Tích phân Trần Só Tùng Trang 136 Vấn đề 4: DIỆN TÍCH LỚN NHẤT VÀ DIỆN TÍCH NHỎ NHẤT Tìm diện tích lớn nhất và nhỏ nhất của hình phẳng S. Phương pháp: § Thiết lập công thức tính S theo một hoặc nhiều tham số của giả thiết (giả sử là m), tức là, ta có: S = g(m). § Tìm giá trò lớn nhất, giá trò nhỏ nhất của g(m) bằng một trong các phương pháp: + Tam thức bậc hai + Bất đẳng thức Côsi hoặc Bu Nhia Côp Ski. + Sử dụng đạo hàm Chú ý: Các cận a, b thường lấy từ nghiệm x 1 , x 2 là hoành độ giao điểm của (C) và (d). Ví dụ 1: (Vấn đề 1): Tính diện tích của miền kín giới hạn bởi đường cong 2 yx1x =+ , trục Ox và đường thẳng x = 1. Giải: * Đường cong (C) : 2 yx1x =+ cắt trục hoành Ox khi: 2 x1x0x0. +=Û= * Ta có: 2 x1x0,vớimọix[0;1] +³Ỵ. Do đó diện tích S cần tìm là: 1 2 0 Sx1x.dx. =+ ò * Đặt: 222 u1xu1x2u.du2xdxu.duxdx. +Þ=+Þ=Þ= * Đổi cận: x = 0 Þ u = 1; x = 1 Þ u2. = * Ta có: 2 2 3 2 0 0 u1 Sudu(221) 33 ỉư ===- ç÷ èø ò (đvdt) Ví dụ 2: (vấn đề 1): Tính diện hình phẳng giới hạn bởi các đường 1lnx y;x1,xe. x + === Giải: * Diện tích hình phẳng S cần tìm: e 1 1lnx Sdx x + = ò * Đặt: 2 1 u1lnxu1lnx2u.dudx. x =+Þ=+Þ= * Đổi cận: x = 1 Þ u = 1; x = e Þ u2. = * Ta có: 2 2 23 1 1 222 S2u.duu(221(221) 333 ỉư ===-=- ç÷ èø ò (đvdt) Ví dụ 3 (vấn đề 2): Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: 22 yx2xvàyx4x. =-=-+ Trần Só Tùng Tích phân Trang 137 Giải: * Phương trình hoành độ giao điểm của 2 đường: 22 x2xx4x -=-+ 2 2x6x0x0hayx3. Û-=Û== * Đồ thò (P 1 ): 22 2 yx2xvà(P):yx4x =-=-+ như trên hình vẽ. Hai đồ thò cắt nhau tại 2 điểm O(0 ; 0) và A(3 ; 3). * Diện tích hình phẳng S cần tìm: 3 33 3 2222 00 2x Sx4x)(x2x)dx(2x6x)dx3x9(đvdt) 3 ỉư éù =-+ =-+=-+= ç÷ ëû èø òò Ví dụ 4 (vấn đề 2): Parabol y 2 = 2x chia hình phẳng giới hạn bởi đường tròn 22 xy8 += thành hai phần. tính diện tích mỗi phần đó Giải: * Phương trình hoành độ giao điểm của (P): 222 y2xvà(C):xy8; =+= 2 x2x8(vớix0) +=³ 2 x2y2 x2x80 x4(loại) =Þ=± é Û+-=Û ê =- ë Tọa độ giao điểm B(2 ; 2), C(2 ; –2). * Ta tính diện tích tam giác cong OAB; Đặt: 222 2 1OAB 02 SS2x.dx8x.dx ==+- òò với: 2 2 3 0 0 28 2x.dx2.x. 33 ỉư == ç÷ èø ò Tính: 22 2 2 8x.dxI. -= ò Đặt: x22.sintdt22.cost.dt. =Þ= Đổi cận: x2t/4 =Þ=p ; x22t/2 =Þ=p /2/2/2 2 /4/4/4 /2 /4 1cos2t I22.cost.22.cost.dt8cost.dt8dt 2 sin2t 4t2. 