Ôn tập: PT, BPT và HPT Thầy giáo Nguyễn Hà Hưng - 0986669884 1/ Giải bpt: ( ) 2 4x 3 x 3x 4 8x 6− − + ≥ − Giải: BPT ( ) ( ) 2 4 3 3 4 2 0x x x⇔ − − + − ≥ 2 2 4 3 0 4 3 0 3 4 2 3 4 2 x x x x x x − ≥ − ≤     ⇔ ∨   − + ≥ − + ≤     Hệ thứ nhất 2 3 3 3 4 4 3 4 4 0 3 x x x x x x x   ≥ ≥   ⇔ ⇔ ⇔ ≥     − + ≥ ≤ ∨ ≥   . Hệ thứ hai 2 3 3 3 0 4 4 4 3 4 4 0 3 x x x x x x   ≤ ≤   ⇔ ⇔ ⇔ ≤ ≤     − + ≤ ≤ ≤   Vậy BPT đã cho có tập nghiệm là [ ) 3 0; 3; 4   ∪ +∞     2/ Giải bpt: 1 1 2 3 5 2x x x ≤ + − − − ,(1) Giải: ĐK : ( ) 1 1 5 2 0;3 0;5 2 0; 2 3 2; ; 2 2 2 x x x x x x     + ≥ − ≥ − > + ≠ − ⇔ ∈ − ∪ ÷  ÷      (*) +) Nếu 1 2 3 0 2 3 2 x x x x x+ − − < ⇔ + < − ⇔ < với (*) 1 2 2 x⇒ − ≤ < thì (1) luôn đúng +) Nếu 1 5 2 2 x< < 2 3 0x x⇒ + − − > (1) ⇔ 2 3 5 2x x x+ − − ≥ − ⇔ ( ) ( ) ( ) 2 2 3 5 2 2 3x x x x x x+ − − ≥ − ⇔ ≥ + − ( ) ( ) 2 2 3 2 3 2 6 0 2 2 x x x x x x x − ⇔ ≥ + − ⇔ − − ≥ ⇔ ≤ ∨ ≥ mà 1 5 2 2 x< < ⇒ 5 2 2 x≤ < Vậy tập nghiệm của (1) là 1 5 2; 2; 2 2 S     = − ∪ ÷ ÷       3/ Giải bpt: 2 3 2 1 2 4 3x x x x x x + + + ≥ + + + . Giải: ĐK: 1x ≥ − BPT ( ) ( ) ( ) ( ) 3 2 1 2 1 3 2 1 1 3 1 1 0x x x x x x x x x x ⇔ + + + ≥ + + + ⇔ + − − + + − ≥ ( ) ( ) 1 1 2 3 0x x x⇔ + − − + ≥ 1 1 0 1 1 0 ( ) ( ) 2 3 0 2 3 0 x x I II x x x x   + − ≥ + − ≤   ⇔ ∨   − + ≥ − + ≤     Hệ (I) 2 2 0 1 1 0 0 1 3 4 3 4 3 0 1 2 3 4 x x x x x x x x x x x x x ≥   + ≥ ≥ ≥     ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ≥     ≥ + − − ≥ ≤ − ∨ ≥ ≥ +       Hệ (I) 1 0 1 1 2 3 2 3 x x x x x x  − ≤ ≤  + ≤   ⇔ ⇔   ≤ +  ≤ +    1 0x ⇒ − ≤ ≤ Vậy bất phương trình có tập nghiệm là [ ] [ ) 1;0 1;− ∪ +∞ 4/ Giải bpt: 2 2 3 2 2 3 1 1x x x x x− + − − + ≥ − Giải: Tập xác định: D = { } [ ) 1 ; 1 2; 2   −∞ ∪ ∪ +∞     • x = 1 là nghiệm • x ≥ 2: BPT ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 2 1 1 1x x x x x⇔ − − − − − ≥ − ⇔ 2 1 2 1− ≥ − + −x x x vô nghiệm Ôn tập: PT, BPT và HPT Thầy giáo Nguyễn Hà Hưng - 0986669884 • x 1 2 ≤ : BPT ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 1 1x x x x x⇔ − − − − − ≥ − − ⇔ 2 1 1 2− + − ≥ −x x x ⇔ ⇔ x 1 2 ≤ ⇒ BPT có tập nghiệm S= { } 1 ; 1 2   −∞ ∪     5/ Giải bpt : 2 2 1 3 1 1 1 x x x > − − − Giải: ĐK: ( ) 2 1 0 1;1x x− > ⇔ ∈ − BPT ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 0 0 1 3 1 1 2 3 1 2 9 1 x x x x x x x x x x x ≤   >  ⇔ > − − + ⇔ − > − ⇔     − > −     4 2 2 2 0 0 0 1 0 0 0 2 1 4 2 10 13 4 0 ; 2 5 5 x x x x x x x x x x x ≤  ≤   ≤    < < >    ⇔ ⇔ ⇔ >          − + > < >      >     Vậy bất phương trình có tập nghiệm: 1 2 1; ;1 2 5 S     = − ∪  ÷ ÷     6/ Giải pt: 231034 −=−− xx Giải: PT ( ) 2 2 10 3 0 10 2 3 2 0 4 3 10 3 ;(*) 4 3 10 3 2 x x x x x x x x  − ≥   ≤ ≤   ⇔ − ≥ ⇔     − = −  − − = −   Với 10 2 3 x≤ ≤ thì (*) ( ) ( ) 2 2 4 3 2 4 9 10 3 8 16 27 90 0x x x x x x x⇔ − = − ⇔ − + + − = ( ) 3 2 3 5 30 0 3; 2x x x x x x   ⇔ − − + + = ⇔ = = −   với đk trên suy ra pt có nghiệm duy nhất x = 3. 