BÀI TẬP SỐ 3 Mục tiêu: Làm quen với các khái niệm và cách tính hàm độ lớn xác suất, hàm phân phối tích lũy, kỳ vọng, phương sai của: Biến ngẫu nhiên X rời rạc Biến X có phân phối đều rời rạc Biến X có phân phối nhị thức Biến X có phân phối chuẩn Tóm tắt lý thuyết: Biến ngẫu nhiên rời rạc X: Hàm độ lớn xác suất (pdf): Pr(X), f(X) Hàm phân phối tích lũy (cdf):                     Kỳ vọng:              Phương sai:                             Chứng minh:                                                                                              -  Độ lệch chuẩn:          Phân phối xác suất của X: là tất cả các giá trị x mà X có thể nhận và xác suất Pr(x) tương ứng của chúng. Bảng phân phối xác suất: X Pr(X=x) Phân phối đều rời rạc: Biến X có phân phối đều rời rạc nếu nó thỏa hai điều kiện sau: ▫ X có thể nhận các giá trị nguyên trong đoạn [a, b]. ▫ Các giá trị mà X có thể nhận có xác suất bằng nhau. X có phân phối đều rời rạc trong đoạn [a,b] thì: Hàm độ lớn xác suất: ).(, 1 1 )Pr( bxa ab x    Hàm phân phối tích lũy: Kỳ vọng: Phương sai: Phân phối nhị thức: Biến X có phân phối nhị thức nếu nó thỏa các điều kiện sau: ▫ Số lần thí nghiệm của tiến trình ngẫu nhiên đang xét là cố định ▫ Hậu quả của thí nghiệm chỉ có thể được phân thành 2 lớp (thành công hay thất bại) ▫ Xác suất thành công trong mọi lần thí nghiệm là như nhau ▫ Các lần thí nghiệm là độc lập nhau ▫ X = số lần thí nghiệm thành công trong n lần thí nghiệm X có phân phối nhị thức với số lần thí nghiệm là n, xác suất thành công trong mỗi thí nghiệm là p thì: Hàm độ lớn xác suất:                  Hàm phân phối tích lũy:         Kỳ vọng: E(X) = np Phương sai: V(X) = np(1-p) Phân phối chuẩn: . ,1 , 1 1 ,0 )(            bx bxa ab ax ax xF 2 ab   . 12 ))(2( )( 2 abab XV    Phân phối chuẩn là mô hình xác suất được đặc trưng bởi trung bình (μ) và phương sai (σ 2 ). Ký hiệu là: N(μ, σ 2 ) hay N(μ, σ) Hàm mật độ xác suất:                       Hình dạng: hình chuông, khác nhau ở tâm và độ rộng Phân phối z (phân phối chuẩn chính tắc): là phân phối chuẩn với μ=0, σ 2 =1 Hàm mật độ xác suất:                   Điểm chuẩn (điểm z): là giá trị biểu diễn độ lệch chuẩn trên hay dưới trung bình. Bảng phân phối z: bảng tra giá trị hàm phân phối tích lũy khi biết giá trị z. Chuẩn hóa phân phối chuẩn N(μ, σ) về phân phối z:            Bài toán tính xác suất: Cho khoảng giá trị của x, tính Pr(x) Bước 1: Vẽ hình của phân phối Bước 2: Đưa về bài toán tính Pr(X<b) Bước 3: Chuẩn hóa về phân phối Z: Pr(X<b) = Pr(z<a) với a có dạng gồm 2 chữ số thập phân a = a 1 .a 2 a 3 Bước 4: Tra bảng phân phối Z Cách tra bảng phân phối Z: Dòng: a 1. a 2 Cột: 0.0a 3 Ví dụ: nếu a = 0.31 thì tìm dòng 0.3 và cột 0.01. Bước 5: Kết luận Bài toán tìm ngưỡng: cho Pr(X<a) hay Pr(X>a), tìm a. Bước 1: chuyển về bài toán dạng cho Pr(X<a), tìm a Bước 2: Tìm ô có giá trị gần Pr(X<a) nhất. Giả sử ô đó là ô ở dòng a 1 .a 2 , cột a 3 Bước 3: Lấy dòng và cột cộng lại được số z có 2 chữ số thập phân. Bước 4: Chuyển z về x theo công thức chuẩn hóa: x = zσ + μ Bước 5: Kết luận Xấp xỉ nhị thức bằng phân phối chuẩn Bước 1: Kiểm tra n Phân phối chuẩn có thể được dùng để xấp xỉ xác suất nhị thức khi số phép thử (n) lớn, nghĩa là khi n thỏa (n×p) > 5 và (n × (1-p)) > 5. Bước 2: Chuẩn hóa Chuẩn hóa X (có phân phối nhị thức với n lớn) về phân phối chuẩn với trung bình và phương sai: μ = E(X) = n×p, σ 2 = var(X) = n×p×(1-p) Bước 3: Hiệu chỉnh liên tục khi tính Pr(X) dựa vào phân phối chuẩn đã xấp xỉ Vì phân phối nhị thức là phân phối rời rạc, còn phân phối chuẩn là liên tục, cần hiệu chỉnh liên tục: Bước 3a: Đưa về bài toán dạng xác suất Pr(X<a), hoặc Pr(X≤a) hoặc Pr(X>a) hoặc Pr(X≥a) hoặc Pr(X=a) Bước 3b: Xác định điểm cắt: là a Bước 3c: Hiệu chỉnh Nếu X≤a : a’ = a + ½  Pr(X≤a) = Pr(X≤a+1/2) Nếu X≥a: a’ = a-1/2 Pr(X≥a) = Pr(X≥a-1/2) Nếu X = a: a’ = a + ½, a’’ = a-1/2 Pr(X=a) = Pr(a-1/2≤X≤a+1/2) Bước 4: Tính xác suất Tính xác suất với giá trị đã hiệu chỉnh: Pr(X<a’), hoặc Pr(X≤a’) hoặc Pr(X>a’) hoặc Pr(X≥a’) hoặc Pr(X=a’) BÀI TẬP VỀ BIẾN NGẪU NHIÊN RỜI RẠC VÀ PHÂN PHỐI XÁC SUẤT Bài tập mẫu: Biến ngẫu nhiên X có phân phối xác suất X 1 2 3 4 5 Pr(X=x) 0,5 0,1 0,2 0,1 0,1 a) Xác định hàm phân phối tích lũy F(X). Vẽ đồ thị (X,F(X)) b) Tính Pr[1≤X≤3,27] sử dụng: i) Hàm độ lớn xác suất (pmf) ii) Hàm phân phối tích lũy (cdf) Giải: a) Hàm phân phối tích lũy của biến ngẫu nhiên rời rạc                     Nên: F(1) = Pr(X≤1) = Pr(1) = 0,5 F(2) = Pr(X≤2) = Pr(1) + Pr(2) = 0,5 + 0,1 = 0,6 F(3) = Pr(1) + Pr(2) + Pr(3) = 0,5 + 0,1 + 0,2 = 0,8 F(4) = Pr(1) + Pr(2) + Pr(3) + Pr(4) = 0,8 + 0,1 = 0,9 F(5) = Pr(1) + Pr(2) + Pr(3) + Pr(4) + Pr(5) = 0,9 + 0,1 = 1 Với x<1: F(x) = 0 Với x>5: F(x) = 1 Vậy: X <1 1 2 3 4 5 >5 F(x) 0 0,5 0,6 0,8 0,9 1 1 b) Cách 1: Pr[1≤X≤3,27] = Pr(X=1) + Pr(X=2) + Pr(X=3) = 0,5 + 0,1 + 0,2 = 0,8 Cách 2: P[1≤X≤3,27] = F(3)-F(0) = 0,8 - 0 = 0,8 Bài tập tự giải: 1. Tiến hành thử độ bền của 3 loại vật liệu, với điều kiện vật liệu thử trước phải chịu được phép thử mới thử tiếp vật liệu sau. Biết rằng khả năng qua được phép thử của các loại vật liệu đều bằng 0,8. Gọi X là số vật liệu qua được phép thử. a) Hãy tìm phân phối xác suất của X. b) Xác định hàm phân phối tích lũy của X (F(X)). Vẽ đồ thị (X,F(X)) c) Tìm xác suất có ít nhất 1, nhiều nhất 2 vật liệu qua được phép thử. 2. Một công ty viễn thông dự định đồng loạt đưa ra 3 gói dịch vụ A, B, C. Khả năng thành công của 3 gói dịch vụ này lần lượt là 0,95; 0,98; 0,99. Giả sử rằng 3 gói dịch