2 ppp ppp p p + Þ=== ỉư =+=p- ç÷ èø òòò * Do đó: 1 82 S2. 33 =+p-=p+ * Do tính đối xứng nên: OBACOAB 4 S2.S2. 3 ==p+ y x 4 3 2 1 0 – 1 – 1 3 4 (P 1 ) A (P 2 ) (P) x A 22 S 1 B C o – 2 2 2 y Tích phân Trần Só Tùng Trang 138 * Gọi S là diện tích hình tròn (C) 2 S.R8 Þ=p=p * Gọi S 2 là phần diện tích hình tròn còn lại 2OBAC 4 SSS82 3 ỉư Þ=-=p-p+ ç÷ èø 2 4 S6. 3 Û=p- Ví dụ 5 (vấn đề 4): Chứng minh rằng khi m thay đổi thì Parabol (P): y = x 2 + 1 luôn cắt đường thẳng (d): y = mx + 2 tại hai điểm phân biệt. Hãy xác đònh m sao cho phần diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường thẳng và parabol là nhỏ nhất. Giải: * Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d): 2 x1mx2 +=+ 2 xmx10(1) Û = 2 m40,m D=+>" * Vậy (d): luôn cắt (P) tại 2 điểm phân biệt A, B có hoành độ x 1 , x 2 là nghiệm của (1). * Diện tích hình phẳng S là: 2 2 1 1 x x 32 2 x x xmx S(mx2x1)dxx 32 ỉư =+ =-++ ç÷ èø ò 3322 212121 22 21212121 22223 1m (xx)(xx)(xx) 32 1 (xx).2(xxxx)3m(xx)6 6 114 m4.2(m1)3m6(m4). 663 = +-+- éù = ++-+- ëû éù =-++ =+³ ëû Vậy: 4 minSkhim0. 3 == Ví dụ 6 (vấn đề 3): Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: 2 2 x27 yx,y,y. 8x === Giải: * Đồ thò 2 2 12 x27 (P):yx,(P):y,(H):y 8x === như trên hình vẽ. * Phương trình hoành độ giao điểm của (P 1 ) và (H): 2 27 x x = 3 x27x3toạđộA(3,9). Û=Û=Þ * Phương trình hoành độ giao điểm của (P 2 ) và (H): y x A x 1 0 x 2 B 2 (d) (P) y x S 2 S 1 (P 1 ) (P 2 ) B A (H) 9/2 3 9 0 3 6 9 Trần Só Tùng Tích phân Trang 139 2 x279 x6toạđộB6,. 8x2 ỉư =Û=Þ ç÷ èø * Diện tích hình phẳng S cần tìm: 36 22 2 12 03 x27x SSS(x)dxdx 27ln2(đvdt) 8x8 ỉư =+=-+-== ç÷ èø òò . Ví dụ 7 (vấn đề 3): Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: parabol (P): 2 y4xx =- và các đường tiếp tuyến với parabol này, biết rằng các tiếp tuyến đó đi qua M(5/2, 6). Giải: * Phương trình đường thẳng (d) qua M hệ số góc K: 5 yKx6 2 ỉư =-+ ç÷ èø * (d) tiếp xúc (P) khi hệ sau có nghiệm: 2 5 4xxKx6(1) 2 42xK(2) ì ỉư -=-+ ï ç÷ èø í ï -= ỵ * Thế (2) vào (1) ta được: 2 5 4xx(42x)(x)6 2 -= + 2 x1K1 x5x40 x4K4 =Þ= é Û-+=Û ê =Þ=- ë * Vậy có 2 phương trình tiếp tuyến là: 12 (d):y2x1;(d):y4x16 =+=-+ * Diện tích hình phẳng S cần tìm: 5/24 22 12 15/2 9 SSS(2x14xx)dx(4x164xx)dx 4 =+=+-++-+-+== òò (đvdt). Ví dụ 8 (vấn đề 3): Tính diện tích