7/ Giải bpt : 21412 33 ≥++− xx Giải: Đặt 3 3 12 12t x x t= − ⇔ = − , ta có bpt: 3 33 3 3 2 3 26 2 26 2 26 8 12 6t t t t t t t t+ − ≥ ⇔ − ≥ − ⇔ − ≥ − + − 2 3 2 3 0 1 3 1 12 3 1 12 27 15 13t t t x x x⇔ − − ≤ ⇔ − ≤ ≤ ⇒ − ≤ − ≤ ⇔ − ≤ − ≤ ⇔ − ≤ ≤ 8/ Giải bpt : 2 12 1 36x x x+ + + ≤ Giải: ĐK: 1x ≥ − . Đặt 2 1 1; 0t x x t t= + ⇒ = − ≥ . Ta có BPT: ( ) ( ) 2 2 2 1 1 12 36t t t− + − + ≤ ( ) 4 2 3 2 12 36 0 2 2 3 36 0 2 0 2t t t t t t t t t   ⇔ − + − ≤ ⇔ − + + + ≤ ⇔ − ≤ ⇔ ≤   1 3x ⇒ − ≤ ≤ 9/ Giải pt: )1(2)1( 2323 xxxx −=−+ Giải: ĐK: [ ] 1;1x ∈ − . PT đã cho ( ) 2 2 2 1 1 1 1 . 2x x x x x x   ⇔ + − − − = −   Đặt 2 2 2 2 2 1 1 1 2 1 1 2 t t x x t x x x x − = + − ⇒ = + − ⇒ − = . Ta có pt : 2 2 1 1 1 . 2 2 2 t t t   − − − =     ( ) 3 2 2 2. 3 2 0 2 2 2 1 0t t t t t t   ⇔ + − − = ⇔ − + + =   2; 2 1; 2 1t t t⇔ = = − + = − − +) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 1 0 2 t x x x x x x x x x= ⇒ + − = ⇔ − = − ⇔ − = − ⇔ − + = ⇔ = (TM) Ôn tập: PT, BPT và HPT Thầy giáo Nguyễn Hà Hưng - 0986669884 +) ( ) 2 2 2 2 2 1 0 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 x t x x x x x x  − + − ≥  = − + ⇒ + − = − + ⇔ − = − + − ⇔  − = − + −   ( ) 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 2 2 2 1 1 2 0 2 x x x x x x  ≤ −  ≤ − − − − +   ⇔ ⇔ ⇔ =   − ± − + + − + − =   =   (TM) +) 2 2 1 1 2 1t x x= − − ⇒ + − = − − , vô nghiêm vì 2 1 1 1x x x≥ − ⇒ + − ≥ − Vậy pt đã cho có hai nghiệm 2 2 x = và 1 2 1 2 2 2 x − − − + = 10/ Giải pt: 044321112 3 2 =−−+− xxx Giải: PT đã cho 2 3 2 11 21 3 4 4x x x⇔ − + = − ; Ta có 2 3 2 11 21 0, 4 4 0 1x x x x x− + > ∀ ⇒ − > ⇒ > Đặt 3 3 4 4 4 ; 0 4 t t x x t + = − ⇒ = > . Ta có pt: ( ) ( ) 2 3 3 4 4 2. 11 21 3 0 16 4 t t t + + − + − = ( ) 6 3 5 4 3 2 14 24 96 0 2 2 4 6 12 48 0t t t t t t t t t   ⇔ − − + = ⇔ − + + − − − =   ( ) ( ) 4 3 2 2 2 4 12 18 24 0 2 3t t t t t t t x   ⇔ − − + + + + = ⇔ = ⇒ =   11/ Giải bpt: ( ) ( ) 2 3 1 1 2 3 4x x x x+ − − + + − ≥ Giải: Điều kiện 1≥x . Nhân hai vế của bpt với 3 1 0x x+ + − > , ta được BPT ( ) ( ) 2 2 4. 1 2 3 4. 3 1 1 2 3 3 1x x x x x x x x⇔ + + − ≥ + + − ⇔ + + − ≥ + + − 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 2 3 4 0 2 x x x x x x x x x x ≤ −  ⇔ + − + + − ≥ + + + − ⇔ − ≥ ⇔  ≥  Kết hợp với điều kiện 1x ≥ ta được 2x ≥ 12/ Giải pt: 2 1 3 2 4 3 5 4x x x x− + − = − + − Giải: ĐK: 1 2 x ≥ . PT trên 4 3 2 1 5 4 3 2 0x x x x⇔ − − − + − − − = 2 2 2 2 0 1 4 3 2 1 5 4 3 2 x x x x x x x − − ⇔ + = ⇔ = − + − − + − 13/ Giải bpt: 1 1x x x+ − − ≤ Giải: ĐK: [ ] 1;1x ∈ − . BPT ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 2 1 1 , 2x x x x x x x x x⇔ + − − ≤ + + − ⇔ ≤ + + − - Nếu ( ] ( ) 2 2 0;1 , 2 2 1 1 4 2 2 1 1 1x x x x x∈ ⇔ ≤ + + − ⇔ ≤ + − ⇔ − ≥ vô nghiệm - Nếu x = 0 ( ) 2⇒ đúng - Nếu [ ) ( ) 2 1;0 , 2 2 1 1 1 1x x x x∈ − ⇔ ≥ + + − ⇔ − ≤ đúng [ ) 1;0x∀ ∈ − Vậy BPT đã cho có tập nghiệm là đoạn [ ] 1;0− 14/ Giải pt: 3 4 1 3 2 . 5 x x x + + − − = Giải: §iÒu kiÖn: 2 . 3 x ≥ Ph¬ng tr×nh đã cho 4 1 3 2 3 5 4 1 3 2 x x x x x + − + + ⇔ = + + − ⇔ 4 1 3 2 5x x+ + − = v× x + 3 > 0 XÐt f(x) = 3 4 1 3 2, . 5 x x x+ − − ≥ f’(x) = 4 3 0 2 4 1 2 3 2x x + > + − nªn f ®ång biÕn. Ôn tập: PT, BPT và HPT Thầy giáo Nguyễn Hà Hưng - 0986669884 V f(2) = 5 nªn phà ¬ng tr×nh: f(x) = 5 ⇔ f(x) = f(2) ⇔ x = 2 (tháa mãn). VËy nghiÖm duy nhÊt x = 2. 15/ Giải bpt: ( ) ( ) 522141522 222 +−≤++++−+ xxxxxxxx Giải: BPT ( ) ( ) 0 5212 1232 )1(522 22 2 2 ≤ +−++ −+ +++−+⇔ xxx xxx xxx ( ) ( ) 0 5212 )13(12 )1(522 22 2 ≤ +−++ −+ +++−+⇔ xxx xxx xxx ( )( ) ( ) 0547521252214)1( 0 5212 )13(2 522)1( 22222 22 2 ≤+−++−+++−+++⇔ ≤       +−++ − ++−++⇔ xxxxxxxxx xxx xx xxx 101 −≤⇔≤+⇔ xx Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là T = ( ] 1;−∞− . 16/ Giải bpt : 2 2 2 2 3 7 3 2 3 5 1 3 4x x x x x x x− + − − ≥ − − − − + Giải: ĐK: 2 2 2 2 7 13 7 13 3 7 3 0 6 6 5 37 2 0 2 2 6 3 5 1 0 2 5 37 5 37 3 4 0 6 6 x x x x x x x x x x x x x x x  − + ≤ ∨ ≥  − + ≥   +   − ≥ ≥    ⇔ ≤ − ∨ ≥ ⇔    − − ≥    ≤ − − +    ≤ ∨ ≥ − + ≥    Bpt 2 2 2 2 3 7 3 3 5 1 3 4 2 0x x x x x x x⇔ − + − − − + − + − − ≥ ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 6 3 0 3 7 3 3 5 1 3 4 2 2 3 2 0 3 7 3 3 5 1 3 4 2 2 0 2 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x − − ⇔ + ≥ − + + − − − + + −   ⇔ − + ≥   − + + − − − + + −   ⇔ − ≥ ⇔ ≤ Kết hợp với đk suy ra bpt có tập nghiệm là ( 5 37 ; 2 ;2 6   +  −∞ − ∪      17/ Giải bpt: 2 3 1 6 3 14 8 0x x x x+ − − + − − > Giải: ĐK: 1 ;6 3 x   ∈ −     BPT ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 5 5 3 1 4 6 1 3 14 5 0 5 3 1 0 3 1 4 6 1 x x x x x x x x x x − − ⇔ + − − − − + − − > ⇔ − + − + > + + − + ( ) ( ) 3 1 5 3 1 0 5 0 5 3 1 4 6 1 x x x x x x   ⇔ − + + + > ⇔ − > ⇔ >   + + − +   Kết hợp đk suy ra nghiệm của bpt là 5 6x < ≤ 18/ Giải pt: 2 3 5 1 9 2 3 1x x x x− + − = + − Giải: ĐK: 1 5 x ≥ . PT 2 3 5 1 2 9 2 2 3 5x x x x⇔ − − + − − = + − ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 3 2 3 3 1 5 1 1 5 1 1 2 5 2 5; * 5 1 2 9 2 9 4 5 1 2 9 2 9 4 x x x x x x x x x x x x =  −  − ⇔ + = − + ⇔  − = + − + − + − +  − + − + − +  Ôn tập: PT, BPT và HPT Thầy giáo Nguyễn Hà Hưng - 0986669884 (*) vô nghiệm vì khi 1 5 x ≥ vế trái <5 và vế phải >5 Vậy phương trình đã cho có đúng một nghiệm x = 1. 19/ Gi¶i bpt: ( ) ( ) ( ) 2 2 9 1 3 7 1 3 4x x x+ < + − + Giải: §k: 4 3 x ≥ − §Æt 3 4u x= + ; 0u ≥ ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 3 4 3 7 3; 9 1 3 3 1u x x u x x u⇒ = + ⇒ + = + + = + = − BPT trë thµnh: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 1 3 1 1 1 3 1u u u u u u u− < + − ⇔ − + < + − ( ) ( ) 2 2 1 3; 1 1u u u u+ < + ≠ ⇔ < 3 4 1 1x x+ ≤ ⇒ ≤ − kết hợp đk suy ra bpt có tập nghiệm là 4 ; 1 3   − −     20/ Giải pt: ( ) 3 2 2 x 8x 13x 6 6 x 3 x 5x 5 0− + + + − − + = Giải: ĐK: 2 x 5x 5 0− + ≥ Phương trình cho viết lại: ( ) ( ) ( ) 2 2 x 3 x 5x 2 6 x 3 x 5x 5 0− − − + − − + = ( ) 2 2 x 3 x 5x 2 6 x 5x 5 0 =  ⇔  − − + − + = ∗   Đặt 2 t x 5x 5= − + thì ( ) ∗ suy ra t 1 x 1, x 4= ⇒ = = thỏa điều kiện. Vậy, phương trình cho có nghiệm: x 1, x 4= = 21/ Giải pt: 2 1 1 2 2 x x + = − . Giải : ĐK: ( 2; 2) \{0}x ∈ − Pt đã cho 2 2 2 2 2x x x x ⇔ − + = − Đặt 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2t x x t x x x x t ⇔ = − + ⇒ = + − ⇒ − = − Ta có pt: 2 2 1 2 2 0 2 t t t t t t =−  = − ⇔ − − = ⇔  =  +) với ( ) 2 2 2 2 1 0 1 3 1 2 1 2 1 2 2 1 x t x x x x x x x − − ≥  − −  =− ⇒ − + =− ⇔ − =− − ⇔ ⇔ =  − = − −   +) với ( ) 2 2 2 2 2 0 2 2 2 2 2 1 2 2 x t x x x x x x x − + ≥   = ⇒ − + = ⇔ − =− + ⇔ ⇔ =  − = − +   Kết hợp điều kiện ta được: x = 1 và 1 3 2 x − − = 22/ Giải pt: 2 2 2 2 3 2 3 9x x x x x+ + + + + = . Giải: Đặt 2 2 2 2 3 2 3 2 3t x x t x x x= + + ⇒ = + + + Ta có pt: 2 2 3 3 9 12 0 4 t t t t t t =  − + = ⇔ + − = ⇔  = −  +) Với ( ) 2 2 2 2 3 0 3 3 3 3 3 1 3 3 x t x x x x x x x − ≥   = ⇒ + + = ⇔ + = − ⇔ ⇔ =  + = −   +) Với ( ) 2 2 2 2 4 0 4 3 4 3 4 3 4 x t x x x x x x − − ≥   = − ⇒ + + = − ⇔ + = − − ⇔  + = − −   , vô nghiệm Ôn tập: PT, BPT và HPT Thầy giáo Nguyễn Hà Hưng - 0986669884 23/ Giải pt: ( ) ( ) 3 3 2 2 1 1 1 1 2 1x x x x   + − + − − = + −     Giải: ĐK: [ ] 1;1x ∈ − . Đặt 2 1 1 ; 0a x a x a= + ⇒ = + ≥ ; 2 1 1 ; 0b x b x b= − ⇒ = − ≥ Ta có hệ ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 3 3 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 1 a b a b a b ab a b ab ab a b a b ab ab ab a b   + = + =  + =    ⇔ ⇔        + − = + + − + + = + + − =           ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2; 2; 2; 2 1 (1 ) 2 1 (1 ) 2 2 1 2 2 1 2 a a b a b a b a b a b a b ab a b ab ab ab a b b  = +    + = > + = >  + = >     ⇔ ⇔ ⇔ ⇔     + + − = + − = =        = −   2 2 x⇒ = 24/ Giải bpt : 2 1 1 2 4 x x x+ + − ≤ − Giải: ĐK: [ ] 1;1x ∈ − . Khi đó Pbt ( ) 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 2 1 2 4 4 x x x x x     ⇔ + + − ≤ − ⇔ + − ≤ −  ÷  ÷     Đặt 2 2 2 1 1 ; 0t x x t t= − ⇒ = − ≥ . Ta có BPT: 2 2 4 2 1 2 2 2 14 32 17 0 4 t t t t t   − + ≤ − ⇔ + − + ≥  ÷   ( ) ( ) 2 3 2 2 1 15 17 0 1 2 17 0t t t t t t t     ⇔ − + + − ≥ ⇔ − + + ≥     đúng 0t ∀ ≥ Vậy bpt đã cho có nghiệm là [ ] 1;1x∀ ∈ − 25/ Giải bpt : 2 1 3 2 10 16x x x x− + − ≥ − + Giải: ĐK: 1x ≥ . Đặt 2 1 1; 0t x x t t= − ⇒ = + ≥ . Ta có bpt: ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 1 10 1 16t t t t+ − ≥ + − + + ( ) ( ) 2 2 4 2 2 4 3 2 2 4 2 2 0; 0 1 2 2 6 8 2 3 4 4 0; * 2 2 6 8 t t t t t t t t t t t t t t t t  + − ≥ ≥ ≥    ⇔ + − ≥ − + ⇔ ⇔   − − + + ≤ + − ≥ − +     (*) ( ) ( ) ( ) 2 2 3 2 2 1 3 4 0 1 4 4 0 2 0 2 5t t t t t t t t x     ⇔ + − + ≤ ⇔ + − + ≤ ⇔ − ≤ ⇔ = ⇔ =     Đáp số: x = 5 26/ Giải bpt: ( ) 2 2 1 1 1 2 1x x x+ − ≥ + − Giải: ĐK : [ ] 1;1x ∈ − . * Nếu [ ] 1;0x∈ − thì bất phương trình nghiệm đúng [ ] 1;0x∀ ∈ − * Nếu [ ] 0;1x∈ thì bất phương trình ( ) 2 2 2 2 1 1 5 4 4 1x x x x+ − ≥ − + − Đặt [ ] 2 2 2 1 0;1 , 1t x t x t= − ⇒ = − , ta có BPT: ( ) 2 2 1 1 1 4 4t t t t   + ≥ − + +   ( ) ( ) 4 3 2 2 2 4 4 3 3 0 1 4 3 0 4 3 0t t t t t t t t⇔ + − − ≥ ⇔ + − ≥ ⇔ − ≥ vì [ ] 0;1t 3 2 t⇒ ≥ 2 2 3 1 1 2 4 x x− ≥ ⇔ ≤ mà [ ] 0;1x∈ 1 0; 2 x   ⇒ ∈     . Vậy tập nghiệm của BPT là đoạn 1 1; 2   −     27/ Giải bpt : 3 1 2 >− − x x x Ôn tập: PT, BPT và HPT Thầy giáo Nguyễn Hà Hưng - 0986669884 Giải: ĐK có nghiệm : ( ) 2 2 2 1 0 1 1 0 1 1 0,(*) 1 x x x x x x x x  − > < − ∨ >    ⇔   − > − − >    −  Khi x > 1, ( ) 2 2 2 (*) 1 1 0 1 1 2 1; 2x x x x⇔ − − > ⇔ > − ⇔ < ⇒ ∈ Khi x <-1, ( ) 2 2 2 (*) 1 1 0 1 1 2 2; 1x x x x⇔ − − < ⇔ − > ⇔ > ⇒ ∈ − − Vậy đk có nghiệm là ( ) ( ) 2; 1 1; 2x ∈ − − ∪ BPT 2 2 2 2 2 2 2 3 2 3 1 1 1 x x x x x x x x   ⇔ − > ⇔ − + >  ÷ − − −   Đặt 2 2 2 1 1; 0t x x t t= − ⇒ = + > . Ta có bpt: 2 2 2 2 1 1 2 1 3 t t t t t + + − + + > 2 2 2 1 1 1 1 1 2 1 0 2 3 0 3t t t t t t t t t t       ⇔ + − + − > ⇔ + − + − > ⇔ + >  ÷  ÷  ÷       (vì t >0) 2 2 2 2 2 3 5 3 5 18 6 5 1 1 18 6 5 2 2 4 2 3 1 0 1 3 5 3 5 18 6 5 18 6 5 1 2 2 2 4 t x x x t t x t x x    + + +  > − > > > +        ⇔ − + > ⇔ ⇒ ⇔ ⇔     − − −  < − < − < <         Kết hợp với đk suy ra tập nghiệm của bpt là 1 1 18 6 5; 1 1; 18 6 5 2 2     − − − ∪ −  ÷  ÷     28/ Giải pt: 2 2 2 1 1 3x x x x x+ + + − + = . Giải: Ta có 2 2 1 0x x+ + > và 2 1 0,x x x− + > ∀ ∈ ⇒¡ TXĐ: ¡ Từ pt suy ra 0x > . Khi đó PT 2 2 1 1 1 1 2 1 3 x x x x ⇔ + + + − + = . Đặt 1 , 0t t x = > Ta được 2 2 2 2 2 1 3 2 3 1t t t t t t t t+ + + − + = ⇔ + + = − − + 2 2 2 2 2 9 1 6 1 3 1 4t t t t t t t t t⇒ + + = + − + − − + ⇔ − + = − 2 2 2 1 4 0 4 7 9(1 ) 16 8 8 7 0 8 t t t t t t t t t t =  − ≥ ≤    ⇔ ⇔ ⇔    = − − + = − + − − =    Đối chiếu với t > 0 ta được 1 1t x = ⇒ = Thử lại thấy x = 1 thỏa mãn pt. Vậy pt có nghiệm duy nhất x = 1 Cách khác: PT ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 1 2 1 1 3 3 3 1 2 1 2 1 1 1 1 2 3 1 3 1 2 3 3,(*) 2 1 2 1 1 2 1 2 1 1 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x + − − ⇔ + + − + − + − = − ⇔ + = − + + + − + + =  − + −  ⇔ + = − ⇔ +  + = + + + − + +  + + + − + +  (*) vô nghiệm vì VT<2+1=3 29/ Giải pt 32 4 2 2 1x x x x+ − = + . Giải: TXĐ: R + Với 0x = , pt vô nghiệm Ôn tập: PT, BPT và HPT Thầy giáo Nguyễn Hà Hưng - 0986669884 + Với 0x ≠ , chia cả hai vế cho x ta được: 3 1 1 2x x x x   − + − =  ÷   Đặt 3 1 t x x = − , ta được phương trình: 3 2 0t t + − = ⇔ 1 5 1 2 t x ± = ⇔ = 30/ Giải pt: 2 3 2 4 3 4x x x x+ + = + Giải: ĐK : 0x ≥ ; PT ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 4 3 4 4 2 3 4x x x x x x x x⇔ + + = + ⇔ + + = + 2 2 1 2 3 4 4 x x x x ⇔ + = + + . Đặt 2 0 4 x t t x = ⇒ ≥ + , ta có pt : 2 1 2 3 1 0 1 2 t t t t− + = ⇔ = ∨ = +) 2 2 1 1 4 4 x t x x x = ⇒ = ⇔ + = + , vô nghiệm. +) 2 2 2 1 1 4 4 4 4 0 2 2 4 2 x t x x x x x x = ⇒ = ⇔ + = ⇔ − + = ⇔ = + 31/ Giải pt: x x x x 2 4 2 3 3 1 1 3 − + = − + + (1) Giải: Chú ý: x x x x x x 4 2 2 2 1 ( 1)( 1)+ + = + + − + , x x x x x x 2 2 2 3 1 2( 1) ( 1)− + = − + − + + (1) ⇔ x x x x x x x x 2 2 2 2 3 2( 1) ( 1) ( 1)( 1) 3 − + − + + = − + + − + . 2 2 2 2 2( 1) 3 1 1 3 1 1 x x x x x x x x − + − + ⇔ − = − + + + + . Đặt x x t t x x 2 2 1 , 0 1 − + = > + + . Ta được: (1) ⇔ t t 2 3 2 1 0 3 + − = ⇔ t t 3 0 2 3 1 3  − = <    =   ⇔ x x x x 2 2 1 1 3 1 − + = + + ⇔ x 1= . 32/ Giải bpt : 3 2 3 1 2 3 1x x x− ≤ + + . Giải: ĐK: x ≥ 1 BPT 2 2 3 1. 1 ( 1) 2( 1)x x x x x x⇔ − + + ≤ − + + + ⇔ 2 2 1 1 3 2 1 1 x x x x x x − − ≤ + + + + + Đặt t = 1 1 2 ++ − xx x , t ≥ 0, ta ta được bất phương trình: 2 3 2 1t t t≤ + ⇔ ≤ hoặc 2t ≥ + Với 1t ≤ , ta có: 2 2 2 1 1 1 1 2 1 x x x x x x x − ≤ ⇔ − ≤ + + ⇔ ≥ − + + (luôn đúng) + Với 2t ≥ , ta có: 2 2 2 1 2 1 4( 1) 4 3 5 0 1 x x x x x x x x − ≥ ⇔ − ≥ + + ⇔ + + ≤ + + (vô nghiệm) Vậy bất phương trình đã cho có nghiệm x ≥ 1. 33/ Giải pt: 2 2 5x 8 8 5( 1). 4x x x+ + = + + Giải: Nhận xét: 2 2 2 5 8 8 4( 1) ( 4)x x x x+ + = + + + Pt 2 2 2 4( 1) ( 4) 5( 1). 4x x x x⇔ + + + = + + ⇔ 2 2 2 1 1 4 5 1 0 4 4 x x x x + +     − + =  ÷  ÷ + +     . Đặt 2 1 4 x t x + = + Ta có pt 2 4 5 1 0 1 0,25t t t t− + = ⇔ = ∨ = +) ( ) 2 2 2 2 1 1 1 1 4 2 1 4; 1 4 x t x x x x x x x + = ⇒ = ⇔ + = + ⇔ + + = + ≥ − + 3 2 x⇔ = Ôn tập: PT, BPT và HPT Thầy giáo Nguyễn Hà Hưng - 0986669884 +) ( ) 2 2 2 2 1 1 0,25 4 4 4 16 32 16 4; 1 4 4 x t x x x x x x x + = ⇒ = ⇔ + = + ⇔ + + = + ≥ − + 16 76 15 x − + ⇔ = ĐS : 3 2 x = , 16 76 15 x − + = 34/ Giải bpt: 3 2 (3 4 4) 1 0x x x x+ − − + ≤ Giải: Điều kiện : 1x ≥ − . Bpt 3 2 3 1 4( 1) 1 0x x x x x⇔ + + − + + ≤ (*) +) Nếu 1x = − ⇒ (*) nghiệm đúng +) Nếu 1x > − , (*) ( ) ( ) 3 2 3 2 3 4 0 1 1 x x x x ⇔ + − ≤ + + 2 1 0 0 1 1 1 1 0 x x x x x x x x − ≤ <   ≥ ⇔ ≤ ⇔ ≤ + ⇔   +   − − ≤   1 0 0 1 5 1 2 1 5 1 5 2 2 x x x x − ≤ <   ≥ +   ⇔ − ≤ ≤    − +  ≤ ≤    . Kết hợp 1x > − ta được 1 5 1 2 x + − < ≤ . Vậy tập nghiệm của BPT là S = 1 5 1; 2   + −     35/ Giải bpt : ( ) 2 4 2 1 1 2 1 x x x x − ≥ − − + Giải: ĐK ( ) ( ) 4 2 4 2 4 2 2 1 1 2 1 1 2 2 1 0x x x x x x− + ≠ ⇔ − + ≠ ⇔ − + ≠ đúng x∀ Xết ( ) ( ) 4 2 4 2 4 2 1 2 1 0 2 1 1 2 2 1 0,x x x x x x x− − + < ⇔ − + > ⇔ − + > ∀ Do đó bpt đã cho ( ) ( ) 2 4 2 4 2 2 1 2 1 2 1 1x x x x x x x x− ≤ − − + ⇔ − + ≤ + − (*) Đặt 2 2 2 4 2 2 2 4 2 2 1 1 2 1 a x a x x a b x x b x b x   = − = − + ⇒ ⇒ + = − +   = =   Ta có ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 2 0 0 0 a b a b ab a b a b a b a b a b a b   + ≤ + + − ≤   + ≤ + ⇔ ⇔ ⇔ = ≥   + ≥ + ≥     2 2 1 5 1 0 1 0; 0 2 x x x x x x − + ⇒ − = ≥ ⇔ + − = ≥ ⇔ = Cách khác ( ) ( ) 2 4 3 2 4 2 2 2 2 2 2 1 0 2 1 1 (*) 1 0 1 0 x x x x x x x x x x x x   + − − + ≤ − + ≤ + −  ⇔ ⇔   + − ≥  + − ≥   36/ Tìm m để phương trình ( ) 4 2 3 x 1 m x 1 2 x 1 1 − + + = − có nghiệm Giải: ĐK: 1x ≥ PT đã cho ( ) ( ) ( ) ( ) 4 4 x 1 x 1 x 1 3 x 1 m x 1 2 x 1 x 1 3 m 2 x 1 x 1 − + − − + + = − + ⇔ + = + + 2 2 3 2 3 2t m t t t m+ = ⇔ − + = ,(*) với 4 1 1 x t x − = + Xét ( ) ( ) ( ) 2 1 2 ; 1 0, 1 1 1 x g x x g x x x x − ′ = ≥ ⇒ = > ∀ ≥ + − . Lập bbt suy ra ( ) 1 0 1 0 1x g x t∀ ≥ ⇔ ≤ < ⇔ ≤ < Ta phải tìm m để (*) có nghiệm [ ) 0;1t ∈ Ôn tập: PT, BPT và HPT Thầy giáo Nguyễn Hà Hưng - 0986669884 Xét hàm số ( ) [ ) ( ) 2 1 3 2 ; 0;1 6 2 0 3 f t t t t f t t t ′ = − + ∈ ⇒ = − + = ⇔ = Lập bbt suy ra đk phải tìm là 1 1 3 m− < ≤ 37/ Giải bpt: 2 2 2 3 5 4 6x x x x x− − + ≤ − − Giải: ĐK: 2 2 2 0 0 2 5 4 6 0 x x x x x x  − − ≥  ≥ ⇔ ≥   − − ≥  Bình phương hai vế ta được 2 6 ( 1)( 2) 4 12 4x x x x x+ − ≤ − − 2 2 3 ( 1)( 2 ) 2( 2 ) 2( 1)x x x x x x⇔ + − ≤ − − + 2 2 ( 2 ) 2 3 2 2 1 1 x x x x x x − − ⇔ ≤ − + + . Đặt ( 2) 0 1 x x t x − = ≥ + , ta được bpt 2 2 3 2 0t t− − ≥ 1 2 2 2 t t t −  ≤  ⇔ ⇔ ≥  ≥  ( do 0t ≥ ) 2 ( 2) 2 6 4 0 1 x x x x x − ⇔ ≥ ⇔ − − ≥ + 3 13 3 13 3 13 x x x  ≤ − ⇔ ⇔ ≥ +  ≥ +   ( do 2x ≥ ) Vậy bpt có nghiệm 3 13x ≥ + 38/ Giải pt: 3 3 1 2 2 1x x+ = − Giải: Đặt 3 2 1y x= − . Ta có hệ ( ) ( ) 3 3 1 2 1 1 2 2 y x x y  + =   + =   ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 2 2 1 2 2 2 0y x x y x y x y xy y x− ⇒ − = − ⇔ − + + + = ⇔ = (biểu thức trong ngoặc luôn dương). Thế y x= vào (1) suy ra ( ) ( ) 3 2 1 5 2 1 0 1 1 0 1; 2 x x x x x x x − ± − + = ⇔ − + − = ⇔ = = 39/ Giải bpt: 2 2 4 2 2 3x x x x− ≤ + − Giải: Điều kiện 3x ≤ − hoặc 1x ≥ . Đặt ( ) 2 2 2 2 3, 0 2 3t x x t x t x= + − ≥ ⇒ = − + BPT đã cho trở thành ( ) ( ) 2 2 2 1 0 1 2 1 0t xt x t t x− − − ≤ ⇔ + − − ≤ ( ) ( ) 2 2 2 3 1 2 3 2 1 0x x x x x⇔ + − + + − − − ≤ 2 2 2 3 2 1 0 2 3 2 1x x x x x x⇔ + − − − ≤ ⇔ + − ≤ + ( ) 2 2 2 1 2 1 0 1 2 2 2 1 2 3 3 2 4 0 x x x x x x x x  + ≥  ≥ −   ⇔ ⇔ ⇔ ≥ −   + ≥ + −    + + ≥  Kết hợp với điều kiện suy ra BPT có nghiệm 1x ≥ 40/ Giải bpt: ( ) 2 2 x 41x 4x x 18 3 4 x 2x 44x 18+ − + ≤ + + + Giải: Đk: x 0 ≥ bpt ⇔ 2 2 2 2x 44x 18 x 3x 4x x (3 4 x) 2x 44x 18+ + − − − ≤ + + + Đặt : 2 t 2x 44x 18= + + 0t ⇒ > Ta có bpt: 2 2 t x x(3 4 x) (3 4 x )t 0− − + − + ≤ (t x)(t x 3 4 x) 0 t x 3 4 x 0⇔ + − − − ≤ ⇔ − − − ≤ (vì t+x>0 với mọi x ≥ 0) Ta có bpt 2 2x 44x 18 x 3 4 x⇔ + + ≤ + − 2 2(x 3) 32x (x 3) 4 x⇔ + + ≤ + + [...]...  x + y + x 2 − y 2 = 12  75/ Giải hệ phương trình:   y x 2 − y 2 = 12  Giải: từ hệ suy ra y > 0; x 2 − y 2 > 0 Ôn tập: PT, BPT và HPT Thầy giáo Nguyễn Hà Hưng - 0986669884 u = x 2 − y 2 ; u > 0  u 2 = x 2 − y 2 1 u2   ⇒ 2 ⇒ v 2 − u 2 = 2 y ( x + y ) ⇒ y =  v − ÷ Đặt  2 2 2 v  v = x + y v = x + y + 2 xy  u + v = 12 u = 4 u = 3  ⇔ Hệ phương trình đã cho có dạng:  u  hoặc... (1)  68/ Giải hệ pt:  2 (2) 2 x − y = 8  Giải: Điều kiện : x y ≥ 0 ; x ≥ y y 2 Ta có: (1) ⇔ 3( x − y ) = 4 xy ⇔ (3x − y )( x − 3 y ) = 0 ⇔ x = 3 y ∨ x = 3  x = 6  x = 12 2 ; • Với x = 3 y , thế vào (2) ta được : y − 6 y + 8 = 0 ⇔ y = 2 ; y = 4 ⇒ Hệ có nghiệm  y = 2 y = 4 y 2 • Với x = , thế vào (2) ta được : 3 y − 2 y + 24 = 0 Vô nghiệm 3  x = 6  x = 12 ; Kết luận: hệ phương trình có 2 nghiệm... Ôn tập: PT, BPT và HPT Thầy giáo Nguyễn Hà Hưng - 0986669884 8 x + 18 y + 36 xy − 5(2 x + 3 y ) 6 xy = 0 ( 1)  69/ Giải hệ pt :  2 2 ( 2)  2 x + 3 y = 30  Giải: Điều kiện xy ≥ 0 +) Nếu x = 0 , (1)suy ra y = 0 không thoả mãn pt (2) của hệ +) Nếu y = 0 cũng tương tự, vậy xy > 0 2 2 Pt (1) của hệ ⇔ 8 x + 18 y + 36 xy = 5(2 x + 3 y ) 6 xy ⇔ 2(2 x + 3 y ) 2 + 12 xy = 5(2 x + 3 y... Thay y = x − 2 vào (2) ta được : 3x + 3 − 5 − 2 x = x 3 − 3 x 2 − 10 x + 26 5 ⇔ 3 x + 3 − 3 + 1 − 5 − 2 x = x 3 − 3 x 2 − 10 x + 24 (với − ≤ x ≤ 1 ) 2 3 ( x − 2) 2 ( x − 2) ⇔ + = ( x − 2 ) ( x 2 − x − 12 ) 3x + 3 + 3 1 + 5 − 2 x Ôn tập: PT, BPT và HPT Thầy giáo Nguyễn Hà Hưng - 0986669884 x = 2 ⇔ 3 2  + = x 2 − x − 12  3x + 3 + 3 1 + 5 − 2 x  x = 2 5 ≤ x ≤ 1 thì x 2 − x − 12 < 0 Vậy hệ có nghiệm... 