = = 2 2 2 22 11 11 1 ff f f cu x cu x xcucuc === = u (a) Mặt khác: 2 2 f f u uu =