BAèI TP Cỏu : Tỗm nghióỷm gỏửn õuùng cuớa phổồng trỗnh sau : f(x) = x3 - 2x2 + 3x - = Bàịng phỉång phạp tiãúp tuún Sai sọỳ khọng quaù 10-5 Cỏu : Tỗm nghióm gỏửn õuùng cuớa phổồng trỗnh sau : 4x - 5lnx = Bàịng phỉång phạp làûp Sai säú khäng quạ 10-3 Cỏu : Tỗm nghởóm dổồng gỏửn õuùng cuớa phổồng trỗnh sau : f(x) = x3 - 0.2x2 - 0.2x - 1.2 = Bàịng phỉång phạp chia âäi, sai sọỳ khọng quaù 0.002 Cỏu : Tỗm nhổợng nghióỷm gỏửn õuùng cuớa phổồng trỗnh sau vồùi chổợ säú âaïng tin: x4 - 5x3 - 12x2 + 76x - 79 = Biãút ràịng cọ hai nghiãûm lỏn cỏỷn x = Cỏu 5: Tỗm nghióỷm nũm khoaớng (1,2) cuớa phổồng trỗnh: x6 = x4 + x3 + Våïi chỉỵ säú âạng tin 25 CHỈÅNG TÊNH GÁƯN ÂỤNG NGHIÃÛM CA HÃÛ ÂẢI SÄÚ TUÚN TÊNH 3.1 MÅÍ ÂÁƯU 3.1.1 Dảng täøng quạt ca mäüt hãû âải säú tuún Mäüt hãû âải sọỳ tuyóỳn tờnh coù thóứ coù m phổồng trỗnh n áøn Trong phảm vi chỉång ny ta chè xẹt nhỉỵng hóỷ phổồng trỗnh n phổồng trỗnh n ỏứn khọng suy biãún a11 x1 + a12 x + + a1n x n = f a 21 x1 + a 22 x + + a n x n = f (3.1) a n1 x1 + a n x + + a nn x n = f n âoï aij laỡ hóỷ sọỳ cuớa ỏứn xj ồớ phổồng trỗnh thỉï i Gi sỉí â biãút aij v fi ta phaới tỗm caùc ỏứn xj Ma trỏỷn a11 a1n a 21 a 22 a n a n1 A= a12 an2 a n (3.2) gi l ma tráûn hãû säú ca hãû (3.1) Cạc vẹc tå: f1 f = x1 f2 x= fn x2 (3.3) xn âỉåüc gi l vẹc tå vãú phi v vec tå áøn ca hãû Ta cng cọ thãø viãút cạc vẹc tå cäüt trãn thnh cạc vẹc tå dng sau : f = ( f1 f2 x = ( x1 f n )T x2 x n ) T Biãút ràòng têch ca ma tráûn A våïi vẹc tå x viãút l Ax Mäùi dng ca ma tráûn Ax l mäüt vẹc tå cọ ta âäü thỉï i l : n ( Ax) i = ∑ a ij x j j =1 où cuợng chờnh laỡ vóỳ traùi cuớa phổồng trỗnh thổù i ca hãû (3.1) Váûy hãû (3.1) cọ thãø viãút dỉåïi dảng sau : Ax = f (3.4) 26 3.1.2 Sỉû täưn tải v nháút nghiãûm ca hãû Gi âënh thỉïc ca ma tráûn A l âënh thỉïc ca hãû, viãút l ∆ , tỉïc l : ∆ = det(A) Nãúu ∆ = ta noïi ma tráûn A suy biãún v hãû (3.1) cng l hãû (3.4) l suy biãún Gi ∆i l âënh thỉïc suy tỉì ∆ bàịng cạch thay cäüt thỉï i båíi cäüt vãú phi Ta cọ âënh l Crame sau Âënh l 1: Nãúu ∆ ≠ tỉïc l nãúu hãû khäng suy bióỳn thỗ hóỷ (3.1) coù nghióỷm nhỏỳt cho båíi cäng thỉïc: xi = ∆i ∆ i = 1,2, , n (3.5) 3.1.3 Chụ thêch Kãút qu ny ráút gn v ráút âẻp vãư màût l thuút nhỉng nghiãûm bàịng cäng thỉïc (3.5) täún ráút nhiãưu cäng sỉïc v giáúy bụt