Tích phân Trần Só Tùng Trang 76 n2 (AxB)dx I (x)axbxc + = l+m++ ò Ví dụ 9: Tính tích phân bất đònh: 2 dx I (x1)x2x2 = +++ ò Giải: Đặt: 11 tx1 x1t =Þ=- + suy ra: 2 1 dxdt, t =- 2 2 2 22 2 dt 1 khit0 t()dt dxdt 1t t dt 11 (x1)x2x2 khit0 1t.1 tt 1t ì -> ï - + ï ==-= í +++ ï < ++ ï + ỵ Khi đó: Ÿ Với t > 0, ta được: 2 2 2 dt11 Ilnt1tCln1C x1 (x1) 1t =-=-+++=-+++ + + + ò 22 2 1x2x2x11x2x2 lnClnClnC. x1x1 1x2x2 ++++-++ =-+=+=+ ++ +++ Ÿ Với t < 0, ta được: 2 2 2 dt11 Ilnt1tCln1C x1 (x1) 1t ==+++=+++ + + + ò 2 1x2x2 lnC. x1 -++ =+ + Tóm lại với t0x1 ¹Û¹- ta luôn có: 2 1x2x2 IlnC. x1 -++ =+ + 3. SỬ DỤNG TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN Bài toán 3: Tính tích phân các hàm vô tỉ bằng phương pháp tích phân từng phần PHƯƠNG PHÁP CHUNG Với các hàm vô tỉ, trong phạm vi phổ thông phương pháp tích phân từng phần ít được sử dụng, tuy nhiên chúng ta cũng cần xem xét. Ví dụ 10: Tính tích phân bất đònh: 2 Ixadx =+ ò Giải: Đặt: 2 2 xdx du uxa xa dvdx vx ì = ì ïï =+ Þ + íí = ï ï ỵ = ỵ Trần Só Tùng Tích phân Trang 77 Khi đó: 2 2 2 xdx Ixxa xa =+- + ò (1) Với 22 2 222 xdx[(xa)a]dxdx Jxadxa xaxaxa +- ===+- +++ òòòò 2 IalnxxaC. =-+++ (2) Thay (2) vào (1) ta được: 2222 xa Ixxa(IalnxxaC)IxalnxxaC. 22 =+ +++Û=+++++ 4. SỬ DỤNG CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI Dạng 1: Tính tích phân bất đònh xa Idx,vớia0 xa - => + ò PHƯƠNG PHÁP CHUNG Vì điều kiện xa xa' ³ é ê <- ë Ta xét hai trường hợp: · Với xa ³ thì: 222222 xaxa2xdxdx dxdxa xa xa2xaxa ==- + òòòò 2222 xalnxxaC. = +-+ · Với x < –a thì: 222222 xaaxdx2xdx dxdxa xa xaxa2xa ==- + òòòò 2222 lnxxaxaC. =+ + Ví dụ 11: Tính tích phân bất đònh: x1 Idx x1 - = + ò Giải: Vì điều kiện x1 x1 ³ é ê <- ë . Ta xét hai trường hợp: · Với x1 ³ . Ta có: 22 222 x12xdxdx Idxx1lnxx1C x12x1x1 - ==-= +-+ òòò · Với x < –1. Ta có: 22 222 1xdx2xdx Idxlnxx1x1C x1x12x1 - ==-=+ + òòò Dạng 2: Tính tích phân bất đònh dx I,vớia0vàbc0. axbaxc =¹-¹ +++ ò Tích phân Trần Só Tùng Trang 78 PHƯƠNG PHÁP CHUNG Khử tính vô tỉ ở mẫu số bằng cách trục căn thức, ta được: 1 I(axbaxc)dx bc =+++ - ò 1/21/2 1 [(axb)d(axb)(axc)d(axc)] a(bc) =+++++ - òò 33 2 [(axb)(axc)]C 2a(bc) =++++ - Ví dụ 12: Tính tích phân bất đònh: dx Ix1 x1 =+- + ò Giải: Khử tính vô tỉ ở mẫu số bằng cách trục căn thức, ta được: 1/21/2 33 11 I(x1x1)dx[(x1)d(x1)(x1)d(x1)] 22 1 [(x1)(x1)]C 3 =++-=+++ =++-+ òòò Chú ý: Một phép biến đổi rất phổ biến đối với các hàm số vô tỉ là phương pháp phân tích, chúng ta sẽ đi xem xét các dạng cơ bản sau: Dạng 3: Tính tích phân bất đònh 2 v(x)dx I u(x) = ±a ò PHƯƠNG PHÁP CHUNG Ta thực hiện theo các bước sau: · Bước 1: Phân tích: 2 2222 v(x)a[u(x)]bu(x)c u(x)u(x)u(x)u(x) +a =++ +a+a+a+a Sử dụng phương pháp hằng số bất đònh ta xác đònh được a, b, c. · Bước 2: Áp dụng các công thức: 1. 2 2 xdx xaC. xa =±+ ± ò 2. 2 2 dx lnxxaC xa =+±+ ± ò 3. 222 xa xadxxalnxxaC. 22 ±=±±+±+ ò Ví dụ 13: Tính tích phân bất đònh: 2 2 (2x1)dx I x2x + = + ò Giải: Ta có: 222 22222 2x12x1a[(x1)1]b(x1)c x2x(x1)1(x1)1(x1)1(x1)1 +++-+ ==++ ++-+-+-+- Trần Só Tùng Tích phân Trang 79 2 2 ax(2ab)xbc x2x ++++ = + Đồng nhất đẳng thức, ta được: a2a2 2ab0b4 bc1c5 == ìì ïï +=Û=- íí ïï +== ỵỵ Khi đó: 2 2 222 2x14(x1)5 2(x1)1 x2x(x1)1(x1)1 ++ =+ + ++-+- Do đó: 2 22 4(x1)5 I[2(x1)1]dx (x1)1(x1)1 + =+ + +-+- ò 2222 (x1)x2xlnx1x2x4x2x5lnx1x2xC =++-+++-++++++ 222 (x1)x2x4lnx1x2x4x2xC. =++++++-++ BÀI TẬP Bài 30. Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau: a/ 3 x1 ; 3x1 + + b/ x ; 2x11 ++ c/ 3 x ; x2 + d/ 3 3 4 x ; 1x1 ++ e/ 3 1 ; xx + f/ 2 3 1 ; (2x1)2x1 +-+ g/ 10 x x1 + h/ 1 tgx 2x12x1 + ++- ĐS: a/ 52 33 11 (3x1)(3x1)C; 35 ỉư ++++ ç÷ èø b/ 3 11 (2x1)(2x1)C; 64 +-++ c/ 232 1 (x2)2x2C; 3 +-++ d/ 334244 3 333 (x1)x1ln(x11)C; 844 +-+++++ e/ 366 2x3x6xln(x1)C; +++ f/ 2 66 6 3 (2x1)32x13ln2x11C; 2 ++++ + g/ 199 1010 1010 (x1)(x1)C; 199 +-++ h/ 33 1 lncosx(2x1)(2x1)C. 3 éù -++ + êú ëû Bài 31. Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau: a/ 2 x ; 9x6x - b/ 2 1 ; x2x3 ++ c/ 2 1 ; x6x8 ++ d/ 2 1 xx1 e/ 2 4x5 ; x6x1 + ++ f/ 2 2x ; xx1 +- g/ 2 4 x1 ; xx1 + + h/ 223 x . 1x(1x) +++ ĐS: a/ 22 1 9x6xln3x19x6xC; 9 -+-+-+ b/ 2 lnx1x2x3C; +++++ c/ 2 lnx3x6x8C; +++++ d/ 2 1 lnxxx1C; 2 -+ + Tích phân Trần Só Tùng Trang 80 e/ 22 4x6x17lnx3x6x1C; ++-+++++ f/ 223 22 x(x1)C; 33 + g/ 2 11 lnxx2C; x2 ỉư -+-++ ç÷ èø h/ 2 211xC. +++ Bài 32a/ Biết rằng 2 2 dx ln(xx3)C. x3 =+++ + ò Tìm nguyên hàm của 2 F(x)x3dx =+ ò b/ Tính 2 x4x8dx. -+ ò ĐS: a/ 22 13 xx3ln(xx3)C. 22 +++++ b/ 22 1 (x2)x4x82lnx2x4x8C. 2 ++-+-++ Bài 33. Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau: a/ 23 1 ; (x16) + b/ 23 1 . (1x) - ĐS: a/ 2 x C; 16x16 + + b/ 2 x C. 1x + - Bài 34. Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau: a/ 2 1 ; (x1)1x b/ 2 x1 ; (x1)x1 - ++ c/ 2 1 ; (x1)x2x3 ++ d/ 2 1 ; xxx1 +++ e/ 2 2 x ; xx1 ++ f/ 1 . 