giới hạn bởi các đường: 2 yx4x3vày3. =-+= Giải: * Vẽ đồ thò (C): 2 yf(x)x4x3 ==-+ * Xét đồ thò (C’) : yf(x) = f(x),f(x)0 f(x),f(x)0 ³ ì = í -< ỵ * Từ đồ thò (C) ta suy ra đồ thò (C’) như sau: + Giữ nguyên phần đồ thò (C) nằm trên Ox + Lấy đối xứng phần đồ thò (C) nằm dưới Ox qua trục hoành ì í ỵ * Đồ thò (C’) là hợp của 2 phần trên y (d 2 ) (d 1 ) M S 1 S 2 (P) B x 4 5/2 1 2 0 3 4 6 A x 4 3 2 1 0 – 1 3 (C) y Tích phân Trần Só Tùng Trang 140 * Đường thẳng y = 3 cắt (C’) tại A(0 ; 3), B(4 ; 3). * Gọi S là diện tích hình phẳng cần tìm. * Do tính đối xứng nên ta có: 12 S2(SS) =+ 212 222 001 2.(3x4x3)dx2[3(x4x3)]dx[3(x4x3)]dx 8(đvdt) éù = += ++ +- êú ëû = òòò Bảng xét dấu: x 0 1 2 3 x 2 –4x+3 + 0 – 0 + Trần Só Tùng Tích phân Trang 141 BÀI TẬP Bài 1. Cho Parabol (P): 2 yx4x3 =-+ và đường thẳng (d) : y = x – 1. Tính diện tích giới hạn bởi: a/ (P) và trục Ox; b/ (P), trục Ox và trục Oy; c/ (P), trục Ox, x = 2 và x = 4; d/ (P) và (d); e/ (P), (d), x = 0 và x = 2. ĐS: a/ 4 ; 3 b/ 4 ; 3 c/ 2; d/ 9 ; 2 e/ 3. Bài 2. Tính diện tích giới hạn bởi các đường: a/ 2 1 (C):yx, 2x =+ tiệm cận xiên của (C), x = 1 và x = 3; b/ 5 yx(x1), =+ trục Ox, trục Oy và x = 1; c/ 22 2(y1)xvà(y1)x1 -=-=- ; d/ 222 yx2x2,yx4x5yx4x3vày1; =-+=++=-+= e/ 2 x18 y,y,y(vớix0). 8xx ===> ĐS: a/ 1 ; 3 b/ 418 ; 35 c/ 4 ; 3 d/ 9 ; 4 e/ 7ln2. Bài 3. Tính diện tích giới hạn bởi: a/ 2 (C):yx2x =- và tiếp tuyến với (C) tại O(0 ; 0) và A(3 ; 3) trên (C). b/ (C) 32 :yx2x4x3,y0 =-+-= và tiếp tuyến với (C) tại tiếp điểm có hoành độ x = 2. ĐS: a/ 9 ; 4 b/ 5 . 48 Bài 4. Cho Parabol (P): 2 yx = và đường tròn (C) : 22 9 xy4x0 4 +-+= . a/ Chứng tỏ (P) và (C) tiếp xúc nhau tại A và B. b/ Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P) và các tiếp tuyến chung tại A và B. ĐS: a/ 36663666 A;;yx;B;;yx. 22642264 ỉưỉư =+-= ç÷ç÷ èøèø b/ 6 . 2 Bài 5. Đường thẳng (d): x – 3y + 5 = 0 chia đường tròn (C): 22 xy5 += thành hai phần, tính diện tích mỗi phần. ĐS: 12 55155 S;S. 4242 pp =-=+ Bài 6. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường a/ 2 yx,yx. == b/ 3 xy10;xy10. -+=+-= c/ 222 xy8;y2x. +== d/ 232 y2x;yx. =-= Tích phân Trần Só Tùng Trang 142 e/ 4 x1 y;x0;x. 2 1x === - ĐS: a/ 1 ; 3 b/ 5 ; 4 c/ 4 2; 3 p+ d/ 32 ; 15 e/ . 12 p Bài 7. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: a/ x yx.e;y0;x1;x2. ===-= b/ 2 yx.lnx;y0;x1;xe. ==== c/ xx ye;ye;x1. - === d/ x2 y5;y0;x0;y3x. - ====- e/ 5x y(x1);ye;x1. =+== ĐS: a/ 2 2 e2; 3 -+ b/ 2 1 (e1); 4 - c/ 1 e2; 2 +- d/ 241 ; 25ln52 + e/ 23 e. 2 - Bài 8. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: a/ 2 x y2xvàyx4; 2 =+=+ b/ 2 yx2x3và3x5y90; =-+++-= c/ x yvày0;x1;x2; x1 ==== + d/ 1 ylnx;y0;xvàxe. e ==== ĐS: a/ 26 ; 3 b/ 55 ; 6 c/ 2 1ln; 3 - d/ 2 2. e - Bài 9. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: a/ 2 ysinxcosx, =+ các trục toạ độ và x = p; b/ 2 ysinxsinx1, =++ các trục toạ độ và x. 2 p = c/ yxsinx;yx;x0;x2. =+===p d/ 2 yxsinx;y;x0;x. =+=p==p ĐS: a/ 2; 2 p + b/ 3 1; 2 p + c/ 4; d/ . 2 p Bài 10. Diện tích giới hạn bởi các đường thẳng x = –1; x = 2; y = 0 và Parabol (P) bằng 15. Tìm phương trình của (P), biết (P) có đỉnh là I(1 ; 2). ĐS: 2 y3x6x5. =-+ Bài 11. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C): 2 x2x3 y, x2 +- = + tiện cận xiên x = 0 và x = m > 0. Tìm giới hạn của diện tích này khi m. ®+¥ ĐS: m m2 S3ln;limS. 2 ®+¥ + ỉư ==+¥ ç÷ èø Trần Só Tùng Tích phân Trang 143 Bài 12. Cho (H): 2x y. x1 = - a/ Chứng minh rằng hình phẳng được giới hạn bởi (H), tiệm cận ngang và các đường thẳng x = a + 1; x = 2a + 1 có diện tích không phụ thuộc vào tham số a dương. b/ Lập phương trình tiếp tuyến (d) của (H) tại gốc toạ độ. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (H), (d) và đường thẳng x = 2. ĐS: a/ 2ln2; b/ 2ln3. Bài 13. Cho Parabol (P) : y = x 2 . Hai điểm A và B di động trên (P) sao cho AB = 2. a/ Tìm tập hợp trung điểm I của AB b/ Xác đònh vò trí của A, B sao cho diện tích của phần mặt phẳng giới hạn bởi (P) và cát tuyến AB đạt giá trò lớn nhất. ĐS: a/ 2 2 1 yx; 14x =+ + b/ maxS1;A(1;1);B(1;1). =- Bài 14. Đường thẳng (D) đi qua điểm 1 M;1 2 ỉư ç÷ èø và các bán kính trục dương Ox, Oy lập thành một tam giác. Xác đònh (D) để diện tích tam giác có giá trò nhỏ nhất và tính giá trò đó. ĐS: (D):y2x2. =-+ Bài 15. Cho Parabol (P): y = x 2 . Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua I(1 ; 3) sao cho diện tích hình phẳng giới hạn bởi (d) và (P) đạt giá trò nhỏ nhất. ĐS: y2x1. =+ Bài 16. Trên Parabol (P) : 2 yx = lấy hai điểm A(–1 ; 1) và B(3 ; 3). Tìm điểm M trên cung » AB của (P) sao cho tam giác MAB có diện tích lớn nhất. ĐS: 11 M; 39 ỉư ç÷ èø Bài 17. Xét hình (H) giới hạn bởi đường tròn (C): 2 yx1 =+ và các đường thẳng y = 0; x = 0; x = 1. Tiếp tuyến tại điểm nào của (C) sẽ cắt từ (H) ra một hình thang có diện tích lớn nhất. ĐS: 515 maxS;M;. 