Säú lỉåüng NC(n) cạc phẹp så cáúp (+, -, x, : ) cáưn thiãút l vo cåỵ NC(n) = (n+1)!n Chè våïi n = 15 thỗ NC(15)= 3.1014 ỏy laỡ mọỹt sọỳ rỏỳt lồùn Nóỳu tờnh seợ mỏỳt rỏỳt nhióửu thồỡi gian 3.2 PHặNG PHAẽP GAUSS 3.2.1 Giaới hóỷ phổồng trỗnh õaỷi sọỳ tuyóỳn Mä t phỉång phạp Âáy l phỉång phạp khỉí dáưn cạc áøn âãø âỉa hãû vãư mäüt hãû coù daỷng tam giaùc trón Luùc õoù ta tỗm õổồỹc xn ồớ phổồng trỗnh cuọỳi cuỡng, tổỡ õoù tờnh nguồỹc lón ta tỗm õổồỹc caùc ỏứn coỡn laỷi Nhổ vỏỷy ta phi thỉûc hiãûn qua hai bỉåïc Thûn v Ngỉåüc sau Cho hãû (3.1) viãút dỉåïi dảng vectå : n ∑a j =1 ij x j = a i , n +1 (i = 1, n) (3.6) Bæåïc thuáûn : Dng phẹp biãún âäøi tỉång âỉång âỉa (3.6) vãư dảng tam giạc trãn ⎧ x1 ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ (0 + b12 ) x x2 (0 + b13 ) x (1 + b23) x + + b1(,0)−1 x n −1 n ( ) + + b21n −1 x n −1 , x n −1 + + b1(n ) x n ( b21) x n n + b ( n−2) n −1, n xn xn = = b1(,0 )+1 n ( ) b21n +1 , ( n−2) = bn −1, n +1 ( 1) = bnnn−+1 , (3.7) Ta cọ cạc cäng thỉïc toạn sau : ( ( ( ( a ijk ) = a ijk −1) − a ikk −1) bkjk −1) (i, j ≥ k ) (3.8) 27 b ( k −1) kj = ( a kjk −1) ( j > k) (k a kk −1) (3.9) ( Phỉång phạp Gauss thỉûc hiãûn âỉåüc nãúu a kkk −1) ≠ våïi moüi k = 1, n âọ a11 = a11 Bỉåïc ngỉåüc : Tỗm caùc ỏứn theo thổù tổỷ tổỡ xn õóỳn x1 tỉì hãû (3.7) Báy giåì ta kiãøm chỉïng caùc cọng thổùc trón cho mọỹt hóỷ ba phổồng trỗnh ba áøn Hãû xút phạt (3.1) cọ dảng : ⎧ a11 x1 ⎪ ⎨a 21 x1 ⎪a x ⎩ 31 + + + a 22 x + a 32 x a13 x = a14 + a 23 x + a 33 x a12 x = a 24 = a 34 (3.10) Gi sỉí a11 Chia hai vóỳ cuớa phổồng trỗnh õỏửu ca hãû (3.10) cho a11 (ta gi pháưn tỉí a11 l pháưn tỉí dáùn), âỉåüc: (0 (0 (0 x1 + b12 ) x + b13 ) x = b14 ) (3.11) âoï b1( 0) = j a1 j q j1 ( j > 1) Nhæ váûy cäng thæïc (3.9) våïi k = âæåüc chæïng minh Tiãúp theo ta dng (3.11) âãø khỉí x1 cạc phỉång trỗnh thổù hai vaỡ thổù ba cuớa hóỷ (3.10) bũng caùch lỏỳy phổồng trỗnh (3.11) nhỏn vồùi ai1 (i = 2,3) rọửi trổỡ õi phổồng trỗnh thổù i tổồng ổùng Ta coï : (1 ⎧a 22) x ⎪ ⎨ (1) ⎪a 32 x ⎩ (1 + a 23) x (1 + a 33) x ( Trong âoï a ij1) = a ij − a i1b1( 0) j (1 = a 24) (1 = a 34) (i, j ≥ 2) (3.10’) Ta cọ cäng thỉïc (3.8) våïi k = (1 Chia hai vóỳ cuớa phổồng trỗnh âáưu ca (3.10’) cho pháưn tỉí dáùn a 22) , ta âæåüc: x2 våïi b (1) 2j (1 + b23) x = ( a 21j) (1 a 22) (1 = b24) (3.11’) ( j > 2) Báy giåì ta chố coỡn khổớ x2 phổồng trỗnh cuọỳi cuỡng ca (3.10’) ta âỉåüc : (2 (2 a 33 ) x = a 34 ) (3.10’’) ( ( Trong âoï a ij2) = a ij1) − a i(2) b2(1j) Tổỡ (3.10) ta tỗm õổồỹc x3 = (i, j ≥ 3) (2 a 34 ) a ( 2) 33 (2 = b34 ) 28 Lục ny ta cọ hãû tỉång âỉång dảng tam giạc ngỉåüc l: x1 (0 + b12 ) x x2 (0 + b13 ) x (0 = b14 ) (1 + b23) x (1 = b24) x3 = (2 b34 ) Âãún âáy bỉåïc thûn kãút thục Bỉåïc ngỉåüc l viãûc caùc nghióỷm theo trỗnh tổỷ ngổồỹc: (2 x = b34 ) (1 (1 x = b24) − b23) x (0 (0 (0 x1 = b14 ) − b13 ) x − b12 ) x 3.2.2 Thờ duỷ Giaới hóỷ phổồng trỗnh : x1 + 2x2 + 3x3 = 2x1 + x2 + 3x3 = 3x1 + 2x2 + x3 = Kãút quaí toạn ghi bng dỉåïi: dng 10 11 x2 x1 Bæåïc thuáûn 2 x d1 våïi -2 räöi + våïi d2 -3 x d1 våïi -3 räöi + våïi d3 -4 Chia d4 cho -3 x d6 våïi räöi + våïi d5 0 Chia d7 cho -4 0 Bæåïc nghëch 0 1 x3 f ∑ 3 -3 -8 -4 1 0 0 -6 -12 -4 0 0 1 Khäúi lỉåüng toạn ca phỉång phạp Gauss (kãø c cạc phẹp kiãøm tra ∑) : ÅÍ bỉåïc thûn, säú phẹp nhán, chia l: n(n+1)+(n-1)n+ +1.2 = (12+22+ +n2)+(1+2+ +n) = n(n + 1)(n + 2) 29 ÅÍ bỉåïc ngỉåüc säú phẹp nhán, chia l n(n-1) Váûy säú phẹp nhán, chia ca n phỉång phạp Gauss l : N = (n + 6n − 1) Phỉång phạp ny cọ ỉu õióứm laỡ õồn giaớn dóự lỏỷp trỗnh nhổng thuỏỷt toaùn s ( ( khäng thỉûc hiãûn âỉåüc nãúu pháưn tỉí dáùn a kkk −1) = Nãúu pháưn tỉí dáùn a kkk −1) ≈ cng cọ thãø cho kãút qu khäng chênh xạc Ta cọ thãø láûp âỉåüc så âäư khäúi ca phỉång phạp bàịng cạch dng chỉång trỗnh õóứ thổỷc hióỷn bổồùc ngổồỹc Chổồng trỗnh gii bỉåïc ngỉåüc : Procedure Nguoc Nháûp n,{bi}, [aij]; (1≤ i≤ j ≤ n) IER = S ann≠ Â xn = bn/ann i=n-1,n-2, ,1 S = bi j = i+1, ,n S = S -aijxj aii≠ S Â xi = S/aii IER = end 30 Dæåïi õỏy laỡ sồ õọử khọỳi cuớa chổồng trỗnh giaới hóỷ bàịng phỉång phạp Gauss cọ chỉïa th tủc ngỉåüc GAUSS Nháûp n, [aij] ,{bi}; (i,j =1 n) IER = k =1,2, ,n i = k+1, ,n akk ≠ S Â Pi = aik / akk i = k+1, ,n aij = aij-Piakj bi = bi -Pibk Procedure nguoc IER = Xuáút kãút quaí (xi) END 31 3.2.3 Tờnh õởnh thổùc Xeùt phổồng trỗnh Ax = Duỡng phỉång phạp Gauss ta âỉa hãû xút phạt vãư dảng Bx = Ma tráûn B nháûn âỉåüc tỉì A bàịng cạh chia mäüt dng cho cạc pháưn tỉí ( dáùn a kkk −1) v thãm båït cạc täø håüp tuún cạc dng chỉïa pháưn tỉí dáùn Do âọ : (0 (0 (n det A = a11 ) a 22) a nn −1) det B Trong âoï: (0 ⎡ b12 ) ⎢ B=⎢ ⎢ ⎢ ⎢0 ⎣ b1(n ) ⎤ ( ⎥ b21) ⎥ n suy detB = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ Nhæ váûy : (0 (0 (n det A = a11 ) a 22) a nn 1) (3-12) 3.2.4 Tỗm ma trỏỷn nghởch âo Cho A l ma tráûn khäng suy biãún Ta cỏửn tỗm ma trỏỷn nghởch õaớo A = ( x ë ) in, j =1 Do A A-1 = E nãn : n ∑a k =1 ik x kj = δ ë (i, j = 1, n) (3-13) Nhổ vỏỷy õóứ tỗm ma trỏỷn nghởch õaớo A-1, ta phaới giaới n hóỷ phổồng trỗnh õaỷi sọỳ tuyóỳn tờnh våïi cng mäüt ma tráûn A Ta cọ thãø dng chung mäüt så âäư Gauss 3.3 PHỈÅNG PHẠP LÀÛP ÂÅN 3.3.1 Mä t phỉång phạp Phỉång phạp Gauss thüc loải phỉång phạp âụng, tỉïc l nãúu khäng cọ sai säú tờnh toaùn thỗ ta seợ coù nghióỷm õuùng cuớa hóỷ Ngoi cn mäüt säú phỉång phạp khạc, dỉåïi âáy ta xẹt phỉång phạp làûp âån mäüt cacïh så lỉåüc Xẹt hãû (3-1) â viãút dỉåïi dảng vectå (3-4) : Ax = f Ta chuøn hãû ny vãư dảng tỉång âỉång cọ dảng x = Bx + g (3 14) Trong âọ ma tráûn B suy tỉì A cn vectå g suy tỉì f bàịng mäüt cạch no âọ, gi sỉí : ⎡ b11 ⎢b B = ⎢ 21 ⎢ ⎢ ⎢bn1 ⎣ b12 b22 bn b1n ⎤ b2 n ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ bnn ⎥ ⎦ Sau âọ ta xáy dỉûng cäng thỉïc làûp : 32 x ( m ) = Bx ( m −1) + g (3-15) x(0) choün træåïc (3-16) Trong âoï n ( Bx) i = ∑ bë x j (3-17) j =1 Phỉång phạp x(m) theo (3-15), (3-16) gi l phỉång phạp làûp âån Ma tráûn B gi l ma tráûn làûp 3.3.2 Âiãưu kiãûn häüi tủ Âënh nghéa1 : Gi sỉí α = (α1 , α2, ., αn)T l nghiãûm ca hãû (3-14) Nãúu x i( m ) → α i m → ∞, i = 1,2, , n thỗ ta noùi phổồng phaùp lỷp (3-15), (3-16) häüi tuû Âënh nghéa : Cho vectå Z = (Z1, Z2, , Zn)T thỗ mọựi õaỷi lổồỹng sau: Z { } = max Z i = Z + Z + + Z n 2 = Z 12 + Z + + Z n Z Z ∀i Goüi laì âäü di måí räüng ca vectå Z hay cn gi l chøn ca Z Chụng cọ cạc cháút sau âáy : Våïi p = hay hay ta âãưu cọ : 1) z p ≥ 0, Z p = ⇔ Z = vectå khäng 2) λZ p = λ Z p , λ l mäüt säú thỉûc 3) u + v p ≤ u p + v p Hãû qu : Nãúu phỉång phạp làûp (3-15),(3-16) häüi tuỷ thỗ: x (m) p m (3-18) vaỡ ngổồỹc lai nóỳu coù (3-18) thỗ phổồng phaùp làûp (3-15),(3-16) häüi tuû Âäúi våïi ma tráûn B = (bij) gi sỉí ta âàût : n r0 = max ∑ bij { j =1 i n r1 = max ∑ bij { j N i =1 N r2 = ∑ ∑ bij I =1 j =1 Ngỉåìi ta chỉïng minh âỉåüc âënh l vãư âiãưu kiãûn häüi tủ ca phỉång phạp làûp âån: Âënh l 2: Nãúu r0