vụ này độc lập nhau. Gọi X là số gói dịch vụ thành công. a) Xác định hàm độ lớn xác suất của X. b) Xác định hàm phân phối tích lũy của X. c) Xác định Pr[0≤X≤2,5]. TRUNG BÌNH VÀ PHƯƠNG SAI CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN RỜI RẠC Bài tập mẫu: Cho biến ngẫu nhiên X. X có thể nhận một trong các giá trị {1,2,3,4} với xác suất 0,25. Tính trung bình và phương sai của X. Giải: Công thức trung bình của X:              Vậy μ = E(X) = 1.Pr(1) + 2.Pr(2) + 3.Pr(3) + 4.Pr(4) = 1.0,25 + 2.0,25 + 3.0,25 + 4.0,25 = 2,5 Công thức phương sai của X:                 Vậy: V(X) = E(X 2 ) – μ = (1 2 .Pr(1) + 2 2 .Pr(2) + 3 2 .Pr(3) + 4 2 .Pr(4)) – 2,5 2 = (1.0,25 + 4.0,25 + 9.0,25 + 16.0,25) – 6,25 = 7,5 - 4 = 1,25 Hoặc:                    Vậy: V(X) = (1-2,5) 2 . 0,25 + (2-2,5) 2 . 0,25 +(3-2,5) 2 . 0,25 +(4-2,5) 2 . 0,25 = 1,25 Bài tập tự giải: 1. Số lượng thông điệp truyền đi trên 1 đường mạng có phân phối sau: X= số thông điệp 10 11 12 13 14 15 truyền đi P[X=xi] 0,08 0,15 0,3 0,2 0,2 0,07 Xác định trung bình, phương sai và độ lệch chuẩn của X. PHÂN PHỐI ĐỀU RỜI RẠC Bài tập mẫu: Chữ số đầu tiên của 1 tờ vé số bất kỳ có thể là 1 trong các chữ số từ 0 đến 9 với khả năng như nhau. Chọn 1 tờ vé số bất kỳ, gọi X là chữ số đầu tiên của tờ vé số đó. Tìm phân phối xác suất của X. Xác định trung bình, phương sai của X. Giải: X có phân phối đều rời rạc vì: X có thể nhận 1 trong 10 giá trị thuộc đoạn [0,1,…,9] Các giá trị mà X có thể nhận có xác suất bằng nhau (Pr(x) = 1/10 = 0,1 với mọi x trong đoạn [0,9]) Trung bình của X: E(X) = (a+b)/2 = (0+9)/2=5 Phương sai của X: V(X)=1/12.(b-a+2).(b-a) = 1/12 . (9-0+2) . (9-0) = 8,25 Bài tập tự giải: 1. Một hệ thống điện thoại nội bộ của 1 tập đoàn có 48 đường dây (line). Tại một thời điểm bất kỳ, ta giam sát hệ thống và xác định có một số đường dây đang sử dụng. Gọi X là biến ngẫu nhiên chỉ số lượng đường dây đang sử dụng. Giả sử X có phân phối đều rời rạc trong miền giá trị [0;48]. Tính trung bình và phương sai của X. PHÂN PHỐI NHỊ THỨC Bài tập mẫu: Giả sử khả năng một bit bị lỗi khi truyền qua một kênh truyền kỹ thuật số là 0,1. Giả sử các lần truyền các bit khác nhau thì độc lập nhau. Gọi X là số bit bị lỗi trong 4 lần truyền kế tiếp. Tính Pr(X=2). Giải: X thỏa phân phối nhị thức vì: - Số lần thí nghiệm cố định: 4 lần - Chỉ có 2 hậu quả: thành công (ứng với bit truyền bị lỗi) và không thành công. - Xác suất thành công là như nhau trong mọi lần thí nghiệm: là 0,1 - Các lần thí nghiệm độc lập nhau - X là số lần thành công trong 4 lần thí nghiệm Vậy                      Bài tập tự giải: 1. Mỗi mẫu nước có khả năng nhiễm một chất ô nhiễm hữu cơ nào đó với xác suất 10%. Giả sử các mẫu nước bị ô nhiễm độc lập nhau. Tìm xác suất trong 18 