7 x  x = 17   25   17 76  Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là (x;y) = (2;1) và (x;y) =  ; ÷  25 25  ( x - y ) 2 + x + y = y 2  58/ Giải hệ pt:  4 2 2 2  x - 4x y + 3x = - y  x 2 + y + x(1 − 2y) = 0 (1)  Giải: Hệ tương đương  2 2 2 (x + y) + 3x (1 − 2y) = 0 (2)  1 2 2 2 Thay (1) vào (2) được ( x(1 − 2 y ) ) + 3 x... - x 2 + y 2 + xy + 1 = 4 y 72/ Giải hệ pt:  2 2  y( x + y) = 2 x + 7 y + 2 ( ) Ôn tập: PT, BPT và HPT Thầy giáo Nguyễn Hà Hưng - 0986669884  x +1 +x+ y = 4  y  Giải: Từ hệ PT ⇒ y ≠ 0 Khi đó hệ ⇔  2 ( x + y ) 2 − 2 x + 1 = 7  y   u+v = 4  u = 4−v  v = 3, u = 1 x2 + 1 ⇔ 2 ⇔ , v = x + y ta có hệ:  2 Đặt u = y v − 2u = 7 v + 2v − 15 = 0  v = −5, u = 9 2... y = x thế vào (2) ⇒ x 3 − 2 x + 1 = 0 ⇔ ( x − 1) ( x 2 + x − 1) = 0 ⇔ x = 1 ∨ x= −1 ± 5 2 1 2 3 4 4 2 2 thế vào (2) ⇒ − = x + 1 ⇔ x + x + 2 = 0 ⇔ ( x − 2 x + 1) + ( 2 x + x + 1) = 0 vô nghiệm x x (vì vế trái luôn dương) −1 ± 5 Vậy hệ phương trình đã cho có ba nghiệm x = y = 1, x = y = 2 - x 2 + y 2 − xy = 3 (1)  61/ Giải hệ pt : ... - x 2 + 91 = y − 2 + y 2 (1)  84/ Giải hệ p:  (2)  y 2 + 91 = x − 2 + x 2  Giải: Điều kiện: x ≥ 2 và y ≥ 2 : Lấy (1) trừ (2) vế theo vế ta được: (C) ⇔ I ∈ d ⇔ ( 2m − 1) 3 + 2m ( −1) + 5m + 8 = 0 ⇔ 9m = −5 ⇔ m = Ôn tập: PT, BPT và HPT Thầy giáo Nguyễn Hà Hưng - 0986669884 x 2 + 91 − y 2 + 91 = y − 2 − x − 2 + y 2 − x 2 (*) +) Nếu x = 2 hoặc y = 2 thay vào hệ trên thấy vô nghiệm +) Nếu x > 2; y >... ∀t ∈ [ 1; 2] và f ( 1) = − , f ( 2 ) = ⇒ max f ( t ) = [ 1;2] 2 3 3 2 -3  2 xy + 3x + 4 y = −6 54/ Giải hệ pt  2 2  x + 4 y + 4 x + 12 y = 3 Giải: Pt thứ nhất ⇔ 2 y ( x + 2 ) + 3 ( x + 2 ) = 0 ⇔ ( x + 2 ) ( 2 y + 3) = 0 ⇔ x = −2 2 +Với x = −2 thế vào (2) suy ra 4 y + 12 y − 7 = 0 ⇔ y = +Với y = − 1 ∨ 2 3 thế vào (2) suy ra x 2 + 4 x − 12 = 0 ⇔ x =... + 1) + 2 ( x 2 + 1) x = 6  90/ Giải hệ pt:  2 x y 2 + 2 4 y 2 + 1 = x + x2 + 1   Giải: ĐK: x ≥ 0 Nếu x = 0 ⇒ hệ vn 1 1 1 Xét x > 0 Từ phương trình thứ 2 ta có 2 y + 2 y 4 y 2 + 1 = + + 1 (1) x x x2 t2 2 f '( t ) = 1+ t2 +1 + > 0 nên hàm số đồng biến Xét hàm số f ( t ) = t + t t + 1 có t2 +1 1 1 3 2 Vậy ( 1) ⇔ f ( 2 y ) = f  ÷ ⇔ 2 y = Thay vào phương trình (1): x + x + 2 ( x + 1) x = 6 x . −  =  ⇒   =   = −  75/ Giải hệ phương trình: 2 2 2 2 12 12 x y x y y x y  + + − =   − =   Giải: từ hệ suy ra 2 2 0; 0y x y> − > Ôn tập: PT, BPT và HPT Thầy giáo Nguyễn Hà Hưng. trái luôn dương) Vậy hệ phương trình đã cho có ba nghiệm 1 5 1, 2 x y x y − ± = = = = 61/ Giải hệ pt : 2 2 2 2 3 (1) 1 1 4 (2) x y xy x y  + − =   + + + =   Ôn tập: PT, BPT và HPT. = Vô nghiệm. Kết luận: hệ phương trình có 2 nghiệm là: 6 12 ; 2 4 x x y y = =     = =   Ôn tập: PT, BPT và HPT Thầy giáo Nguyễn Hà Hưng - 0986669884 69/ Giải hệ pt : ( ) ( ) 2 2 2 2 8