31 CHƯƠNG 5: TRỌNG TÂM I. TÂM CỦA HỆ LỰC SONG SONG. 1 Định lý về hợp lực hệ lực song song. Trường hợp hệ lực song có hợp lực, nếu giữ nguyên điểm đặt, cường độ và quan hệ song song giữa các lực thành phần nhưng thay đổi phương chung của chúng một cách tuỳ ý, thì hợp lực cũng thay đổi phương theo nhưng luôn đi qua một điểm C cố định. Điểm C đó được gọi là tâm hệ lực song song. Chứng minh: Xét hệ lực song song bất kỳ ( ) 12n ,, , FFF ururur trong không gian, đặt tại các điểm tương ứng 12n A,A, ,A . Ta lần lượt hợp các lực không tạo thành ngẫu lực từng đôi một. Hợp lực 1 F r và 2 F ur ta được 1 R ur đặt tại C 1 nằm trên A 1 ,A 2 . 1 R = 1 F + 2 F và 112 1 12 CAF F CA =− uuuuur uuuuur (a). Tiếp tục hợp 1 R ur và 1 F ur ta được 2 R ur đặt tại C 2 nằm trên C 1 A 3 . Với : 213123 RRFFFF =+=++ và 3321 112 23 FF CC RFF CA =−=− + uuuuur uuuuur (b) Tiếp tục hợp lần lượt các lực ta được () n2 R − ur đặt tại () n2 C − . Tiếp tục hợp lực này với n F ur ta được hợp lực R ur của hệ đặt tại điểm C thuộc () n n2 CA − với : n2n12n RRFFFF − =+=+++ L và () () () n2 nn 12 n2n1 n CC FF RFFF CA − −− =−= +++ uuuuuuur uuuur L (c) Gọi K OA uuuuur là vectơ định vị điểm A K và OC uuur là vectơ định vị điểm C. Từ (a) ta có: 111122 CA.FCA.F0 += uuuuuruuuuur ⇔ 111212 (OAOC).F(OAOC).F0 −+−= uuuuruuuuruuuuruuuur ⇔ 1122112 OA.FOA.FOC(FF) +=+ uuuuruuuuruuuur (a’) Biến đổi (b), (c) tương tự ta cũng được : 11233212.3 OC(FF)OA.FOC(FFF) ++=++ uuuuruuuuruuuur (b’) n212n1nn12n OC.(FFF)OA.FOC(FFF) −− ++++=+++ uuuuuuruuuuruuur LL (c’) Biến đổi (a’) thành: 1122 1 12 OA.FOA.F OC FF + = + uuuuruuuur uuuur thay vào (b’) ta được: 1122 1233112233212.3 12 OA.FOA.F .(FF)OA.FOA.FOA.FOA.FOC(FFF) FF + ++=++=++ + uuuuruuuur uuuuruuuuruuuuruuuuruuuur Tiếp tục biến đổi tương tự ta được: 1122nn12.n OA.FOA.FOA.FOC(FFF) +++=+++ uuuuruuuuruuuuruuur LL (5.1) A 1 A 2 C 1 A 3 C 2 A n C 1 F r 2 F r 3 F r n F r 1 R ur 2 R ur R ur 32 Rõ ràng vị trí điểm C không phụ thuộc vào phương chung của các vectơ thành phần mà chỉ phụ thuộc giá trị đại số của các lực và điểm đặt của chúng. Như vậy định lý đã được chứng minh. 2 Tâm hệ lực song song. Từ (5.1) ta rút ra: n kk k1 n k k1 OA.F OC F = = = ∑ ∑ uuuur uuur . Nếu gọi K r r là vectơ định vị điểm A K và C r r là vectơ định vị điểm C thì : Điểm hình học C được gọi là tâm của hệ lực song song được xác định theo công thức: n k k k1 C n k k1 F.r r F = = = ∑ ∑ r r (5.2). Chiếu lên các phương ta được: kkkkkk kkk CCC kkk kkk x.Fy.Fz.F x;y;z FFF === ∑∑∑ ∑∑∑ (5.3) II. TRỌNG TÂM CỦA VẬT RẮN. 1. Định nghĩa trọng tâm của vật. Khảo sát vật rắn nằm gần mặt đất chịu tác dụng của trọng lực P ur hướng về tâm quả đất. Chia vật rắn thành nhiều phần tử nhỏ. Mỗi phần tử chịu lực hút của quả đất (trọng lực hướng về tâm quả đất). Vì khoảng cách từ mỗi phần tử đến tâm quả đất rất lớn nên có thể coi hệ các trọng lực là hệ lực song song cùng chiều, giá trị của trọng lực được gọi là trọng lượng của phần tử. Ký hiệu M k là một điểm nào đó thuộc phần tử thứ k, nó có trọng lượng ∆P k và k r r là vectơ định vị của điểm M k . Từ (5.2) ta có: n kk k1 C n k k1 P.r r P = = ∆ = ∆ ∑ ∑ r r (5.4) Theo toán học khi n→ ∞ thì C rr → rr và k PP ∆→ ∑ . Khi đó C được gọi là trọng tâm của vật rắn và: V C r.dP r P = ∫ r r Định nghĩa :Trọng tâm của vật là điểm hình học được xác định bằng công thức: C V 1 rr.dP P = ∫ rr (5.5) 2. Các công thức xác định trọng tâm của vật. Chiếu (5.5) lên 3 trục toạ độ ta được: x y z C x C y C z C M k k P ∆ ur P ur O C r r k r r 33 C V 1 xx.dP P = ∫ ; C V 1 yy.dP P = ∫ ; C V 1 zz.dP P = ∫ (5.6) (5.5) và (5.6) gọi là các công thức xác định trọng tâm của vật. III. TRỌNG TÂM CÁC VẬT ĐỒNG CHẤT: 1. Khối đồng chất: Một khối được gọi là đồng chất nếu thoả mãn: dP conts dV ρ== ⇒ dP=ρ.dV⇒ P=ρ.V. Với ρ gọi là trọng lượng riêng của vật Khi đó: C V 1 rr dV P =ρ ∫∫∫ rr = C V rr.dV .V ρ = ρ ∫∫∫ rr = V 1 r.dV V ∫∫∫ r (5.7) Hoặc C V 1 xx.dV V = ∫∫∫ ; C V 1 yy.dV V = ∫∫∫ ; C V 1 zz.dV V = ∫∫∫ (5.8) 2. Mặt đồng chất (tấm đồng chất): Một tấm (mặt) được gọi là đồng chất nếu thoả mãn: dP conts dS ρ== ⇒ dP=ρ.dS⇒ P=ρ.S. Khi đó: C S 1 rr.dS S = ∫∫ rr (5.9), hoặc: C S 1 xx.dS S = ∫∫ ; C S 1 yy.dS S = ∫∫ ; C S 1 zz.dS S = ∫∫ (5.10) 3. Thanh, đường đồng chất: Một đường (thanh) gọi là đồng chất nếu thoả mãn: dP const dL ρ== ⇒ dP=ρ.dL⇒ P=ρ.L. Khi đó: C L 1 rr.dL L = ∫ rr (5.11), hoặc: C L 1 xx.dL L = ∫ ; C L 1 yy.dL L = ∫ ; C L 1 zz.dL L = ∫ (5.12) IV: CÁC PP XÁC ĐỊNH TT CỦA VẬT VÀ CÁC ĐỊNH LÝ LIÊN QUAN. 1. Phương pháp đối xứng. Định lý 1: Nếu vật rắn đồng chất có tâm (trục, mặt phẳng) đối xứng thì trọng tâm của nó nằm tại tâm (trục, mặt phẳng) đối xứng. Chứng minh: Xét vật có tâm đối xứng O, đồng chất. ứng với phần tử M K có trọng lượng ∆P K và vectơ định vị K r r thì có phần tử K M ′ có trọng lượng ∆P K đối xứng qua tâm O, tức vectơ định vị của nó là k r − r . Phân hoạch vật rắn thành từng cặp phần tử đối xứng qua tâm và tính tổng. ( ) kkkk C P.rPr r0 P ∆+∆− == ∑∑ rr r (đpcm) Xét vật có trục đối xứng, chọn Oz làm trục đối xứng. Khi đó ứng với mỗi điểm M K có toạ độ x K , y K và trọng lượng ∆P K thì có điểm K M ′ có toạ độ -x K , -y K và trọng lượng ∆P K 34 ⇒ ( ) () kkkk kk C kkkk kk C x.Px.P x0 P y.Py.P y0 P  ∆+−∆  ==   ∆+−∆   ==  ∑∑ ∑∑ ⇒ C nằm trên trục Oz là trục đối xứng Định lý 2:Nếu vật rắn gồm