mẫu nước tiếp theo: a) Có đúng 2 mẫu nước bị ô nhiễm. b) Có ít nhất 4 mẫu nước bị ô nhiễm. c) Có từ 3 đến 6 mẫu nước bị ô nhiễm. d) Tìm trung bình số mẫu nước bị ô nhiễm e) Tìm phương sai của biến ngẫu nhiên ứng với số mẫu nước bị ô nhiễm PHÂN PHỐI CHUẨN Bài tập mẫu: Giả sử biến ngẫu nhiên X có phân phối chuẩn với trung bình 10 và phương sai 4. Hỏi xác suất để X vượt quá 13 là bao nhiêu. Giải: Giá trị xác suất cần tính là: Pr(X>13). Trước tiên, chuẩn hóa X về phân phối Z (để có thể sử dụng bảng tra Z):                                           Hiệu chỉnh: Tra bảng Z ở dòng 1.5, cột 0.00 ta được giá trị 0.9332 Pr(X>13) = 1 – 0,9332 = 0,0668 Bài tập tự giải: 1. Tiếp tục ví dụ trên (bài tập mẫu), a) Tính Pr(9<X<11) b) Tìm giá trị x để Pr(X<x)=0,98 2. Giả sử đường kính của một thiết bị có dạng hình tròn có phân phối chuẩn với trung bình 0,2508 inch và độ lệch chuẩn 0,0005 inch. Thông số về đường kính của 1 thiết bị ghi trên vỏ ngoài là 0,2500±0,0015. Tính tỉ lệ mà thiết bị đó có đường kính không đúng với thông số ghi trên vỏ ngoài. XẤP XỈ PHÂN PHỐI NHỊ THỨC BẰNG PHÂN PHỐI CHUẨN Bài tập mẫu: Trong một kênh truyền kỹ thuật số, giả sử số bit nhận bị lỗi có thể được mô hình hóa bởi một biến ngẫu nhiên có phân phối nhị thức, và giả sử xác suất 1 bit nhận được bị lỗi là 10 -5 . Nếu truyền 16 triệu bit, xác định xác suất có nhiều hơn 150 lỗi. Giải: Gọi X là số bit nhận được bị lỗi. Theo đề bài, X có phân phối nhị thức, do đó phân phối xác suất của X được xác định bởi:                  với n = 16 000 000 (16 triệu), p = 10 -5                                     Để tính giá trị này ra con số cụ thể là bất khả thi!!! Ngoài ra: np = 16 000 000 × 10 -5 = 160 n(1-p) = 16 000 000 × (1-10 -5 ) = 15 999 840 Do np>5 và n(1-p)>5, ta có thể sử dụng phân phối chuẩn với trung bình μ = np = 160 và σ 2 = np(1-p) = 160 × (1-10 -5 ) = 159.9984 để xấp xỉ phân phối nhị thức.                                        Nếu áp dụng phép hiệu chỉnh liên tục trước khi tính xác suất thì kết quả như sau: [...]... √ ) Bài tập tự giải: 1 Giả sử X là biến ngẫu nhiên có phân phối nhị thức với n = 200, p = 0,4 Hãy: a) Xấp xỉ xác suất của Pr(X≤70) (có sử dụng phép hiệu chỉnh liên tục) b) Xấp xỉ xác suất Pr(70 . BÀI TẬP SỐ 3 Mục tiêu: Làm quen với các khái niệm và cách tính hàm độ lớn xác suất, hàm phân phối tích lũy, kỳ vọng, phương sai của: Biến ngẫu nhiên. 0,1 a) Xác định hàm phân phối tích lũy F(X). Vẽ đồ thị (X,F(X)) b) Tính Pr[1≤X≤3,27] sử dụng: i) Hàm độ lớn xác suất (pmf) ii) Hàm phân phối tích lũy (cdf) Giải: a) Hàm phân phối tích. phép thử (n) lớn, nghĩa là khi n thỏa (n×p) > 5 và (n × (1-p)) > 5. Bước 2: Chuẩn hóa Chuẩn hóa X (có phân phối nhị thức với n lớn) về phân phối chuẩn với trung bình và phương sai: