CHƯƠNG BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ PHÂN PHỐI XÁC SUẤT (Random Variables and Probability Distributons) 3.1 ĐỊNH NGHĨA BIẾN NGẪU NHIÊN 3.1.1 Định nghóa • Biến ngẫu nhiên biến mà giá trị xác định cách ngẫu nhiên • Về mặt toán học, biến cố sơ đẳng A thuộc tập hợp biến cố ω đặt tương ứng với đại lượng xác định X = X(A) X gọi biến cố ngẫu nhiên Biến ngẫu nhiên X xem hàm biến cố A với miền xác định ω • Các biến ngẫu nhiên ký hiệu chữ lớn X, Y, Z,… giá trị chúng ký hiệu chữ nhỏ x, y, z 3.1.2 Phân loại Biến ngẫu nhiên chia làm hai loại biến ngẫu nhiên rời rạc biến ngẫu nhiên liên tục 3.1.2.1 Biến ngẫu nhiên rời rạc (Discrete Random Variable) Nếu giá trị biến ngẫu nhiên X lập thành dãy rời rạc số x1, x2, …, xn (dãy hữu hạn hay vô hạn) X gọi biến ngẫu nhiên rời rạc 3.1.2.2 Biến ngẫu nhiên liên tục (Continuous Random Variable) Nếu giá trị biến ngẫu nhiên X lấp đầy toàn khoảng hữu hạn hay vô hạn (a,b) trục số 0x biến ngẫu nhiên X gọi biến ngẫu nhiên liên tục Thí dụ • Lượng khách hàng đến cửa hàng ngày biến ngẫu nhiên rời rạc • Nhiệt độ ngày Sài Gòn biến ngẫu nhiên liên tục 3.2 PHÂN PHỐI XÁC SUẤT ĐỐI VỚI BIẾN NGẪU NHIÊN RỜI RẠC (Probability Distribution for Discrete Variable) 3.2.1 Hàm xác suất (Probability Function) Hàm xác suất Px(x) biến ngẫu nhiên rời rạc X dùng diễn tả xác suất biến ngẫu nhiên X đạt giá trị x PX(x) hàm giá trị x PX(x) = P(X=x) Thí dụ Trong thí nghiệm thảy xúc sắc, ta có Gv Cao Hào Thi P(X=1) = P(X=2) = … = P(X=6) = 1/6 Hàm xác suất PX(x) = P(X=x) = 1/6 với x =1, 2, 3, 4, 5, 3.2.2 Phân phối xác suất (Probability Distribution) Phân phối xác suất biến ngẫu nhiên X thể tương quan giá trị xi X xác suất xi, tương quan trình bày bảng đồ thị biểu thức Thí dụ Trong thí nghiệm thảy xúc sắc, phân phối xác suất là: Trình bày bảng: X 1/6 PX(x) 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 Trình bày đồ thị : PX(x) 1/6 x 3.2.3 Hàm xác suất tích lũy (Cumulative Probalility Function) 3.2.3.1 Định nghóa Hàm xác suất tích lũy FX(xo) biến ngẫu nhiên rời rạc x thể xác suất để X không vượt giới hạn xo FX(xo) hàm xo FX(xo) = P (X≤xo) 3.2.3.2 Tính chất Ta có tính chất sau: a FX(xo) = ∑ PX ( x ) x ≤xo Gv Cao Hào Thi ∑ PX (x) : tổng tất giá trị có x với điều kiện x≤xo x ≤xo b c ≤ FX(xo) ≤ ∀xo Nếu x1 < x2 FX(x1) ≤ FX(x2) Thí dụ Trong thí nghiệm thảy xúc sắc, ta có hàm xác suất tích lũy sau 0 neáu x <  j FX(xo) =  neáu j ≤ x < j + ( j = 1,2, ,5) 6  1 neáu x ≥ FX(xo) 5/6 4/6 3/6 2/6 1/6 x FX(x≤ 2.5) = PX(1) + PX(2) = 1/6 + 1/6 = 1/3 • Đối với biến ngẫu nhiên rời rạc hàm xác suất tích lũy có dạng bậc thang tận 3.2.4 Kỳ vọng biến ngẫu nhiên rời rạc (Expected Value of Discrete Random Variable) 3.2.4.1 Kỳ vọng biến ngẫu nhiên • Kỳ vọng, E(X), biến ngẫu nhiên rời rạc X định nghóa sau: E(X) = ∑ x.Px (x) x Gv Cao Hào Thi • ∑ : Tổng tất giá trị có x x • Kỳ vọng biến ngẫu nhiên gọi số trung bình (mean) ký hiệu µx E(X) = µx Thí dụ Gọi X số lỗi có trang sách Hàm xác suất biến ngẫu nhiên X cho bởi: PX(0) = 0.81, PX(1) = 0.17, PX(2) = 0.02 Tìm số lỗi trung bình có trang sách ? Giải µx = E(X) = ∑ x * PX ( x ) x = * 0.81 + * 0.17 + * 0.02 = 0.21 loãi /1 trang PX(x) 0.8 0.4 0 x µx = 0.21 3.2.4.2 Kỳ vọng hàm số biến ngẫu nhiên Gọi X biến ngẫu nhiên rời rạc với hàm xác suất PX(x) g(X) hàm số biến ngẫu nhiên X Kỳ vọng hàm số g(X) định nghóa nhö sau : E[g(x)] = ∑ g(x)PX (x) x 3.2.5 Phương sai (Variance) Gọi X biến ngẫu nhiên rời rạc Gv Cao Hào Thi Gọi µX số trung bình biến ngẫu nhiên • Phương sai biến ngẫu nhiên X kỳ vọng (X - µx)² ký hiệu σ X = E[(X - àX)] = X ã (x − µ X ) x * PX ( x ) Phng sai σ tính theo công thức : X σ = E(X²) - µ = X X ∑ x PX (x) − µ X x Chứng minh σ2 = X ∑ (x −µ X ) PX (x) = ∑ x PX (x) − 2µ X ∑ x.PX (x) + µ ∑ x + µ ∑ P X σ2 = X ∑ x PX (x) − µ X x x x x x x 3.2.6 Độ lệch chuẩn σx (Standard Deviation) Độ lệch chuẩn ký hiệu σx σX = σ2 X Thí dụ Cho hàm xác suất số lỗi X có trang sách PX(0) = 0.81, PX(1) = 0.17, PX(2) = 0.02 Tìm độ lệch chuẩn số lỗi có trang sách ? Giải Trong thí dụ trước ta coự àX = 0.21 ã Kyứ voùng cuỷa X E(X) = ∑ x PX ( x ) x = 0² * 0.81 + 1² * 0.17 + 2² * 0.02 E(X²) = 0.25 • Phương sai σ = E(X²) - µ = 0.25 - (0.21)² = 0.2059 X X • Độ lệch chuẩn σx = σ = 0.2059 = 0.4538 X Gv Cao Haøo Thi MOMEN Momen gốc cấp k (Momen of Order k) mk = E [Xk] = • ∑ x k PX ( x ) x k=1 m1 = E[X] = ∑ xPX (x) = X x m1 = àX ã k=2 m2 = E[X²] Momen trung tâm cấp k (Central Momen of Order k) Mk = E[(X-àX)k] = ã (x −µ X ) k PX (x) k=2 σ = E[(X - µX)²] X σ = m2 - m X ã M1 = E [(X - à)] = M2 = E [(X - µ)² ] = σ² (Variance) M3 = E [(X - µ)³] = γ (Skewness : độ lệch) M4 = E [(X - µ)4] = KM2² = Kσ4 K : hệ số Kurtorsis Gv Cao Hào Thi 3.2.7 Phân phối xác suất nhị thức (Binomial Probability Distubutions) 3.2.7.1 Hàm xác suất phân phối nhị thức (Probability Function of Binomial Distribution) Tiến hành n phép thử độc lập Gọi p xác suất thành công phép thử độc lập => q = (1-p) xác suất thất bại phép thử độc lập Xác suất để có số lần phần thử thành công x phép thử độc lập cho hàm xác suất sau : Px(x) = [n!/ (x!(n - x)!)].