Baỡi giaớng HầNH HOAỷ Vở trờ tổồng õọỳi giổợa õổồỡng thúng vaỡ mỷt phúng Bi 6 V TR TNG I GIA NG THNG V MT PHNG I. NG THNG SONG SONG MT PHNG nh lý iu kin cn v mt ng thng song song vi mt mt phng l ng thng ú song song vi mt ng thng nm trong mt phng ú Vớ d Cho mp(a, b) v im M; (Hỡnh 6.1). Qua M, hóy dng ng thng d // mp(a, b) Gii Trong mt phng (a,b), v ng thng l. Qua im M v ng thng d // l d 1 // l 1 v d 2 // l 2 Theo nh lý trờn thỡ d // mp(a, b) Hỡnh 6.1 Hỡnh 6.2 II. NG THNG V MT PHNG GIAO NHAU Ni dung ca phn ny l v giao im ca ng thng vi mt phng 1) Trng hp bit mt hỡnh chiu ca giao im a) Nu mt phng ó cho l mt phng chiu, ng thng bt k, thỡ: _ Ta bit c mt hỡnh chiu ca giao im l giao ca ng thng suy bin ca mt phng chiu ú vi hỡnh chiu cựng tờn ca ng thng _ v hỡnh chiu cũn li ca giao im, ta ỏp dng bi toỏn dim thuc ng thng Vớ d Hóy v giao im ca ng thng d vi mt phng chiu bng (Hỡnh 6.2) Gii Gi A = d mp A mp, vỡ mp P 1 nờn A 1 ( 1 ) A d A 1 d 1 I 1 I 2 b 2 d 2 b 1 l 1 d 1 M 2 M 1 A 2 x n d 2 d 1 A 1 ( 1 ) l 2 a 1 x a 2 Vy A 1 = ( 1 ) d 1 A 2 d 2 ; (Hỡnh 6.2) b) Nu ng thng ó cho l ng thng chiu, mt phng bt ky, thỡ: _ Ta bit c mt hỡnh chiu ca giao im trựng vi im suy bin ca ng thng chiu ú GVC.ThS Nguyóựn ọỹ Khoa Sổ phaỷm Kyợ thuỏỷt- HBK 34 Baỡi giaớng HầNH HOAỷ Vở trờ tổồng õọỳi giổợa õổồỡng thúng vaỡ mỷt phúng _ v hỡnh chiu cũn li ca giao im, ta ỏp dng bi toỏn im thuc mt phng Vớ d Hóy v giao im ca mp(a, b) vi ng thng d chiu bng; (Hỡnh 6.3) Gii Gi M = d mp(a, b) M d, vỡ d P 1 nờn M 1 d 1 M mp(a, b) M g mp(a, b) T M 1 g 1 M 2 g 2 ; (Hỡnh 6.3) Hỡnh 6.3 Hỡnh 6.4 2) Trng hp tng quỏt v giao im M ca ng thng d vi mp bt k; (Hỡnh 6.4). Ta phi tỡm mt im chung ca chỳng bng cỏch dựng mt phng ph tr, vi trỡnh t gii nh sau: 3) Dng mt phng phu tr cha ng thng d ( thng l mt phng chiu) 4) V giao tuyn ph: g = mp mp 3) V giao im: M = g d Vy M 2 b 2 b 1 I 2 I 1 g 2 g 1 A 2 A 1 B 2 B 1 d 2 M = d mp M 1 d 1 a 1 a 2 x M g d F 1 F 2 E 1 x M 1 K 1 g 1 I 2 J 2 B 1 A 1 C 1 d 1 B 2 C 2 g 2 ( 2 ) M 2 E 2 K 2 I 1 J 1 A 2 Vớ d Hóy v giao im ca ng thng d vi mp(ABC) Hỡnh 6.5) Gii 1) Dng mt phng phu tr chiu ng cha ng thng d ( 2 ) d 2 2) V giao tuyn ph: g EF = mp mp (ABC) T g 2 E 2 F 2 ( 2 ) g 1 E 1 F 1 3) V giao im: M = g d T M 1 = g 1 d 1 M 2 d 2 M = d mp Hỗnh 6.5 Biu din thy khut trờn hỡnh chiu Sau khi v giao im ca ng thng vi mt phng, gõy n tng ni cho hỡnh chiu, ngi ta thng biu din thy - khut ca hỡnh vi qui c nh sau: _ Mt ngi quan