424 ỉư = ç÷ èø Tích phân Trần Só Tùng Trang 144 Chú ý: Khi tìm thể tích của vật thể tròn xoay ta cần xác đònh: * Miền hình phẳng (H) sinh ra. ((H) giới hạn bởi 4 đường: x = , x = , y = , y = ) * (H) quay quanh trục Ox hoặc trục Oy để ta dùng công thức thích hợp. Nếu (H) quay quanh trục Ox thì hàm dưới dấu tích phân là y = f(x), biến x và hai cận là x. Nếu (H) quay quanh trục Oy thì hàm dưới dấu tích phân là x = f(y), biến y và hai cận là y. Vấn đề 1: Thể tích vật tròn xoay do hình phẳng (H) giới hạn bởi 4 đường: (C):yf(x);y0;xa;xb(ab) ====< sinh ra khi quay quanh trục Ox được tính bởi công thức: bb 22 aa Vy.dx[d(x)].dx =p=p òò Diện tích: b a Sf(x).dx = ò Thể tích: b 2 a V[f(x)].dx =p ò Vấn đề 2: Thể tích vật tròn xoay do hình phẳng (H) giới hạn bởi 4 đường: (C):xf(y),x0,ya,yb(ab) ====< sinh ra khi quay quanh trục Oy được tính bởi công thức: bb 22 aa Vx.dy[f(y)].dy =p=p òò Diện tích: b a Sf(y)dy. = ò Thể tích: b 2 a V[f(y)].dy =p ò y x b a (H) (C) y x (H) (C) a b y x b a (H) (C) 0 y x (C) a b 0 § Bài 2 : THỂ T ÍCH VẬT TRÒN XOAY Trần Só Tùng Tích phân Trang 145 Vấn đề 3: Thể tích vật tròn xoay do hình phẳng (H) giới hạn bởi 4 đường: 12 (C):yf(x),(C):yg(x),xa,xb(ab) ====< với f(x) và g(x) cùng dấu) sinh ra khi quay quanh trục Ox được tính bởi: b 22 a Vf(x)g(x).dx =p- ò (3) * f(x) và g(x) cùng dấu có nghóa là hai phần đồ thò cùng nằm một phía đối với trục Ox, với mọi x Ỵ đoạn [a; b]. * Để bỏ dấu “| |” trong công thức (3) ta chú ý các trường hợp sau: TH1: 12 (C)(C)vàf(x)g(x)0,x[a;b]: Ç=Ỉ>³"Ỵ b 22 a (3)V[f(x)g(x)].dx Û=p- ò TH2: 12 (C)(C)vàf(x)g(x)0,x[a;b]: Ç=Ỉ<£"Ỵ b 22 a (3)V[f(x)g(x)].dx Û=p- ò TH3: 12 (C)cắt(C) tại 2 điểm A, B có hoành độ x = a, x = b và d(x) > g(x) ³ 0, x[a;b]: "Ỵ b 22 a (3)V[f(x)g(x)].dx Û=p- ò TH4: 12 (C)cắt(C) tại 2 điểm A, B có hoành độ x = a và f(x) < g(x) £ 0, x[a;b]: "Ỵ b 22 a (3)V[f(x)g(x)].dx Û=p- ò y x 0 (H) a b (C 2 ) (C 1 ) y y x 0 (H) a b (C 1 ) (C 2 ) y y x (H) A B a b 0 (C 2 ) (C 1 ) y x (H) A B a b 0 (C 2 ) (C 1 ) [...]... 