các phần mà trọng tâm của các phần đó nằm trên một đường thẳng ( mặt phẳng) thì trọng tâm của vật cũng nằm trên đường thẳng (mặt phẳng) đó. Chứng minh: Giả thiết vật rắn gồm n phần có trọng lượng là 12n P,P, ,P và có trọng tâm tương ứng là 12n C,C, ,C . Trọng tâm của cả vật khảo sát là tâm của hệ lực song song ( ) 12n ,, , PPP ururur nghĩa là: ⇔ n Ckk k1 1 xx.P P = = ∑ ; n Ckk k1 1 yy.P P = = ∑ ; n Ckk k1 1 zz.P P = = ∑ (1) Nếu 12n C,C, ,C thuộc đường thẳng ∆ thì chọn đường thẳng ∆ đó làm trục Oz. Khi đó x k =0, y k = 0 thay vào (1) ta có x C = 0, y C = 0. Như vậy điểm C cũng thuộc trục Oz hay C thuộc ∆. Tương tự nếu C i thuộc mặt phẳng π thì ta chọn π làm mặt phẳng Oxy ⇒ z i = 0. Thay vào (1) ta có z C = 0. Như vậy điểm C thuộc mặt phẳng π. 2. Phương pháp phân chia thêm bớt. Định lý 1: (Định lý phân chia thêm bớt, vật ghép) Nếu vật rắn được ghép từ m phần, mỗi phần có trọng lượng P i và trọng tâm C i (x i ,y i ,z i ) thì trọng tâm của vật được xác định nhờ công thức: m ii i1 C m i i1 P.x x P = = = ∑ ∑ ; m ii i1 C m i i1 P.y y P = = = ∑ ∑ ; m ii i1 C m i i1 P.z z P = = = ∑ ∑ (5.13) Chứng minh: Trọng tâm của vật rắn là tâm của hệ lực song song 12m P,P, ,P . Từ (5.3) ta có (5.13) Xét trường hợp vật rắn bị khuyết. Khi đó công thức trên vẫn đúng vì phần khuyết được xem như là phần ghép có trọng lượng âm. 3. Phương pháp tích phân. Xác định qui luật biến thiên của trọng tâm từng phần tử khi phân hoạch. Kết hợp với đổi biến số của tích phân ta dùng các công thức (5.7), (5.8), , (5.12) để tìm trọng tâm của vật. 4. Phương pháp quay – định lý GuynĐanh. (Tham khảo). 5. Phương pháp thực nghiệm.  Phương pháp cân  Phương pháp treo  Phương pháp tâm lắc. V: TRỌNG TÂM CỦA MỘT SỐ VẬT ĐƠN GIẢN. 1. Thanh đồng chất. Áp dụng định lý 1 của phương pháp đối xứng ta dễ dàng nhận thấy trọng tâm của thanh đồng chất là điểm giữa của thanh. 35 2. Các vật có dạng hình học cơ bản. Áp dụng phương pháp đối xứng ta dễ dàng nhận thấy trọng tâm của hình bình hành, chữ nhật, hình vuông, khối hộp, khối chữ nhật, khối lập phương đồng chất chính là tâm hình học của chúng. 3. Tam giác. Chia tam giác thành các dải mỏng song song với đáy BC của tam giác. Trọng tâm của mỗi dải nằm trên trung điểm của nó tức sẽ nằm trên trung tuyến AM. Như vậy trọng tâm tam giác nằm trên trung tuyến AM. Tương tự chia tam giác theo cạnh đáy AC ta thấy trọng tâm tam giác phải nằm trên trung tuyến BN. Như vậy trọng tâm tam giác chính là giao của 3 đường trung tuyến. CM= 1 AM 3 . 