sỏt t trờn P 1 , trc P 2 v t xa vụ tn theo cỏc hng nhỡn vuụng gúc vi hai mt phng hỡnh chiu ny _ Mt phng xem nh khụng trong sut (vt th c) GVC.ThS Nguyóựn ọỹ Khoa Sổ phaỷm Kyợ thuỏỷt- HBK 35 Baỡi giaớng HầNH HOAỷ Vở trờ tổồng õọỳi giổợa õổồỡng thúng vaỡ mỷt phúng Vi qui c ny, thỡ: + Cp im nm trờn ng thng chiu bng, im no cao hn s thy hỡnh chiu bng. + Cp im nm trờn ng thng chiu ng, im no xa hn s thy hỡnh chiu ng Tr li vớ d (hỡnh 6.5) ắ Thy khut hỡnh chiu bng: Xột cp im I, J vi Id, J BC sao cho I 1 J 1 . Ta thy im I cao hn J nờn : I 1 - thy I 1 M 1 - thy; do ú trờn hỡnh chiu ny mt phng che khut phn cũn li ca ng thng thuc phm vi mt phng ắ Thy khut hỡnh chiu ng: Xột cp im E, K vi K d, E AC sao cho E 2 K 2 . Ta thy im K xa hn E nờn : K 2 - thy K 2 M 2 - thy; do ú trờn hỡnh chiu ny mt phng che khut phn cũn li ca ng thng thuc phm vi mt phng III. NG THNG VUễNG GểC VI MT PHNG Da vo nh lý v hỡnh chiu ca gúc vuụng v nh lý v ng thng vuụng gúc vi mt phng trong khụng gian, ta nờu ra nh lý sau: 1) i vi mt phng thng nh lý iu kin cn v ng thng vuụng gúc vi mt phng thng l hỡnh chiu bng ca ng thng vuụng gúc vi hỡnh chiu bng ca ng bng (vt bng) ca mt phng v hỡnh chiu ng ca ng thng vuụng gúc vi hỡnh chiu ng ca ng mt(vt ng) ca mt phng Cho ng thng d v mp (Hỡnh 6.6), )( )( 222 111 ndhayfd mdhayhd mpd nh lý trờn vit l i nh sau: y o y z x 3 B 3 B 2 A 2 m n Hỡnh 6.6 Hỡnh 6.7 n f 1 x h 2 f 2 h 1 d 2 m d 1 A 3 Chng minh ắ iu kin cn: Gi s d mp d h mp d 1 h 1 hay (d 1 m ) d f mp d 2 f 2 hay (d 2 n ) ắ iu kin : Gi s cú ng bng h , ng mt f thuc mp v ng thng d ; m trờn thc tho món : d 1 h 1 hay (d 1 m ) d 2 f 2 (d 2 n ) Thỡ theo nh lý v hỡnh chiu ca gúc vuụng d h hay d m d f d n M h , f hay (m , n ) l hai ng thng ct nhau thuc mp nờn: d mp GVC.ThS Nguyóựn ọỹ Khoa Sổ phaỷm Kyợ thuỏỷt- HBK 36 Baỡi giaớng HầNH HOAỷ Vở trờ tổồng õọỳi giổợa õổồỡng thúng vaỡ mỷt phúng 2) i vi mt phng chiu cnh Nu mt phng ó cho l mt phng chiu cnh thỡ ng thng vuụng gúc vi nú phi l ng cnh; ngc li ng cnh thỡ cha chc vuụng gúc vi mt phng chiu cnh nh lý : iu kin cn v ng cnh vuụng gúc vi mt phng chiu cnh l hỡnh chiu cnh ca ng cnh vuụng gúc hỡnh chiu cnh suy bin ca mt phng chiu cnh Cho ng cnh AB v mt phng chiu cnh (Hỡnh 6.7), nh lý trờn c vit thnh: AB mp A 3 B 3 ( 3 ) IV. MT VI V D GII SN Vớ d 1 Chng minh rng : a) Mt phng cú hai vt i xng nhau qua trc x thỡ vuụng gúc vi mt phng phõn giỏc 1 b) Mt phng cú hai vt trựng nhau thỡ vuụng gúc vi mt phng