5 ln 4 3 Bài 15 Tính tích phân I = dx 1 - 2sin 2 x dx 1 + sin 2x (Đề thi khối B_2003) 1 ln 2 2 2 Bài 16 Tính tích phân I = ò x 2 - x dx 0 (Đề thi khối D_2003) ĐS: 1 Bài 17 Tính tích phân I = ĐS: 2 x ò 1 + x + 1 dx 1 (Đề thi khối A_2004) 11 - 4 ln 2 3 Bài 18 Tính tích phân I = e ò 1 ĐS: 1 + 3 ln x.ln x dx x (Đề thi khối B_2004) 116 135 3 Bài 19 Tính tích phân I = ò ln(x 2 - x)dx... A_2002) 109 (đvdt) 6 Bài 12 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: ĐS: x2 x2 y = 4và y = 4 4 2 (Đề thi chung của Bộ GDĐT – khối B _ 2002) Trang 151 Tích phân Trần Só Tùng ĐS: 2 p + 4 (đvdt) 3 -3x - 1 và hai trục x -1 (Đề thi khối D_2002) Bài 13 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong (C): y = toạ độ ĐS: 1 + 4 ln 4 (đvdt) 3 Bài 14 Tính tích phân I = 2 3 ò 5 ĐS: p/2 ò 0 ĐS: 2... 0 (0 £ x < +¥) quanh trục Ox và Oy ĐS: a/ 3 pab 2 ; 7 p2 b/ a / Vx = ; 2 b / Vy = 2 p2 4 c/ a / Vx = pab 2 ; 15 pab 2 b / Vy = 6 p d/ a / Vx = ; 2 b / Vy = 2p Trang 149 Tích phân Trần Só Tùng ÔN TẬP TÍCH PHÂN Bài 1 Tính các tích phân sau: a/ 2 2 + x dx; 2 x2 - 1 dx; x b/ -2 c/ ò 1 d/ x 2 dx e/ ò 2 ; 2 0 (x + 1) g/ òe x f/ 1 ; dx ò (1 + x 2 )3 p/ 4 ò 0 ; x dx; cos2 x p/ 4 sin 4 x + cos 4 x h/ ò dx;... f(x) = ò (t - 1)(t - 2)2 dt Tìm điểm cực trò và điểm uốn của đồ thò f 0 Trang 150 Trần Só Tùng Tích phân 17 ư 4 ư ỉ 4 112 ư ỉ ỉ ĐS: CT : ç 1; - ÷ ; Đ.Uốn : ç 2; - ÷ ; ç ; ÷ è 12 ø è 3 ø è 3 81 ø Bài 6 Đường thẳng (D): x – 3y + 5 = 0 chia đường tròn (C) : x 2 + y2 = 5 thành 2 phần, tính diện tích của mỗi phần ĐS: S1 = 5p 5 - ; 4 2 S2 = 15p 5 + 4 2 1 Bài 7 Xét hình phẳng (H) giới hạn bởi đường cong... a > 0 Bài 10 Cho hình (H) giới hạn bởi: í y = - bx, b > 0 ỵ Quay hình (H) ở góc phần tư thứ hai của hệ toạ độ quanh trục Ox Tìm hệ thức giữa a và b để thể tích khối tròn xoay sinh ra là hằng số, không phụ thuộc vào a và b ĐS: b5 = K.a3, với K là hằng số dương bất kỳ Bài 11 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: y = x 2 - 4x + 3 , y = x + 3 (Đề thi chung của Bộ GDĐT–khối A_2002) 109 (đvdt)... ; x = y2 c/ Đường tròn tâm I(3 ; 0), bán kính R = 2 3p 3p ĐS: a/ ; b/ ; c/ 24 p2 2 10 1 Bài 20 Xét hình (H) giới hạn bởi đường cong y = ; trục Ox; x = 1 và x = t x a/ Tính diện tích S(t) của (H) và thể tích V(t) sinh bởi (H) khi quay quanh Ox b/ Tính: lim S(t) và lim V(t) t ®+¥ t ®+¥ Trang 148 Trần Só Tùng