3. Tứ diện. Phân hoạch tứ diện SABD thành những lát vô cùng mỏng hình tam giác song song với đáy ABD. Trọng tâm mỗi tam giác nằm tại giao của các đường trung tuyến. Do vậy trọng tâm của tứ diện nằm trên đường SM là đường nối đỉnh tứ diện và trọng tâm đáy tam giác. Tương tự ta cũng chứng minh được trọng tâm tứ diện cũng phải nằm trên đoạn BN. Như vậytrọng tâm tứ diện là giao của hai đường SM, BN. Theo hình học ta có công thức: CM= 1 SM 4 . 4. Hình chóp Với hình chóp đáy là đa giác ta có thể phân đa giác này thành các tam giác. Trọng tâm của các tứ diên này nằm trên một mặt phẳng song song với đáy và khoảng cách từ mặt phẳng này đến đỉnh chóp gấp 3 lần khoảng cách đến đáy. Cũng có thể phân hoạch hình chóp thành các lát mỏng song song với đáy, như vậy trọng tâm hình chóp phải nằm trên đường nối giữa đỉnh chóp và trọng tâm đáy đa giác. Kết hợp hai phân tích trên ta có trọng tâm hình chóp nằm trên đường nối đỉnh chóp S với trọng tâm của đáy M. CM= 1 SM 4 . Với hình chóp đáy là đường cong khép kín ta có thể coi đó là đa giác khi số cạnh tiến đến vô cùng và ta cũng nhận được kết quả tương tự. S D B A N M C S A B D E F M C C M S A D C M N 36 5. Cung tròn. Xét cung tròn đồng chất » AB có góc ở tâm là · AOB2 =α . Theo phương pháp đối xứng ta thấy trọng tâm của cung tròn nằm trên trục đối xứng Ox. Theo công thức (5.12) ta có: C L 1 xx.dL L = ∫ . Trong đó: xR.cos =ϕ ; L2.R =α ; dLR.d =ϕ . Thay vào ta có: C L 11 xx.dLR.cos.R.d L2.R α −α ==ϕϕ α ∫∫ = Sin R α α (5.14) Nếu là nửa đường tròn thì C 2R x = π (5.15) 6. Quạt tròn. Xét quạt tròn đồng chất AOB có góc ở tâm là · AOB2 =α . Chia hình quạt thành các hình quạt nhỏ với góc ở tâm là d ϕ , bán kính R. Có thể xem đó là các tam giác có trọng tâm nằm cách tâm 2 R 3 , chiều cao là R, đáy là R d ϕ . Theo phương pháp đối xứng ta thấy trọng tâm của quạt tròn nằm trên trục đối xứng Ox. Theo công thức (5.10) ta có: C S 1 xx.dS S = ∫ . Trong đó: 2 xR.cos 3 =ϕ ; 2 S.R =α ; 2 1R dSR.R.dd 22 =ϕ=ϕ . Thay vào ta có: 2 C 2 S 112RR xx.dSR.cos dcos.d S.R323. αα −α−α ==ϕϕ=ϕϕ αα ∫∫∫ = 2Sin R 3 α α (5.16) Nếu cung tròn là nửa mặt tròn thì C 4R x 3 = π (5.17). O B M M ′ A x C α α d ϕ ϕ . 11 112 2 CA.FCA.F0 += uuuuuruuuuur ⇔ 11 1 212 (OAOC).F(OAOC).F0 −+−= uuuuruuuuruuuuruuuur ⇔ 11 2 211 2 OA.FOA.FOC(FF) +=+ uuuuruuuuruuuur (a’) Biến đổi (b), (c) tương tự ta cũng được : 11 233 212 .3 OC(FF)OA.FOC(FFF) ++=++ uuuuruuuuruuuur . tại C 1 nằm trên A 1 ,A 2 . 1 R = 1 F + 2 F và 11 2 1 12 CAF F CA =− uuuuur uuuuur (a). Tiếp tục hợp 1 R ur và 1 F ur ta được 2 R ur đặt tại C 2 nằm trên C 1 A 3 . Với : 213 123 RRFFFF =+=++ . đó: C L 1 rr.dL L = ∫ rr (5 .11 ), hoặc: C L 1 xx.dL L = ∫ ; C L 1 yy.dL L = ∫ ; C L 1 zz.dL L = ∫ (5 .12 ) IV: CÁC PP XÁC ĐỊNH TT CỦA VẬT VÀ CÁC ĐỊNH LÝ LIÊN QUAN. 1. Phương pháp đối xứng. Định lý