phõn giỏc 2 O 1 O 2 x d 2 d 1 n m Gii a) Gi s cho mp cú hai vt n , m i xng nhau qua trc x (Hỡnh 6.8). Qua im O tu ý trờn trc x, ta v ng thng d mp (1) d 1 m v d 2 n . b) Vỡ n , m i xng nhau qua trc x nờn d 1 , d 2 i xng nhau qua trc x dmp phg1 (2) T (1) v (2) mp mp phg1 Hỗnh 6.8 c) Gi s cho mp cú hai vt trựng nhau (n m ) Qua im I tu ý trờn trc x, ta v ng thng d mp d 1 m v d 2 n (1) Vỡ n m nờn d 1 d 2 dmp phg 2 (2) T (1) v (2) mp mp phg 2 I 1 I 2 d 1 d 2 x m n Hỗnh 6.9 Vớ d 2 Cho im A ( A 1 , A 2 ) v mt phng (m , n ); g 2 ( 2 ) d 2 B 1 H 2 A 2 d 1 A 0 A 1 H 1 B 2 g 1 x n m (Hỡnh 6.10). a) Xỏc nh khong cỏch t im A n mp b) Hóy v im B i xng vi im A qua mp Gii a) xỏc nh khong cỏch t im A n mp , ta lm nh sau: _ Qua A v d mp d 1 m v d 2 n _ V giao im : H = d mp ( dựng mt phng ph tr). Bng phng phỏp tam giỏc, xỏc nh di tht ca on AH l cnh huyn H 1 A 0 ca tam giỏc vuụng H 1 A 1 A 0 Hỗnh 6.10 GVC.ThS Nguyóựn ọỹ Khoa Sổ phaỷm Kyợ thuỏỷt- HBK 37 Baỡi giaớng HầNH HOAỷ Vở trờ tổồng õọỳi giổợa õổồỡng thúng vaỡ mỷt phúng b) v im B i xng vi im A qua mp , ta lm nh sau: Trờn ng thng d ly im B sao cho BH = HA B 1 H 1 = H 1 A 1 B 2 d 2 ; (Hỡnh 6.10) Vy B l im cn v . Vớ d 3 Cho on thng AB (A 1 B 1 , A 2 B 2 ) v mt phng (m , n ). Hóy tỡm tp hp nhng im trờn mp cỏch u hai u mỳt A, B (Hỡnh 6.11) Gii Tp hp nhng im cỏch u hai u mỳt A, B l mt phng - trung trc ca on thng AB (mt phng trung trc ca on thng AB l mt phng vuụng gúc vi on thng AB ti trung im I ca nú) , mp c v bng vt nh sau: _ V ng bng h AB ti trung im I ca AB h 1 A 1 B 1 ti I 1 _ V vt ng H ca ng bng h : H = h mp P 2 H 2 H Vỡ h mp nờn vt ng n ca mp phi i qua vt ng H 2 H ca ng bng h v vuụng gúc A 2 B 2 O x d 2 d 1 m n n H 1 H 2 h 2 B 1 B 2 K 1 N 2 N 1 M 1 M 2 K 2 g 2 g 1 m h 1 g 1 H 1 x O M 1 N 1 N 2 n n h 2 h 1 m A 1 A 2 H 2 B 1 B 2 I 1 I 2 g 2 M 2 m Hỡnh 6.11 Hỡnh 6.12 _ Gi O = n x thỡ vt bng m i qua O v vuụng gúc A 1 B 1 (hay m // h 1 ) Theo yờu cu ca bi thi tp hp nhng im cn tỡm l giao tuyn ca mp v mp: g MN = mp mp (Hỡnh 6.11) Vớ d 4 Cho hai mt phng (m , n ), mt phng (m , B) v im K; (Hỡnh 6.12).Yờu cu: a) Hóy v vt ng ca mp b) Qua K hóy v ng thng d song song vi hai mt phng , Gii a) V vt ng ca mp nh sau : _ Trong mp, qua im B v ng bng h h 2 // x v h 1 // m _ V vt ng H ca ng bng h : H = h mp P 2 H 2 H _ Vỡ h mp nờn vt ng n ca mp phi i qua vt ng H 2 H ca ng bng h b) V giao tuyn g ca mp v mp nh sau: _ V N = n n (N 2 N; N 1 x ) N g GVC.ThS Nguyóựn ọỹ Khoa