Tích phân p ĐS: a/ S(t) = ln t; V(t) = p - ; t b/ lim S(t) = +¥; lim V(t) = p t ®+¥ t ®+¥ Bài... thẳng x = 2 Tính thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng nói trên: a/ quanh trục hoành b/ quanh trục tung Giải: a/ (P): y 2 = 8x Û (P) : y = ± 8x (x ³ 0) Thể tích V khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi (P) và x = 2 quanh trục Ox là: Trang 146 Trần Só Tùng Tích phân 2 0 y 2 0 V = p ò y 2 dx = p ò 8x.dx = 16 p (đvtt) (P) 4 1 b/ (P) : y = 8x Û x = y 2 8 2 0 Thể tích V khối quanh... 2 ; x = 0; x = 2 h/ y = x ln(1 + x 3 ); x = 1 i/ (P) : y = x 2 (x > 0), y = -3x + 10; y = 1 (miền (D)) nằm ngoài (P)) p k/ y = cos 4 x + sin 4 x; y = 0; x = ; x = p 2 153p 3p ĐS: a/ 2 p(ln 2 - 1)2 ; b/ ; c/ ; 5 10 d/ 3p p e/ 105 g/ p(e2 - 1)2 ; h/ p (2 ln 2 - 1) 3 f/ p(e2 - 1) ; 4 i/ 56 p 5 k/ 3 p2 8 Bài 19 Tính thể tích khối tròn xoay được tạo thành do quay xung quanh trục oy hình phẳng giới hạn... quay quanh trục hoành Tính thể tích của 4 khối tròn xoay được tạo nên Ví dụ 3: Cho hình giới hạn elip: Giải: y x2 x2 1 2 2 (E) : + y = 1 Û y = 1Û y=± 4 - x 2 , (| x |£ 2) 4 4 2 Thể tích V khối tròn xoay cần tìm là: 2 V = p ò y 2 dx = -2 2 p 8p 2 ò2 (4 - x ).dx = = 3 (đvtt) 4- 1 –2 0 2 –1 Ví dụ 4: Gọi (D) là miền kín giới hạn bởi các đường: y = x, y = 2 - x và y = 0 Tính thể tích vật thể tròn xoay khi... 2 –1 Ví dụ 4: Gọi (D) là miền kín giới hạn bởi các đường: y = x, y = 2 - x và y = 0 Tính thể tích vật thể tròn xoay khi quay (D) quanh trục Oy Giải: Trang 147 x Tích phân Trần Só Tùng · y = x Û x = x1 = 2 · y = 2 - x Û x = x 2 = 2 - y · Thể tích vật thể tròn xoay khi quay (D) quanh trục Oy là: 1 y 2 1 1 V = p ò (x - x )dy = p ò [(2 - y)2 - (y 2 )2 ] 2 2 2 1 0 0 0 y= x A 1 2 4 x y = 2-x 32 p = (đvtt) . 22 xy5 += thành hai phần, tính diện tích mỗi phần. ĐS: 12 55155 S;S. 4242 pp =-=+ Bài 6. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường a/ 2 yx,yx. == b/ 3 xy10;xy10. -+=+-= c/ 222 xy8;y2x. +==. 22 S 1 B C o – 2 2 2 y Tích phân Trần Só Tùng Trang 138 * Gọi S là diện tích hình tròn (C) 2 S.R8 Þ=p=p * Gọi S 2 là phần diện tích hình tròn còn lại 2OBAC 4 SSS82 3 ỉư Þ=-=p-p+ ç÷ èø . Tích phân Trần Só Tùng Trang 136 Vấn đề 4: DIỆN TÍCH LỚN NHẤT VÀ DIỆN TÍCH NHỎ NHẤT Tìm diện tích lớn nhất và nhỏ nhất của hình phẳng S. Phương