1x1x +++ ĐS: a/ 1x C; 1x + -+ - b/ 2 2 1x2(x1) lnxx12lnC; 2(x1) -++ ++++ + c/ 2 12x2x3 lnC; 22(x1) +-++ -+ - d/ 4 2 3 31t lnC,vớitxxx1. 2(12t)2 12t ++=+++ + + e/ 22 111 (2x3)xx1lnxxx1C; 482 -++-+++++ f/ 111t11x xxx.tlnC,vớit. 224t1x -+ +-++= + Trần Só Tùng Tích phân Trang 81 Vấn đề 10: NGUYÊN HÀM CÁC HÀM SỐ SIÊU VIỆT Để xác đònh nguyên hàm của các hàm số siêu việt ta cần linh hoạt lựa chọn một trong các phương pháp cơ bản sau: 1. Sử dụng các dạng nguyên hàm cơ bản 2. Phương pháp phân tích 3. Phương pháp đổi biến 4. Phương pháp tích phân từng phần. 1. SỬ DỤNG CÁC DẠNG NGUYÊN HÀM CƠ BẢN Bài toán 1: Xác đònh nguyên hàm các hàm siêu việt dựa trên các dạng nguyên hàm cơ bản PHƯƠNG PHÁP CHUNG Bằng các phép biến đổi đại số, ta biến đổi biểu thức dưới dấu tích phân về các dạng nguyên hàm cơ bản đã biết. Ví dụ 1: Tính các tích phân bất đònh sau: a/ xx dx I ee - = - ò b/ xx xx 2.e Jdx 169 = - Giải: a/ Ta có: xx 2xx d(e)1e1 IlnC 2e1e1 - ==+ -+ ò b/ Chia tử và mẫu số của biểu thức dưới dấu tích phân cho 4 x , ta được: x xx 2x2xx 4 44 d 1 111 3 33 Jdxdx.lnC 44 2 444 lnln 111 33 333 éù ỉư ỉưỉư - êú ç÷ ç÷ç÷ èø èøëûèø ===+ ỉưỉưỉư + ç÷ç÷ç÷ èøèøèø òò xx xx 143 .lnC. 2(ln4ln3)43 - =+ - + 2. PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH Bài toán 2: Xác đònh nguyên hàm hàm siêu việt bằng phương pháp phân tích PHƯƠNG PHÁP CHUNG Cần hiểu rằng thực chất nó là một dạng của phương pháp hệ số bất đònh, nhưng ở đây ta sử dụng các đồng nhất thức quen thuộc. Ví dụ 2: Tính tích phân bất đònh : x dx I. 1e = - ò Tích phân Trần Só Tùng Trang 82 Giải: Sử dụng đồng nhất thức: xx 11e)e =-+ Ta được: xxx xxx 1(1e)ee 1. 1e1e1e -+ ==+ Suy ra: xx x xx ed(1e) I1dxdxxln1eC. 1e1e ỉư - =+=-= + ç÷ èø òòò 3. PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN Bài toán 3: Xác đònh nguyên hàm hàm siêu việt bằng phương pháp đổi biến PHƯƠNG PHÁP CHUNG Phương pháp đổi biến được sử dụng cho các hàm số siêu việt với mục đích chủ đạo để chuyển biểu thức dưới dấu tích phân về các dạng hữu tỉ hoặc vô tỉ, tuy nhiên trong nhiều trường hợp cần tiếp thu những kinh nghiệm nhỏ đã được minh hoạ bằng các chú ý trong vấn đề 4. Ví dụ 3: Tính tích phân bất đònh : 2x dx I. 1e = + ò Giải: · Cách 1: Đặt 2x22x t1et1e =+Û=+ Suy ra: 2x 222 2x tdtdxtdtdt 2tdt2edxdx& t1t(t1)t1 1e =Û=== + Khi đó: 2x 2 2x dt1t111e IlnClnC 2t12 t1 1e1 -+ ==+=+ + - ++ ò · Cách 2: Đặt: t = e x Suy ra: x x dx dtedxdt, e - =-Û-= 2x2x2xx2x2 dxdxdxdt . 1ee(e1)ee1t1 - === ++++ Khi đó: 2xx 2x2 dxdt lntt1Clnee1C. 1et1 =-=-+++=-+++ ++ òò Ví dụ 4: Tính tích phân bất đònh : xx/2 dx I ee = - ò Giải: Đặt x/2 te - = . Suy ra: x/2 x/2 1dx dtedx2dt, 2 e - =Û-= x/2 xx/2xx/2x/2x/2 dxdxedx2tdt1 21dt 1tt1eee(1e)e(1e) - - ỉư ====+ ç÷ èø Khi đó: x/2x/2 1 I21dt2(elne1C. t1 ỉư =+=+++ ç÷ - èø ò 4. PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN Bài toán 4: Tìm nguyên hàm các hàm siêu việt bằng phương pháp tích phân từng phần Trần Só Tùng Tích phân Trang 83 PHƯƠNG PHÁP CHUNG Bài toán 1: Tính: axax ecos(bx)(hoặcesin(bx)vớia,b0 ¹ òò Khi đó ta đặt: axax ucos(bx)usin(bx) hoặc dvedxdvedx == ìì íí == ỵỵ Bài toán 2: Tính: x* P(x)edxvớiR a ò Khi đó ta đặt: x uP(x) dvedx a = ì í = ỵ Ví dụ 5: Tìm họ nguyên hàm của hàm số 2x f(x)(tgxtgx1)e. =++ Giải: Ta có: 2x2xx F(x)(tgxtgx1)e(tgx1)eetgxdx. =++=++ òòò (1) Xét tích phân x Jetgxdx. = Đặt: 2 2 x x dx utgx du(1tgx)dx cosx dvedx ve ì = ==+ ì ï Û íí = ỵ ï = ỵ Khi đó: x2x Jetgx(tgx1)e. =-+ ò Thay (2) vào (1) ta được x F(x)etgxC. =+ (2) 5. SỬ DỤNG CÁC PHƯƠNG PHÁP KHÁC NHAU Ví dụ 6: Tính tích phân bất đònh: 2x dx I 1e = + ò Giải: Ta có: xx 2xx2x2x2x dxdxedxd(e) 1eee1e1e1 ===- ++++ (1) Khi đó: x x2x x d(e) Iln(ee1)C e1 - - ==-+++ + ò Chú ý: Ta có thể sử dụng phương pháp đổi biến để làm tường minh lời giải, bằng cách: Đặt t = e x . Suy ra: x 2x2 dtdt dtedx& 1et1t == ++ Khi đó: 2 2 2 22 1 d dtdt11 t Iln1C tt 11 t1t t11 tt ỉư ç÷ èø ===-=-+++ + ++ òòò x2x ln(ee1)C. =-+++ Tích phân Trần Só Tùng Trang 84 Đương nhiên cũng có thể đặt t = e –x ta sẽ thu được lời giải giống như trên, xong sẽ thật khó giải thích với các em học sinh câu trả lời “Tại sao lại nghó ra cách đặt ẩn phụ như vậy?” Chú ý: Nếu các em học sinh thấy khó hình dung một cách cặn kẽ cách biến đổi để đưa về dạng cơ bản trong bài toán trên thì thực hiện theo hai bước sau: – Bước 1: Thực hiện phép đổi biến: Đặt t = e x Suy ra: xx2xx22 dtedx&ee2e2dxt2t2dt(t1)1dt =-+=-+=-+ Khi đó: 2 I(t1)1dt. =-+ ò – Bước 2: Thực hiện phép đổi biến: Đặt u = t – 1 Suy ra: 22 dudt&(t1)1dtu1du =-+=+ Khi đó: 222 u1 Iu1duu1lnuu1C 22 =+=+++++ ò 22 x 2xxx2xx t11 (t1)1lnt1(t1)1C 22 e11 e2e2lne1ee2C 22 - =-++-+-++ - =-++-+-++ Ví dụ 8: Tìm nguyên hàm hàm số : x xx e f(x) ee - = + Giải: Chọn hàm số phụ: x xx e g(x) ee - - = + Gọi F(x) và G(x) theo thứ tự là nguyên hàm của các hàm số f(x), g(x). Ta có: xx xx ee f(x)g(x) ee - - - -= + xxxx xx 1 xxxx eed(ee) F(x)G(x)dxlneeC eeee - -+ Þ-===++ ++ òò xx 2 xx ee f(x)g(x)1F(x)G(x)dxxC. ee - - + +==Þ+==+ + ò Ta được: xx xx 1 2 F(x)G(x)lneeC 1 F(x)(lneex)C. 2 F(x)G(x)xC - - ì +=++ ï Þ=+++ í -=+ ï ỵ BÀI TẬP Bài 35. Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau: a/ xx 2.e; b/ x 1 ; 1e + c/ x 1x ; x(1x.e) + + d/ lnx ; x e/ xx e.sin(e); f/ 2x 2x e ; e2 + g/ 1 ; xlnx h/ 2 x x.e. Trần Só Tùng Tích phân Trang 85 ĐS: a/ xx 2.e C; 1ln2 + + b/ x x e lnC; 1e + + c/ x x xe lnC; 1xe + + d/ 2 lnx.lnxC; 3 + e/ x cos(e)C; -+ f/ 2x 1 lne1C; 2 ++ g/ lnlnxC; + h/ 2 x 1 eC. 2 + Bài 36. Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau: a/ 2x x e1 ; e - b/ 3x23x (1e).e; + c/ 2x 4x e ; e1 + d/ x 1 ; 1e + e/ 2x 4x e e1 + f/ x 1 .e; x g/ cosx sinx ; e h/ xx 1 . e(3e) - + ĐS: a/ xx eeC; - ++ b/ 3x3 1 (1e)C; 9 ++ c/ x7x3 44 44 (e1)(e1)C; 73 +-++ d/ x t1 lnC,vớite1; t1 - +=+ + e/ t1 2tlnC,vớit1lnx; t1 - ++=+ + f/ x 2eC; + g/ x eC; - + h/ x x 3e lnC. 3e1 + + Bài 37. Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau: a/ 23x xe; b/ 2x e.cos3x; c/ x e.sinx; d/ 3 lnx ; x ỉư ç÷ èø e/ n x.lnx,n1. ¹- ĐS: a/ 3x2 1 e(9x6x2)C; 27 -++ b/ 2x 1 e(2cos3x3sin3x)C; 13 ++ c/ x 1 e(sinxcosx)C; 2 -+ d/ 32 2 1333 lnxlnxlnxC; 2242x ỉư -++++ ç÷ èø e/ n1n1 2 xx lnxC; n1 (n1) ++ -+ + + Bài 38. Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau: a/ 2x 2 xe ; (x2) + b/ x (1sinx)e 1cosx + + c/ xx ee2; - ++ d/ 2 11x ln; 1x 1x + - - e/ 2 ln(xx1); +- f/ lnx ; x1lnx + g/ 2 2 xln(xx1) . x1 ++ + ĐS: a/ x x2 .eC; x2 - -+ + b/ x esinx C; 1cosx + + c/ x3x2x e(ee)C; ++ d/ 2 11x lnC; 41x + ỉư + ç÷ - èø e/ 22 xln(xx1)x1C; + + f/ 2 (1lnx)1lnx21lnxC; 3 ++-++ g/ 22 x1.nxx1xC. +++-+ [...].. .Tích phân Trần Só Tùng §Bài 2: TÍCH PHÂN 1 Đònh nghóa tích phân: Ta có công thức Niutơn – Laipnit: b ò f(x)dx = F(x) b a = F(b) - F(a) a b Chú ý: Tích phân ò f(x)dx chỉ phụ thuộc vào f, a, b mà không phụ thuộc vào cách ký a hiệu biến số tích phân Vì vậy ta có thể viết: b b b a a a F(b) - F(a) = ò f(x)dx = ò f(t)dt = ò f(u)du = 2 Ý nghóa hình học của tích phân: Nếu hàm số f(x)... như phương pháp cho lớp tích phân đặt biệt Vấn đề 1: TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH Bằng việc sử dụng các đồng nhất thức để biến đổi biểu thức dưới dấu tích phân thành tổng các biểu thức mà nguyên hàm của mỗi biểu thức đó có thể nhận được từ bảng nguyên hàm hoặc chỉ bằng các phép biến đổi đơn giản đã biết, từ đó ta xác đònh được giá trò của tích phân Trang 89 Tích phân Trần Só Tùng 1 x5 Ví... 2 và v = 2x, do đó: H '(x) = (x 2 )'.(x 6 + sin 2 ) + (2x)'.(8x + sin 2x) = 2x(x 6 + sin x 2 ) + 2(8x 3 + sin 2x) TỔNG KẾT CHUNG: Để tính tích phân xác đònh ngoài các phương pháp cơ bản mà chúng ta đã biết để xác đònh nguyên hàm, cụ thể có: 1 Phương pháp sử dụng bảng nguyên hàm cơ bản 2 Phương pháp phân tích 3 Phương pháp đổi biến 4 Phương pháp tích phân từng phần 5 Sử dụng các phép biến đổi còn có... 1)dx = 11 6 Chú ý: Như vậy chúng ta sử dụng hầu hết các tính chất để giải các ví dụ về tích phân, duy còn tính chất thứ 9 ở đó có một dạng toán mà các học sinh cần quan tâm là “Đạo hàm của hàm số xác đònh bởi tích phân Ta có các dạng sau: x Dạng 1: Với F(x) = ò f(t)dt Þ F '(x) = f(x) a a x x a Với F(x) = ò f(t)dt thì viết lại F(x) = - ò f(t)dt Þ F '(x) = -f(x) Trang 88 Trần Só Tùng Tích phân u(x)... tích phân: Nếu hàm số f(x) liên tục và không âm trên [a ; b] thì tích phân b ò f(x)dx là diện tích a hình thang cong giới hạn bởi đồ thò của hàm số y = f(x, trục Ox) và hai đường thẳng x = a và x = b 3 Các tính chất của tích phân: Giả sử các hàm số f(x), g(x) liên tục trên khoảng K và a, b, c là ba điểm của K, dựa vào đònh nghóa tích phân ta có các tính chất sau: a Tính chất 1 Ta có ò f(x)dx = 0 a... (ln1 + 2) = ln 2 - 1 1 4 = (24 - 4e) - (0 - 4) = 28 - 4e 0 Chú ý: Trong ví dụ trên ta đã sử dụng đònh nghóa cùng các tính chất 1, 3 và 4 để tính tích phân Ví dụ sau đây sẽ sử dụng tính chất 5 để tính tích phân của hàm chứa dấu trò tuyệt đối Ví dụ 2: Tính tích phân sau: J = 1 òe x - 1 dx -1 Giải: x Xét dấu của hàm số y = e – 1 Ta có: y = 0 Û ex - 1 = 0 Û x = 0 x > 0 Þ ex > 1 Þ y > 0 Nhận xét rằng: x . DỤNG TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN Bài toán 3: Tính tích phân các hàm vô tỉ bằng phương pháp tích phân từng phần PHƯƠNG PHÁP CHUNG Với các hàm vô tỉ, trong phạm vi phổ thông phương pháp tích phân từng phần. ỉư =+=+++ ç÷ - èø ò 4. PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN Bài toán 4: Tìm nguyên hàm các hàm siêu việt bằng phương pháp tích phân từng phần Trần Só Tùng Tích phân Trang 83 PHƯƠNG PHÁP CHUNG. 52 33 11 (3x1)(3x1)C; 35 ỉư ++++ ç÷ èø b/ 3 11 (2x1)(2x1)C; 64 +-++ c/ 232 1 (x2)2x2C; 3 +-++ d/ 334244 3 333 (x1)x1ln(x11)C; 844 +-+++++ e/ 366 2x3x6xln(x1)C; +++ f/ 2 66 6 3 (2x1)32x13ln2x11C; 2 ++++ +