[px(1 - p)n-x ] với x = 0,1,2,…, n hay Px(x) = C x pxqn-x n với q = - p Ghi • Phân phối số lần phép thử thành công x gọi phân phối nhị thức • Hàm xác suất PX(x) hàm xác suất phân phối nhị thức 3.2.7.2 Số trung bình, phương sai độ lệch chuẩn phân phối nhị thức Gọi X số lần thành công n phép thử, phép thử có xác suất thành công p X tuân theo phân phối nhị thức với số trung bình, phương sai độ lệch chuẩn tính theo công thức sau: Số trung bình µX = E(X) = np Phương sai σ = E[(X - µx)²] = np(1-p) X Hay σ = npq X với q = 1-p Độ lệch chuẩn σx = npq Thí dụ Một người bán hàng tiếp xúc để chào hàng với khách hàng Xác suất để bán hàng lần chào hàng 0.4 a) Tìm phân phối xác suất số lần bán hàng b) Tìm số trung bình, phương sai độ lệch chuẩn số lần bán hàng c) Tìm xác suất số lần bán hàng khoảng đến lần Gv Cao Hào Thi Giải a Xác suất số lần bán hàng tuân theo phân phối nhị thức : PX(x) = C x Px qn-x n x PX(x) = C * (0.4)x * (0.6)5-x PX(x) = 5! * (0.4)x * (0.6)5-x x! (5 − x)! PX(x) x = => PX(0) = 0.078 (khoâng bán được) 0.4 x = => PX(1) = 0.259 x = => PX(2) = 0.346 0.2 x = => PX(3) = 0.230 x = => PX(4) = 0.077 x = => PX(5) = 0.010 0 (trong lần bán 5) X số lần thành công b Số trung bình số lần bán hàng µx = np = * 0.4 = Phương sai σ = np(1-p) = * 0.4 * 0.6 = 1.2 X Độ lệch chuẩn σx = 12 = 1.10 c P(2 < X < 4) = PX(2) + PX(3) + PX(4) = 0.653 3.2.8 Phân phối xác suất Poisson 3.2.8.1 Phân phối Poisson Biến ngẫu nhiên X gọi tuân theo phân phối Poisson hàm xác suất X có dạng PX(x) = e − λ λx x! với λ > 0, ∀λ x = 0,1,2,… 3.2.8.2 Số trung bình, phương sai độ lệch chuẩn phân phối Poisson • Số trung bình phân phối Poisson µx = E(x) = λ Gv Cao Hào Thi ã Phửụng sai x = E[(x-àx)] = ã Độ lệch chuẩn σx = λ Thí dụ Một trạm điện thoại tự động nhận trung bình 300 lần gọi hỏi xác suất để trạm nhận lần gọi phút cho trước Giải Số lần nhận trung bình phút 300/60 = lần/1phút => λ = Xác suất để nhận lần phút PX(2) = (5² * e-5)/2! = 25/2e5 ≈ 0.09 3.3 PHÂN PHỐI XÁC SUẤT ĐỐI VỚI BIẾN NGẪU NHIÊN LIÊN TỤC (Probability Distributions For Continuous Random Variables) Phân phối biến ngẫu nhiên liên tục xác định hàm mật độ xác suất 3.3.1 Hàm mật độ xác suất (Probability Density Function) Gọi X biến ngẫu nhiên liên tục, gọi x giá trị nằm miền giá trị có X Hàm mật độ xác suất fX(x) biến ngẫu nhiên liên tục hàm có tính chất sau : • fX(x) ≥ , ∀x • Xác suất P(a σ²2 > σ²1 • Phân phối chuẩn có số trung bình giống phương sai khác d Ký hiệu: Nếu biến ngẫu nhiên X tuân theo phân phối chuẩn có số trung bình µ phương sai σ², ta ký hiệu X ~ N (µ,σ²) 3.3.6.3 Hàm phân phối tích lũy phân phối chuẩn (Cumulative Distribution Function of Normal Distribution) Định nghóa Cho X ~ N (µ,σ²) Hàm phân phối tích lũy biến ngẫu nhiên X tuân theo phân phối chuẩn định nghóa nhö sau : FX(x) = P(X [(18 - 15)/4] = P(Z> 0.75) = - P(Z18) = 0.2266 Thí dụ Nếu X biến ngẫu nhiên tuân theo phân phôi chuẩn có số trung bình độ lệch chuẩn Tìm P(4