Giải tích hàm nâng cao 31 1. Dạng giải tích của định lý Hahn-Banach. Bài tập 7 Cho v là một véctơ của không gian định chuẩn E . Chứng minh rằng    * ,|| || 1 || || sup | ( )| f X f v f v Hướng dẫn. Sử dụng bài tập 1. 32 1. Dạng giải tích của định lý Hahn-Banach. Bài tập 8 Cho x, y là hai véctơ của không gian định chuẩn E . Chứng minh rằng nếu với mọi phiếm hàm tuyến tính liên tục f xác định trên E ta đều có f(x) = f(y) thì x = y. Hướng dẫn. Sử dụng bài tập 1. 34 1. Dạng giải tích của định lý Hahn-Banach. Cho họ véctơ độc lập tuyến tính của không gian định chuẩn E, là những số thực. Chứng minh rằng tồn tại phiếm hàm tuyến tính liên tục F trên E sao cho Bài tập 10    ( 1,2, , ) ( ) . k k k m F x c  1 2 { , , , } m M x x x 1 2 , , , m c c c 35 1. Dạng giải tích của định lý Hahn-Banach. Giải Tương tự hoàn toàn, ta tìm được 1 2 ( ) , , m L M x x   Xét 1 1 ( , ( )) 0 d x L M  vì M độc lập tuyến tính nên * 1 1 1 1 1 ( ) ( ) 1; ( ) 0 f E f x f L     Theo hệ quả 3,      * : ( ) 1; ( ) 0; 2,3, , k k k k k f E f x f L k m Khi đó phiếm hàm cần tìm là 1 1 2 2 m m f c f c f c f      36 2. Dạng hình học của định lý Hahn-Banach. Định nghĩa { | ( ) } H x E f x R      Một siêu phẳng là tập hợp có dạng trong đó f là dạng tuyến tính. Cho phiếm hàm tuyến tính f thỏa: ví dụ     (1,1,1) 1; (1,0,1) 2; (1,1,0) 1 f f f Khi đó các siêu phẳng là những mặt phẳng. 3 { | ( ) } H x R f x R      37 2. Dạng hình học của định lý Hahn-Banach. Định nghĩa ( 0 1; , ) (1 ) . x y C x y C           Một tập hợp C trong không gian tuyến tính X được gọi là lồi nếu Tập hợp các điểm có dạng: (1 ) ; 0 1 a b        được gọi là đoạn thẳng nối hai điểm a và b. Một tập hợp được gọi là lồi nếu nó chứa mọi đoạn thẳng nối hai điểm bất kỳ của nó. 38 2. Dạng hình học của định lý Hahn-Banach. 1) Trong R 3 , hình tứ diện, hình lập phương, hình cầu là những tập hợp lồi. ví dụ 2) Trong không gian tuyến tính định chuẩn mỗi hình cầu tâm a, bán kính r là một tập hợp lồi. Hướng dẫn.         ( , ( , )) || (1 ) || x y B a r x y a              || ( ) (1 )( ) || || || (1 ) || || x a y a x a y a       (1 ) r r r 40 2. Dạng hình học của định lý Hahn-Banach. Cho A và B là hai tập hợp con của không gian định chuẩn E. Ta nói siêu phẳng tách A và B theo Định nghĩa { | ( ) } H x E f x R      nghĩa rộng, nếu ( ) ( ) ( ) ( ) x A f x x B f x          Ta nói siêu phẳng tách A và B theo Định nghĩa { | ( ) } H x E f x R      ( ) ( ) ( ) ( ) x A f x x B f x              nghĩa chặt, nếu sao cho 0    . Giải tích hàm nâng cao 31 1. Dạng giải tích của định lý Hahn-Banach. Bài tập 7 Cho v là một véctơ của không gian. dụng bài tập 1. 32 1. Dạng giải tích của định lý Hahn-Banach. Bài tập 8 Cho x, y là hai véctơ của không gian định chuẩn E . Chứng minh rằng nếu với mọi phiếm hàm tuyến tính liên tục f xác. bài tập 1. 34 1. Dạng giải tích của định lý Hahn-Banach. Cho họ véctơ độc lập tuyến tính của không gian định chuẩn E, là những số thực. Chứng minh rằng tồn tại phiếm hàm tuyến tính liên tục