Sổ phaỷm Kyợ thuỏỷt- HBK 38 Baỡi giaớng HầNH HOAỷ Vở trờ tổồng õọỳi giổợa õổồỡng thúng vaỡ mỷt phúng _ V M = m m (M 1 M; M 2 x ) M g Vy g MN = mp mp Qua K, v ng thng d // g ( d 1 // g 1 v d 2 // g 2 ).Vy d l ng thng cn v (Hỡnh 6.12) Vớ d 5 Cho im A(A 1 , A 2 ) v ng thng d (d 1 , d 2 ); (Hỡnh 6.13). Hóy xỏc inh khong cỏch t im A n ng thng d Gii _ Qua A, dng mp(h, f) d h 1 d 1 v h 2 d 2 _ V giao im: H = d mp(h, f) - (Dựng mt phng ph tr chiu ng cha d) T H 1 = g 1 d 1 H 2 d 2 _ Bng phng phỏp tam giỏc, xỏc nh di tht ca on AH l: H 1 A 0 (Hỡnh 6.13) Vy khong cỏch t im A n ng thng d l on AH = H 1 A 0 x k 1 k 2 C 1 C 2 B 2 B 1 A 1 A 2 h 1 f 2 h 2 g 1 x A 0 A 2 A 1 H 1 H 2 f 2 h 2 h 1 g 2 ( 2 ) d 2 d 1 f 1 f 1 Hỡnh 6.13 Hỡnh 6.14 Vớ d 6 Cho on thng AB (A 1 B 1 , A 2 B 2 ) v hỡnh chiu ng C 2 ca im C (Hỡnh 6.14). Hóy v hỡnh chiu bng C 1 ca im C, bit rng tam giỏc ABC vuụng ti A Gii Theo gi thit CA AB nờn C mp(h, f) AB ti A, vỡ vy ta thc hin nh sau : _ V mp(h, f) AB ti A _ C mp(h, f) C k mp(h, f) ; [ k - l dng bng thuc mp(h, f)] T C 2 k 2 C 1 k 1 (Hỡnh 6.14) Vớ d 7 Cho mt phng (m , n ), ng thng d (d 1 , d 2 ) v hỡnh chiu ng A 2 ca im A thuc mt phng (Hỡnh 6.15). Hóy v trong mp ng thng i qua A v vuụng gúc vi d Gii _ V hỡnh chiu bng A 1 ca im A, bng cỏch gn im A vo ng bng g ca mp ng thng cn v i qua im A vuụng gúc vi d nờn thuc mp i qua A, vuụng gúc vi d. Mt phng c v nh sau : GVC.ThS Nguyóựn ọỹ Khoa Sổ phaỷm Kyợ thuỏỷt- HBK 39 Baỡi giaớng HầNH HOAỷ Vở trờ tổồng õọỳi giổợa õổồỡng thúng vaỡ mỷt phúng _ Qua im A v ng bng h d h 2 // x v h 1 d 1 _ V vt ng H ca ng bng h : H = h mpP 2 H 2 H _ Vỡ h mp nờn vt ng n ca mp phi i qua vt ng H 2 H ca ng bng h h 1 h 2 H 1 H 2 g 2 N 1 M 1 N 2 x m n n d 2 A 2 A 1 d 1 m g 1 M 2 Hỡnh 6.15 _ V n d 2 v m d 1 (hoc m // h 1 ) Vó li, ng thng cn dng thuc mp nờn nú l giao tuyn ca mp vi mp: Vy MN = mp mp ; (Hỡnh 6.15) ===================== GVC.ThS Nguyóựn ọỹ Khoa Sổ phaỷm Kyợ thuỏỷt- HBK 40 . thng d v mp (Hỡnh 6. 6), )( )( 222 111 ndhayfd mdhayhd mpd nh lý trờn vit l i nh sau: y o y z x 3 B 3 B 2 A 2 m n Hỡnh 6. 6 Hỡnh 6. 7 n f 1 x h 2 f 2 h 1 d 2 m d 1 A 3. chiu bng; (Hỡnh 6. 3) Gii Gi M = d mp(a, b) M d, vỡ d P 1 nờn M 1 d 1 M mp(a, b) M g mp(a, b) T M 1 g 1 M 2 g 2 ; (Hỡnh 6. 3) Hỡnh 6. 3 Hỡnh 6. 4 2) Trng. d 2 d 1 f 1 f 1 Hỡnh 6. 13 Hỡnh 6. 14 Vớ d 6 Cho on thng AB (A 1 B 1 , A 2 B 2 ) v hỡnh chiu ng C 2 ca im C (Hỡnh 6. 14). Hóy v hỡnh chiu bng C 1 ca im C, bit rng